Correction d'Erreur de Hauteur de Prisme

Contexte : Le Nivellement DirectMéthode topographique de mesure des différences d'altitude (dénivelées) à l'aide d'un niveau et d'une mire..

Un géomètre-topographe effectue un cheminement altimétrique (nivellement direct) en "boucle" ou "aller-retour", partant du repère connu `NIV_A` pour déterminer l'altitude de `NIV_B`, puis revenant à `NIV_A` pour fermer la boucle et évaluer la précision des mesures. Une fois au bureau, une erreur systématique est suspectée sur la hauteur de la mire (parfois appelée "prisme" par abus de langage en station totale, mais "mire" en nivellement).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer un cheminement altimétrique, à déterminer et répartir l'erreur de fermeture, et surtout à analyser l'impact d'une erreur systématique sur le résultat final.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les dénivelées brutes (\(\Delta H\)) à partir d'un carnet de levé.
Déterminer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f_H\)) d'un cheminement fermé.
Comparer la fermeture à la tolérance réglementaire.
Répartir la fermeture (compensation) pour calculer les altitudes compensées.
Analyser l'impact d'une erreur systématique (ex: mire déréglée) sur les calculs.

Données de l'étude

Le point de départ est le repère `NIV_A` dont l'altitude est connue et fixée. Le levé est un aller-retour `NIV_A` \(\rightarrow\) `NIV_B` \(\rightarrow\) `NIV_A`.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Repère de départ	NIV_A
Altitude NIV_A	125.450 m
Tolérance de fermeture	\( T = 15 \sqrt{L_{\text{km}}} \text{ (en mm)} \)

Schéma du Cheminement Altimétrique

Station	Point Visé	Lect. Arrière (L_AR)	Lect. Avant (L_AV)	Longueur (m)
ST1	NIV_A (AR)	1.560	-	-
	P1 (AV)	-	1.230	40
ST2	P1 (AR)	1.880	-	-
	NIV_B (AV)	-	1.450	38
ST3	NIV_B (AR)	1.320	-	-
	P2 (AV)	-	1.700	39
ST4	P2 (AR)	1.950	-	-
	NIV_A (AV)	-	2.323	41

Questions à traiter

Calculer les dénivelées brutes (\(\Delta H\)) pour chaque portée (de station à station).
Calculer la dénivelée totale du cheminement aller-retour et déterminer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f_H\)).
La longueur totale du cheminement est de \(158 \text{ m}\). La fermeture est-elle acceptable selon la tolérance fournie ?
Calculer la compensation à appliquer à chaque dénivelée (proportionnellement aux longueurs) et déterminer les altitudes compensées des points `P1` et `NIV_B`.
Le géomètre réalise que sa mire était déréglée : elle indiquait systématiquement \(2 \text{ cm}\) de *plus* que la réalité (ex: pour une vraie hauteur de 1.50m, la mire indiquait 1.52m). Quelle est l'altitude *correcte* de `NIV_B` ?

Les bases du Nivellement Direct

Le nivellement direct par le milieu est la méthode la plus précise pour déterminer des altitudes. Elle repose sur des principes simples.

1. Calcul de la Dénivelée (\(\Delta H\))
La différence d'altitude entre deux points A et B est la différence entre la lecture sur la mire en A (Lecture Arrière) et la lecture sur la mire en B (Lecture Avant). \[ \Delta H_{AB} = L_{AR} - L_{AV} \]

2. Calcul d'Altitude
L'altitude d'un point B est l'altitude du point A, plus la dénivelée entre A et B. \[ Alt_B = Alt_A + \Delta H_{AB} \]

3. Fermeture Altimétrique (\(f_H\))
Dans une boucle (aller-retour), la somme de toutes les dénivelées doit être théoriquement nulle. La valeur réelle trouvée est l'erreur de fermeture. \[ f_H = \sum \Delta H_{\text{boucle}} \]

4. Compensation de Fermeture
L'erreur de fermeture (\(f_H\)) est répartie sur chaque dénivelée, proportionnellement à la longueur de la portée. La compensation \(C_i\) pour une portée \(i\) est : \[ C_i = -f_H \times \left( \frac{L_i}{L_{\text{totale}}} \right) \] La dénivelée compensée est : \(\Delta H_{\text{comp}} = \Delta H_{\text{brute}} + C_i\)

Correction : Correction d'Erreur de Hauteur de Prisme

Question 1 : Calculer les dénivelées brutes (\(\Delta H\))

Principe

On applique la formule fondamentale du nivellement \(\Delta H = L_{AR} - L_{AV}\) pour chaque couple de visées (portée) issu d'une même station du niveau.

