Calcul de Cubatures d'une Plateforme
Contexte : Aménagement d'une zone industrielle.
Vous êtes technicien géomètre en charge de l'aménagement d'une plateforme rectangulaire pour un futur bâtiment industriel. Le TN (Terrain Naturel)Surface du sol avant travaux. présente des irrégularités qu'il faut corriger. Vous devez calculer les volumes de DéblaiVolume de terre à enlever pour atteindre le niveau projet. (terres excédentaires à évacuer ou déplacer) et de RemblaiVolume de terre à ajouter pour combler les creux. (terres déficitaires) nécessaires pour atteindre la cote du projet définie par l'architecte.
Remarque Pédagogique : Cet exercice utilise la "Méthode de la Grille" (ou des mailles carrées), une technique fondamentale en topographie pour estimer rapidement les volumes sur des terrains relativement réguliers, sans passer par un logiciel complexe de MNT (Modèle Numérique de Terrain).
Objectifs Pédagogiques
À la fin de cet exercice, vous serez capable de :
- Interpréter un plan altimétrique simple et comprendre les notions de Z TN et Z Projet.
- Calculer rigoureusement des différences d'altitude (\(\Delta Z\)) en respectant les conventions de signes.
- Calculer un volume de terrassement par la méthode prismatique moyenne.
- Différencier visuellement et mathématiquement les zones de déblai et de remblai.
- Comprendre l'impact du foisonnement sur la logistique de chantier.
Données de l'étude
On considère une parcelle divisée en une maille carrée fictive ABCD de 10 mètres de côté. Les altitudes du Terrain Naturel (TN) ont été relevées aux 4 coins par nivellement direct.
Relevé Altimétrique (Nivellement)
| Point | Altitude TN (m) |
|---|---|
| A | 102.50 |
| B | 103.10 |
| C | 101.40 |
| D | 101.80 |
Schéma de la Maille (Vue en Plan)
Données Projet
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Projet (Plateforme) | \(Z_{\text{Projet}}\) | 102.20 | m |
| Côté de la maille | \(c\) | 10.00 | m |
Questions à traiter
- Calculer les différences d'altitude (TN - Projet) pour chaque point.
- Déterminer la nature des travaux (Déblai ou Remblai) pour chaque point.
- Calculer la hauteur moyenne de terrassement sur la maille.
- En déduire le volume total théorique de terrassement (en place).
- Estimer le volume foisonné (à évacuer) si nécessaire.
Bases Théoriques : Cubatures
Le calcul de cubatures consiste à évaluer les volumes de terres à mouvoir lors d'un aménagement. La méthode la plus simple et la plus courante pour une surface définie par une grille régulière est la méthode prismatique moyenne.
Calcul de la différence d'altitude (\(\Delta Z\))
Pour chaque point de la grille, on compare l'altitude du terrain naturel à celle du projet. C'est la base de tout calcul de terrassement.
Formule de l'écart d'altitude :
- Si \(\Delta Z > 0\) : Le terrain est plus haut que le projet -> Déblai (on creuse).
- Si \(\Delta Z < 0\) : Le terrain est plus bas que le projet -> Remblai (on comble).
Volume d'une maille (Méthode de la moyenne)
On considère que le volume de terre sur une maille est égal à la surface de base multipliée par la moyenne algébrique des hauteurs aux 4 coins. Cette approximation suppose que le terrain varie linéairement entre les points.
Formule du Volume Prismatique :
Où \(S_{\text{base}}\) est la surface de la maille (\(côté \times côté\)) et \(\sum \Delta Z_{\text{coins}}\) est la somme des écarts d'altitude aux 4 coins.
Foisonnement
La terre extraite n'a pas la même densité que la terre en place. Elle s'aère et occupe plus de volume. Ce phénomène est crucial pour dimensionner le transport.
