Calcul d'Altitude par Nivellement Indirect
Contexte : Le nivellement indirectMéthode de topographie permettant de déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide de mesures d'angles verticaux et de distances..
En topographie, il est fréquent de devoir déterminer l'altitudeHauteur d'un point par rapport à un niveau de référence, généralement le niveau moyen de la mer. d'un point B depuis un point A, mais un obstacle (colline, bâtiment) empêche la visée directe. La solution consiste à utiliser une ou plusieurs stationsPoint au sol, matérialisé ou non, où le topographe installe son instrument (tachéomètre, niveau). intermédiaires. Cet exercice simule un cas classique de levé altimétrique avec une station intermédiaire sur un obstacle.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à enchaîner deux visées de nivellement indirect (ou trigonométrique) pour calculer l'altitude d'un point inaccessible en visée directe. La maîtrise de ce chaînage est essentielle pour les levés en terrain accidenté.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser le calcul de dénivelée par visée trigonométrique (nivellement indirect).
- Calculer l'altitude d'un point par chaînage via une station intermédiaire.
- Appliquer correctement les corrections de hauteur d'instrument (Hi) et de hauteur de visée (Hv).
- Comprendre l'utilisation des angles zénithaux en Gons (grades).
Données de l'étude
Fiche Technique des Points
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Altitude du point A (Alt_A) | 150.000 m |
| Point intermédiaire | Station I |
| Point d'arrivée | Station B |
Modélisation de la situation
| Mesure (Visée) | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Hauteur instrument en A | \(H_i (\text{A})\) | 1.650 m |
| Hauteur visée en I (sur prisme) | \(H_v (\text{I})\) | 2.100 m |
| Angle Zénithal (A vers I) | \(V_{\text{AI}}\) | 95.000 gr |
| Distance Horizontale (A à I) | \(Dh_{\text{AI}}\) | 800.000 m |
| Hauteur instrument en I | \(H_i (\text{I})\) | 1.600 m |
| Hauteur visée en B (sur prisme) | \(H_v (\text{B})\) | 1.800 m |
| Angle Zénithal (I vers B) | \(V_{\text{IB}}\) | 102.000 gr |
| Distance Horizontale (I à B) | \(Dh_{\text{IB}}\) | 600.000 m |
Questions à traiter
- Calculer la dénivelée \(\Delta H_{\text{AI}}\) entre les points A et I.
- En déduire l'altitude du point I (\(Alt_{\text{I}}\)).
- Calculer la dénivelée \(\Delta H_{\text{IB}}\) entre les points I et B.
- En déduire l'altitude finale du point B (\(Alt_{\text{B}}\)).
- Calculer la dénivelée totale \(\Delta H_{\text{AB}}\) et vérifier l'altitude de B depuis A.
Les bases du Nivellement Indirect
Le nivellement indirect, ou trigonométrique, permet de déterminer la dénivelée (\(\Delta H\)) entre un point de station (où est l'instrument) et un point visé, en mesurant une distance et un angle vertical.
1. Formule de la dénivelée (avec angle zénithal en Gons)
La formule la plus courante utilise l'angle zénithal \(V\) (0 gr à la verticale, 100 gr à l'horizontale) et la distance horizontale \(Dh\).
\[ \Delta H = Dh \cdot \cot(V) + H_i - H_v \]
Où \(\cot(V) = \tan(100 - V)\).
2. Calcul d'altitude
L'altitude d'un point B est déduite de celle d'un point A par la formule simple :
\[ Alt_{\text{B}} = Alt_{\text{A}} + \Delta H_{\text{AB}} \]
Correction : Calcul d'Altitude par Nivellement Indirect
Question 1 : Calculer la dénivelée \(\Delta H_{\text{AI}}\) entre les points A et I.
Principe
Pour trouver la dénivelée entre la station A et le point visé I, nous appliquons la formule du nivellement indirect en utilisant les mesures effectuées depuis A.
