Calcul du volume d'une tranchée pour canalisation

Contexte : Projet de raccordement en eau potable.

Dans le cadre d'un projet de VRD (Voirie et Réseaux Divers), vous êtes chargé d'estimer le volume des terres à excaver pour la pose d'une conduite d'alimentation en eau potable (AEP). La tranchée sera réalisée dans un terrain naturel plat, avec une section trapézoïdale pour assurer la stabilité des TalusPente donnée aux parois de la tranchée pour éviter l'éboulement..

Remarque Pédagogique : Cet exercice mobilise vos compétences en calcul de surfaces géométriques simples et en cubature linéaire, essentielles pour l'établissement des devis estimatifs.

Objectifs Pédagogiques

Déterminer les dimensions transversales d'une tranchée.
Calculer une section géométrique (trapèze).
Calculer le volume total de déblais (cubature) en tenant compte du foisonnement.

Données de l'étude

On souhaite réaliser une tranchée rectiligne de section trapézoïdale. Le terrain est considéré horizontal.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Longueur de la tranchée ($L$)	45.00 m
Largeur en fond de fouille ($b$)	0.80 m
Profondeur de la tranchée ($h$)	1.20 m
Pente des talus (H/V) ($k$)	0.5 (soit 50%)

Coupe transversale de la tranchée

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur totale	$L$	45.00	$\text{m}$
Coefficient de foisonnement	$C_{\text{f}}$	1.25	-

Questions à traiter

Calculer la largeur en gueule (largeur supérieure) $B$ de la tranchée.
Calculer la section transversale $S$ de la tranchée.
Calculer le volume de déblais en place $V_{\text{ep}}$.
Calculer le volume foisonné $V_{\text{f}}$ à évacuer.

Les bases théoriques

Pour résoudre ce problème de cubature, nous utiliserons les formules de géométrie plane et spatiale, ainsi que la notion physique de FoisonnementAugmentation du volume des terres extraites due à leur décompactage..

Géométrie du Talus
La largeur supplémentaire apportée par le talus dépend de sa pente $k$ (rapport Horizontal/Vertical) et de la profondeur $h$.

Relation Largeur / Profondeur

B = b + 2 \cdot (k \cdot h)

Où :

$B$ : Largeur en gueule (haut)
$b$ : Largeur en fond
$k$ : Coefficient de pente (H/V)

Surface du Trapèze
La section transversale de la tranchée est un trapèze isocèle.

Aire d'un trapèze

S = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

Où :

$S$ : Surface de la section ($\text{m}^2$)

Cubature et Foisonnement
Le volume est le produit de la section par la longueur. La terre extraite occupe plus de volume que la terre en place.

Volumes

V_{\text{ep}} = S \cdot L \quad \text{et} \quad V_{\text{f}} = V_{\text{ep}} \cdot C_{\text{f}}

Où :

$V_{\text{ep}}$ : Volume en place
$V_{\text{f}}$ : Volume foisonné (après extraction)
$C_{\text{f}}$ : Coefficient de foisonnement

Correction : Calcul du volume d'une tranchée pour canalisation

Question 1 : Calculer la largeur en gueule $B$

Principe

La tranchée est plus large en haut qu'en bas à cause des talus. La largeur en gueule correspond à la largeur du fond + les deux projections horizontales des talus.

Mini-Cours

Le coefficient $k=0.5$ signifie que pour 1 m de profondeur, le talus recule de 0.5 m horizontalement. C'est la relation : $\Delta H = k \times \Delta V$.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la pente exprimée en pourcentage (ici 50%) avec l'angle en degrés. Ici $k = \Delta H / \Delta V = 0.5$.

Normes

La pente des talus est régie par des règles de sécurité (ex: OPPBTP) selon la nature du sol pour éviter les éboulements. Par exemple, pour une tranchée de plus de 1,30m de profondeur sans blindage, des talus sont obligatoires.

