Étude Topographique

Calcul de Fermeture d’un Cheminement Nivelé

Calcul de Fermeture d'un Cheminement Nivelé Fermé en Topographie

Calcul de Fermeture d'un Cheminement Nivelé Fermé

Contexte : La précision, fondation de la Topographie.

En topographie, le nivellement directEnsemble des opérations consistant à déterminer des altitudes ou des dénivelées à l'aide d'un niveau et d'une mire. C'est la méthode la plus précise pour les mesures altimétriques. est la méthode de référence pour déterminer l'altitude de points avec une grande précision. Pour garantir la qualité des mesures sur un chantier, le topographe effectue souvent un cheminement ferméUn parcours de nivellement qui part d'un point d'altitude connue (repère) et y revient après avoir visé plusieurs points intermédiaires. Cette boucle permet de calculer une erreur de fermeture., c'est-à-dire une boucle partant d'un repère connu et y revenant. Ce processus permet de calculer une erreur de fermetureDifférence entre l'altitude de départ connue du repère et son altitude recalculée à la fin du cheminement. Une fermeture nulle est idéale, mais une petite erreur est toujours présente en pratique., qui quantifie la précision globale des mesures. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul, de vérification et de compensation de cette erreur, une compétence fondamentale pour tout géomètre-topographe.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche rigoureuse du topographe. À partir de lectures brutes sur le terrain (visées arrière, visées avant), nous allons calculer des altitudes, quantifier l'erreur inhérente à la mesure, la comparer à une tolérance réglementaire, et enfin, répartir cette erreur pour obtenir des altitudes finales fiables. C'est le passage essentiel des données de terrain aux coordonnées exploitables.

Objectifs Pédagogiques

  • Maîtriser le vocabulaire du nivellement (visée arrière, visée avant, dénivelée).
  • Calculer les sommes des visées et la dénivelée brute d'un cheminement.
  • Déterminer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f_h\)).
  • Comparer l'erreur à une tolérance légale pour valider la qualité des mesures.
  • Calculer et appliquer une compensation pour ajuster les altitudes des points du cheminement.

Données du Levé Topographique

Un géomètre effectue un cheminement de nivellement fermé partant du repère A (altitude connue) et y revenant après avoir mesuré les points 1, 2 et 3. La longueur totale du cheminement est de 1.2 km. Les lectures sur mire (en mètres) sont consignées dans le carnet de nivellement ci-dessous :

Schéma du Cheminement Nivelé Fermé
A (Repère) Alt = 125.458 m Pt. 1 Pt. 2 Pt. 3
Point Visé Lecture Arrière (\(L_{\text{arr}}\)) Lecture Avant (\(L_{\text{av}}\))
A (Départ) 1.254 m -
Point 1 2.361 m 0.875 m
Point 2 1.022 m 1.984 m
Point 3 0.915 m 2.541 m
A (Retour) - 0.146 m

Questions à traiter

  1. Calculer la somme des lectures arrière (\(\sum L_{\text{arr}}\)) et la somme des lectures avant (\(\sum L_{\text{av}}\)).
  2. Calculer l'erreur de fermeture altimétrique \(f_h\).
  3. La tolérance pour un nivellement de précision est donnée par \(T = \pm 20 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}}\). Le levé est-il acceptable ?
  4. Calculer les altitudes compensées des points 1, 2 et 3.

Les bases du Nivellement Direct

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés du nivellement.

1. Principe du Nivellement :
Le nivellement direct consiste à matérialiser un plan de visée horizontal à l'aide d'un niveau. En effectuant une lecture sur une mire posée sur un point A (lecture arrière) puis sur un point B (lecture avant), on peut calculer leur différence d'altitude, ou dénivelée : \[ \Delta H_{AB} = L_{\text{arr}} - L_{\text{av}} \] L'altitude du point B est alors : \( \text{Alt}_B = \text{Alt}_A + \Delta H_{AB} \).

2. Fermeture du Cheminement :
Dans un cheminement fermé, la somme théorique de toutes les dénivelées doit être nulle, car on revient au point de départ. En pratique, de petites erreurs s'accumulent. La somme des dénivelées calculées est l'erreur de fermeture : \[ f_h = \sum \Delta H = \sum (L_{\text{arr}} - L_{\text{av}}) = \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}} \]

3. Tolérance et Compensation :
L'erreur de fermeture \(f_h\) est comparée à une tolérance réglementaire, qui dépend de la précision requise et de la longueur du parcours. Si \(|f_h| \le T\), le levé est accepté. On calcule alors une correction à appliquer à chaque dénivelée pour "annuler" l'erreur. La correction est l'opposé de l'erreur (\(C = -f_h\)) et est répartie sur l'ensemble du parcours, souvent de manière égale sur chaque dénivelée.