Mini-Cours
La dénivelée est la différence d'altitude. La formule \(\Delta H = Dh \cdot \cot(V) + H_i - H_v\) se décompose en :
- \(Dh \cdot \cot(V)\) : dénivelée "instrumentale" entre l'axe de rotation de l'instrument et le point visé sur la mire/prisme.
- \(H_i - H_v\) : correction pour ramener la dénivelée au niveau du sol (du point station au point visé).
Remarque Pédagogique
L'étape cruciale est de bien identifier quel \(H_i\) (Hauteur instrument) et quel \(H_v\) (Hauteur visée) utiliser. \(H_i\) est à la station de départ (A), \(H_v\) est au point d'arrivée (I).
Normes
Les calculs sont effectués en Gons (grades), où le cercle complet est 400 gr et l'angle droit 100 gr. Un angle zénithal de 100 gr est donc parfaitement horizontal.
Formule(s)
Formule de la dénivelée AI
Calcul de la cotangente (Gon)
Hypothèses
On néglige la courbure terrestre et la réfraction atmosphérique, ce qui est acceptable pour des distances de 800m dans un exercice pédagogique (dans la réalité, des corrections s'appliqueraient).
- L'instrument est parfaitement réglé.
- Les lectures sont exemptes d'erreur.
Donnée(s)
Nous extrayons les données de l'énoncé pour la visée A \(\rightarrow\) I.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Horizontale | \(Dh_{\text{AI}}\) | 800.000 | m |
| Angle Zénithal | \(V_{\text{AI}}\) | 95.000 | gr |
| Hauteur Instrument (A) | \(H_i(\text{A})\) | 1.650 | m |
| Hauteur Visée (I) | \(H_v(\text{I})\) | 2.100 | m |
Astuces
Un angle \(V < 100 \text{ gr}\) (comme 95 gr) est une visée "montante" (contre-plongée). La dénivelée instrumentale \(Dh \cdot \cot(V)\) sera donc positive. C'est un bon moyen de vérifier le signe de votre calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du triangle rectangle formé par la visée A \(\rightarrow\) I. On cherche \(\Delta H_{\text{AI}}\).
Triangle de visée A \(\rightarrow\) I
Calcul(s)
Nous allons substituer les valeurs directement dans la formule principale, en décomposant le calcul.
Étape 1 : Poser la formule complète
C'est la formule de base du nivellement indirect :
Étape 2 : Remplacer \(\cot(V_{\text{AI}})\) par sa définition
En topographie (Gons), la cotangente de l'angle zénithal \(V\) est calculée comme \(\tan(100 - V)\) :
Étape 3 : Calcul détaillé
On substitue les valeurs numériques (Dh=800, V=95, Hi=1.650, Hv=2.100) et on résout :
Le terme \(800.000 \cdot \tan(5.000 \text{ gr})\) donne la dénivelée instrumentale (+62.961 m). On y ajoute la correction \(H_i - H_v\) (-0.450 m) pour obtenir la dénivelée au sol.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne la dénivelée au sol \(\Delta H_{\text{AI}}\).
Résultat \(\Delta H_{\text{AI}}\)
Réflexions
Le résultat est positif (62.511 m), ce qui confirme que le point I est bien plus haut que le point A, comme l'indiquait l'angle montant de 95 gr.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser \(H_i\) et \(H_v\). On ajoute toujours la hauteur de l'instrument d'où l'on part, et on soustrait la hauteur de la cible que l'on vise.
Points à retenir
- Formule : \(\Delta H = Dh \cdot \cot(V) + H_i - H_v\)
- Angle montant : \(V < 100 \text{ gr} \Rightarrow \cot(V) > 0\)
Le saviez-vous ?