Formule du Volume Foisonné :
Correction : Calcul de Cubatures d'une Plateforme
Question 1 : Calcul des différences d'altitude (\(\Delta Z\))
Principe
L'objectif est de quantifier, pour chaque sommet de la maille, la hauteur de terre qui sépare le terrain actuel du projet fini. Cette étape est fondamentale car elle détermine si l'on doit creuser ou remplir à cet endroit précis.
Mini-Cours
En topographie, la convention de signe est stricte : l'écart est toujours calculé dans le sens \(TN - Projet\). Ainsi, le signe du résultat indique directement l'action à mener : un signe positif (+) signifie qu'il y a "trop" de terre (Déblai), un signe négatif (-) qu'il en manque (Remblai).
Remarque Pédagogique
Il est crucial de ne pas inverser les termes de la soustraction. Une inversion conduirait à remblayer là où il faut creuser, ce qui serait catastrophique sur le chantier !
Normes
En dessin technique et DAO (Dessin Assisté par Ordinateur), la convention visuelle standardise la lecture des plans de terrassement. Les cotes "rouges" (ou positives) indiquent systématiquement une surépaisseur de terre à enlever (Déblai). Les cotes "bleues" (ou négatives) signalent un manque de matière (Remblai). Cette convention permet une lecture instantanée du chantier par les conducteurs d'engins.
Formule(s)
Expression de l'écart :
Hypothèses
On suppose que le relevé du TN est précis au centimètre près (nivellement de précision standard pour le terrassement) et que le projet est une plateforme horizontale parfaite (altitude constante sur toute la surface).
Calcul(s) Détaillés
Application numérique détaillée :
Pour le point A, nous soustrayons l'altitude du projet à celle du terrain naturel relevé au coin nord-ouest de la maille :
Le résultat est positif (+0.30 m). Cela signifie que le terrain naturel est 30 cm plus haut que le niveau fini souhaité.
Pour le point B, on applique la même formule avec les coordonnées altimétriques du coin nord-est :
Le résultat est fortement positif (+0.90 m). C'est le point le plus haut de la maille par rapport au projet.
Pour le point C, situé au sud-est, le terrain semble descendre. Vérifions le calcul :
Le résultat est négatif (-0.80 m). Ici, le terrain naturel est 80 cm plus bas que la plateforme projetée.
Enfin, pour le point D au sud-ouest :
Le résultat est également négatif (-0.40 m), confirmant que toute la zone sud de la maille est en déficit de terre.
Schéma (Après Calculs)
Représentation 3D des écarts : Rouge (vers le haut) = Excédent, Vert (vers le bas) = Déficit.
Réflexions
On observe une répartition claire : la moitié nord de la maille (points A et B) est située au-dessus du niveau du projet, tandis que la moitié sud (points C et D) est en dessous. Cela implique qu'une "ligne de passage" (altitude 0 par rapport au projet) traverse nécessairement la maille, coupant les segments AC et BD.
Points de vigilance
Ne jamais arrondir les altitudes TN avant de faire la soustraction. Gardez toujours au moins 2 ou 3 décimales pour les calculs intermédiaires afin d'éviter l'accumulation d'erreurs d'arrondi.
Points à Retenir
Mnémonique : "TN moins Projet". Si le résultat est positif, c'est de la terre en trop (Déblai). Si c'est négatif, c'est un trou (Remblai).
Le saviez-vous ?
Les géomètres utilisent souvent des carnets de terrain électroniques qui calculent ces valeurs automatiquement sur le terrain, mais savoir le faire à la main est une compétence indispensable pour contrôler les données et détecter les aberrations.
FAQ
Pourquoi un résultat négatif ?
Un résultat négatif n'est pas une erreur. Il signifie simplement que le sol actuel est plus bas que l'altitude que l'on souhaite construire. Il faudra donc apporter de la terre pour combler ce manque.
A vous de jouer : Si Z Projet = 102.00, quel est le \(\Delta Z_A\) sachant que TN = 102.50 ?
