Étude Topographique

Calcul de la Fermeture Linéaire Totale

Exercice : Fermeture Linéaire en Topographie

Calcul de la Fermeture Linéaire d'un Cheminement

Contexte : Le calcul de fermeture d'un cheminement planimétriqueOpération topographique consistant à mesurer une suite de points (stations) par des angles et des distances pour en déterminer les coordonnées. (ou polygonale) est une opération fondamentale en topographie.

Après avoir effectué des mesures d'angles et de distances sur le terrain pour définir un polygone, le topographe doit vérifier la qualité de son travail. Pour un cheminement fermé (qui revient à son point de départ), les calculs de coordonnées doivent théoriquement "refermer" le polygone parfaitement. En pratique, des erreurs de mesure inévitables créent un écart appelé "fermeture linéaire". Cet exercice vous guide à travers le calcul de cette fermeture pour valider la précision d'un levé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre comment quantifier et valider la précision des mesures topographiques. Il constitue la première étape avant toute compensation (répartition des erreurs).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et calculer les dénivelées partielles en X et Y (\(\Delta X, \Delta Y\)).
  • Calculer les composantes de la fermeture linéaire (\(f_{\text{x}}\) et \(f_{\text{y}}\)).
  • Déterminer la fermeture linéaire totale (\(f_{\text{T}}\)).
  • Évaluer la précision du cheminement en calculant la tolérance relative.

Données de l'étude

Un géomètre a réalisé un cheminement fermé à 4 sommets (A-B-C-D-A). Les données de départ et les mesures brutes (distances et gisements) sont consignées ci-dessous.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Point de départ Station A
Coordonnée X de A 1000.000 m
Coordonnée Y de A 5000.000 m
Unité angulaire gon (grade)
Schéma du Cheminement Planimétrique
N (Y) E (X) A B C D D = 100.000 D = 120.050 D = 100.000 D = 120.000 G=50
Tableau des Mesures
Côté Distance (m) Gisement (gon)
A-B 100.000 50.000
B-C 120.050 150.000
C-D 100.000 250.000
D-A' 120.000 350.000

Questions à traiter

  1. Calculer les dénivelées partielles \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour chaque côté du cheminement.
  2. Calculer la somme des dénivelées pour déterminer les composantes de la fermeture, \(f_{\text{x}} = \sum \Delta X\) et \(f_{\text{y}} = \sum \Delta Y\).
  3. À partir des composantes, calculer la fermeture linéaire totale \(f_{\text{T}}\).
  4. Calculer la longueur totale du périmètre du cheminement \(\sum D\).
  5. Déterminer la tolérance (précision relative) du levé et conclure si elle est acceptable pour une précision de 1/10000.

Les bases du Calcul Planimétrique

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les formules de base permettant de passer des mesures polaires (distances, gisements) à des coordonnées rectangulaires (X, Y).

1. Calcul des dénivelées partielles (\(\Delta X, \Delta Y\))
La dénivelée partielle est la projection d'un côté du cheminement sur les axes X (Est) et Y (Nord). Elle se calcule à partir de la distance \(D\) et du gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (Axe Y). \(G\). \[ \Delta X = D \cdot \sin(G) \] \[ \Delta Y = D \cdot \cos(G) \]

2. Calcul de la fermeture linéaire
Dans un cheminement fermé parfait, la somme des \(\Delta X\) et la somme des \(\Delta Y\) doivent être nulles. L'écart par rapport à zéro représente les composantes de l'erreur de fermeture. \[ f_{\text{x}} = \sum \Delta X \quad ; \quad f_{\text{y}} = \sum \Delta Y \] La fermeture totale \(f_{\text{T}}\) est la distance euclidienne entre le point de départ et le point d'arrivée calculé. \[ f_{\text{T}} = \sqrt{f_{\text{x}}^2 + f_{\text{y}}^2} \]

Correction : Calcul de la Fermeture Linéaire d'un Cheminement

Question 1 : Calculer les dénivelées partielles \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)

Principe

L'objectif est de transformer chaque mesure polaire (distance et angle), qui est facile à obtenir sur le terrain, en composantes rectangulaires (Est/Ouest et Nord/Sud). Ces composantes sont additives et permettent de calculer des coordonnées dans un système cartésien.