L'unité "Gon" (ou grade) a été introduite en France après la Révolution pour décimaliser les angles, en même temps que le système métrique. 100 gons valent 90 degrés.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez \(\Delta H_{\text{AI}}\) si l'angle zénithal \(V_{\text{AI}}\) avait été de 98.000 gr ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 :
- Concept Clé : Calcul de dénivelée trigonométrique.
- Formule : \(\Delta H = Dh \cdot \cot(V) + H_i - H_v\)
- Calcul : \(800.0 \cdot \tan(5 \text{ gr}) + 1.650 - 2.100 = +62.511 \text{ m}\)
Question 2 : En déduire l'altitude du point I (\(Alt_{\text{I}}\)).
Principe
L'altitude d'un nouveau point s'obtient en ajoutant la dénivelée (calculée à la question 1) à l'altitude du point de départ connu (Station A).
Mini-Cours
L'altimétrie est un système de "cheminement". L'altitude d'un point N (\(Alt_{\text{N}}\)) est toujours l'altitude d'un point M connu (\(Alt_{\text{M}}\)), plus la dénivelée de M à N (\(\Delta H_{\text{MN}}\)).
Remarque Pédagogique
C'est une simple addition. L'important est de ne pas se tromper de signe. Le point I est plus haut que A (\(\Delta H > 0\)), donc l'altitude de I doit logiquement être supérieure à celle de A.
Normes
Le report d'altitude est un calcul arithmétique de base, il n'y a pas de norme spécifique autre que la rigueur du calcul.
Formule(s)
Calcul d'altitude
Hypothèses
On suppose que l'altitude du point A (150.000 m) est une référence fiable et exempte d'erreur (point de départ du Nivellement).
Donnée(s)
Nous utilisons l'altitude de départ et le résultat de la Q1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de A | \(Alt_{\text{A}}\) | 150.000 | m |
| Dénivelée AI | \(\Delta H_{\text{AI}}\) | +62.511 | m |
Astuces
Toujours faire une vérification mentale : "Je monte" (\(\Delta H > 0\)), donc "Altitude finale > Altitude départ". Ici : \(Alt_{\text{I}} > Alt_{\text{A}}\).
Calcul(s)
On applique la formule en substituant les valeurs connues.
Étape 1 : Calcul de l'altitude
On prend l'altitude du point de départ \(Alt_{\text{A}}\) et on y ajoute la dénivelée \(\Delta H_{\text{AI}}\) que nous venons de calculer :
L'altitude de la station intermédiaire I est donc de 212.511 m.
Réflexions
Le point I, sommet de la colline, est maintenant "connu" en altitude (212.511 m). Il peut désormais servir de point de départ (station) pour la visée suivante vers le point B.
Points de vigilance
Attention au signe de la dénivelée. Une dénivelée négative (\(\Delta H < 0\)) aurait dû être soustraite.
Points à retenir
- La formule \(Alt_{\text{B}} = Alt_{\text{A}} + \Delta H_{\text{AB}}\) est la formule de base de tout calcul de nivellement.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude de A était de 100.000 m (et \(\Delta H_{\text{AI}}\) inchangée), quelle serait l'altitude de I ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2 :
- Formule : \(Alt_{\text{Arrivée}} = Alt_{\text{Départ}} + \Delta H\)
- Calcul : \(150.000 + 62.511 = 212.511 \text{ m}\)
Question 3 : Calculer la dénivelée \(\Delta H_{\text{IB}}\) entre les points I et B.
Principe
C'est la deuxième partie du chaînage. L'instrument est maintenant à la station I (dont on connaît l'altitude) et vise le point B. On applique la même formule que pour la Q1, mais avec les nouvelles données de cette visée.
Mini-Cours
On applique la même formule \(\Delta H = Dh \cdot \cot(V) + H_i - H_v\). La seule différence est que l'instrument est à la station I et vise le point B. Les \(H_i\) et \(H_v\) sont donc ceux de cette nouvelle configuration de mesure.