Mini-Cours

Le nivellement directMesure de la différence d'altitude (dénivelée) entre deux points à l'aide d'un niveau et d'une mire. par le milieu consiste à stationner un niveau à peu près à mi-distance entre deux points A et B. L'instrument vise une mire sur A (Lecture Arrière, L_AR) puis sur B (Lecture Avant, L_AV). La différence d'altitude est simplement la différence de ces lectures. Si L_AR > L_AV, cela signifie que B est plus haut que A.

Remarque Pédagogique

La clé est de bien identifier quel point est "Arrière" (celui dont on vient) et quel point est "Avant" (celui vers lequel on va). Une erreur d'inversion est vite arrivée et change le signe de la dénivelée.

Normes

Il n'y a pas de "norme" pour ce calcul simple, c'est la définition même du nivellement. Cependant, les normes de topographie (Tolérances NGM) s'appliqueront plus tard pour la validation de la fermeture.

Formule(s)

Dénivelée par portée

\Delta H = L_{AR} - L_{AV}

Hypothèses

Pour que cette formule soit exacte, on pose plusieurs hypothèses :

L'axe de visée de l'instrument (le niveau) est parfaitement horizontal.
La mire est tenue parfaitement verticale lors des deux lectures.
L'instrument est stationné "par le milieu", ce qui annule les erreurs de collimation et de courbure terrestre.

Donnée(s)

On utilise le carnet de levé de l'énoncé.

Portée	L_AR (m)	L_AV (m)
NIV_A \(\rightarrow\) P1	1.560	1.230
P1 \(\rightarrow\) NIV_B	1.880	1.450
NIV_B \(\rightarrow\) P2	1.320	1.700
P2 \(\rightarrow\) NIV_A	1.950	2.323

Astuces

Un moyen simple de vérifier le signe : si on "monte" (on va vers un point plus haut), la lecture Avant (L_AV) sera plus *petite* que la lecture Arrière (L_AR), et la dénivelée sera *positive*. C'est le cas pour la première portée (1.560 > 1.230).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du principe de la première portée (ST1).

Principe du Nivellement par le Milieu (ST1)

Calcul(s)

Nous prenons les valeurs du carnet de levé, station par station, et appliquons la formule \(\Delta H = L_{AR} - L_{AV}\).

Étape 1 : Portée 1 (ST1)

Depuis ST1, la visée arrière sur `NIV_A` est \(L_{AR} = 1.560 \text{ m}\) et la visée avant sur `P1` est \(L_{AV} = 1.230 \text{ m}\).

\begin{aligned} \Delta H_{A \rightarrow P1} &= L_{AR} - L_{AV} \\ &= 1.560 - 1.230 \\ &= +0.330 \text{ m} \end{aligned}

La première dénivelée est donc une montée de 33.0 cm.

Étape 2 : Portée 2 (ST2)

Depuis ST2, la visée arrière sur `P1` est \(L_{AR} = 1.880 \text{ m}\) et la visée avant sur `NIV_B` est \(L_{AV} = 1.450 \text{ m}\).

\begin{aligned} \Delta H_{P1 \rightarrow B} &= L_{AR} - L_{AV} \\ &= 1.880 - 1.450 \\ &= +0.430 \text{ m} \end{aligned}

La deuxième dénivelée est une montée de 43.0 cm.

Étape 3 : Portée 3 (ST3)

Depuis ST3, la visée arrière sur `NIV_B` est \(L_{AR} = 1.320 \text{ m}\) et la visée avant sur `P2` est \(L_{AV} = 1.700 \text{ m}\).

\begin{aligned} \Delta H_{B \rightarrow P2} &= L_{AR} - L_{AV} \\ &= 1.320 - 1.700 \\ &= -0.380 \text{ m} \end{aligned}

Pour le chemin retour, la troisième dénivelée est une descente de 38.0 cm.