Formule(s)

Formule géométrique

Largeur totale

B = b + 2 \cdot (k \cdot h)

Hypothèses

On suppose que la pente est identique des deux côtés (profil symétrique) et que le terrain naturel est parfaitement horizontal.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur fond	$b$	0.80	m
Pente	$k$	0.5	-
Profondeur	$h$	1.20	m

Astuces

Astuce mnémotechnique : "La gueule est toujours plus grande que le fond". Si vous trouvez B < b, il y a une erreur de signe !

Calcul Principal

Détail du calcul pas à pas

On cherche à trouver la largeur totale en haut ($B$) en ajoutant à la largeur du fond ($b$) l'élargissement dû aux deux talus.

Calcul de l'élargissement d'un talus :
On commence par calculer le recul horizontal (le "déport") d'un seul côté en multipliant la pente par la hauteur :
$\begin{aligned} \text{déport} &= k \times h \\ &= 0.5 \times 1.20 \\ &= 0.60 \text{ m} \end{aligned}$
Chaque talus recule donc de 60 cm horizontalement.
Calcul pour les deux côtés :
Comme la tranchée est symétrique, on double cette valeur pour avoir l'élargissement total :
$\begin{aligned} \text{total talus} &= 2 \times 0.60 \\ &= 1.20 \text{ m} \end{aligned}$
La tranchée est donc 1.20 m plus large en haut qu'en bas.
Addition à la largeur du fond :
On ajoute enfin cet élargissement à la largeur initiale du fond de fouille ($b$) :
$\begin{aligned} B &= 0.80 + 1.20 \\ &= 2.00 \text{ m} \end{aligned}$

En résumé, le calcul complet s'écrit en une seule ligne :

\begin{aligned} B &= 0.80 + [2 \times (0.5 \times 1.20)] \\ &= 0.80 + [2 \times 0.60] \\ &= 0.80 + 1.20 \\ &= 2.00 \text{ m} \end{aligned}

La largeur en haut de la tranchée (largeur en gueule) est donc de 2.00 mètres.

Schéma de vérification

Réflexions

Le résultat $B=2.00 \text{ m}$ est cohérent car supérieur à $b=0.80 \text{ m}$. L'ouverture est symétrique et proportionnelle à la profondeur.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser $h$ (profondeur verticale) et non la longueur du rampant (la pente inclinée du talus), qui est plus longue.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La formule de largeur en gueule : $ B = b + 2kh $.
La définition du coefficient $k$ comme rapport horizontal/vertical.

Le saviez-vous ?

Une tranchée sans talus (parois verticales) nécessite obligatoirement un blindage (planches, caissons) au-delà de 1,30 m de profondeur pour la sécurité des ouvriers, afin d'éviter l'ensevelissement.

FAQ

Pourquoi k est-il parfois donné en fraction (1/2) ?

C'est une notation courante en terrassement. "Pente de 1 pour 2" signifie 1 m vertical pour 2 m horizontal (ou l'inverse selon la convention, toujours vérifier !). Ici 0.5 correspond à H/V = 0.5/1.

B = 2.00 m

A vous de jouer
Si la pente était de 1/1 (45°), quelle serait la largeur B ?

📝 Mémo
Largeur Gueule = Largeur Fond + 2 × (Pente × Profondeur).

Question 2 : Calculer la section transversale $S$

Principe

Nous devons calculer l'aire de la forme géométrique de la tranchée (un trapèze). Pour cela, nous utilisons la moyenne des largeurs (haut et bas) multipliée par la hauteur.

Mini-Cours

Aire du Trapèze : C'est la moyenne des bases multipliée par la hauteur. Cela revient à calculer la surface d'un rectangle ayant pour largeur la "largeur moyenne" de la tranchée.

Remarque Pédagogique

Visualisez la section comme un rectangle central ($b \times h$) auquel on ajoute deux triangles rectangles sur les côtés.

Normes

Le calcul des surfaces doit être précis (souvent au cm²) car sur des kilomètres de linéaire, une petite erreur de section engendre de gros volumes d'erreur.

