Étude Topographique

Calcul de hauteur avec station inaccessible

Topographie : Calcul de Hauteur avec Station Inaccessible

Calcul de hauteur avec station inaccessible

Contexte : Le défi de la distance

Comment mesurer la hauteur d'un objet lointain (une éolienne, un château d'eau) quand on ne peut pas s'en approcher pour mesurer la distance horizontale ? C'est un problème classique en topographie, résolu par la méthode de la base de mesureSegment de longueur connue et mesurée avec précision, dont les extrémités servent de points de station pour des visées vers un point inaccessible.. Le principe est de créer sa propre ligne de référence au sol. Le géomètre choisit deux points de station (S1 et S2), mesure précisément la distance entre eux (la "base"), puis depuis chaque station, il mesure les angles vers l'objet. En résolvant le triangle formé par S1, S2 et l'objet, il peut calculer la distance qui lui manquait et ainsi déterminer la hauteur.

Remarque Pédagogique : Cette technique est une application directe de la résolution de triangles en trigonométrie (notamment la loi des sinus). Elle montre comment, en combinant plusieurs mesures, on peut déterminer une grandeur inaccessible. C'est le fondement de la triangulation, qui a permis de cartographier des pays entiers.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe de la base de mesure pour les stations inaccessibles.
  • Calculer les angles internes d'un triangle à partir de lectures angulaires.
  • Appliquer la loi des sinus pour calculer une distance inconnue.
  • Calculer une hauteur d'objet à partir de données issues de deux stations.
  • Apprécier l'importance de la redondance des mesures pour la vérification.

Données de l'étude

Pour déterminer la hauteur d'une tour de communication (T), un topographe établit une base S1-S2 de 45.82 m. Depuis chaque station, il mesure les angles horizontaux et l'angle vertical vers le sommet de la tour. On considère que la base de la tour est à la même altitude que le sommet et que le sol est horizontal.

Schéma de la mesure (vue de dessus)
S1 S2 Tour (T) Base = 45.82 m α β γ

Mesures depuis S1 :

  • Angle horizontal S2-S1-T : \(\alpha = 72.45 \, \text{gon}\)
  • Angle vertical vers le sommet T : \(V_1 = 89.18 \, \text{gon}\)

Mesures depuis S2 :

  • Angle horizontal S1-S2-T : \(\beta = 85.55 \, \text{gon}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'angle au sommet \(\gamma\) du triangle S1-S2-T.
  2. En utilisant la loi des sinus, calculer la distance horizontale \(D_{h1}\) (distance S1-T).
  3. Calculer la hauteur de la tour (\(H_{\text{tour}}\)) en utilisant les mesures de la station S1.

Correction : Calcul de Hauteur avec Station Inaccessible

Question 1 : Angle au Sommet (\(\gamma\))

Principe :
α β γ = ? α + β + γ = 200 gon

La somme des angles dans un triangle plat est toujours égale à 200 gon (ou 180°). Connaissant les deux angles à la base mesurés (\(\alpha\) et \(\beta\)), on peut en déduire par une simple soustraction le troisième angle, \(\gamma\), qui est l'angle au sommet de la tour.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul préliminaire est essentiel. Sans cet angle \(\gamma\), il est impossible d'appliquer la loi des sinus pour déterminer les distances. C'est la première étape de la résolution du triangle planimétrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \gamma = 200 - (\alpha + \beta) \]
Donnée(s) :
  • Angle \(\alpha = 72.45 \, \text{gon}\)
  • Angle \(\beta = 85.55 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \gamma &= 200 - (72.45 + 85.55) \\ &= 200 - 158.00 \\ &= 42.00 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités d'angles : Ne jamais mélanger les grades (gon) et les degrés dans un même calcul. La somme des angles d'un triangle est 200 gon OU 180 degrés. Ici, toutes les mesures sont en grades, donc le calcul doit être fait avec la référence de 200 gon.

Le saviez-vous ?