Étape 4 : Portée 4 (ST4)

Depuis ST4, la visée arrière sur `P2` est \(L_{AR} = 1.950 \text{ m}\) et la visée avant sur `NIV_A` est \(L_{AV} = 2.323 \text{ m}\).

\begin{aligned} \Delta H_{P2 \rightarrow A} &= L_{AR} - L_{AV} \\ &= 1.950 - 2.323 \\ &= -0.373 \text{ m} \end{aligned}

La dernière dénivelée est une descente de 37.3 cm, nous ramenant au point de départ.

Schéma (Après les calculs)

On peut résumer les résultats dans un tableau pour plus de clarté.

Portée	\(\Delta H\) Brute (m)
NIV_A \(\rightarrow\) P1	+0.330
P1 \(\rightarrow\) NIV_B	+0.430
NIV_B \(\rightarrow\) P2	-0.380
P2 \(\rightarrow\) NIV_A	-0.373

Réflexions

Les deux premières dénivelées sont positives, ce qui signifie que le terrain "monte" de NIV_A vers NIV_B. Les deux dernières sont négatives, ce qui est logique car on "redescend" pour le cheminement retour.

Points de vigilance

La principale source d'erreur à ce stade est une simple faute de frappe ou une inversion entre L_AR et L_AV. Toujours vérifier mentalement (grâce à l'astuce) si le signe obtenu (+ ou -) correspond à la logique (terrain qui monte ou qui descend).

Points à retenir

La formule \(\Delta H = L_{AR} - L_{AV}\) est la base de tout le nivellement direct.
Une dénivelée positive signifie une montée.
Une dénivelée négative signifie une descente.

Le saviez-vous ?

Les lectures sur mire (comme 1.560 m) sont souvent prises au millimètre près. L'opérateur lit le mètre (1), le décimètre (5), le centimètre (6) et estime le millimètre (0). C'est une source d'erreur aléatoire (erreur d'appréciation).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Les dénivelées brutes sont :
\(\Delta H_{A \rightarrow P1} = +0.330 \text{ m}\)
\(\Delta H_{P1 \rightarrow B} = +0.430 \text{ m}\)
\(\Delta H_{B \rightarrow P2} = -0.380 \text{ m}\)
\(\Delta H_{P2 \rightarrow A} = -0.373 \text{ m}\)

A vous de jouer

Si pour la portée 1 (ST1), la lecture avant (L_AV) avait été de 1.330m, quelle aurait été la dénivelée ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Calcul de dénivelée brute.
Formule Essentielle : \(\Delta H = L_{AR} - L_{AV}\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas inverser L_AR et L_AV.

Question 2 : Calculer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f_H\))

Principe

Puisqu'il s'agit d'un cheminement fermé (retour au point de départ NIV_A), la somme théorique de toutes les dénivelées doit être exactement zéro. La valeur réelle obtenue par la somme des mesures est l'erreur de fermeture.

Mini-Cours

Un cheminement altimétrique est dit "fermé" lorsqu'il revient à son point de départ. L'altitude du point d'arrivée (NIV_A) est donc la même que celle du point de départ (NIV_A). Par conséquent, la somme de toutes les montées et descentes (\(\sum \Delta H\)) devrait être nulle. L'écart à zéro est l'erreur de fermeture \(f_H\), qui représente l'erreur globale accumulée sur le parcours.

Remarque Pédagogique

Calculer la fermeture est l'étape de contrôle la plus importante en topographie. Elle permet de valider (ou d'invalider) l'ensemble des mesures prises sur le terrain avant de procéder aux calculs finaux.

Normes

Le calcul de \(f_H\) lui-même n'est pas normé, c'est une simple addition. C'est la *valeur* de \(f_H\) qui sera ensuite comparée à une tolérance normative (voir Q3).

Formule(s)

Fermeture altimétrique

f_H = \sum \Delta H_{\text{boucle}} = \Delta H_{\text{totale}}

Hypothèses

On suppose que le point d'arrivée "NIV_A" (visée AV depuis ST4) est bien le même point physique que le point de départ "NIV_A" (visée AR depuis ST1).

