Étude Topographique

Calcul de dénivelée par nivellement trigonométrique

Topographie : Calcul de Dénivelée par Nivellement Trigonométrique

Calcul de dénivelée par nivellement trigonométrique

Contexte : Mesurer les Altitudes à Distance

En topographie, il n'est pas toujours possible de mesurer directement la différence d'altitude entre deux points avec une mire et un niveau (nivellement direct). Lorsque les points sont éloignés, inaccessibles ou séparés par un obstacle, on utilise le nivellement trigonométriqueMéthode de détermination de la dénivelée entre deux points à l'aide de la mesure d'un angle vertical et d'une distance. Elle repose sur les relations trigonométriques dans un triangle rectangle.. Cette méthode indirecte s'appuie sur la mesure d'un angle vertical et d'une distance (généralement la distance horizontale) pour calculer la déniveléeDifférence d'altitude entre deux points. Notée ΔH. grâce à des relations trigonométriques simples. Cet exercice a pour but de maîtriser le calcul fondamental de cette méthode.

Remarque Pédagogique : Le nivellement trigonométrique est au cœur du fonctionnement des stations totales modernes. Comprendre la formule de base est essentiel pour interpréter correctement les mesures, identifier les sources d'erreur et réaliser des levés topographiques précis.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et comprendre les composantes du nivellement trigonométrique (hauteur des tourillons, hauteur du prisme).
  • Appliquer la formule de base du calcul de dénivelée.
  • Calculer l'altitude d'un point inconnu à partir d'un point connu.
  • Comprendre l'importance des corrections instrumentales.
  • Visualiser l'impact des différents paramètres sur le calcul final.

Données de l'étude

Un topographe se trouve sur un point de station S, d'altitude connue \(Alt_S = 152.450 \, \text{m}\). Il vise un réflecteur (prisme) placé sur un point P dont on cherche l'altitude. Il utilise une station totale qui lui fournit les mesures suivantes :

Schéma du Nivellement Trigonométrique
Station S Point P ht = 1.650 m Axe des tourillons hp = 1.800 m Dh = 85.420 m V = 96.52 gon

Données mesurées :

  • Distance horizontale : \(D_h = 85.420 \, \text{m}\)
  • Angle vertical : \(V = 96.5200 \, \text{gon}\) (grades)
  • Hauteur des tourillons (hauteur de l'instrument) : \(h_t = 1.650 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme (réflecteur) : \(h_p = 1.800 \, \text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée brute (\(\Delta H_{\text{brute}}\)) entre l'axe des tourillons de l'instrument et le centre du prisme.
  2. Calculer la dénivelée corrigée (\(\Delta H\)) entre le point de station S et le point P.
  3. Calculer l'altitude finale du point P (\(Alt_P\)).

Correction : Calcul de Dénivelée par Nivellement Trigonométrique

Question 1 : Dénivelée Brute (\(\Delta H_{\text{brute}}\))

Principe :
Triangle rectangle Dh ΔH brute

La dénivelée brute est la composante verticale du triangle rectangle formé par la distance horizontale (côté adjacent) et la ligne de visée (hypoténuse). On utilise la fonction tangente de l'angle zénithal (100 gon - V) pour la calculer.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Visualiser ce triangle rectangle est fondamental. La station totale mesure la distance sur l'hypoténuse (distance inclinée) et l'angle vertical, mais pour les calculs d'altitude, c'est la distance horizontale (projetée au sol) qui est le plus souvent utilisée comme base de calcul.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{brute}} = D_h \times \tan(100 - V) \]
Donnée(s) :
  • Distance horizontale \(D_h = 85.420 \, \text{m}\)
  • Angle vertical \(V = 96.5200 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{Angle zénithal} &= 100 - V \\ &= 100 - 96.5200 = 3.4800 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{brute}} &= 85.420 \times \tan(3.4800 \, \text{gon}) \\ &= 85.420 \times 0.05468... \\ &= 4.6713... \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Configuration de la calculatrice : L'erreur la plus fréquente est de ne pas régler sa calculatrice en mode "Grades" (ou "gon") pour les calculs trigonométriques. Si elle reste en mode "Degrés", le résultat sera complètement faux.