En pratique, les géomètres mesurent souvent les trois angles du triangle, même si deux suffisent. La somme devrait être exactement 200 gon. La petite différence observée, appelée "fermeture angulaire", est une mesure de la qualité des mesures et est répartie sur les trois angles pour "fermer" parfaitement le triangle.

FAQ en rapport avec la question :
Que sont \(\alpha\) et \(\beta\) exactement ?

Ce sont les angles horizontaux mesurés à chaque station. Par exemple, à la station S1, le géomètre vise S2 (qu'il peut considérer comme son "zéro"), puis tourne son instrument pour viser la tour T. L'angle de cette rotation est \(\alpha\).

Résultat : L'angle au sommet \(\gamma\) est de 42.00 gon.

Question 2 : Distance Horizontale S1-T (\(D_{h1}\))

Principe :
Base Dh1 = ? Dh2 β γ

Maintenant que tous les angles du triangle S1-S2-T sont connus, ainsi qu'un côté (la base S1-S2), on peut utiliser la loi des sinus pour trouver la longueur des autres côtés. Pour trouver la distance \(D_{h1}\) (côté S1-T), on met en relation cette distance avec l'angle opposé \(\beta\), et la base connue avec son angle opposé \(\gamma\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La loi des sinus est un outil extrêmement puissant en topographie. Elle stipule que dans n'importe quel triangle, le rapport entre la longueur d'un côté et le sinus de son angle opposé est constant. C'est ce qui permet de "transporter" une mesure de distance à travers un réseau de triangles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{D_{h1}}{\sin(\beta)} = \frac{\text{Base}}{\sin(\gamma)} \Rightarrow D_{h1} = \text{Base} \times \frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)} \]
Donnée(s) :
  • Base S1-S2 = \(45.82 \, \text{m}\)
  • Angle \(\beta = 85.55 \, \text{gon}\)
  • Angle \(\gamma = 42.00 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} D_{h1} &= 45.82 \times \frac{\sin(85.55 \, \text{gon})}{\sin(42.00 \, \text{gon})} \\ &= 45.82 \times \frac{0.989...}{0.613...} \\ &= 73.94 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Rapport correct : Il est facile d'inverser les angles dans la formule. Il faut toujours s'assurer que l'on associe un côté à l'angle qui lui est opposé dans le triangle, et non à un angle adjacent.

Le saviez-vous ?

La triangulation, basée sur ce principe, a été utilisée par Delambre et Méchain de 1792 à 1798 pour mesurer le méridien de Paris entre Dunkerque et Barcelone. Ce travail colossal a servi de base à la première définition du mètre.

FAQ en rapport avec la question :
Aurait-on pu calculer la distance S2-T ?

Oui, de la même manière. La formule aurait été : \(D_{h2} = \text{Base} \times \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\). Avoir cette deuxième distance permettrait de calculer la hauteur de la tour depuis S2 et ainsi de vérifier le premier calcul, ce qui est une bonne pratique en topographie.

Résultat : La distance horizontale de S1 à la tour est \(D_{h1} = 73.94 \, \text{m}\).

Question 3 : Hauteur de la Tour (\(H_{\text{tour}}\))

Principe :
Dh1 H_tour 100-V₁

Maintenant que la distance horizontale \(D_{h1}\) est connue, le problème se ramène à un simple calcul de hauteur. On utilise la distance horizontale calculée et l'angle vertical mesuré depuis S1 (\(V_1\)) pour trouver la hauteur de la tour. On suppose ici que la base de la tour est au même niveau que la station, donc il n'y a pas de dénivelée vers la base à considérer.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On voit ici comment un problème complexe (station inaccessible) est résolu en le décomposant en deux problèmes plus simples : d'abord un problème de planimétrie (résolution de triangle pour trouver \(D_h\)), puis un problème d'altimétrie (calcul de hauteur classique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{\text{tour}} = D_{h1} \times \tan(100 - V_1) \]
Donnée(s) :
  • Distance horizontale \(D_{h1} = 73.94 \, \text{m}\)
  • Angle vertical depuis S1 : \(V_1 = 89.18 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \text{Angle de site} = 100 - 89.18 = 10.82 \, \text{gon} \]
\[ \begin{aligned} H_{\text{tour}} &= 73.94 \times \tan(10.82 \, \text{gon}) \\ &= 12.61 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Propagation des erreurs : Toute erreur commise dans le calcul de la distance \(D_{h1}\) se propagera directement dans le calcul final de la hauteur. C'est pourquoi la mesure de la base et des angles \(\alpha\) et \(\beta\) doit être effectuée avec le plus grand soin.