Donnée(s)

On utilise les 4 dénivelées brutes calculées à la question 1 :
\(\Delta H_1 = +0.330 \text{ m}\)
\(\Delta H_2 = +0.430 \text{ m}\)
\(\Delta H_3 = -0.380 \text{ m}\)
\(\Delta H_4 = -0.373 \text{ m}\)

Astuces

On peut calculer la somme des dénivelées "Aller" (de NIV_A à NIV_B) et la somme des dénivelées "Retour" (de NIV_B à NIV_A). La fermeture est la somme de ces two valeurs.
\(\Delta H_{\text{Aller}} = +0.330 + 0.430 = +0.760 \text{ m}\)
\(\Delta H_{\text{Retour}} = -0.380 - 0.373 = -0.753 \text{ m}\)
La fermeture est \(+0.760 - 0.753 = +0.007 \text{ m}\). C'est une bonne vérification.

Schéma (Avant les calculs)

Le cheminement forme une boucle. L'erreur est l'écart vertical entre le point de départ et le point d'arrivée.

Schéma de la Boucle Fermée

Calcul(s)

On additionne les quatre dénivelées brutes que nous venons de calculer à la Question 1.

Somme des dénivelées

\begin{aligned} f_H &= \sum \Delta H_{\text{boucle}} \\ f_H &= (\Delta H_{A \rightarrow P1}) + (\Delta H_{P1 \rightarrow B}) + (\Delta H_{B \rightarrow P2}) + (\Delta H_{P2 \rightarrow A}) \\ f_H &= (+0.330) + (+0.430) + (-0.380) + (-0.373) \\ f_H &= \underbrace{(+0.760)}_{\text{Somme Aller}} + \underbrace{(-0.753)}_{\text{Somme Retour}} \\ f_H &= +0.007 \text{ m} \end{aligned}

Le calcul montre une fermeture positive de 0.007 m, soit 7 millimètres.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour cette étape. Le résultat est une valeur unique.

Réflexions

L'erreur de fermeture est positive (+7 mm). Cela signifie que notre cheminement "Aller" a mesuré une montée totale de +0.760 m, tandis que notre cheminement "Retour" a mesuré une descente de seulement -0.753 m. Il y a un écart de 7 mm. Nous sommes "arrivés" 7 mm plus haut que notre point de départ.

Points de vigilance

Une erreur de signe est très fréquente. Une fermeture positive (`+7 mm`) signifie que le cheminement "remonte" (on arrive "trop haut" de 7 mm par rapport au départ). Pour compenser, il faudra donc "redescendre", c'est-à-dire appliquer une compensation totale de -7 mm.

Points à retenir

La fermeture \(f_H\) est la somme de *toutes* les dénivelées d'une boucle.
Théoriquement, \(f_H\) doit être nulle.
\(f_H = \Delta H_{\text{Aller}} + \Delta H_{\text{Retour}}\).

Le saviez-vous ?

En France, les altitudes sont généralement rattachées au système NGF (Nivellement Général de la France), dont le point "zéro" est défini par le marégraphe de Marseille.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'erreur de fermeture altimétrique \(f_H\) est de \(+0.007 \text{ m}\), soit \(+7 \text{ mm}\).

A vous de jouer

Si la somme des dénivelées "Aller" était de +1.250 m et la somme "Retour" de -1.245 m, quelle serait la fermeture ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Erreur de fermeture de boucle.
Formule Essentielle : \(f_H = \sum \Delta H\).
Point de Vigilance Majeur : Le signe de la fermeture (+7mm = arrivé trop haut).

Question 3 : La fermeture est-elle acceptable ?

Principe

On compare la valeur absolue de l'erreur de fermeture (\(|f_H|\)) à la tolérance réglementaire (\(T\)). Si \(|f_H| \le T\), le levé est acceptable et on peut compenser l'erreur. Sinon, il doit être refait.

Mini-Cours

Les erreurs en topographie sont inévitables (imprécision de lecture, petit défaut de verticalité de la mire, etc.). On distingue les fautes (grosses erreurs) des erreurs aléatoires. Les tolérances sont conçues pour encadrer ces petites erreurs aléatoires, qui ont tendance à s'accumuler avec la distance. La formule en \(\sqrt{L}\) est typique de l'accumulation des erreurs aléatoires.

Remarque Pédagogique

Pour les besoins de cet exercice, nous allons ignorer la non-conformité et procéder à la compensation. C'est une pratique courante en examen pour tester la totalité des compétences.

Normes

La formule \( T = 15 \sqrt{L_{\text{km}}} \) est une tolérance typique pour un nivellement "ordinaire". Pour des nivellements de "haute précision", la tolérance serait bien plus stricte (ex: \( T = 3 \sqrt{L_{\text{km}}} \)).