Correction : Calcul de Fermeture d'un Cheminement Nivelé

Question 1 : Calculer les sommes des lectures

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à faire le total de toutes les lectures "vers l'arrière" (points dont on connaît ou calcule l'altitude) et de toutes les lectures "vers l'avant" (points dont on cherche l'altitude). La somme des lectures arrière représente la somme de toutes les "montées" de la ligne de visée par rapport aux points connus, tandis que la somme des lectures avant représente la somme de toutes les "descentes" vers les points inconnus. La différence globale nous donnera la dénivelée totale du parcours.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Chaque couple de lectures (arrière/avant) depuis une même station de niveau permet de calculer une dénivelée partielle. La somme de toutes ces dénivelées partielles donne la dénivelée globale du cheminement. La méthode de calcul par les sommes (\(\sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}}\)) est une manière rapide et fiable de trouver cette dénivelée globale sans calculer chaque dénivelée intermédiaire, limitant ainsi les erreurs d'arrondi.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape est purement calculatoire mais cruciale. Une simple erreur d'addition ici faussera tout le reste du calcul. Il est conseillé de faire le calcul deux fois ou de le faire vérifier. C'est la base de la rigueur en calcul topométrique. Considérez le carnet de terrain comme un document comptable où chaque chiffre compte.

Normes (la référence réglementaire)

La tenue d'un carnet de nivellement et les méthodes de calcul sont standardisées dans les manuels de topographie et les cahiers des charges des projets (par exemple, les fascicules du CCTG en France pour les marchés publics). La clarté et la traçabilité des calculs sont des exigences professionnelles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la somme des lectures arrière :

\[ \sum L_{\text{arr}} = L_{\text{arr, A}} + L_{\text{arr, 1}} + L_{\text{arr, 2}} + L_{\text{arr, 3}} \]

Formule de la somme des lectures avant :

\[ \sum L_{\text{av}} = L_{\text{av, 1}} + L_{\text{av, 2}} + L_{\text{av, 3}} + L_{\text{av, A}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les lectures ont été correctement notées dans la bonne colonne (Arrière ou Avant) et qu'il n'y a pas d'erreur de transcription.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les données du tableau de l'énoncé.

  • Lectures Arrière : 1.254, 2.361, 1.022, 0.915
  • Lectures Avant : 0.875, 1.984, 2.541, 0.146
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs sur une calculatrice, utilisez la fonction de sommation ou additionnez les chiffres par groupe. Par exemple, additionnez d'abord les deux premiers, puis les deux derniers, et enfin les deux résultats. Cela permet de varier la méthode de calcul pour une auto-vérification rapide.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de Sommation des Lectures
Carnet de TerrainLarrLav1.254......Σ Larr = ?Σ Lav = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la somme des lectures arrière :

\[ \begin{aligned} \sum L_{\text{arr}} &= 1.254 + 2.361 + 1.022 + 0.915 \\ &= 5.552 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la somme des lectures avant :

\[ \begin{aligned} \sum L_{\text{av}} &= 0.875 + 1.984 + 2.541 + 0.146 \\ &= 5.546 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultats des Sommations
Sommes CalculéesΣ Larr = 5.552Σ Lav = 5.546
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les deux sommes sont très proches, ce qui est un bon signe a priori. Un grand écart entre les deux indiquerait soit une forte dénivelée globale (le terrain monte beaucoup plus qu'il ne descend, ou inversement), soit une erreur grossière de lecture sur le terrain. Ici, la faible différence suggère une erreur de fermeture minime.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier une valeur ou de mal la recopier. Vérifiez que le nombre de lectures arrière est égal au nombre de lectures avant, ce qui est toujours le cas dans un cheminement fermé simple comme celui-ci.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La première étape est toujours de sommer les colonnes \(L_{\text{arr}}\) et \(L_{\text{av}}\).
  • Ces deux sommes sont la base du calcul de l'erreur de fermeture.
  • La rigueur dans cette étape simple conditionne toute la suite.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les niveaux numériques modernes enregistrent automatiquement les lectures et peuvent même effectuer ces sommes en temps réel sur le terrain, réduisant considérablement le risque d'erreur de transcription ou de calcul manuel.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il une lecture arrière au départ et une lecture avant à l'arrivée, mais pas l'inverse ?

