Ajustement de Surface par Déplacement de Sommet
Contexte : Division Parcellaire en Topographie.
Dans le cadre d'un projet de division foncière (par exemple un lotissement ou une succession), un Géomètre-ExpertProfessionnel habilité à définir juridiquement les limites d'une propriété foncière. doit souvent détacher une nouvelle parcelle d'une superficie imposée par le client ou le PLU. La méthode graphique étant imprécise, on utilise la méthode analytique. Le terrain est un polygone dont les sommets A, B et C sont matérialisés par des bornes existantes (fixes). Le sommet D doit être implanté sur une ligne droite connue (ici, l'axe X=50) de manière à ce que la surface totale soit exactement celle demandée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la puissance de la formule des coordonnées (2S). Il montre comment transformer un problème géométrique en une simple équation linéaire du premier degré, compétence fondamentale pour tout technicien supérieur géomètre-topographe.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la formule analytique de calcul de surface (2S).
- Savoir poser une équation à une inconnue à partir de contraintes géométriques.
- Analyser la cohérence d'un résultat topographique (ordre de grandeur, position relative).
- Maîtriser les étapes de vérification par calcul inverse.
Données de l'étude
On considère une parcelle polygonale définie par 4 sommets \(A, B, C, D\). Les points \(A, B\) et \(C\) sont connus en coordonnées locales. Le point \(D\) est mobile : il doit être placé sur une ligne d'abscisse fixe \(X_{\text{D}} = 50\), mais son ordonnée \(Y_{\text{D}}\) est l'inconnue à déterminer.
Fiche Technique / Données Coordonnées
| Point | X (m) | Y (m) | Nature du point |
|---|---|---|---|
| A | 0.00 | 0.00 | Borne existante (Origine) |
| B | 0.00 | 50.00 | Borne existante |
| C | 60.00 | 40.00 | Piquet fer |
| D | 50.00 | \(Y_{\text{D}}\) ? | Point à implanter |
Contrainte du Client
La surface totale de la parcelle \(S_{\text{ABCD}}\) doit être strictement égale à 2000 m².
Schéma de la situation
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Surface Cible | \(S\) | 2000 | \(\text{m}^2\) |
| Abscisse Sommet D | \(X_{\text{D}}\) | 50 | \(\text{m}\) |
Questions à traiter
- Rappeler la formule analytique de la surface 2S pour un polygone.
- Poser l'équation numérique complète en remplaçant par les coordonnées connues.
- Isoler l'inconnue \(Y_{\text{D}}\) dans l'équation.
- Calculer la valeur numérique de \(Y_{\text{D}}\).
- Vérifier le résultat en recalculant la surface.
Les bases théoriques
En topométrie, l'aire d'un polygone fermé défini par ses coordonnées rectangulaires \((X, Y)\) se calcule souvent via la Formule des CoordonnéesAussi appelée méthode des trapèzes ou formule de lacet (Shoelace Formula)..
Formule Analytique (2S) - Méthode des abscisses
Cette méthode calcule la surface en additionnant algébriquement des trapèzes sous chaque côté du polygone. Pour éviter les décimales intermédiaires et les divisions par deux prématurées, on calcule d'abord le double de la surface, noté \(2S\).
Formule Générale
Légende :
- \(n\) : nombre de sommets du polygone.
- \(X_i\) : abscisse du sommet \(i\).
- \(Y_{i+1}\) : ordonnée du sommet suivant.
- \(Y_{i-1}\) : ordonnée du sommet précédent.
Note : Les indices sont cycliques. Pour le dernier point \(n\), le point "suivant" est le point 1.
Règle des Signes
Le résultat du calcul \(2S\) peut être positif ou négatif selon le sens dans lequel on numérote les sommets :
- Sens Trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre) : Résultat Positif (+).
- Sens Horaire (aiguilles d'une montre) : Résultat Négatif (-).
En pratique, on prend toujours la valeur absolue à la fin : \(S = |2S| / 2\).
Correction : Ajustement de Surface par Déplacement de Sommet
Question 1 : Formule analytique de la surface 2S
Principe
L'objectif est d'écrire l'expression littérale de la surface du polygone \(A, B, C, D\) en fonction des coordonnées de ses sommets. C'est la base de tout calcul topographique rigoureux.
Mini-Cours
Sens de parcours : Nous choisissons de parcourir les sommets dans l'ordre alphabétique \(A \to B \to C \to D \to A\). Vérifions le sens sur le schéma : A(0,0) -> B(0,50) -> C(60,40) -> D(50,Y). Cela correspond au sens horaire. Nous pouvons donc nous attendre à un résultat négatif pour \(2S\), ou nous pouvons adapter la formule.