📝 Mémo : Toujours respecter les signes (+/-).
Question 2 : Nature des travaux
Principe
Il s'agit de classifier chaque sommet de la maille selon l'action physique à entreprendre : excaver (creuser) ou remblayer (combler). Cette classification permet de cartographier les zones de chantier.
Mini-Cours
En terrassement, on distingue deux zones principales séparées par la "Ligne de Passage" (ligne où \(\Delta Z = 0\)). Cette ligne marque la transition exacte entre la zone d'enlèvement de matière et la zone d'apport. Elle est déterminée par interpolation linéaire entre les points positifs et négatifs.
Remarque Pédagogique
Imaginez que le projet est un plan d'eau horizontal calme. Tout ce qui dépasse de la surface de l'eau est en déblai (comme des îles à raser), tout ce qui est sous l'eau est en remblai (comme des fonds marins à combler).
Normes
Sur les plans de terrassement normalisés (ISO), on hachure souvent les zones de déblai en rouge (ou avec des traits croisés) et les zones de remblai en bleu ou vert (ou avec des traits parallèles simples). Cela permet une lecture rapide sans lire chaque chiffre.
Formule(s)
Il s'agit d'une logique conditionnelle simple basée sur le signe du résultat précédent :
Condition pour le Déblai :
Condition pour le Remblai :
Hypothèses
On considère que la nature du sol est homogène sur toute la hauteur du déblai (pas de roche dure imprévue qui changerait la méthode d'extraction) et que le sol support est apte à recevoir du remblai.
Donnée(s)
| Point | \(\Delta Z\) (Calculé en Q1) |
|---|---|
| A | +0.30 |
| B | +0.90 |
| C | -0.80 |
| D | -0.40 |
Astuces
Sur votre brouillon, coloriez immédiatement vos points ou entourez-les avec des couleurs différentes : Rouge pour (+) et Bleu/Vert pour (-). Cela évite les erreurs d'inattention lors du report des valeurs.
Schéma (Avant)
(Plan vierge à classifier)
Analyse Détaillée
On applique la logique conditionnelle définie précédemment pour chaque point en fonction de son signe :
Classification des points A et B :
Pour A et B, les résultats de la question précédente étaient positifs. Cela indique un excédent de matière.
Conclusion : Toute la partie Nord de la maille devra être décaissée.
Classification des points C et D :
Pour C et D, les résultats étaient négatifs. Cela indique un manque de matière pour atteindre la cote projet.
Conclusion : Toute la partie Sud devra être comblée avec des matériaux d'apport.
Schéma (Après)
(Zones identifiées avec hachures normalisées)
Réflexions
Puisque nous avons à la fois du déblai et du remblai sur la même maille, nous pourrons probablement réutiliser la terre extraite en A et B pour combler les zones C et D. C'est ce qu'on appelle la recherche de l'"équilibre des terres", qui permet de minimiser les transports externes.
Points de vigilance
Ne confondez pas le point avec la surface. Un point est en déblai, mais la surface autour de lui est une transition progressive vers les autres points. La limite exacte n'est pas au milieu de la maille, mais dépend des valeurs d'altitude.
Points à Retenir
Vocabulaire essentiel : Déblai = Positif (+) = Enlever. Remblai = Négatif (-) = Ajouter.
Le saviez-vous ?
En anglais technique international, on utilise les termes "Cut" (Couper = Déblai) et "Fill" (Remplir = Remblai). Les logiciels affichent souvent des rapports de "Cut and Fill".
FAQ
Que se passe-t-il si \(\Delta Z = 0\) ?
C'est un point de passage. Il n'est ni en déblai ni en remblai, il est exactement à la bonne altitude (on dit que sa "cote rouge" est nulle). Le terrain fini affleure le terrain naturel.