Remarque Pédagogique
Notez bien que les hauteurs \(H_i\) et \(H_v\) changent ! L'instrument a été déplacé en I, il a donc une nouvelle hauteur \(H_i(\text{I})\), et la visée se fait sur un prisme en B, d'où \(H_v(\text{B})\).
Normes
Les calculs sont effectués en Gons (grades). Un angle zénithal de 100 gr est horizontal.
Formule(s)
Formule de la dénivelée IB
Hypothèses
On néglige la courbure terrestre et la réfraction atmosphérique pour cette visée de 600m.
Donnée(s)
Nous extrayons les données de l'énoncé pour la visée I \(\rightarrow\) B.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Horizontale | \(Dh_{\text{IB}}\) | 600.000 | m |
| Angle Zénithal | \(V_{\text{IB}}\) | 102.000 | gr |
| Hauteur Instrument (I) | \(H_i(\text{I})\) | 1.600 | m |
| Hauteur Visée (B) | \(H_v(\text{B})\) | 1.800 | m |
Astuces
Un angle \(V > 100 \text{ gr}\) (comme 102 gr) est une visée "descendante" (plongée). La dénivelée instrumentale \(Dh \cdot \cot(V)\) sera donc négative. Vérifiez bien le signe de \(\tan(100 - V)\).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la visée I \(\rightarrow\) B. L'angle V est supérieur à 100 gr, la visée est plongeante.
Triangle de visée I \(\rightarrow\) B
Calcul(s)
Nous allons substituer les nouvelles valeurs de la visée I \(\rightarrow\) B.
Étape 1 : Poser la formule complète
La formule est identique, mais les points de référence changent :
Étape 2 : Remplacer \(\cot(V_{\text{IB}})\) par sa définition
Étape 3 : Calcul détaillé
On substitue les nouvelles valeurs (Dh=600, V=102, Hi=1.600, Hv=1.800) :
La dénivelée instrumentale est négative (-18.856 m) car la visée est plongeante. La correction des hauteurs est aussi négative (-0.200 m). Les deux s'additionnent.
Réflexions
Le résultat est négatif (-19.056 m), ce qui est cohérent avec l'angle de 102 gr (plongée). Le point B est bien plus bas que le sommet I, ce qui correspond au schéma de la colline.
Points de vigilance
Le piège ici est d'oublier de prendre la *nouvelle* hauteur d'instrument \(H_i(\text{I}) = 1.600 \text{ m}\) et non celle de A. L'instrument a été déplacé et réinstallé.
Points à retenir
- Angle descendant : \(V > 100 \text{ gr} \Rightarrow \cot(V) < 0\).
- À chaque nouvelle station, on utilise une nouvelle \(H_i\).
Le saviez-vous ?
Les tachéomètres modernes calculent et affichent directement la dénivelée (\(\Delta H\)) et la distance horizontale (\(Dh\)) en temps réel, mais ces calculs manuels sont essentiels pour comprendre le principe et vérifier les ordres de grandeur sur le terrain.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Que se passerait-il si la visée était parfaitement horizontale (\(V_{\text{IB}} = 100.000 \text{ gr}\)) ? (La \(\Delta H_{\text{inst}}\) serait nulle).
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3 :
- Concept : Visée descendante.
- Calcul : \(600.0 \cdot \tan(-2 \text{ gr}) + 1.600 - 1.800 = -19.056 \text{ m}\)
Question 4 : En déduire l'altitude finale du point B (\(Alt_{\text{B}}\)).
Principe
Comme pour la question 2, on utilise l'altitude du point de départ (cette fois, la station I) et on y ajoute la dénivelée que l'on vient de calculer (\(\Delta H_{\text{IB}}\)) pour trouver l'altitude du point d'arrivée (B).
Mini-Cours
C'est la deuxième étape du "cheminement" altimétrique. Le point de départ *connu* est maintenant I (calculé en Q2), et on y ajoute la dénivelée vers B (calculée en Q3). Les erreurs des étapes précédentes se propagent.