Formule(s)

Aire du Trapèze

S = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

Hypothèses

On considère la surface plane et sans irrégularités majeures (rochers saillants, cavités) sur la coupe type.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur gueule	$B$	2.00	m
Largeur fond	$b$	0.80	m
Profondeur	$h$	1.20	m

Astuces

Calculez d'abord la largeur moyenne :

\begin{aligned} \text{moyenne} &= \frac{2.00 + 0.80}{2} \\ &= 1.40 \text{ m} \end{aligned}

Puis multipliez par la hauteur :

\begin{aligned} S &= 1.40 \times 1.20 \\ &= 1.68 \text{ m}^2 \end{aligned}

C'est souvent plus simple mentalement.

Calcul Principal

Détail du calcul pas à pas

On applique la formule de l'aire du trapèze : moyenne des bases $\times$ hauteur.

Somme des bases (haut + bas) :
On additionne d'abord les deux largeurs horizontales :
$\begin{aligned} \text{somme} &= B + b \\ &= 2.00 + 0.80 \\ &= 2.80 \text{ m} \end{aligned}$
Multiplication par la hauteur :
On multiplie cette somme par la profondeur verticale de la tranchée :
$\begin{aligned} \text{produit} &= 2.80 \times 1.20 \\ &= 3.36 \end{aligned}$
Ce chiffre intermédiaire n'a pas de signification physique directe, c'est une étape de calcul.
Division par 2 :
Enfin, on divise par deux pour obtenir la surface moyenne :
$\begin{aligned} S &= \frac{3.36}{2} \\ &= 1.68 \text{ m}^2 \end{aligned}$

Le calcul posé en une seule fois donne :

\begin{aligned} S &= \frac{(2.00 + 0.80) \times 1.20}{2} \\ &= \frac{2.80 \times 1.20}{2} \\ &= \frac{3.36}{2} \\ &= 1.68 \text{ m}^2 \end{aligned}

La section transversale $S$ est donc de 1.68 m². Cela représente la surface visible si l'on coupe la tranchée perpendiculairement.

Schéma : Section équivalente

Réflexions

La surface de 1.68 m² représente la quantité de terre à excaver sur une tranche d'épaisseur négligeable (un plan). Elle servira de base au calcul de volume.

Points de vigilance

Assurez-vous que $B$, $b$ et $h$ sont tous exprimés dans la même unité (ici en mètres) avant de calculer. Ne mélangez pas cm et m !

Points à Retenir

La section transversale représente la surface de terre à creuser pour chaque mètre linéaire de tranchée.

Le saviez-vous ?

En topographie, on appelle cette surface le "Profil en Travers". Une route est définie par une succession de ces profils.

FAQ

Peut-on calculer l'aire sans calculer B au préalable ?

Oui, en décomposant en un rectangle et deux triangles : $S = (b \cdot h) + (k \cdot h^2)$. Le résultat sera identique.

S = 1.68 m²

A vous de jouer
Si la hauteur double (h=2.40m), la surface double-t-elle exactement ? (Faites le test !).

📝 Mémo
Surface = Largeur Moyenne × Hauteur.

Question 3 : Calculer le volume en place $V_{\text{ep}}$

Principe

Le volume de déblai "en place" (avant extraction) correspond au volume géométrique du prisme formé par la tranchée. Il s'obtient par simple extrusion de la section sur la longueur.

Mini-Cours

Volume d'un prisme droit : C'est toujours l'Aire de la base $\times$ la Hauteur (ici la longueur $L$ de la tranchée). C'est le principe du "saucisson" : une tranche (Surface) multipliée par la longueur.

Remarque Pédagogique

Dans les projets linéaires (routes, réseaux), on raisonne presque toujours en "mètre linéaire" ou en "section constante" sur un tronçon donné.

Normes

Le cubage est l'unité de base pour la rémunération des entreprises de terrassement (généralement payé au m³ compacté ou foisonné selon le marché).

