Calcul d'un Cheminement Mixte - Exercice corrigé

Contexte : L'utilisation combinée du nivellement directMéthode précise utilisant un niveau optique pour mesurer des différences d'altitude par visées horizontales. et du nivellement trigonométriqueMéthode utilisant un tachéomètre (station totale) pour mesurer des angles verticaux et des distances, adaptée aux forts dénivelés..

Vous êtes géomètre chargé de déterminer l'altitude d'un point B situé en haut d'une forte pente inaccessible au niveau optique classique. Vous partez d'un repère de nivellement A situé dans la vallée. Pour ce faire, vous réalisez un cheminement mixte : une première section en nivellement direct (de A vers une station intermédiaire S1) et une seconde section en nivellement trigonométrique (de S1 vers le point B).

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de comprendre comment et pourquoi on change de méthode de mesure sur le terrain en fonction du relief, et comment "raccorder" mathématiquement ces deux méthodes pour obtenir une altitude finale cohérente.

Objectifs Pédagogiques

Calculer une dénivelée par nivellement direct (visée arrière - visée avant).
Calculer une dénivelée par nivellement trigonométrique (angle zénithal et distance).
Maîtriser la conversion des unités d'angle (grades vers degrés/radians).
Enchaîner les calculs pour transmettre une altitude (Z).

Données de terrain

Voici les mesures relevées lors de votre intervention sur le terrain.

Fiche de Nivellement et Carnet de Terrain

Point	Type de Mesure	Valeur	Unité
Repère A	Altitude Connue (Z_A)	150.500	m
A vers S1	Lecture Arrière sur A (L_ar)	1.450	m
A vers S1	Lecture Avant sur S1 (L_av)	0.850	m
Station S1	Hauteur d'appareil (ht)	1.550	m
S1 vers B	Hauteur de voyant/prisme (hv)	1.600	m
S1 vers B	Distance suivant la pente (Dp)	124.500	m
S1 vers B	Angle Zénithal (V)	85.400	gon (gr)

Profil du Terrain (Schématique)

Questions à traiter

Calculer la dénivelée partielle (\(\Delta H_{\text{A-S1}}\)) et l'altitude du point S1 (\(Z_{\text{S1}}\)).
Calculer la dénivelée géométrique (\(\Delta H_{\text{geo}}\)) entre S1 et B à l'aide des mesures trigonométriques.
Calculer la dénivelée totale (\(\Delta Z_{\text{S1-B}}\)) en prenant en compte les hauteurs d'appareil et de voyant.
En déduire l'altitude finale du point B (\(Z_{\text{B}}\)).

Les bases du Nivellement

Rappel des concepts théoriques nécessaires pour résoudre l'exercice.

1. Nivellement Direct (Géométrique)
La différence d'altitude est la différence entre la lecture sur la mire arrière et la lecture sur la mire avant. \[ \Delta H = L_{\text{ar}} - L_{\text{av}} \]

2. Nivellement Trigonométrique (Indirect)
La différence d'altitude brute est calculée par trigonométrie. Avec l'angle zénithal \(V\) et la distance suivant la pente \(Dp\) : \[ \Delta H_{\text{geo}} = Dp \cdot \cos(V) \] Attention : Il faut ajouter la hauteur d'appareil (\(ht\)) et soustraire la hauteur de voyant (\(hv\)) pour avoir la dénivelée au sol. \[ \Delta Z = \Delta H_{\text{geo}} + ht - hv \]

Correction : Calcul d'un Cheminement Mixte

Question 1 : Altitude du point intermédiaire S1

Principe

On commence par la partie "plate" du terrain. On utilise le principe du nivellement direct : le niveau crée un plan horizontal de visée. La hauteur de ce plan par rapport au point A est donnée par la lecture arrière. La hauteur du point S1 par rapport à ce même plan est donnée par la lecture avant. La différence entre ces deux lectures nous donne la dénivelée.

Mini-Cours

En nivellement direct, l'opérateur stationne l'appareil entre deux points. La lecture sur le point d'origine (connu) est appelée "lecture arrière". La lecture sur le point à déterminer est la "lecture avant". La formule fondamentale est : Altitude B = Altitude A + (Lecture Arrière - Lecture Avant).

Remarque Pédagogique

Visualisez le niveau comme une ligne horizontale imaginaire. Si je lis une grande valeur sur la mire, c'est que le sol est bas. Si je lis une petite valeur, c'est que le sol est haut (proche de l'axe optique). Donc Arrière - Avant > 0 signifie que le sol monte.

Normes

Pour un nivellement de précision ordinaire, la tolérance de fermeture est généralement donnée par \( T = 2.7 \sigma \sqrt{K} \), où K est la longueur du cheminement en km et \(\sigma\) l'écart-type kilométrique (souvent 2 ou 3mm).