A vous de jouer : Si \(\Delta Z = -0.05\), quelle est la nature des travaux ? (Tapez 1 pour Déblai, 2 pour Remblai)
📝 Mémo : Rouge enlève, Vert ajoute.
Question 3 : Hauteur Moyenne
Principe
Pour estimer le volume d'un prisme dont le toit est en pente (le TN) et la base horizontale (le Projet), une méthode efficace consiste à calculer la moyenne arithmétique des hauteurs aux 4 coins. Cette hauteur moyenne représente l'épaisseur théorique de terre si on étalait tout uniformément sur la maille.
Mini-Cours
Cette méthode, dite "méthode du prisme moyen" ou "méthode du point moyen", suppose que la surface du terrain entre les 4 points est plane (un plan incliné). Elle est très utilisée pour les estimations rapides car elle évite de découper la maille en triangles (méthode exacte mais plus longue manuellement).
Remarque Pédagogique
C'est une approximation mathématique. Dans la réalité, le terrain peut être légèrement bombé ou creux au centre de la maille, mais sans point topographique relevé au centre, on ne peut pas le savoir. On suppose donc la linéarité par défaut.
Normes
En calcul manuel de terrassement, on arrondit généralement la hauteur moyenne au millimètre (3 décimales) pour minimiser l'erreur sur le volume final, même si les données d'entrée sont au centimètre.
Formule(s)
Expression de la moyenne arithmétique :
Ici \(n=4\) car c'est une maille carrée à 4 sommets.
Hypothèses
On considère une variation linéaire de l'altitude entre chaque point voisin (surface réglée).
Calcul(s) Détaillés
Étape 1 : Somme algébrique des écarts
On additionne toutes les valeurs calculées en Q1, en respectant scrupuleusement leurs signes (positifs et négatifs) :
Le résultat est surprenant : la somme des écarts positifs compense exactement la somme des écarts négatifs.
Étape 2 : Division par le nombre de points
On divise la somme totale par 4 pour obtenir la hauteur moyenne répartie sur la surface :
La hauteur moyenne de terrassement sur cette maille est donc nulle.
Schéma (Après)
(Coupe schématique : l'aire verte de remblai compense exactement l'aire rouge de déblai)
Réflexions
Nous sommes dans un cas particulier parfait où la moyenne est nulle. Cela signifie que le volume de terre à enlever est exactement égal au volume à remettre sur cette maille. C'est l'idéal pour un projet car on n'a pas besoin d'acheter de la terre ni de payer pour l'évacuer en décharge.
Points de vigilance
Attention ! Une hauteur moyenne nulle ne veut pas dire qu'il n'y a pas de travaux. Il y a bien des tas de terre à déplacer d'un coin à l'autre de la parcelle (mouvement interne). Le bulldozer devra travailler pour pousser la terre de A/B vers C/D.
Points à Retenir
La somme algébrique est la clé. Si elle est positive, il y a globalement trop de terre. Si elle est négative, il en manque.
Le saviez-vous ?
Ce principe est utilisé pour le "calage" des projets routiers : on ajuste la hauteur de la ligne rouge (projet) pour que la somme des déblais/remblais soit la plus proche possible de zéro, afin d'économiser de l'argent et de l'énergie.
FAQ
Si la moyenne était de +0.10 m ?
Cela voudrait dire que sur l'ensemble de la maille, le terrain est en moyenne 10 cm trop haut par rapport au projet. Il y aurait un excédent de terre global qu'il faudrait probablement évacuer.
A vous de jouer : Si la Somme des écarts est de +4.00 m, quelle est la hauteur moyenne ?
📝 Mémo : Toujours diviser la somme par 4.
Question 4 : Volume Total Théorique
Principe
Le volume est une grandeur tridimensionnelle obtenue en multipliant la surface au sol (2D) par la hauteur moyenne (1D). C'est l'application directe de la géométrie dans l'espace.