Mini-Cours

En topographie, le système de coordonnées est orienté avec l'axe Y vers le Nord et l'axe X vers l'Est. Le gisement (G) est l'angle mesuré depuis le Nord dans le sens horaire. Par conséquent, la projection sur l'axe X (Est) utilise le sinus et la projection sur l'axe Y (Nord) utilise le cosinus, ce qui peut sembler contre-intuitif par rapport au cercle trigonométrique mathématique standard.

Remarque Pédagogique

Avant de calculer, ayez le réflexe de visualiser les quadrants. Un gisement entre 0 et 100 gon donnera \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) positifs. Entre 100 et 200 gon, \(\Delta X\) sera positif et \(\Delta Y\) négatif, etc. Cela vous permet de vérifier rapidement le signe de vos résultats.

Normes

Ce calcul est la base universelle de la polygonation topographique et est décrit dans tous les manuels et normes de bonnes pratiques du génie civil et de la topographie, quel que soit le pays.

Formule(s)
\[ \Delta X = D \cdot \sin(G) \quad \text{et} \quad \Delta Y = D \cdot \cos(G) \]
Hypothèses
  • Les distances fournies sont des distances horizontales.
  • Les gisements ont été préalablement calculés et sont considérés comme corrects pour cette étape.
  • Le système de coordonnées est un système local plan.
Donnée(s)
CôtéDistance (m)Gisement (gon)
A-B100.00050.000
B-C120.050150.000
C-D100.000250.000
D-A'120.000350.000
Astuces

La plupart des calculatrices scientifiques possèdent une fonction de conversion Polaire -> Rectangulaire (souvent notée "Pol" et "Rec"). En entrant la distance et le gisement, vous pouvez obtenir directement \(\Delta X\) et \(\Delta Y\), ce qui limite les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition d'un vecteur côté
Y (Nord)X (Est)DΔXΔYG
Calcul(s)

Calcul de \(\Delta X_{\text{AB}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{AB}} &= 100.000 \cdot \sin(50.000) \\ &= +70.711 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta Y_{\text{AB}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{AB}} &= 100.000 \cdot \cos(50.000) \\ &= +70.711 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta X_{\text{BC}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{BC}} &= 120.050 \cdot \sin(150.000) \\ &= +70.741 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta Y_{\text{BC}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{BC}} &= 120.050 \cdot \cos(150.000) \\ &= -70.741 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta X_{\text{CD}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{CD}} &= 100.000 \cdot \sin(250.000) \\ &= -70.711 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta Y_{\text{CD}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{CD}} &= 100.000 \cdot \cos(250.000) \\ &= -70.711 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta X_{\text{DA'}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{DA'}} &= 120.000 \cdot \sin(350.000) \\ &= -70.711 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de \(\Delta Y_{\text{DA'}}\)

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{DA'}} &= 120.000 \cdot \cos(350.000) \\ &= +70.711 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Tableau des Résultats
Côté\(\Delta X\) (m)\(\Delta Y\) (m)
A-B+70.711+70.711
B-C+70.741-70.741
C-D-70.711-70.711
D-A'-70.711+70.711
Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de régler sa calculatrice en mode "grades" (ou "gon"). Si vous obtenez des résultats très différents, c'est la première chose à vérifier !

Points à retenir

Retenez que le \(\Delta X\) (déplacement Est-Ouest) est associé au sinus du gisement, et le \(\Delta Y\) (déplacement Nord-Sud) est associé au cosinus. C'est la convention en topographie.

FAQ
Pourquoi sin(G) pour X et cos(G) pour Y ?