Remarque Pédagogique
On enchaîne les calculs. L'altitude de B dépend du calcul de l'altitude de I, qui elle-même dépendait de l'altitude de A. C'est pourquoi la rigueur est essentielle à chaque étape.
Formule(s)
Calcul d'altitude
Donnée(s)
On utilise le résultat de la Q2 (\(Alt_{\text{I}}\)) et de la Q3 (\(\Delta H_{\text{IB}}\)).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de I | \(Alt_{\text{I}}\) | 212.511 | m |
| Dénivelée IB | \(\Delta H_{\text{IB}}\) | -19.056 | m |
Calcul(s)
On applique la formule de report d'altitude en partant de la station I.
Étape 1 : Calcul de l'altitude
On part de l'altitude de I (calculée en Q2) et on ajoute la dénivelée \(\Delta H_{\text{IB}}\) (calculée en Q3) :
L'altitude finale du point B est donc 193.455 m.
Réflexions
Nous avons maintenant l'altitude du point B. Nous sommes partis de A (150.000 m), montés à I (212.511 m), et redescendus à B (193.455 m). Le résultat est cohérent avec le schéma de la colline.
Points de vigilance
Ne pas repartir de \(Alt_{\text{A}}\) ! Le point de départ de *cette* visée est I, il faut donc utiliser \(Alt_{\text{I}}\).
Points à retenir
- Un cheminement altimétrique se fait pas à pas : \(Alt_{\text{N}} = Alt_{\text{M}} + \Delta H_{\text{MN}}\).
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude de I avait été 250.000 m (et \(\Delta H_{\text{IB}}\) inchangée), quelle serait l'altitude de B ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4 :
- Concept : Report d'altitude depuis un point intermédiaire.
- Formule : \(Alt_{\text{B}} = Alt_{\text{I}} + \Delta H_{\text{IB}}\)
- Calcul : \(212.511 - 19.056 = 193.455 \text{ m}\)
Question 5 : Calculer la dénivelée totale \(\Delta H_{\text{AB}}\) et vérifier l'altitude de B.
Principe
La dénivelée totale d'un cheminement est la somme des dénivelées partielles. On peut l'utiliser pour vérifier notre calcul final de \(Alt_{\text{B}}\) en repartant de l'altitude initiale \(Alt_{\text{A}}\).
Mini-Cours
En topographie, on parle de "fermeture". La dénivelée totale entre deux points est la somme algébrique des dénivelées partielles qui composent le chemin pour y aller (\(\Delta H_{\text{AB}} = \Delta H_{\text{AI}} + \Delta H_{\text{IB}}\)).
Remarque Pédagogique
C'est une excellente méthode de vérification. On calcule le résultat final (\(Alt_{\text{B}}\)) de deux manières différentes :
1. \(Alt_{\text{A}} \rightarrow Alt_{\text{I}} \rightarrow Alt_{\text{B}}\) (ce qu'on a fait)
2. \(Alt_{\text{A}} + (\Delta H_{\text{AI}} + \Delta H_{\text{IB}})\) (ce qu'on fait maintenant)
Si les deux correspondent, les calculs sont justes.
Formule(s)
Somme des dénivelées
Vérification d'altitude
Donnée(s)
On utilise les résultats de la Q1 et de la Q3.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dénivelée AI | \(\Delta H_{\text{AI}}\) | +62.511 | m |
| Dénivelée IB | \(\Delta H_{\text{IB}}\) | -19.056 | m |
| Altitude de A | \(Alt_{\text{A}}\) | 150.000 | m |
Calcul(s)
On vérifie le calcul en additionnant les dénivelées partielles et en repartant de l'altitude d'origine (A).
Étape 1 : Calculer la dénivelée totale \(\Delta H_{\text{AB}}\)
On additionne algébriquement les deux dénivelées calculées (Q1 et Q3) :
La dénivelée totale directe de A à B est donc de +43.455 m.