Le cheminement commence par une visée sur le point connu A (donc une lecture arrière) pour déterminer l'altitude du plan de visée. Il se termine par une visée sur ce même point A (donc une lecture avant) pour recalculer son altitude et ainsi fermer la boucle. Les points intermédiaires ont à la fois une lecture avant (pour déterminer leur altitude) et une lecture arrière (pour servir de départ à la visée suivante).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La somme des lectures arrière est \(\sum L_{\text{arr}} = 5.552 \, \text{m}\) et la somme des lectures avant est \(\sum L_{\text{av}} = 5.546 \, \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la dernière lecture avant (sur A) avait été de 0.156 m au lieu de 0.146 m, quelle aurait été la nouvelle \(\sum L_{\text{av}}\) ?

Question 2 : Calculer l'erreur de fermeture altimétrique \(f_h\)

Principe (le concept physique)

Théoriquement, dans une boucle parfaite qui revient à son point de départ, la somme des montées doit être égale à la somme des descentes. La différence entre la somme des lectures arrière (montées relatives) et la somme des lectures avant (descentes relatives) devrait donc être nulle. La valeur que nous obtenons est l'erreur de fermeture : elle représente l'écart vertical total accumulé sur l'ensemble du parcours.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'erreur de fermeture est la somme algébrique de toutes les erreurs élémentaires commises à chaque station : erreur de lecture sur la mire, erreur de verticalité de la mire, erreur de calage de la bulle du niveau, etc. Ces erreurs sont considérées comme aléatoires et tendent à se compenser partiellement, mais une erreur résiduelle subsiste toujours.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'erreur de fermeture est le "juge de paix" de votre travail de terrain. C'est la première chose que l'on calcule en rentrant au bureau. Un bon topographe a toujours une idée de l'ordre de grandeur de la fermeture attendue en fonction de la difficulté du terrain et de la longueur du parcours. Une fermeture trop grande est le signe d'une faute, qu'il faut chercher et corriger (ou refaire le levé).

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de topographie (comme celles de l'IGN en France) ou les cahiers des charges de projets de génie civil imposent des tolérances de fermeture strictes en fonction de la classe de nivellement (nivellement de haute précision, de précision, ordinaire...).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'erreur de fermeture :

\[ f_h = \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le point de départ et le point d'arrivée sont bien le même point physique (le repère A n'a pas bougé pendant les opérations).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sum L_{\text{arr}} = 5.552 \, \text{m}\) (de la Q1)
  • \(\sum L_{\text{av}} = 5.546 \, \text{m}\) (de la Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est direct. L'important est de bien noter le résultat en mètres avec tous ses chiffres significatifs, puis de le convertir mentalement en millimètres, l'unité la plus parlante pour discuter de la précision du nivellement.

Schéma (Avant les calculs)
Concept de l'Erreur de Fermeture
A (Départ)A (Retour)fh = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique pour l'erreur de fermeture :

\[ \begin{aligned} f_h &= 5.552 - 5.546 \\ &= +0.006 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur de l'Erreur de Fermeture
f_h = +6 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une erreur positive de 6 mm signifie que notre cheminement, en revenant au point A, a "gagné" 6 mm d'altitude. L'altitude recalculée du point A est de 125.458 + 0.006 = 125.464 m. Cette erreur doit maintenant être comparée à la tolérance pour savoir si le travail est acceptable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au signe de l'erreur. Il est crucial pour le calcul de la compensation. Une erreur positive signifie que l'altitude calculée est trop haute, il faudra donc appliquer des corrections négatives.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'erreur de fermeture est la signature de la précision de votre levé.
  • Sa formule est simple : \(f_h = \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}}\).
  • Son signe indique si le cheminement a "monté" (erreur +) ou "descendu" (erreur -) globalement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les grands réseaux de nivellement nationaux (comme le réseau NGF-IGN en France), les cheminements peuvent faire des centaines de kilomètres et sont calculés par des méthodes statistiques complexes (compensation par moindres carrés) pour obtenir des précisions sub-millimétriques par kilomètre.

FAQ (pour lever les doutes)
Une erreur de fermeture nulle est-elle possible ?