En mathématiques, l'angle est généralement mesuré depuis l'axe des X. En topographie, le gisement est mesuré depuis l'axe des Y (Nord). Cette rotation de 100 gon (90°) de l'axe de référence inverse les rôles du sinus et du cosinus pour les projections.

Résultat Final
Les dénivelées partielles ont été calculées et sont résumées dans le tableau "Schéma (Après les calculs)".
A vous de jouer

Si le gisement du côté C-D était de 200 gon (plein Sud), quelles seraient les nouvelles valeurs de \(\Delta X_{\text{CD}}\) et \(\Delta Y_{\text{CD}}\) pour une distance de 100.000 m ?

Question 2 : Calculer les composantes de la fermeture \(f_{\text{x}}\) et \(f_{\text{y}}\)

Principe

Imaginez que vous marchez le long du cheminement. Chaque \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) est un de vos pas décomposé en Est-Ouest et Nord-Sud. Si le cheminement était parfait, après avoir fait tous les pas, vous seriez revenu exactement à votre point de départ. La somme de tous vos pas (Est-Ouest et Nord-Sud) serait nulle. \(f_{\text{x}}\) et \(f_{\text{y}}\) mesurent de combien vous avez "manqué" votre point de départ sur chaque axe.

Mini-Cours

Ce principe est une application de la fermeture des vecteurs. Dans un polygone fermé, la somme vectorielle de tous les côtés doit être égale au vecteur nul ($\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$). Les composantes \(f_{\text{x}}\) et \(f_{\text{y}}\) sont simplement les composantes scalaires du vecteur d'erreur de fermeture résultant.

Remarque Pédagogique

La meilleure façon de faire cette somme sans erreur est de la poser dans un tableau, avec une colonne pour les valeurs positives et une pour les négatives, avant de faire le total. Cela évite les erreurs de signe.

Normes

Le calcul des fermetures est une procédure de contrôle standardisée, préalable à toute compensation. La compensation (répartition des erreurs \(f_{\text{x}}\) et \(f_{\text{y}}\) sur les mesures) ne peut être effectuée que si la fermeture est jugée acceptable.

Formule(s)
\[ f_{\text{x}} = \sum_{i=1}^{n} \Delta X_i \quad ; \quad f_{\text{y}} = \sum_{i=1}^{n} \Delta Y_i \]
Hypothèses

On suppose que toutes les dénivelées partielles calculées à l'étape 1 sont exactes, sans erreur d'arrondi ou de calcul.

Donnée(s)
Côté\(\Delta X\) (m)\(\Delta Y\) (m)
A-B+70.711+70.711
B-C+70.741-70.741
C-D-70.711-70.711
D-A'-70.711+70.711
Astuces

Pour vérifier rapidement votre somme, commencez par additionner les nombres qui s'annulent presque. Ici, $(+70.711)$ et $(-70.711)$ pour les \(\Delta X\) s'annulent, simplifiant le calcul mental.

Schéma (Avant les calculs)
Cheminement calculé ouvert
ABCDA'Écart de fermeture
Calcul(s)

Somme des dénivelées en X

\[ \begin{aligned} f_{\text{x}} &= (+70.711) + (+70.741) + (-70.711) + (-70.711) \\ &= +0.030 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des dénivelées en Y

\[ \begin{aligned} f_{\text{y}} &= (+70.711) + (-70.741) + (-70.711) + (+70.711) \\ &= -0.030 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur de Fermeture
AA'fx = +0.030fy = -0.030fT
Réflexions

Le point d'arrivée calculé (A') se situe à 3 cm à l'Est (\(f_{\text{x}}\) positif) et 3 cm au Sud (\(f_{\text{y}}\) négatif) du point de départ réel (A). Ces deux valeurs quantifient l'erreur de mesure cumulée dans les deux directions cardinales.