Formule(s)

Tolérance (T)

T = 15 \sqrt{L_{\text{km}}} \text{ (en mm)}

Condition de validité

|f_H| \le T

Hypothèses

On suppose que la formule de tolérance donnée est la bonne norme à appliquer pour ce type de chantier.

Donnée(s)

Nous avons besoin de deux valeurs :

Erreur de fermeture (de Q2) : \(f_H = +7 \text{ mm}\) \(\implies |f_H| = 7 \text{ mm}\).
Longueur totale du cheminement (somme des longueurs de l'énoncé) :
\(L_{\text{totale}} = L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 40 + 38 + 39 + 41 = 158 \text{ m}\).

Astuces

L'erreur la plus fréquente ici est l'unité de L. La formule est en \(L_{\text{km}}\) (kilomètres). Il faut impérativement convertir \(158 \text{ m}\) en \(0.158 \text{ km}\) *avant* de le mettre dans la racine carrée.

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable pour cette étape. C'est une comparaison de deux valeurs.

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la longueur

La formule de tolérance utilise des kilomètres (\(\text{km}\)). Nous devons convertir notre longueur totale de mètres en kilomètres.

\begin{aligned} L_{\text{km}} &= 158 \text{ m} \\ &= 0.158 \text{ km} \end{aligned}

La longueur totale est de 0.158 km.

Étape 2 : Calcul de la tolérance (T)

Nous insérons cette valeur en \(\text{km}\) dans la formule fournie \( T = 15 \sqrt{L_{\text{km}}} \).

\begin{aligned} T &= 15 \sqrt{0.158} \\ T &= 15 \times 0.3974... \\ T &\approx 5.96 \text{ mm} \end{aligned}

La tolérance maximale autorisée pour ce parcours est d'environ 5.96 mm.

Étape 3 : Comparaison

Nous comparons la valeur absolue de notre erreur (7 mm) à la tolérance maximale autorisée (5.96 mm).

\begin{aligned} |f_H| &= 7 \text{ mm} \\ T &= 5.96 \text{ mm} \\ \text{On a donc } & 7 \text{ mm} > 5.96 \text{ mm} \end{aligned}

Notre erreur (7 mm) est supérieure à la tolérance (5.96 mm). Le levé n'est donc pas conforme.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison visuelle de l'erreur et de la tolérance.

Comparaison Fermeture / Tolérance

Réflexions

L'erreur de fermeture (7 mm) est supérieure à la tolérance autorisée (5.96 mm). En conditions réelles, le géomètre devrait refaire le levé car il n'est pas assez précis. L'erreur de 1 mm (7 - 5.96) peut sembler faible, mais les normes sont strictes.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique est l'unité de \(L\). Si on calcule \(15 \sqrt{158}\), on obtient \(188.5 \text{ mm}\), une tolérance absurdement grande. Toujours convertir en kilomètres !

Points à retenir

La tolérance dépend de la racine de la longueur.
Il faut comparer la *valeur absolue* de l'erreur à la tolérance.
Si \(|f_H| > T\), le levé est théoriquement à refaire.

Le saviez-vous ?

Les formules de tolérance sont empiriques, basées sur des décennies de pratique. Elles représentent ce qu'un opérateur compétent est censé pouvoir atteindre avec un matériel donné dans des conditions normales.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La fermeture n'est pas acceptable : \(|f_H| = 7 \text{ mm} > T = 5.96 \text{ mm}\).

A vous de jouer

Si le cheminement avait fait 1.5 km de long (\(L = 1.5 \text{ km}\)), quelle aurait été la tolérance en mm ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Tolérance réglementaire.
Formule Essentielle : \( T = K \sqrt{L_{\text{km}}} \) et \( |f_H| \le T \).
Point de Vigilance Majeur : Unités ! \(L\) doit être en \(\text{km}\).

Question 4 : Calculer les altitudes compensées de `P1` et `NIV_B`

Principe

On répartit l'erreur de fermeture (en changeant son signe : \(-f_H = -7 \text{ mm}\)) proportionnellement à la longueur de chaque portée. On calcule ensuite les dénivelées compensées, puis on propage le calcul d'altitude à partir de `NIV_A`.