Formule(s)
Développement pour 4 sommets (i=1 à 4)
Somme des produits croisés
Analysons les termes :
- Pour le point A : \(X_{\text{A}}\) facteur de (Y suivant - Y précédent) soit \((Y_{\text{B}} - Y_{\text{D}})\).
- Pour le point B : \(X_{\text{B}}\) facteur de \((Y_{\text{C}} - Y_{\text{A}})\).
- Etc...
Astuces
Le zéro est votre ami ! Dans notre cas, l'origine du repère est placée en A (0,0) et l'axe Y passe par B (0,50). Cela signifie que \(X_{\text{A}} = 0\) et \(X_{\text{B}} = 0\). Ces termes vont annuler une grande partie de l'équation complexe.
Schéma : Analyse des Termes Nuls
Calcul(s) Intermédiaire
Préparons l'expression en supprimant déjà les termes nuls (car \(X_{\text{A}}=0\) et \(X_{\text{B}}=0\)). Appliquons la simplification directement sur la formule littérale :
L'équation devient beaucoup plus simple : elle ne dépend plus que des coordonnées de C et D. C'est l'avantage de choisir un repère local judicieux.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser \(Y_{i+1}\) et \(Y_{i-1}\). L'ordre est strict : (Suivant - Précédent).
Le saviez-vous ?
Cette méthode est utilisée nativement par les logiciels de DAO (comme AutoCAD ou Covadis) pour calculer instantanément l'aire des polylignes, quelle que soit leur complexité.
A vous de jouer
Quel est le terme "précédent" pour le point A dans notre polygone ABCD ?
📝 Mémo
Toujours écrire la formule littérale complète avant de barrer les zéros pour montrer votre raisonnement au correcteur.
Question 2 : Pose de l'équation numérique
Principe
Maintenant que nous avons la formule simplifiée, nous allons remplacer chaque lettre par sa valeur numérique connue. L'objectif est d'obtenir une équation à une seule inconnue (\(Y_{\text{D}}\)).
Mini-Cours
Une équation linéaire de type \(ax + b = c\) se résout en isolant x. C'est l'outil mathématique de base pour transformer une contrainte géométrique en valeur exploitable.
Remarque Pédagogique
Attention aux signes négatifs lors des développements. C'est la source principale d'erreurs en examen.
Normes
Aucune norme spécifique ici, c'est de l'algèbre pure, mais il faut garder une précision suffisante lors des calculs intermédiaires.
Formule(s)
Substitution numérique
Détail des remplacements :
- \(X_{\text{C}}\) remplacé par 60
- \((Y_{\text{D}} - Y_{\text{B}})\) devient \((Y_{\text{D}} - 50)\)
- \(X_{\text{D}}\) remplacé par 50
- \((Y_{\text{A}} - Y_{\text{C}})\) devient \((0 - 40)\), soit \(-40\)
Hypothèses
On suppose que les calculs intermédiaires sont exacts et que les coordonnées fournies sont sans erreur.
Donnée(s)
| Point | X | Y |
|---|---|---|
| A | 0 | 0 |
| B | 0 | 50 |
| C | 60 | 40 |
| D | 50 | \(Y_{\text{D}}\) (inconnue) |
Astuces
Vérifiez toujours que vous avez bien remplacé \(X\) par \(X\) et \(Y\) par \(Y\). Une inversion est vite arrivée !
Schéma : Structure de l'équation
Calcul(s)
Développement
On distribue les multiplications pour supprimer les parenthèses :
Réduction
On regroupe les termes constants (-3000 et -2000) pour simplifier l'expression :
Réflexions
L'équation obtenue est simple et linéaire. Le coefficient positif devant \(Y_{\text{D}}\) (60) indique que si \(Y_{\text{D}}\) augmente, la surface augmente, ce qui est cohérent avec la géométrie du problème.
Points de vigilance
Erreur fréquente : Oublier le signe moins dans \(50 \times (-40)\). Cela donne bien \(-2000\), pas \(+2000\).
Points à Retenir
Une équation bien posée est une équation à moitié résolue. Prenez le temps de vérifier chaque terme.
Le saviez-vous ?
Historiquement, avant l'algèbre moderne, ces problèmes étaient résolus par des méthodes géométriques graphiques ("la fausse position").
FAQ
Pourquoi n'a-t-on pas remplacé 2S tout de suite ?
C'est un choix. On peut le faire, mais garder "2S" permet de vérifier l'équation littérale générale avant d'injecter la contrainte spécifique du client.