En théorie oui, mais en pratique c'est extrêmement improbable. Obtenir une fermeture de zéro est souvent suspect et peut cacher une "correction" manuelle des chiffres, ce qui est une faute professionnelle. Une petite erreur réaliste est un gage de mesure authentique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'erreur de fermeture altimétrique est \(f_h = +6 \, \text{mm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les mêmes données, si la \(\sum L_{\text{arr}}\) était de 5.552 m mais la \(\sum L_{\text{av}}\) était de 5.560 m, quelle serait la fermeture \(f_h\) en mm ?

Question 3 : Vérifier la tolérance

Principe (le concept physique)

Aucune mesure n'est parfaite. La tolérance est un seuil, défini par des règlements ou des cahiers des charges, qui permet de juger si l'erreur commise est acceptable au vu des instruments utilisés et de la difficulté du travail (ici, la longueur du parcours). Si notre erreur est inférieure à ce seuil, on considère que les mesures ont été faites dans les règles de l'art. Sinon, le levé doit être refait.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de tolérance en \( \sqrt{L} \) est basée sur la théorie des erreurs aléatoires. Elle suppose que les petites erreurs de lecture à chaque station sont indépendantes et se combinent de manière quadratique. La précision globale se dégrade donc avec la racine carrée de la distance parcourue, et non linéairement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La comparaison à la tolérance est un moment de vérité. C'est une décision binaire : "Accepté" ou "Refusé". Il n'y a pas d'entre-deux. Un professionnel doit être capable de justifier que son travail respecte les tolérances exigées par le client ou la réglementation.

Normes (la référence réglementaire)

La tolérance de \(20\sqrt{L_{\text{km}}}\) est typique pour des travaux de génie civil courants. Pour des réseaux de base ou des contrôles d'ouvrages d'art, les tolérances peuvent être beaucoup plus sévères (par exemple \(3\sqrt{L_{\text{km}}}\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la tolérance :

\[ T = \pm 20 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}} \]

Condition de validation :

\[ |f_h| \le T \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la longueur du cheminement (1.2 km) a été estimée ou mesurée avec une précision suffisante pour le calcul de la tolérance.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Erreur de fermeture, \(f_h = +6 \, \text{mm}\) (de la Q2)
  • Longueur totale du cheminement, \(L = 1.2 \, \text{km}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour évaluer rapidement, on peut encadrer la racine carrée. \(\sqrt{1}=1\) et \(\sqrt{4}=2\). \(\sqrt{1.2}\) est donc un peu plus grand que 1. La tolérance sera donc un peu plus grande que 20 mm. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur du résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Zone d'Acceptation
0 mmT = ?-T = ?Zone d'Acceptation
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la tolérance T :

\[ \begin{aligned} T &= \pm 20 \sqrt{1.2} \\ &\approx \pm 20 \times 1.095 \\ &\approx \pm 21.9 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Comparaison de la valeur absolue de l'erreur à la tolérance :

\[ |f_h| \le T \]
\[ |+6 \, \text{mm}| \le 21.9 \, \text{mm} \]
\[ 6 \, \text{mm} \le 21.9 \, \text{mm} \quad (\text{VRAI}) \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Erreur / Tolérance
|f_h|=6mmTolérance T=21.9 mmOK ✔️ Levé Accepté
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'erreur de 6 mm est bien inférieure à la tolérance de près de 22 mm. Le travail du géomètre est donc validé. On peut procéder à la phase suivante : la compensation, qui consiste à répartir cette petite erreur pour la faire disparaître.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la longueur du cheminement dans la bonne unité (km dans notre formule). Une erreur d'un facteur 1000 sur L conduirait à une tolérance complètement fausse. Vérifiez aussi que vous comparez la valeur absolue de l'erreur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La tolérance n'est pas une valeur fixe, elle dépend de la longueur du parcours.
  • La comparaison se fait entre la valeur absolue de l'erreur et la tolérance.
  • Si \(|f_h| > T\), le levé doit impérativement être refait.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule de tolérance est empirique. Elle est issue de décennies de pratique et représente un compromis entre la précision théoriquement atteignable par les instruments et les difficultés pratiques du terrain (vent, soleil, stabilité des points...).

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si l'erreur est juste à la limite de la tolérance ?