Formule(s)

Volume du prisme

V_{\text{ep}} = S \cdot L

Hypothèses

On suppose que la section de la tranchée reste constante sur toute la longueur $L$. Si le terrain changeait de pente, il faudrait découper en tronçons.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Section	$S$	1.68	m²
Longueur	$L$	45.00	m

Astuces

Ordre de grandeur : Imaginez une tranchée rectangulaire moyenne de 1m de large sur 1m de profondeur et 45m de long = 45 m³. Ici, la tranchée est plus large (moyenne 1.4m) et plus profonde (1.2m), donc un résultat autour de 75 m³ est cohérent.

Calcul Principal

Détail du calcul pas à pas

On multiplie la surface de la coupe transversale ($S$) par la longueur totale de la tranchée ($L$).

Rappel des valeurs : $S=1.68 \text{ m}^2$ et $L=45.00 \text{ m}$.

\begin{aligned} V_{\text{ep}} &= S \times L \\ &= 1.68 \times 45.00 \\ &= 75.60 \text{ m}^3 \end{aligned}

Le résultat s'exprime en mètres cubes ($m^3$) car on multiplie des $m^2$ par des mètres.

Le volume en place (avant foisonnement) est donc de 75.60 m³.

Schéma : Extrusion du volume

Réflexions

Ce volume correspond exactement au vide géométrique créé dans le sol, avant que la terre ne soit remuée.

Points de vigilance

Attention : le volume est en mètres cubes ($m^3$). Ne confondez pas avec la surface en $m^2$. Une erreur d'unité peut coûter très cher sur un devis !

Points à Retenir

Pour un métré rapide : Volume = Section Moyenne x Longueur.

Le saviez-vous ?

Un camion benne standard (type 8x4) transporte environ 15 à 20 m³ de terre. Il faudra donc plusieurs camions pour évacuer tout ça !

FAQ

Et si le terrain est en pente ?

Il faudrait calculer la section moyenne entre le début et la fin, ou utiliser la méthode des "profils en travers successifs" (moyenne des aires x distance).

V_ep = 75.60 m³

A vous de jouer
Combien de m³ pour seulement 10 mètres de cette tranchée ?

📝 Mémo
Volume = Section × Longueur. C'est la base de tout métré.

Question 4 : Calculer le volume foisonné $V_{\text{f}}$

Principe

Lorsque la terre est extraite, elle est décompactée et occupe un volume plus important à cause de l'air qui s'intercale entre les particules. C'est ce volume qu'il faudra transporter ou stocker. On applique le coefficient de foisonnement $C_{\text{f}}$ au volume en place.

Mini-Cours

Le Foisonnement : C'est le phénomène d'augmentation du volume apparent d'un sol lors de son excavation. Le coefficient $C_{\text{f}}$ est toujours $\ge 1$.
Exemples : Sable $1.10$, Argile $1.25$, Roche éclatée $1.50$.

Remarque Pédagogique

C'est une erreur classique de dimensionner les camions sur le volume en place. Il faut toujours utiliser le volume foisonné pour le transport ! Sinon, il manquera des camions.

Normes

Les coefficients de foisonnement sont généralement issus des normes de terrassement (GTR - Guide des Terrassements Routiers) ou des études géotechniques spécifiques au chantier (mission G2).

Formule(s)

Volume foisonné

V_{\text{f}} = V_{\text{ep}} \cdot C_{\text{f}}

Hypothèses

Le coefficient $C_{\text{f}}$ est considéré constant pour l'ensemble des déblais extraits (nature du sol homogène sur toute la tranchée).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume en place	$V_{\text{ep}}$	75.60	m³
Coef. foisonnement	$C_{\text{f}}$	1.25	-

Astuces

Multiplier par 1.25 revient à ajouter un quart.

\begin{aligned} \text{calcul rapide} &= 75 + \frac{75}{2 \times 2} \\ &\approx 75 + 19 \\ &= 94 \end{aligned}

Calcul mental rapide pour vérifier l'ordre de grandeur !