Points de vigilance

Une erreur d'inattention sur un signe lors de la somme peut radicalement changer le résultat. Il est conseillé de sommer d'abord tous les termes positifs, puis tous les termes négatifs pour limiter ce risque.

Points à retenir

La somme des dénivelées partielles d'un cheminement fermé doit théoriquement être nulle. Le résultat non nul obtenu représente l'erreur brute à répartir lors de la compensation.

Le saviez-vous ?

Les logiciels de topographie modernes réalisent ces sommes automatiquement, mais comprendre le calcul manuel est crucial pour détecter des erreurs grossières qu'un logiciel pourrait ne pas identifier comme aberrantes.

FAQ
Est-il possible que \(f_{\text{x}}\) soit nul mais pas \(f_{\text{y}}\) ?

Oui, absolument. Cela signifierait que les erreurs de mesure se sont compensées par hasard sur l'axe Est-Ouest, mais pas sur l'axe Nord-Sud. La fermeture totale \(f_{\text{T}}\) serait alors simplement égale à la valeur absolue de \(f_{\text{y}}\).

Résultat Final
\(f_{\text{x}} = +0.030 \text{ m}\) et \(f_{\text{y}} = -0.030 \text{ m}\).
A vous de jouer

Si une erreur de calcul avait donné \(\Delta X_{\text{DA'}} = -70.751 \text{ m}\) au lieu de -70.711 m, quelle aurait été la nouvelle valeur de \(f_{\text{x}}\) ?

Question 3 : Calculer la fermeture linéaire totale \(f_{\text{T}}\)

Principe

Les composantes \(f_{\text{x}}\) et \(f_{\text{y}}\) forment les deux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'erreur totale. La fermeture totale \(f_{\text{T}}\) est la magnitude de ce vecteur erreur, représentant la distance directe entre le point de départ A et le point d'arrivée calculé A'. On utilise le théorème de Pythagore.

Mini-Cours

La distance euclidienne entre deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) est donnée par \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\). Ici, le point de départ est \((0,0)\) dans le système d'erreur, et le point d'arrivée est \((f_{\text{x}}, f_{\text{y}})\). La formule est donc une application directe de ce principe.

Remarque Pédagogique

Pensez à \(f_{\text{T}}\) comme la "longueur de la ficelle" qu'il faudrait tendre entre votre piquet de départ et le piquet d'arrivée calculé. C'est la valeur la plus parlante pour visualiser l'erreur globale.

Formule(s)
\[ f_{\text{T}} = \sqrt{f_{\text{x}}^2 + f_{\text{y}}^2} \]
Donnée(s)
Composante \(f_{\text{x}}\)+0.030 m
Composante \(f_{\text{y}}\)-0.030 m
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle de la fermeture
fxfyfT
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} f_{\text{T}} &= \sqrt{(+0.030)^2 + (-0.030)^2} \\ &= \sqrt{0.0009 + 0.0009} \\ &= \sqrt{0.0018} \\ &\Rightarrow f_{\text{T}} \approx 0.042 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle de fermeture avec valeur
fx = 0.030fy = -0.030fT = 0.042
Réflexions

Cette valeur de 4.2 cm est l'erreur globale "palpable" du levé. C'est la distance que l'on devrait mesurer sur le terrain entre le piquet de départ et le piquet d'arrivée si on avait planté ce dernier d'après les calculs bruts.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien mettre au carré les composantes avant de les sommer. Une erreur courante est de sommer d'abord et de mettre au carré ensuite. N'oubliez pas que le carré d'un nombre négatif ($(-0.030)^2$) est positif.

Le saviez-vous ?

Avant les calculatrices, les géomètres utilisaient des tables de logarithmes pour effectuer les multiplications et les racines carrées, un processus long et fastidieux. L'arrivée de la calculatrice scientifique a révolutionné la vitesse et la fiabilité de ces calculs.

FAQ
La fermeture totale est-elle toujours positive ?