Le saviez-vous ?

La technique de la base inaccessible est fondamentale pour le positionnement par satellite (GPS). Le récepteur ne connaît pas sa distance aux satellites. En recevant les signaux de plusieurs satellites (qui forment une "base" dans l'espace), il peut, par des calculs similaires, déterminer sa position et donc sa distance à chacun d'eux.

FAQ en rapport avec la question :
Et si la base de la tour n'était pas à la même altitude que la station ?

Dans ce cas, il aurait fallu, depuis la station S1, viser également la base de la tour pour obtenir un deuxième angle vertical. On aurait alors calculé une dénivelée vers le sommet et une dénivelée vers la base, et la hauteur de la tour aurait été la différence des deux, comme dans l'exercice précédent.

Résultat : La hauteur de la tour est de 12.61 m.

Simulation Interactive du Calcul

Faites varier la longueur de la base et les angles mesurés pour voir leur impact sur le résultat.

Paramètres de Mesure
Distance Horizontale S1-T
Hauteur de la Tour
Visualisation du Triangle de Base

Pour Aller Plus Loin : Le Relèvement

Se positionner soi-même : La méthode de cet exercice permet de déterminer les coordonnées d'un point inconnu depuis des points connus. Mais que faire si l'on est à un endroit inconnu et que l'on voit plusieurs points connus (clochers, châteaux d'eau) ? C'est le problème inverse, appelé le "relèvement". En mesurant les angles entre les différents points connus, on peut déterminer sa propre position. C'est une technique essentielle pour la navigation et la topographie.

Le Saviez-Vous ?

La forme du triangle de base est cruciale. Les géomètres cherchent à avoir des triangles les plus proches possible de l'équilatéral (tous les angles proches de 66 gon). Les triangles très "plats" (un angle très petit et deux très grands) sont à éviter car ils amplifient les erreurs de mesure dans les calculs de distance.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas utiliser les mesures de S2 pour calculer la hauteur ?

On pourrait tout à fait le faire, et c'est même recommandé pour vérifier les calculs ! Il faudrait d'abord calculer la distance \(D_{h2}\) (S2-T) avec la loi des sinus, puis mesurer l'angle vertical vers le sommet depuis S2. On obtiendrait une deuxième valeur pour la hauteur de la tour, qui devrait être très proche de la première.

Que se passe-t-il si les stations S1 et S2 ne sont pas à la même altitude ?

Le calcul devient plus complexe. La base S1-S2 est alors une distance inclinée, et les triangles de calcul ne sont plus dans un plan horizontal. Il faut alors utiliser des formules de trigonométrie sphérique ou des calculs en 3D pour résoudre le problème, ce qui est géré automatiquement par les logiciels de topographie modernes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans la loi des sinus appliquée à notre triangle, la distance S1-T (\(D_{h1}\)) est opposée à quel angle ?

2. Si la base S1-S2 est deux fois plus longue, et que les angles α et β sont inchangés, la hauteur calculée de la tour sera :

Glossaire

Station Inaccessible
Désigne un cas où le point au pied d'un objet à mesurer n'est pas accessible, empêchant la mesure directe de la distance horizontale entre l'instrument et l'objet.
Base de mesure
Segment de longueur connue et mesurée avec précision, dont les extrémités servent de points de station pour des visées vers un point inaccessible.
Loi des sinus
Relation trigonométrique qui, dans un triangle, lie la longueur de chaque côté au sinus de son angle opposé. Elle permet de calculer des longueurs de côtés inconnues si l'on connaît un côté et deux angles.
Calcul de hauteur avec station inaccessible

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