Calcul Principal

Détail du calcul pas à pas

On applique le coefficient de foisonnement $C_{\text{f}} = 1.25$ au volume en place. Cela revient à dire que la terre prend 25% de volume en plus une fois sortie du trou, car elle n'est plus tassée.

\begin{aligned} V_{\text{f}} &= V_{\text{ep}} \times C_{\text{f}} \\ &= 75.60 \times 1.25 \\ &= 94.50 \text{ m}^3 \end{aligned}

Pour comprendre ce résultat, on peut faire une vérification mentale en ajoutant un quart (25%) :

\begin{aligned} \text{Vérif} &= 75.60 + (0.25 \times 75.60) \\ &= 75.60 + 18.90 \\ &= 94.50 \text{ m}^3 \end{aligned}

Le volume final à évacuer est de 94.50 m³. C'est ce chiffre qui déterminera le nombre de rotations de camions.

Schéma : Effet du foisonnement

Réflexions

L'augmentation de volume est significative (+18.9 m³), ce qui représente environ un gros camion supplémentaire. C'est loin d'être négligeable !

Points de vigilance

Si vous devez remblayer la tranchée ensuite, il faudra prendre en compte le coefficient de compactage (l'inverse du foisonnement). Il faudra souvent apporter plus de terre que le volume théorique du trou pour compenser le tassement futur.

Points à Retenir

Le volume à transporter est toujours supérieur au volume du trou.

Le saviez-vous ?

Le foisonnement est aussi appelé "gonflement" dans certains manuels anciens. On distingue le foisonnement passager (transport) du foisonnement résiduel (après tassement).

FAQ

Le coefficient est-il le même pour tous les sols ?

Non, il varie énormément. Le sable foisonne peu (1.1), l'argile et la roche beaucoup (1.3 à 1.6). Il faut consulter les tables géotechniques.

V_f = 94.50 m³

A vous de jouer
Si le terrain était très argileux avec un coefficient de foisonnement de 1.30, quel serait le nouveau volume foisonné ?

📝 Mémo
Volume Transporté > Volume du Trou. Toujours majorer pour l'évacuation.

Bilan de l'Exercice

Récapitulatif des dimensions calculées pour la réalisation de la tranchée.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Pour réussir vos cubatures de tranchées :

🔑
Géométrie : Toujours décomposer la section en formes simples (ici un trapèze ou un rectangle + 2 triangles).
📐
Volume : $V = \text{Section} \times \text{Longueur}$. Attention aux unités (tout en mètres).
⚠️
Foisonnement : N'oubliez jamais que le volume à évacuer par camion est toujours supérieur au volume du trou (coef > 1).

🎛️ Simulateur de Cubature

Modifiez la longueur et la profondeur de la tranchée pour voir l'impact sur le volume de déblais (avec $b=0.8$ et $k=0.5$ fixes).

Paramètres

Longueur de tranchée ($L$) : 50 m

Profondeur ($h$) : 1.2 m

Volume en place ($V_{\text{ep}}$) : - m³

Volume foisonné ($V_{\text{f}}$) : - m³

📝 Quiz final : Validation des acquis

1. Si je double la longueur de la tranchée, le volume... ?

Reste identique
Double également
Quadruple

2. Le volume foisonné est-il toujours supérieur au volume en place ?

Vrai
Faux

📚 Glossaire

Talus: Inclinaison de la paroi de la fouille par rapport à la verticale.
Foisonnement: Augmentation du volume apparent des terres lors de l'extraction.
Gueule: Partie supérieure de la tranchée (ouverture).
Fil d'eau: Ligne inférieure de l'écoulement dans la canalisation.
Cubature: Calcul des volumes de terres à mouvoir.

Calcul du volume d’une tranchée pour canalisation

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Coupe transversale de la tranchée

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul du volume d'une tranchée pour canalisation

Question 1 : Calculer la largeur en gueule \(B\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul Principal

Schéma de vérification

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Calculer la section transversale \(S\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul Principal

Schéma : Section équivalente

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calculer le volume en place \(V_{\text{ep}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul Principal

Schéma : Extrusion du volume

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Calculer le volume foisonné \(V_{\text{f}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Calcul Principal

Schéma : Effet du foisonnement

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Bilan de l'Exercice

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

🎛️ Simulateur de Cubature

Paramètres

📝 Quiz final : Validation des acquis

📚 Glossaire

Le Saviez-vous ?