Oui. Étant le résultat d'une racine carrée d'une somme de carrés, la fermeture totale est une distance, et est donc par définition toujours positive ou nulle.

Résultat Final
La fermeture linéaire totale est \(f_{\text{T}} = 0.042 \text{ m}\) (soit 4.2 cm).
A vous de jouer

Si les composantes étaient \(f_{\text{x}} = +0.050 \text{ m}\) et \(f_{\text{y}} = -0.120 \text{ m}\), quelle serait la nouvelle fermeture totale \(f_{\text{T}}\) (en m) ?

Question 4 : Calculer la longueur totale du périmètre \(\sum D\)

Principe

La précision d'un levé est toujours relative à la distance totale parcourue. Une erreur de 5 cm n'a pas la même signification sur un parcours de 100 m que sur un parcours de 10 km. Le calcul du périmètre est donc indispensable pour contextualiser l'erreur de fermeture et la comparer à une norme.

Remarque Pédagogique

Ce calcul est simple, mais fondamental. Il représente la "quantité de travail" effectuée. Plus le cheminement est long, plus les occasions d'accumuler des erreurs sont nombreuses, et la tolérance en tiendra compte.

Formule(s)
\[ \sum D = D_{\text{AB}} + D_{\text{BC}} + D_{\text{CD}} + D_{\text{DA'}} \]
Donnée(s)
Distance A-B100.000 m
Distance B-C120.050 m
Distance C-D100.000 m
Distance D-A'120.000 m
Schéma (Avant les calculs)
Périmètre du Cheminement
D_ABD_BCD_CDD_DA'
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} \sum D &= 100.000 + 120.050 + 100.000 + 120.000 \\ &= 440.050 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Périmètre Total
ΣD = 440.050 m
Réflexions

Le périmètre total de près de 440 mètres servira de base de comparaison. C'est sur cette distance totale que nous avons accumulé une erreur de 4.2 cm.

Points à retenir

Le périmètre total est la base de référence pour juger de la qualité du travail. Sans lui, la valeur de la fermeture totale \(f_{\text{T}}\) n'a que peu de sens.

Résultat Final
La longueur totale du cheminement est de 440.050 m.
A vous de jouer

Si la distance D-A' avait été mesurée à 120.500 m, quel aurait été le nouveau périmètre ?

Question 5 : Déterminer la tolérance et conclure

Principe

La tolérance, ou précision relative, exprime l'erreur de fermeture sous forme de fraction (souvent ramenée à un numérateur de 1) par rapport à la longueur totale. Cela permet de juger objectivement de la qualité d'un levé et de le comparer à un standard ou à un cahier des charges, indépendamment de sa taille.

Mini-Cours

La précision relative est un indicateur sans unité. Une précision de "1 pour 10 000" (ou 1/10000) signifie que pour chaque 10 000 mètres parcourus, l'erreur de fermeture ne doit pas dépasser 1 mètre. C'est une manière standardisée d'évaluer la performance d'un levé topographique.

Normes

Les tolérances sont souvent fixées par des réglementations nationales ou des cahiers des charges spécifiques aux projets. Par exemple, un cheminement pour une route départementale pourrait avoir une tolérance de 1/5000, alors qu'un levé pour un ouvrage d'art exigerait 1/20000 ou mieux. Ici, la norme est fixée à 1/10000.

Formule(s)

Formule de la précision relative

\[ \text{Précision relative} = \frac{f_{\text{T}}}{\sum D} \]

Expression de la précision

\[ \text{Exprimée en } \frac{1}{N} \text{, avec } N = \frac{\sum D}{f_{\text{T}}} \]
Donnée(s)
Fermeture totale \(f_{\text{T}}\)0.042 mPérimètre \(\sum D\)440.050 m
Schéma (Avant les calculs)
Rapport Erreur / Longueur
Périmètre Total (ΣD)Erreur (fT)
Calcul(s)

Calcul du rapport N

\[ \begin{aligned} N &= \frac{\sum D}{f_{\text{T}}} \\ &= \frac{440.050}{0.042} \\ &\approx 10482 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison à la Tolérance
Précision (1/N)MeilleureMoins BonneTolérance (1/10000)Calculée (1/10482)
Réflexions

La précision obtenue est de 1/10482. Le cahier des charges exigeait une précision de 1/10000. Comme notre dénominateur (10482) est plus grand que le dénominateur exigé (10000), cela signifie que notre erreur relative est plus petite que l'erreur maximale autorisée. Le levé est donc considéré comme valide et peut être compensé.