Étape 2 : Vérifier \(Alt_{\text{B}}\) depuis \(Alt_{\text{A}}\)
On utilise cette dénivelée totale en partant de l'altitude de A d'origine :
Ce résultat (\(193.455 \text{ m}\)) correspond exactement à celui trouvé à la Question 4. Le calcul est cohérent.
Réflexions
Le calcul de \(Alt_{\text{B}}\) en passant par la dénivelée totale (\(193.455 \text{ m}\)) donne exactement le même résultat que le calcul en passant par l'altitude intermédiaire de I (calcul de la Q4). La boucle est bouclée et les calculs sont cohérents.
Points de vigilance
Bien respecter les signes ! \((+62.511) + (-19.056)\). Une erreur de signe ici invaliderait la vérification.
Points à retenir
- La dénivelée totale est la somme algébrique des dénivelées partielles.
- \(\Delta H_{\text{AB}} = \sum \Delta H_{\text{partielles}}\)
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(\Delta H_{\text{AI}} = +50.0\) et \(\Delta H_{\text{IB}} = -20.0\), quelle est la dénivelée totale \(\Delta H_{\text{AB}}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q5 :
- Concept : La dénivelée totale est la somme des dénivelées partielles.
- Calcul : \(62.511 - 19.056 = +43.455 \text{ m}\)
Outil Interactif : Simulateur de Dénivelée
Utilisez le simulateur pour voir comment l'angle zénithal et la distance influencent la dénivelée. (Pour ce simulateur, nous fixons \(H_i = 1.650 \text{ m}\) et \(H_v = 2.100 \text{ m}\)).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La formule \(\Delta H = Dh \cdot \cot(V) + H_i - H_v\) sert à calculer :
2. Un angle zénithal \(V\) de 100 gr correspond à une visée :
3. Vous mesurez un angle zénithal \(V = 103 \text{ gr}\). Cela signifie que la visée est :
4. Vous mesurez un angle zénithal \(V = 92 \text{ gr}\). Le terme \(Dh \cdot \cot(V)\) sera :
5. \(Alt_{\text{A}} = 200.0 \text{ m}\). \(\Delta H_{\text{AB}} = -25.5 \text{ m}\). Quelle est l'altitude de B ?
Glossaire
- Altitude (Alt)
- Élévation verticale d'un point par rapport à une surface de référence (généralement le niveau moyen des mers, ou un système local).
- Dénivelée (\(\Delta H\))
- Différence d'altitude entre deux points. Elle est positive si l'on monte, négative si l'on descend.
- Gon (gr)
- Unité d'angle (grade) où un cercle complet vaut 400 gr. Un angle droit vaut 100 gr. C'est l'unité standard en topographie en France et dans de nombreux pays européens.
- Hauteur Instrument (\(H_i\))
- Distance verticale entre le point de station au sol et l'axe de rotation (axe des tourillons) du tachéomètre. Mesurée avec une règle ou un mètre ruban.
- Hauteur Visée (\(H_v\))
- Hauteur sur la mire ou le prisme (cible) qui est visée par l'instrument. Si l'on vise le prisme, \(H_v\) est la hauteur du prisme au-dessus du point au sol.
- Nivellement Indirect (Trigonométrique)
- Méthode de détermination de la dénivelée basée sur la mesure d'un angle vertical et d'une distance (horizontale ou inclinée), par opposition au nivellement direct qui utilise un niveau et une mire graduée.
- Station
- Point au sol, matérialisé ou non, où le topographe installe son instrument (tachéomètre, niveau).
- Angle Zénithal (V)
- Angle vertical mesuré depuis le zénith (la verticale "vers le haut", 0 gr). Une visée horizontale correspond à 100 gr, une visée vers le nadir (verticale "vers le bas") à 200 gr.
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