Si \(|f_h|\) est très proche de T, le levé est techniquement acceptable. Cependant, un bon professionnel pourrait décider de refaire une partie du cheminement s'il suspecte une mesure douteuse, afin d'améliorer la qualité globale et de s'offrir une plus grande marge de sécurité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La tolérance de nivellement est de \(\pm 21.9 \, \text{mm}\). Comme \(|f_h| = 6 \, \text{mm} < 21.9 \, \text{mm}\), le cheminement est accepté.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un cheminement de 2.5 km, quelle serait la tolérance en mm avec la même formule ?

Question 4 : Calculer les altitudes compensées

Principe (le concept physique)

Puisque le levé est accepté, on considère que l'erreur de 6 mm s'est répartie de manière plus ou moins uniforme tout au long du parcours. La compensation consiste à "corriger" chaque mesure d'une petite fraction de l'erreur totale, de sorte qu'à la fin, l'erreur soit nulle et que le cheminement "ferme" parfaitement. L'altitude du point de départ ne change pas, mais les altitudes de tous les points intermédiaires sont ajustées.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La compensation la plus simple est la répartition uniforme. La correction totale à appliquer est l'opposé de l'erreur (\(C_{\text{tot}} = -f_h\)). On divise cette correction par le nombre de dénivelées (ou de stations) du parcours pour obtenir la correction par station. On applique ensuite cette correction de manière cumulative à chaque point : le premier point est corrigé de \(1 \times c\), le deuxième de \(2 \times c\), et ainsi de suite.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le tableau de calcul est votre meilleur ami pour cette étape. Il permet de systématiser le calcul et d'éviter les erreurs. Remplissez-le colonne par colonne : d'abord toutes les altitudes brutes, puis toutes les corrections cumulées, et enfin les altitudes compensées. La vérification finale est simple : la dernière altitude compensée (retour au point A) doit être identique à l'altitude de départ.

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes de compensation sont des procédures standard en calcul topométrique. Le choix de la méthode (répartition uniforme, proportionnelle à la distance, etc.) peut être spécifié dans le cahier des charges d'un projet.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Formule de la correction totale :

\[ C_{\text{tot}} = -f_h \]

2. Formule de la correction par dénivelée :

\[ c = \frac{C_{\text{tot}}}{n} \]

3. Formule de l'altitude brute :

\[ \text{Alt}_{\text{brut, i+1}} = \text{Alt}_{\text{brut, i}} + \Delta H_i \]

4. Formule de l'altitude compensée :

\[ \text{Alt}_{\text{comp, k}} = \text{Alt}_{\text{brut, k}} + k \times c \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait l'hypothèse que l'erreur s'est produite de manière homogène le long du parcours. C'est une simplification, mais elle est acceptable pour la plupart des cheminements courants.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Erreur de fermeture, \(f_h = +0.006 \, \text{m}\)
  • Nombre de dénivelées, \(n = 4\) (A\(\rightarrow\)1, 1\(\rightarrow\)2, 2\(\rightarrow\)3, 3\(\rightarrow\)A)
  • Altitude de départ, \(\text{Alt}_A = 125.458 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord la correction unitaire \(c\). Gardez-la en mémoire dans votre calculatrice. Ensuite, pour chaque point, calculez l'altitude brute, puis ajoutez la correction cumulée ( \(+c\), \(+2c\), \(+3c\)...). Cela évite de retaper la valeur de c à chaque fois.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de la Compensation
Point brutPoint compenséc2c
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la correction totale :

\[ C_{\text{tot}} = -0.006 \, \text{m} \]

Calcul de la correction par station :

\[ \begin{aligned} c &= \frac{-0.006}{4} \\ &= -0.0015 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul des altitudes brutes puis compensées (tableau de calcul) :