Points de vigilance

Attention à l'interprétation de la tolérance : une fraction avec un dénominateur plus grand (ex: 1/10000) représente une meilleure précision (une erreur plus petite) qu'une fraction avec un dénominateur plus petit (ex: 1/5000). Ne vous laissez pas tromper par la taille des nombres.

Le saviez-vous ?

Avec les stations totales robotisées modernes et le GPS RTK, les précisions atteintes sont souvent bien meilleures que 1/10000. Cependant, le calcul de fermeture reste une étape de contrôle indispensable pour déceler d'éventuelles erreurs grossières (mauvais calage de l'appareil, etc.).

FAQ
Que se passe-t-il si le levé n'est pas acceptable ?

Si la tolérance n'est pas respectée, le travail doit être vérifié. Le géomètre doit analyser ses mesures pour trouver la ou les fautes (erreur de lecture, de saisie, etc.). Si aucune faute n'est trouvée, cela signifie que les erreurs accidentelles sont trop importantes, et il faut refaire tout ou partie des mesures sur le terrain, souvent avec plus de soin ou un matériel plus performant.

Résultat Final
La précision relative est de 1/10482. Le levé est acceptable car \(1/10482 < 1/10000\).
A vous de jouer

Un cheminement de 1.2 km (1200 m) a une fermeture totale de 15 cm (0.15 m). Calculez N et déterminez si le levé est acceptable pour une tolérance de 1/10000.

Outil Interactif : Impact d'une Erreur de Mesure

Utilisez le curseur ci-dessous pour modifier la distance mesurée du côté B-C et observez en temps réel son impact sur les composantes de la fermeture et sur la fermeture totale.

Paramètres d'Entrée
120.050 m
Résultats de Fermeture
Composante \(f_{\text{x}}\) (m) -
Composante \(f_{\text{y}}\) (m) -
Fermeture Totale \(f_{\text{T}}\) (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Laquelle de ces formules est correcte pour le calcul de la dénivelée \(\Delta X\) ?

2. Que représente concrètement la fermeture linéaire totale \(f_{\text{T}}\) ?

3. Une tolérance de 1/10000 est-elle meilleure ou moins bonne qu'une tolérance de 1/5000 ?

4. Si les calculs donnent \(f_{\text{x}} = 0\) et \(f_{\text{y}} = 0\), qu'est-ce que cela signifie ?

5. Dans la formule \(Y_{\text{i+1}} = Y_{\text{i}} + \Delta Y_{\text{i}}\), que représente \(Y_{\text{i}}\) ?

Glossaire

Cheminement Planimétrique
Opération topographique consistant à mesurer une suite de points (stations) par des angles et des distances pour en déterminer les coordonnées en 2D (X, Y).
Fermeture Linéaire (\(f_{\text{T}}\))
Dans un cheminement fermé, c'est la distance qui sépare le point de départ du point d'arrivée tel que calculé après le report de toutes les mesures. Idéalement, elle devrait être nulle.
Gisement (G)
Angle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence, qui est généralement le Nord (axe Y). Il varie de 0 à 400 gons.
Tolérance
Erreur maximale admissible pour un travail topographique. La précision relative (\(f_{\text{T}} / \sum D\)) est comparée à une tolérance fixée par la réglementation ou le cahier des charges (ex: 1/10000).
Exercice de Topographie - Calcul de Fermeture

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