Mini-Cours

La compensation (ou répartition) consiste à "corriger" les mesures brutes pour qu'elles deviennent cohérentes (c'est-à-dire que la fermeture devienne nulle). La méthode la plus courante est la répartition proportionnelle à la longueur, car on suppose que l'erreur s'est accumulée progressivement le long du parcours. Une portée plus longue "prendra" donc une plus grande part de la correction.

Remarque Pédagogique

On ne calcule ici que les altitudes des points "Aller" (`P1`, `NIV_B`). La vérification finale (calculer `P2` puis `NIV_A`) est cruciale pour s'assurer qu'on n'a pas fait d'erreur d'arrondi et qu'on retombe bien sur l'altitude de départ.

Normes

Cette méthode de compensation proportionnelle est la méthode standard acceptée pour les cheminements altimétriques simples.

Formule(s)

Compensation (C_i)

C_i = -f_H \times \left( \frac{L_i}{L_{\text{totale}}} \right)

Dénivelée Compensée

\Delta H_{\text{comp}} = \Delta H_{\text{brute}} + C_i

Altitude

Alt_{\text{final}} = Alt_{\text{début}} + \Delta H_{\text{comp}}

Hypothèses

On fait l'hypothèse que l'erreur de fermeture s'est accumulée de manière linéaire et proportionnelle à la distance parcourue. C'est une simplification, mais c'est la plus logique en l'absence d'autres informations.

Donnée(s)

Erreur à compenser : \(-f_H = -0.007 \text{ m}\) (l'opposé de la fermeture de Q2).
Longueur totale \(L_{\text{totale}} = 158 \text{ m}\) (de Q3).
Altitude `NIV_A` = 125.450 m.
Portées : \(L_1=40\), \(L_2=38\), \(L_3=39\), \(L_4=41\).
Dénivelées brutes (de Q1) : \(\Delta H_1=+0.330\), \(\Delta H_2=+0.430\), \(\Delta H_3=-0.380\), \(\Delta H_4=-0.373\).

Astuces

La somme de toutes les compensations \(C_i\) doit être *exactement* égale à \(-f_H\). C'est le meilleur moyen de vérifier ses calculs d'arrondi avant de calculer les altitudes.

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable. Le calcul est tabulaire.

Calcul(s)

L'erreur à compenser (répartir) est l'opposé de la fermeture : \(-f_H = -0.007 \text{ m}\). On applique la formule \( C_i = -f_H \times (L_i / L_{\text{totale}}) \) pour chaque portée.

Étape 1 : Calcul des compensations (C_i)

Pour la portée 1 (Longueur \(L_1 = 40 \text{ m}\)) :

\begin{aligned} C_1 (A\rightarrow P1) &= -0.007 \text{ m} \times \left( \frac{40 \text{ m}}{158 \text{ m}} \right) \\ &\approx -0.00177 \text{ m} \end{aligned}

La correction pour la première portée est d'environ -1.77 mm.

Pour la portée 2 (Longueur \(L_2 = 38 \text{ m}\)) :

\begin{aligned} C_2 (P1\rightarrow B) &= -0.007 \text{ m} \times \left( \frac{38 \text{ m}}{158 \text{ m}} \right) \\ &\approx -0.00168 \text{ m} \end{aligned}

La correction pour la deuxième portée est d'environ -1.68 mm.

Pour la portée 3 (Longueur \(L_3 = 39 \text{ m}\)) :

\begin{aligned} C_3 (B\rightarrow P2) &= -0.007 \text{ m} \times \left( \frac{39 \text{ m}}{158 \text{ m}} \right) \\ &\approx -0.00173 \text{ m} \end{aligned}

La correction pour la troisième portée est d'environ -1.73 mm.

Pour la portée 4 (Longueur \(L_4 = 41 \text{ m}\)) :

\begin{aligned} C_4 (P2\rightarrow A) &= -0.007 \text{ m} \times \left( \frac{41 \text{ m}}{158 \text{ m}} \right) \\ &\approx -0.00181 \text{ m} \end{aligned}

La correction pour la quatrième portée est d'environ -1.81 mm.