Formule(s)

Calcul de la dénivelée

\Delta H_{\text{A-S1}} = L_{\text{ar}} - L_{\text{av}}

Calcul de l'altitude

Z_{\text{S1}} = Z_{\text{A}} + \Delta H_{\text{A-S1}}

Hypothèses

On suppose que l'axe de visée est parfaitement horizontal (erreur de collimation négligeable ou compensée par des portées égales) et que la mire est tenue parfaitement verticalement (bulles réglées).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude de A	Z_A	150.500	m
Lecture Arrière	L_ar	1.450	m
Lecture Avant	L_av	0.850	m

Astuces

Moyen mnémotechnique : "Arrière moins Avant" (Ar - Av) donne le sens de la pente. Positif = ça monte, Négatif = ça descend.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la station de niveau : l'appareil est plus haut que A de 1.450m.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la dénivelée partielle

Pour déterminer de combien on monte ou on descend, on compare la lecture sur le point connu (Arrière) et celle sur le nouveau point (Avant).

\begin{aligned} \Delta H_{\text{A-S1}} &= L_{\text{ar}} - L_{\text{av}} \\ &= 1.450 - 0.850 \\ &= +0.600 \text{ m} \end{aligned}

Le résultat positif indique que le terrain monte de 60 cm entre A et S1.

Étape 2 : Calcul de l'altitude de S1

L'altitude se transmet. L'altitude d'arrivée est égale à l'altitude de départ plus la dénivelée.

\begin{aligned} Z_{\text{S1}} &= Z_{\text{A}} + \Delta H_{\text{A-S1}} \\ &= 150.500 + 0.600 \\ &= 151.100 \text{ m} \end{aligned}

On ajoute cette différence d'altitude à l'altitude connue du point de départ A.

Schéma (Après les calculs)

Le point S1 est situé 60cm plus haut que A.

Réflexions

La dénivelée est positive, ce qui est cohérent avec le fait que la lecture arrière est plus grande que la lecture avant (on regarde plus bas sur la mire arrière car on est plus bas, et plus haut sur la mire avant car le sol est monté).

Points de vigilance

Attention aux unités (tout est en mètres ici) et surtout aux signes. Une erreur de signe inverserait la pente du terrain !

Points à retenir

La formule \( \Delta H = L_{\text{ar}} - L_{\text{av}} \) est universelle en nivellement direct.
L'altitude se transmet de proche en proche.

Le saviez-vous ?

Le "Z" pour désigner l'altitude vient de l'allemand "Zenit" (Zénith), bien que l'altitude se mesure à l'opposé (Nadir).

FAQ

Résultat Final

L'altitude du point S1 est de 151.100 m.

A vous de jouer

Si la lecture arrière était de 1.000 m et la lecture avant de 1.500 m, quelle serait l'altitude de S1 ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : Nivellement Direct = Arrière - Avant.

Question 2 : Dénivelée Géométrique (Trigo)

Principe

Nous sommes maintenant sur la partie pentue. L'appareil (station totale) mesure la distance inclinée (\(Dp\)) et l'angle vertical par rapport au zénith (verticale du lieu). Nous devons projeter cette distance sur l'axe vertical pour obtenir la différence de hauteur purement géométrique.

Mini-Cours

Dans un triangle rectangle formé par la distance pente (hypoténuse), la distance horizontale et la dénivelée, l'angle au sommet est l'angle zénithal V. La relation trigonométrique est : côté adjacent (dénivelée) = hypoténuse (Dp) * cos(V).

Remarque Pédagogique

Attention à l'unité d'angle. Les appareils de topographie utilisent souvent le Grade (gon), où l'angle droit vaut 100 gr. Les calculatrices scolaires sont souvent en degrés (deg). La conversion est indispensable.

Normes

La réfraction atmosphérique et la sphéricité de la terre peuvent influencer les mesures sur de longues distances. Pour des distances inférieures à 300-400m, la correction de niveau apparent est souvent négligée car inférieure à la précision millimétrique courante.

Formule(s)

Conversion Grades -> Degrés

\alpha_{\text{deg}} = \alpha_{\text{gr}} \times 0.9

Dénivelée géométrique

\Delta H_{\text{geo}} = Dp \times \cos(V)

Hypothèses

On néglige la correction de niveau apparent (sphéricité + réfraction) car la distance est courte (< 500m) et l'atmosphère est considérée standard.