Mini-Cours
En topographie, on calcule généralement des volumes "en place", c'est-à-dire le volume géométrique compacté tel qu'il est dans le sol avant toute intervention humaine. Ce volume diffère du volume transporté (foisonné).
Remarque Pédagogique
La surface utilisée doit être la surface horizontale (vue en plan), et non la surface développée (la surface "en pente" du terrain), car les altitudes sont mesurées verticalement. C'est une erreur fréquente chez les débutants.
Normes
L'unité légale et internationale pour les volumes de terrassement est le Mètre Cube (\(m^3\)). Dans certains vieux documents ou pays, on peut trouver des Yards cubes, mais en France, c'est le \(m^3\).
Formule(s)
Expression du Volume :
Hypothèses
On suppose que les parois verticales aux limites de la maille sont droites (profil prismatique droit), ce qui est le cas lorsqu'on juxtapose plusieurs mailles.
Calcul(s) Détaillés
Étape 1 : Calcul de la surface de base
La maille est un carré de côté \(c=10\) m. La surface est donc le carré du côté :
La surface de référence est donc de 100 m².
Étape 2 : Calcul du volume net
On multiplie cette surface par la hauteur moyenne calculée en Q3 (qui était de 0.00 m) :
Le volume net global est donc nul.
Schéma (Après)
(Illustration conceptuelle : Le volume au-dessus annule le volume au-dessous)
Réflexions
Le résultat \(0 m^3\) est un solde comptable. Il indique qu'il n'y a pas d'apport extérieur ni d'évacuation vers une décharge. Le chantier est autonome en terre, ce qui est économiquement très favorable.
Points de vigilance
Attention à la sémantique ! Ne dites jamais "Il n'y a pas de volume de terrassement". Dites "Le volume net est nul". Le volume à déplacer (terrassement brut) est la somme des valeurs absolues des déblais et remblais, ce qui n'est pas zéro ! Les engins vont tourner.
Points à Retenir
Volume Net = Bilan du chantier (Entrée/Sortie).
Volume Brut = Travail total des engins (Mouvement interne).
Le saviez-vous ?
Un camion benne standard (type 8x4) transporte environ 15 à 18 \(m^3\) de terre. Dans notre cas théorique, nous n'avons besoin d'aucun camion sur la route, ce qui réduit l'impact carbone du chantier.
FAQ
Comment calculer le volume de terre à bouger réellement ?
Pour connaitre le travail des engins, il faudrait calculer le volume de la pyramide de déblai (points A,B) et celui de la pyramide de remblai (C,D) séparément. C'est un calcul plus complexe nécessitant de trouver géométriquement la position exacte de la ligne de passage.
A vous de jouer : Si la surface est de 100 m² et la hauteur moyenne de 1m, quel est le volume ?
📝 Mémo : Surface x Hauteur.
Question 5 : Volume Foisonné (Scénario Hypothétique)
Principe
La terre en place est compactée naturellement depuis des années. Lorsqu'on la creuse (déblai), elle s'aère et les grains se désolidarisent : elle prend plus de volume. C'est le phénomène de foisonnement.
Mini-Cours
Le Coefficient de Foisonnement (K) est le rapport entre le volume apparent (foisonné) et le volume en place. Il dépend de la nature géologique du sol. Quelques valeurs indicatives :
- Sable : K ~ 1.10 (+10% de volume)
- Terre végétale : K ~ 1.25 (+25% de volume)
- Roche abattue : K ~ 1.50 (+50% de volume)
Remarque Pédagogique
C'est une étape cruciale pour dimensionner le transport. On paie le terrassier au volume en place (selon le plan), mais on dimensionne le nombre de camions au volume foisonné (réellement transporté).
Normes
Les valeurs de K ne s'inventent pas : elles sont généralement fournies par une étude géotechnique (mission G2) préalable au chantier.