Le saviez-vous ?

La fonction tangente est très sensible aux angles proches de 100 gon (la verticale). Une infime erreur de mesure de l'angle peut alors entraîner une grande erreur sur la dénivelée calculée, c'est pourquoi les visées très "plongeantes" sont évitées autant que possible.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser (100 - V) ?

L'angle V (96.52 gon) est mesuré depuis le zénith (la verticale). Dans le triangle rectangle, l'angle dont on a besoin est celui par rapport à l'horizontale. Comme l'angle entre le zénith et l'horizontale est de 100 gon, on calcule simplement 100 - V pour obtenir l'angle utile au calcul.

Résultat : La dénivelée brute entre l'axe des tourillons et le prisme est \(\Delta H_{\text{brute}} \approx 4.671 \, \text{m}\).

Question 2 : Dénivelée Corrigée (\(\Delta H\))

Principe :
+ ht + ΔH brute - hp

La dénivelée brute a été calculée entre les axes des instruments. Pour obtenir la dénivelée réelle entre les points au sol S et P, il faut prendre en compte la hauteur de l'instrument au-dessus du point S (\(h_t\)) et la hauteur du prisme au-dessus du point P (\(h_p\)). On "monte" de \(h_t\), on applique la dénivelée brute, puis on "descend" de \(h_p\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette formule est le cœur du nivellement trigonométrique. Elle montre comment on passe d'une mesure "brute" (entre instruments) à un résultat "fini" (entre points au sol). Chaque terme a son importance et sa propre source d'erreur potentielle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{S \rightarrow P} = h_t + \Delta H_{\text{brute}} - h_p \]
Donnée(s) :
  • Hauteur des tourillons \(h_t = 1.650 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme \(h_p = 1.800 \, \text{m}\)
  • Dénivelée brute \(\Delta H_{\text{brute}} = 4.671 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H &= 1.650 + 4.671 - 1.800 \\ &= 4.521 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Erreurs de signes : Il est facile de se tromper et d'additionner \(h_p\) au lieu de le soustraire. Il faut toujours garder à l'esprit le cheminement du calcul : on part du sol en S, on monte jusqu'à l'instrument (+ht), on applique la dénivelée de la visée (+ΔH brute), et on redescend jusqu'au sol en P (-hp).

Le saviez-vous ?

Le terme "tourillon" vient de l'ancien français "tourillon", signifiant "petite tour". Il désigne l'axe horizontal autour duquel pivote la lunette d'un instrument de topographie, un peu comme une tour de guet qui pivoterait de haut en bas.

FAQ en rapport avec la question :
Et si on ne connaît pas la hauteur du prisme ?

Dans certains cas, on peut viser un détail remarquable directement sur un bâtiment (un coin de fenêtre, par exemple). Dans ce cas, \(h_p\) serait égal à zéro, et la dénivelée serait calculée par rapport à ce détail précis, et non par rapport au sol.

Résultat : La dénivelée corrigée entre le point S et le point P est \(\Delta H = 4.521 \, \text{m}\).

Question 3 : Altitude du Point P (\(Alt_P\))

Principe :
Niveau Zéro (mer) Alt_S + ΔH Alt_P

L'altitude du point inconnu P s'obtient simplement en ajoutant la dénivelée calculée (qui est la différence d'altitude) à l'altitude du point de station connu S. Comme la dénivelée est positive, le point P est plus haut que le point S.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'aboutissement du calcul. On part d'un point connu, on mesure une différence, et on en déduit un nouveau point connu. C'est ainsi que se construisent, point par point, les cartes topographiques et les projets d'aménagement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Alt_P = Alt_S + \Delta H_{S \rightarrow P} \]
Donnée(s) :
  • Altitude de la station \(Alt_S = 152.450 \, \text{m}\)
  • Dénivelée corrigée \(\Delta H = 4.521 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Alt_P &= 152.450 + 4.521 \\ &= 156.971 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Vérification de cohérence : Toujours se demander si le résultat est logique. L'angle de visée était de 96.52 gon (< 100 gon), donc la visée était montante. La dénivelée doit être positive et l'altitude de P supérieure à celle de S. Une vérification rapide permet de déceler des erreurs de signe.