A vous de jouer
Calculez mentalement le terme constant si C était à (50, 40) au lieu de (60, 40).
📝 Mémo
Vérifiez systématiquement vos signes lors des développements.
Question 3 : Isolation de l'inconnue \(Y_{\text{D}}\)
Principe
Nous avons une équation liant \(2S\) et \(Y_{\text{D}}\). Or, nous connaissons la valeur cible de la surface \(S\). Nous allons l'injecter dans l'équation pour trouver \(Y_{\text{D}}\).
Mini-Cours
Résolution d'équation : Pour résoudre \(A \cdot x - B = C\), on procède en deux temps :
1. On isole le terme en x : \(A \cdot x = C + B\)
2. On divise par A : \(x = (C + B) / A\)
Remarque Pédagogique
Procédez étape par étape pour ne pas confondre \(S\) et \(2S\).
Normes
Respecter les règles standard de manipulation algébrique. Conserver les unités implicites pour vérifier l'homogénéité.
Formule(s)
Equation à résoudre
Hypothèses
La surface cible imposée est \(S = 2000 \text{ m}^2\).
Attention, la formule calcule \(2S\), donc il faut doubler la surface cible.
Donnée(s)
| Variable | Valeur |
|---|---|
| \(S_{\text{cible}}\) | 2000 |
| \(2S\) | 4000 |
Astuces
Simplifier par 10 à la fin du calcul : \(9000 = 60Y_{\text{D}}\) devient \(900 = 6Y_{\text{D}}\). C'est plus facile à manipuler.
Schéma : L'équilibre de l'équation
Calcul(s)
Injection de la valeur cible
On remplace \(2S\) par 4000 dans notre équation précédente :
Transposition
On passe le terme -5000 de l'autre côté de l'égalité. Pour cela, on ajoute 5000 de chaque côté :
Réflexions
L'équation est maintenant sous la forme \(A \cdot x = B\), prête à être divisée. L'ordre de grandeur (9000) est élevé car il s'agit d'une somme de produits de distances.
Points de vigilance
Ne pas diviser 60 par 9000 ! C'est bien 9000 qu'on divise par 60. L'inconnue \(Y_{\text{D}}\) est multipliée par 60, donc on divise par 60 pour l'isoler.
Points à Retenir
Toujours regrouper les termes constants d'un côté et les termes variables de l'autre avant de diviser.
Le saviez-vous ?
Le mot "Algèbre" vient de l'arabe "Al-Jabr" qui signifie "remise en place" ou "restauration" (l'acte de passer un terme d'un côté à l'autre de l'égalité).
FAQ
Peut-on diviser par 60 dès le début ?
Oui, mais cela créerait des fractions (\(4000/60 = Y_{\text{D}} - 5000/60\)), ce qui complexifie le calcul mental et augmente le risque d'erreur d'arrondi.
A vous de jouer
Si l'équation était \(3000 = 50Y_{\text{D}} - 2000\), quelle serait la valeur intermédiaire ?
📝 Mémo
Constantes à gauche, variables à droite (ou inversement), mais jamais mélangées.
Question 4 : Calcul final et analyse
Principe
Il ne reste plus qu'à effectuer la division finale pour obtenir la valeur numérique de l'ordonnée \(Y_{\text{D}}\).
Mini-Cours
Si \(a \cdot x = b\), alors \(x = \frac{b}{a}\). L'unité du résultat sera des mètres (m) car nous divisons des \(m^2\) (surface) par des \(m\) (longueur).
Remarque Pédagogique
Vérifiez l'homogénéité des unités. Une surface divisée par une longueur doit donner une longueur.
Normes
Le résultat doit être donné avec une précision cohérente. En topographie cadastrale, les coordonnées sont généralement exprimées au centimètre près (2 décimales).
Formule(s)
Calcul final
Hypothèses
On suppose que \(X_{\text{D}} = 50\) est exact et que la surface de 2000 m² est impérative.
Donnée(s)
| Terme | Valeur |
|---|---|
| Numérateur | 9000 |
| Dénominateur | 60 |
Astuces
Supprimez un zéro en haut et en bas : \(900 / 6 = 150\). C'est calculable de tête : \(90/6 = 15\), donc \(900/6 = 150\).
Schéma : Résultat graphique
Calcul(s)
Réflexions
Le résultat est positif et nettement supérieur à \(Y_{\text{B}}\) (50m) et \(Y_{\text{C}}\) (40m). Cela est géométriquement logique : pour atteindre une surface importante de 2000 m² avec une base située autour de Y=50, le sommet D doit "tirer" le polygone vers le haut.