Vigilance Arrondi : La somme des compensations doit être égale à \(-f_H\).
\(-0.00177 - 0.00168 - 0.00173 - 0.00181 = -0.00699 \text{ m}\). C'est très proche de -0.007 m. Pour que la somme soit parfaite, on arrondit au millimètre le plus proche tout en ajustant une valeur (souvent la plus longue) pour "forcer" la somme à être correcte.
\(C_1 \approx -1.8 \rightarrow -2 \text{ mm}\)
\(C_2 \approx -1.7 \rightarrow -2 \text{ mm}\)
\(C_3 \approx -1.7 \rightarrow -1 \text{ mm}\) (On ajuste celle-ci)
\(C_4 \approx -1.8 \rightarrow -2 \text{ mm}\)
Total = \(-2 -2 -1 -2 = -7 \text{ mm}\). C'est bon. Nous utiliserons ces valeurs arrondies au mm.

Étape 2 : Calcul des altitudes compensées

On part de \(Alt_A = 125.450 \text{ m}\) et on ajoute la dénivelée brute \(\Delta H_{\text{brute}}\) et la compensation \(C_i\) que nous venons de calculer.

Calcul de P1 :

\begin{aligned} Alt_{P1} &= Alt_A + \Delta H_{A \rightarrow P1} + C_1 \\ &= 125.450 + 0.330 + (-0.002) \\ &= 125.778 \text{ m} \end{aligned}

L'altitude compensée du point P1 est 125.778 m.

Calcul de NIV_B (en partant de P1) :

\begin{aligned} Alt_{B} &= Alt_{P1} + \Delta H_{P1 \rightarrow B} + C_2 \\ &= 125.778 + 0.430 + (-0.002) \\ &= 126.206 \text{ m} \end{aligned}

L'altitude compensée du point NIV_B est 126.206 m.

Vérification (facultative mais recommandée) :

On continue le calcul pour s'assurer qu'on retombe bien sur l'altitude de départ.

Calcul de P2 (en partant de NIV_B) :

\begin{aligned} Alt_{P2} &= Alt_B + \Delta H_{B \rightarrow P2} + C_3 \\ &= 126.206 + (-0.380) + (-0.001) \\ &= 125.825 \text{ m} \end{aligned}

L'altitude compensée du point P2 est 125.825 m.

Calcul de NIV_A (en partant de P2) :

\begin{aligned} Alt_{A, \text{calculée}} &= Alt_{P2} + \Delta H_{P2 \rightarrow A} + C_4 \\ &= 125.825 + (-0.373) + (-0.002) \\ &= 125.450 \text{ m} \end{aligned}

L'altitude calculée de NIV_A (125.450 m) est identique à l'altitude de départ. La compensation est correcte.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat final est un tableau d'altitudes cohérentes.

Point	Altitude Compensée (m)
NIV_A	125.450
P1	125.778
NIV_B	126.206
P2	125.825
NIV_A (retour)	125.450

Réflexions

Les altitudes sont maintenant "compensées", c'est-à-dire qu'elles sont mathématiquement cohérentes. Si on refait la somme des dénivelées compensées, on trouvera 0. Ce sont ces altitudes qui seront utilisées pour la suite du projet.

Points de vigilance

Attention au signe ! L'erreur \(f_H\) était de `+7 mm`. La compensation totale doit être de `-7 mm`. On soustrait l'erreur.
Attention aux arrondis : il faut s'assurer que la somme des compensations est *exactement* égale à l'erreur à compenser, quitte à ajuster un des arrondis (typiquement sur la portée la plus longue ou la dernière).

Points à retenir

La compensation totale est \(-f_H\).
La compensation partielle \(C_i\) est proportionnelle à la longueur \(L_i\).
\(Alt_{\text{final}} = Alt_{\text{début}} + \Delta H_{\text{brute}} + C_i\).

Le saviez-vous ?

Pour des réseaux plus complexes (plusieurs boucles qui se croisent), on n'utilise pas cette méthode mais une "compensation par moindres carrés", une méthode statistique plus rigoureuse qui minimise globalement toutes les erreurs.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

L'altitude compensée de `P1` est de `125.778 m`.
L'altitude compensée de `NIV_B` est de `126.206 m`.

A vous de jouer

Si \(f_H = -10 \text{ mm}\) et \(L_{\text{totale}} = 200 \text{ m}\), quelle serait la compensation \(C_i\) pour une portée de \(L_i = 50 \text{ m}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Compensation proportionnelle.
Formule Essentielle : \( C_i = -f_H \times (L_i / L_{\text{totale}}) \).
Point de Vigilance Majeur : Le signe \(-f_H\) et la gestion des arrondis.