Donnée(s)

Distance pente (Dp) : 124.500 m
Angle Zénithal (V) : 85.400 gr

Astuces

Sur votre calculatrice, vérifiez toujours le mode angulaire (DEG, RAD, GRA). Si vous n'êtes pas sûr, convertissez manuellement en degrés : x 0.9.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Conversion de l'angle (si nécessaire)

Si votre calculatrice est configurée en degrés (DEG), convertissez l'angle V. Si elle est en grades (GRA), cette étape est automatique.

V_{\text{deg}} = 85.400 \times 0.9 = 76.86^\circ

Calcul de la composante verticale

On applique la formule trigonométrique de base dans le triangle rectangle vertical. On multiplie la distance pente par le cosinus de l'angle zénithal pour projeter sur la verticale.

\begin{aligned} \Delta H_{\text{geo}} &= Dp \times \cos(V) \\ &= 124.500 \times \cos(85.400 \text{ gr}) \\ &= 124.500 \times 0.2272 \\ &= 28.291 \text{ m} \end{aligned}

Cette valeur représente la différence de hauteur brute entre l'axe de l'instrument et le prisme, sans tenir compte de leurs hauteurs respectives par rapport au sol.

Schéma (Après les calculs)

Le triangle est résolu, nous avons la hauteur verticale brute de 28.291m.

Réflexions

L'angle V est inférieur à 100gr, donc on "regarde vers le haut". Le cosinus est positif, la dénivelée est positive. C'est cohérent avec la topographie du terrain.

Points de vigilance

Ne confondez pas l'angle zénithal (depuis la verticale) et l'angle de site (depuis l'horizontale). Ici, c'est bien un angle zénithal.

Points à retenir

Trigo : \(\Delta H = Dp \cdot \cos(V)\)
Vérifier le mode de la calculatrice.

Le saviez-vous ?

Le "grade" a été inventé lors de la Révolution française pour décimaliser les angles, comme le mètre a décimalisé les longueurs.

FAQ

Résultat Final

La dénivelée géométrique est de 28.291 m.

A vous de jouer

Si V = 100 gr (angle droit), que vaut la dénivelée géométrique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : Projection verticale = Dp * cos(V).

Question 3 : Dénivelée Totale S1 vers B

Principe

La valeur calculée précédemment (\(\Delta H_{\text{geo}}\)) est la différence entre l'axe optique de l'appareil et le centre du prisme. Pour connaître la vraie différence entre le point au sol S1 et le point au sol B, il faut corriger avec la hauteur de l'appareil (\(ht\)) et la hauteur du voyant (\(hv\)).

Mini-Cours

Imaginez que vous mesurez la hauteur de vos yeux. Si vous êtes debout sur un tabouret (ht), vos yeux sont plus hauts. Si vous regardez quelqu'un sur un autre tabouret (hv), vous devez soustraire la hauteur de son tabouret pour comparer les sols.

Remarque Pédagogique

C'est une source d'erreur fréquente : oublier les hauteurs d'instrument. Toujours noter ht et hv sur le carnet de terrain !

Normes

Les hauteurs doivent être mesurées au millimètre près avec un mètre ruban standardisé, depuis le point topographique (clou) jusqu'à l'axe de basculement de l'appareil.

Formule(s)

Dénivelée réelle

\Delta Z_{\text{S1-B}} = \Delta H_{\text{geo}} + ht - hv

Hypothèses

On suppose que les hauteurs ht et hv ont été mesurées verticalement, et non pas le long de la jambe du trépied (erreur de biais).

Donnée(s)

Dénivelée Géo (Delta H geo) : 28.291 m
Hauteur appareil (ht) : 1.550 m
Hauteur voyant (hv) : 1.600 m

Astuces

Signe : +ht (ça part de l'appareil, donc on ajoute sa hauteur), -hv (ça arrive au prisme, donc on retire sa hauteur pour revenir au sol).

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

On transforme la dénivelée instrumentale (axe à prisme) en dénivelée topographique (sol à sol). On applique la formule de correction des hauteurs. On ajoute la hauteur d'instrument et on retranche la hauteur de voyant.

\begin{aligned} \Delta Z_{\text{S1-B}} &= \Delta H_{\text{geo}} + ht - hv \\ &= 28.291 + 1.550 - 1.600 \\ &= 28.291 - 0.050 \\ &= +28.241 \text{ m} \end{aligned}

La correction est minime ici (-5 cm) car la hauteur d'appareil et la hauteur de voyant sont très proches, mais elle est indispensable pour la justesse.

Schéma (Après les calculs)

Nous avons maintenant la dénivelée sol à sol.

Réflexions

L'impact de ht et hv est faible ici (-5cm), mais il est crucial pour la précision millimétrique. Sur un chantier, 5cm d'erreur est souvent inacceptable.

Points de vigilance

Ne pas inverser ht et hv dans la formule.