PointAlt. BruteCorrection CumuléeAlt. Compensée
A125.458 m0.000 m125.458 m
1125.458 + (1.254 - 0.875) = 125.837 m1 × (-0.0015) = -0.0015 m125.837 - 0.0015 = 125.8355 m
2125.837 + (2.361 - 1.984) = 126.214 m2 × (-0.0015) = -0.0030 m126.214 - 0.0030 = 126.2110 m
3126.214 + (1.022 - 2.541) = 124.695 m3 × (-0.0015) = -0.0045 m124.695 - 0.0045 = 124.6905 m
A (retour)124.695 + (0.915 - 0.146) = 125.464 m4 × (-0.0015) = -0.0060 m125.464 - 0.0060 = 125.4580 m
Schéma (Après les calculs)
Profil en long final (Altitudes Compensées)
A:125.4581:125.8362:126.2113:124.691
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe que l'altitude compensée du point A à la fin du cheminement est exactement égale à son altitude de départ. La boucle est "fermée". Les altitudes des points intermédiaires ont été ajustées de quelques millimètres pour refléter une répartition logique de l'erreur de mesure. Ce sont ces altitudes compensées qui seront utilisées pour la suite des travaux (calculs de cubatures, plans, etc.).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans le signe de la correction. Rappelez-vous : la correction est TOUJOURS de signe opposé à l'erreur. Si \(f_h\) est positive, la correction est négative. Une autre erreur est d'appliquer la même correction à tous les points, au lieu d'une correction cumulative.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La compensation vise à annuler l'erreur de fermeture.
  • La correction totale est l'opposé de l'erreur : \(C_{\text{tot}} = -f_h\).
  • Cette correction est répartie cumulativement sur les points du cheminement.
  • La vérification ultime : l'altitude finale du point de départ doit être identique à son altitude initiale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour l'auscultation de grands ouvrages (barrages, ponts), où l'on cherche à mesurer des déplacements de l'ordre du millimètre, les cheminements de nivellement sont refaits périodiquement. La comparaison des altitudes compensées d'une campagne à l'autre permet de détecter et de quantifier les mouvements de la structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi arrondir les altitudes finales ?

Dans notre tableau, nous avons gardé 4 décimales (dixième de millimètre) pour la rigueur du calcul. En pratique, les altitudes sont généralement rendues au millimètre près (3 décimales). L'arrondi se fait à la toute fin pour ne pas propager d'erreurs de calcul. Alt(1) serait donc 125.836 m.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les altitudes compensées sont : Alt(1) = 125.8355 m, Alt(2) = 126.2110 m, et Alt(3) = 124.6905 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'erreur de fermeture avait été de -4 mm (donc \(c = +1\) mm par station), quelle aurait été l'altitude compensée du point 2 ?

Outil Interactif : Tolérance et Compensation

Modifiez les paramètres du levé pour voir leur influence sur l'erreur et la tolérance.

Paramètres du Levé
1.2 km
6 mm
Vérification
Tolérance Calculée (mm) -
Statut du Levé -

Le Saviez-Vous ?

Le nivellement de haute précision doit prendre en compte la courbure de la Terre et la réfraction atmosphérique. Pour une visée de 100 mètres, l'erreur due à la courbure terrestre est d'environ 0.8 mm. Les topographes compensent cet effet en équilibrant les distances des portées arrière et avant, annulant ainsi systématiquement cette erreur.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas simplement refaire la mesure si on a une erreur ?

Refaire un levé complet est très coûteux en temps et en argent. La procédure de calcul de fermeture et de compensation est justement conçue pour valider et corriger les petites erreurs inévitables qui surviennent lors d'un travail soigné. On ne refait le travail que si l'erreur dépasse la tolérance, ce qui signale une faute (mauvaise lecture, instrument déréglé, etc.) et non plus une simple imprécision.

Existe-t-il d'autres méthodes de compensation ?

Oui. La méthode présentée (répartition uniforme par dénivelée) est la plus simple. Une méthode plus rigoureuse consiste à répartir la correction proportionnellement à la longueur de chaque portée (distance entre les points). Pour les réseaux de nivellement très complexes, on utilise des méthodes de calcul par moindres carrés, qui sont statistiquement plus robustes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un cheminement de nivellement fermé présente une erreur de fermeture de -8 mm. Cela signifie que :

2. Pour un cheminement de 4 km, la tolérance de précision (\(T = \pm 20 \, \text{mm} \sqrt{L_{\text{km}}}\)) est de :

Nivellement Direct
Opération de topographie permettant de déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide d'un niveau (instrument de visée horizontal) et d'une mire (règle graduée).
Cheminement Fermé
Parcours de nivellement qui forme une boucle, partant et arrivant sur le même point de référence. Il permet l'auto-vérification des mesures par le calcul de l'erreur de fermeture.
Erreur de Fermeture (\(f_h\))
Différence entre l'altitude connue d'un point et son altitude recalculée après avoir parcouru une boucle de nivellement. Elle quantifie la précision globale du levé.
Calcul de Fermeture d'un Cheminement Nivelé Fermé

D’autres exercices d’instruments topographique:

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