Formule(s)
Expression du volume foisonné :
Hypothèses
Pour cet exemple, supposons un sol de type "Terre végétale argileuse" avec un coefficient standard \(K = 1.25\). Supposons également, pour illustrer le calcul (puisque notre volume net est nul), que nous ayons un volume de déblai réel de 100 \(m^3\) à évacuer vers une décharge.
Donnée(s)
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Volume en place (hypothèse pour l'exemple) | 100 \(m^3\) |
| Coefficient de foisonnement (K) | 1.25 |
Calcul(s) Détaillés
Application numérique :
On multiplie le volume compact théorique par le coefficient d'expansion K pour obtenir le volume apparent :
Le volume que nous devrons charger dans les camions n'est pas de 100 m³, mais bien de 125 m³.
Schéma (Après)
(Visualisation de l'expansion : le même poids de terre occupe plus de place)
Réflexions
Ces 25 \(m^3\) supplémentaires sont physiquement "du vide" (de l'air) introduit entre les mottes de terre lors du creusement, mais ils prennent de la place réelle dans la benne du camion ! Il faudra prévoir plus de camions que si on avait calculé avec le volume en place.
Points de vigilance
Ne jamais oublier ce coefficient lors de l'estimation des coûts de transport, sous peine de sous-estimer le budget évacuation de 20 à 30% !
Points à Retenir
Foisonnement = Augmentation de volume à l'extraction. Tassement = Diminution de volume lors du compactage du remblai.
Le saviez-vous ?
Il existe aussi le "foisonnement résiduel" : même après avoir été remise en place et compactée en remblai, la terre ne retrouve jamais tout à fait son volume initial (sauf si elle est très arrosée et compactée énergiquement). Il reste souvent un léger foisonnement résiduel.
FAQ
Quel coefficient K pour du béton ?
Le béton n'est pas un sol naturel, on ne parle pas de foisonnement dans ce sens géologique. Cependant, pour la démolition, les gravats de béton foisonnent énormément. On compte généralement K=1.3 à 1.5 pour l'évacuation des gravats de démolition.
A vous de jouer : Si vous avez 10 m³ en place et K=1.2, quel volume chargerez-vous dans le camion ?
📝 Mémo : Plus de volume dans la benne que dans le trou.
Bilan du Mouvement des Terres
Visualisation synthétique de la coupe du terrain par rapport au projet sur notre maille.
📝 Grand Mémo Topo
Pour réussir vos calculs de cubatures à coup sûr, gardez ces points en tête :
-
📐
La Formule Maîtresse : \(Volume = Surface \times H_{\text{moyenne}}\). C'est la base de tout.
-
⚠️
Attention aux Signes : \(TN > Projet \rightarrow\) Résultat positif = Déblai (on enlève). \(TN < Projet \rightarrow\) Résultat négatif = Remblai (on ajoute).
-
🚜
Le Piège du Foisonnement : N'oubliez jamais que la terre gonfle quand on la sort du trou (x 1.25 en moyenne). Dimensionnez vos transports en conséquence !
🎛️ Simulateur de Terrassement
Modifiez l'altitude du projet pour voir comment les volumes de déblai et de remblai évoluent dynamiquement. Observez le point d'équilibre (volume nul).
Paramètres
📝 Quiz final : Topographie
1. Si l'altitude du TN est de 50.00 m et celle du Projet est de 48.00 m, je suis en :
2. Le coefficient de foisonnement signifie que :
📚 Glossaire Topographique
- Altimétrie
- Branche de la topographie qui s'intéresse à la mesure et à la représentation des altitudes (Z).
- Déblai
- Action d'enlever des terres pour abaisser le niveau du sol. Terme anglais : Cut.
- Remblai
- Action d'apporter des terres pour élever le niveau du sol. Terme anglais : Fill.
- TN
- Terrain Naturel. Désigne l'état du terrain avant le début des travaux.
- Projet
- Désigne l'état futur du terrain tel qu'il doit être après travaux (Plateforme finie).
Le Saviez-vous ?
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