Points à retenir

Si \(ht\) et \(hv\) sont identiques, ils s'annulent. C'est une technique souvent utilisée sur le terrain pour simplifier les calculs (on règle la hauteur du prisme égale à la hauteur de l'appareil).

Le saviez-vous ?

Les cannes porte-prisme modernes sont graduées pour lire hv directement, ce qui évite d'avoir à utiliser un mètre ruban à chaque fois.

FAQ

Résultat Final

La dénivelée totale est de +28.241 m.

A vous de jouer

Si ht = 1.60m et hv = 1.40m, quelle correction apporte-t-on ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : + ht - hv.

Question 4 : Altitude Finale de B

Principe

C'est la dernière étape : on cumule les résultats. L'altitude finale est l'altitude de départ + toutes les dénivelées successives.

Mini-Cours

Le cheminement est une suite de dénivelées. La formule générale pour n'importe quel point i est : Z_i = Z_depart + Somme(Dénivelées jusqu'à i).

Remarque Pédagogique

Vérifiez toujours la cohérence globale. On est monté (Q1) puis monté fort (Q2/3). Le résultat doit être nettement supérieur à l'altitude de départ.

Normes

Dans un cheminement encadré (fermé sur un autre point connu), on calculerait l'erreur de fermeture pour la répartir. Ici, c'est un cheminement ouvert (antenne), donc on ne peut pas compenser l'erreur, mais on doit être sûr de nos calculs.

Formule(s)

Z_{\text{B}} = Z_{\text{S1}} + \Delta Z_{\text{S1-B}}

Hypothèses

On suppose que le point S1 est resté stable entre les deux phases de mesure (pas d'enfoncement du trépied).

Donnée(s)

Altitude S1 (Z S1) : 151.100 m
Dénivelée S1-B (Delta Z) : +28.241 m

Astuces

Faites un schéma récapitulatif avec toutes les altitudes pour visualiser le profil du terrain.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du cumul des altitudes.

Calcul(s)

C'est l'étape finale du cheminement : on part du point intermédiaire S1 pour arriver à B. On additionne l'altitude du point précédent (S1) et la dénivelée totale calculée pour atteindre B.

\begin{aligned} Z_{\text{B}} &= Z_{\text{S1}} + \Delta Z_{\text{S1-B}} \\ &= 151.100 + 28.241 \\ &= 179.341 \text{ m} \end{aligned}

Nous avons atteint l'objectif : l'altitude du point B est déterminée.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Le point B est ~29m plus haut que A. C'est cohérent avec la description "haut d'une forte pente".

Points de vigilance

Erreur de report de chiffre d'une question à l'autre.

Points à retenir

L'altitude se propage point par point : Z(n) = Z(n-1) + DeltaZ.

Le saviez-vous ?

Le Mont Blanc a été mesuré avec des méthodes similaires (triangulation et nivellement trigonométrique) bien avant les GPS !

FAQ

Résultat Final

L'altitude du point B est de 179.341 m.

A vous de jouer

Imaginez maintenant que l'angle zénithal \(V\) soit de 105.000 gr (visée vers le bas, légère pente). Avec les mêmes autres données (Dp, ht, hv, Z_S1), quelle serait l'altitude de B ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : On cumule tout.

Outil Interactif : Simulateur de Nivellement Trigo

Modifiez la distance inclinée et l'angle zénithal pour voir l'impact sur la dénivelée et l'altitude.

Paramètres de Visée

Distance Pente (Dp) [m] 124 m

Angle Zénithal (V) [gr] 85.4 gr

Résultats Calculés

Dénivelée Géo. (Delta H) -

Distance Horizontale (Dh) -

Glossaire

Angle Zénithal (V): Angle vertical mesuré depuis la verticale locale (le Zénith, au-dessus de la tête) vers le point visé. V = 0 au Zénith, V = 100gr à l'horizontale.
Distance Pente (Dp): La distance réelle mesurée par le rayon laser du tachéomètre entre l'appareil et le prisme.
Hauteur d'appareil (ht): Distance verticale entre le point au sol (le clou d'arpentage) et l'axe optique de l'instrument.
Hauteur de voyant (hv): Distance verticale entre le point mesuré au sol et le centre du prisme réflecteur.

Calcul d’un Cheminement Mixte

Objectifs Pédagogiques

Données de terrain

Fiche de Nivellement et Carnet de Terrain

Profil du Terrain (Schématique)

Questions à traiter

Les bases du Nivellement

Correction : Calcul d'un Cheminement Mixte

Question 1 : Altitude du point intermédiaire S1

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Dénivelée Géométrique (Trigo)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Dénivelée Totale S1 vers B

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Altitude Finale de B

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)