Points de vigilance
Si vous obtenez un résultat négatif, vérifiez vos signes à l'étape précédente. Un Y négatif signifierait que le point D serait en dessous de l'origine A, ce qui croiserait probablement le polygone.
Points à Retenir
Le résultat final est une coordonnée (distance), pas une surface. Ne mettez pas de carré sur l'unité.
Le saviez-vous ?
En topographie, les angles sont souvent en grades, mais les distances restent en mètres (système SI), comme ici.
FAQ
Que faire si le résultat avait plein de décimales (ex: 150.3333...) ?
On arrondit au millimètre (3 décimales) pour les calculs intermédiaires, et on présente le résultat final au centimètre (2 décimales), sauf exigence contraire.
A vous de jouer
Si la surface cible était de 3000 m², quel serait \(Y_{\text{D}}\) ? (Rappel : \(2S=6000\), Equation : \(6000 = 60Y_{\text{D}} - 5000\))
📝 Mémo
Vérifier l'ordre de grandeur. 150m est cohérent avec les autres points (0, 50, 60).
Question 5 : Vérification du résultat
Principe
En sciences de l'ingénieur, on ne rend jamais un résultat sans l'avoir vérifié. La meilleure méthode est le "calcul inverse" : on considère maintenant que D est connu (50, 150) et on calcule la surface pour voir si on retombe sur 2000 m².
Mini-Cours
L'auto-contrôle : C'est une démarche qualité essentielle. Si vous trouvez 1999.99 m², c'est un arrondi acceptable. Si vous trouvez 1500 m², il y a une erreur grossière.
Remarque Pédagogique
Recalculez tout comme si vous ne connaissiez pas la surface cible initiale.
Normes
L'écart de fermeture doit être nul (car ici nous avons fait un calcul théorique exact). Dans la réalité, on tolère un écart \(T\).
Formule(s)
Formule 2S
Hypothèses
Point D fixé à (50, 150).
Donnée(s)
| Point \(i\) | \(X_i\) | Calcul \((Y_{i+1} - Y_{i-1})\) | Produit \(X_i(Y_{i+1}-Y_{i-1})\) |
|---|---|---|---|
| A (0,0) | 0 | \(50 - 150 = -100\) | 0 |
| B (0,50) | 0 | \(40 - 0 = 40\) | 0 |
| C (60,40) | 60 | \(150 - 50 = 100\) | 6000 |
| D (50,150) | 50 | \(0 - 40 = -40\) | -2000 |
| SOMME (2S) | 4000 |
Astuces
Utilisez un tableau pour poser les calculs, cela évite les erreurs d'indices i+1/i-1.
Schéma : Situation Finale Validée
Calcul(s)
Réflexions
On retrouve exactement la surface cible. Le calcul est validé.
Points de vigilance
Ne pas oublier de diviser par 2 à la toute fin pour passer de 2S à S.
Points à Retenir
La méthode est robuste et permet de valider tout type de polygone.
Le saviez-vous ?
Cette technique de "calcul inverse" est la base des algorithmes utilisés dans les logiciels de lotissement automatique.
FAQ
Et si la vérification échoue ?
Reprenez le calcul depuis le début, une erreur de signe s'est probablement glissée.
A vous de jouer
Vérifiez mentalement : Si 2S = 100, S = ?
📝 Mémo
"Confiance n'exclut pas contrôle".
📝 Grand Mémo : Synthèse de l'exercice
-
🔑
Point Clé 1 : [Méthode]
Toujours écrire l'équation littérale \(2S\) en entier avant de remplacer. -
📐
Point Clé 2 : [Sens]
Tourner toujours dans le même sens (horaire ou anti-horaire) pour éviter les erreurs de signe. -
⚠️
Point Clé 3 : [Rigueur]
Une erreur de signe sur un terme annule tout le travail. -
💡
Point Clé 4 : [Vérification]
Toujours effectuer le calcul inverse pour valider l'implantation.
🎛️ Simulateur interactif
Modifiez les paramètres pour voir l'impact sur le graphique.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité légale de surface pour les terrains cadastraux ?
2. Si je déplace un sommet vers l'extérieur du polygone, la surface...
📚 Glossaire
- Gisement
- Angle horizontal formé entre le Nord Lambert et une direction donnée.
- Sommet
- Point d'intersection de deux côtés d'un polygone (borne).
- Implantation
- Action de matérialiser sur le terrain des points définis sur plan.
- Tolérance
- Marge d'erreur acceptable définie par la réglementation.
- Système Lambert
- Système de projection cartographique officiel en France.
Le Saviez-vous ?
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