Le saviez-vous ?

Les altitudes en France sont généralement rattachées au système NGF (Nivellement Général de la France). Le point de référence "zéro" est le niveau moyen de la mer enregistré par le marégraphe de Marseille entre 1885 et 1897.

FAQ en rapport avec la question :
Que faire si on calcule la dénivelée de P vers S ?

Si l'on stationnait en P pour viser S, la dénivelée serait l'opposée : \(\Delta H_{P \rightarrow S} = -\Delta H_{S \rightarrow P} = -4.521 \, \text{m}\). La formule pour retrouver l'altitude de S est une simple réorganisation de la formule de base : \(Alt_P = Alt_S + \Delta H_{S \rightarrow P} \Rightarrow Alt_S = Alt_P - \Delta H_{S \rightarrow P}\). En appliquant les valeurs : \(152.450 = 156.971 - 4.521\), ce qui confirme le calcul.

Résultat : L'altitude du point P est de 156.971 m.

Simulation Interactive du Calcul

Faites varier les paramètres de la mesure pour observer leur influence sur la dénivelée et l'altitude finale.

Paramètres de Mesure
Dénivelée Corrigée (ΔH)
Altitude Finale (Alt_P)
Composition de la Dénivelée

Pour Aller Plus Loin : Erreurs et Corrections

Le monde n'est pas plat : Pour des visées longues (plusieurs centaines de mètres), deux autres phénomènes doivent être pris en compte :
1. La courbure terrestre : La Terre étant ronde, une ligne de visée horizontale s'écarte de la surface courbe du globe.
2. La réfraction atmosphérique : Les rayons lumineux de la visée sont légèrement courbés vers le bas en traversant les couches d'air de densités différentes.
Ces deux effets se compensent partiellement, mais doivent être modélisés pour des travaux de haute précision.

Le Saviez-Vous ?

L'unité "grade" ou "gon" a été introduite en France après la Révolution pour décimaliser les mesures d'angle. Un angle droit mesure 100 gon, et un tour complet 400 gon. Cette unité est très majoritairement utilisée par les topographes et géomètres en Europe, car elle simplifie certains calculs par rapport aux degrés.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si l'angle vertical est supérieur à 100 gon ?

Un angle vertical supérieur à 100 gon (ou 90 degrés) signifie que la visée est plongeante (vers le bas). Dans ce cas, la dénivelée brute \(\Delta H_{\text{brute}}\) sera négative, ce qui est tout à fait normal et indique que le point P est plus bas que l'axe des tourillons de l'instrument.

Pourquoi mesurer la hauteur de l'instrument et du prisme ?

Ces mesures sont cruciales. Une erreur d'un centimètre sur \(h_t\) ou \(h_p\) se répercute directement par une erreur d'un centimètre sur l'altitude finale calculée. C'est pourquoi les topographes utilisent des trépieds stables et mesurent ces hauteurs avec une grande précision.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'on oublie de soustraire la hauteur du prisme (hp), l'altitude calculée du point P sera :

2. Pour une même distance, une petite erreur sur l'angle vertical aura plus d'impact sur le calcul si :

Glossaire

Nivellement Trigonométrique
Méthode de détermination de la dénivelée entre deux points à l'aide de la mesure d'un angle vertical et d'une distance. Elle repose sur les relations trigonométriques dans un triangle rectangle.
Dénivelée (ΔH)
Différence d'altitude entre deux points. Elle est positive si le deuxième point est plus haut que le premier, et négative sinon.
Hauteur des tourillons (ht)
Distance verticale entre le point de station au sol et l'axe de rotation horizontal de la lunette de l'instrument (station totale ou théodolite).
Angle Vertical (V)
Angle mesuré dans un plan vertical. En topographie, il est souvent mesuré depuis le zénith (la verticale "vers le haut"). Un angle de 100 gon correspond à l'horizontale.
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