Question 5 : Impact de l'erreur de +2 cm sur la mire

Principe

Une erreur systématique est une erreur qui se répète de manière identique à chaque mesure. Ici, la mire est "trop longue" de 2 cm (elle lit 1.52m quand la vraie hauteur est 1.50m). Il faut analyser comment cette erreur affecte la formule \(\Delta H = L_{AR} - L_{AV}\).

Mini-Cours

On distingue deux types d'erreurs :
1. Erreurs Aléatoires : Petites, varient en signe et en valeur (ex: estimation du mm). Elles s'accumulent en \(\sqrt{L}\) et sont gérées par la tolérance et la compensation.
2. Erreurs Systématiques (ou Fautes) : Se produisent toujours dans le même sens (ex: mire déréglée, erreur de collimation). Elles ne sont *pas* gérées par la compensation et doivent être corrigées à la source.

Remarque Pédagogique

C'est une question piège très fréquente. Elle teste votre compréhension de ce que vous calculez (une différence) plutôt que votre capacité à appliquer une formule. Prenez le temps de réfléchir à l'impact de l'erreur sur *chaque terme* de la formule.

Normes

Non applicable. Il s'agit de la théorie du calcul d'erreur.

Formule(s)

Relation Vrai / Lu

L_{\text{lue}} = L_{\text{vraie}} + 0.020 \text{ m} \implies L_{\text{vraie}} = L_{\text{lue}} - 0.020 \text{ m}

Dénivelée Vraie

\Delta H_{\text{vraie}} = L_{AR, \text{vraie}} - L_{AV, \text{vraie}}

Hypothèses

On suppose que la *même* mire défectueuse est utilisée pour *toutes* les lectures, qu'elles soient Arrière (AR) ou Avant (AV).

Donnée(s)

Erreur systématique \(e = +0.020 \text{ m}\) sur *toutes* les lectures (L_AR et L_AV).

Astuces

Écrivez la formule avec l'erreur. Si l'erreur apparaît des deux côtés d'une soustraction, elle s'annule. Si elle n'apparaît que d'un côté, elle a un impact.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'erreur sur la mire.

Erreur Systématique sur la Mire

Calcul(s)

Analyse de la dénivelée

Analysons l'impact de cette erreur sur la formule de dénivelée. La vraie lecture (\(L_{\text{vraie}}\)) est la lecture erronée (\(L_{\text{lue}}\)) moins l'erreur de 2 cm.

Substituons cela dans la formule de base :

\begin{aligned} \Delta H_{\text{vraie}} &= L_{AR, \text{vraie}} - L_{AV, \text{vraie}} \\ \Delta H_{\text{vraie}} &= (L_{AR, \text{lue}} - 0.020) - (L_{AV, \text{lue}} - 0.020) \\ \Delta H_{\text{vraie}} &= L_{AR, \text{lue}} - 0.020 - L_{AV, \text{lue}} + 0.020 \\ \Delta H_{\text{vraie}} &= L_{AR, \text{lue}} - L_{AV, \text{lue}} \\ \Delta H_{\text{vraie}} &= \Delta H_{\text{lue}} \end{aligned}

Comme on peut le voir, le terme d'erreur \(-0.020\) et le terme \(+0.020\) s'annulent mutuellement. La dénivelée vraie est donc exactement égale à la dénivelée que nous avons lue et calculée.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

L'erreur s'annule ! Puisque l'erreur systématique de +2 cm est appliquée à la fois à la lecture arrière (L_AR) et à la lecture avant (L_AV) lors du calcul de *chaque* dénivelée, elle s'annule dans la soustraction. L'erreur de fermeture et les dénivelées calculées sont donc *correctes* et ne sont pas affectées par ce défaut de la mire.

Points de vigilance

C'est une question piège classique. L'erreur de la mire s'annule *uniquement* parce qu'on calcule une dénivelée (une différence). Si le géomètre n'avait fait qu'une seule visée pour déterminer l'altitude d'un point par rapport à son instrument (nivellement par rayonnement), l'erreur de 2 cm se serait appliquée. Mais en nivellement "par le milieu" (L_AR - L_AV), l'erreur s'annule.

Points à retenir

En nivellement par différence (\(L_{AR} - L_{AV}\)), une erreur systématique *constante* sur la mire s'annule.
Cela ne s'appliquerait pas si l'erreur était, par exemple, proportionnelle à la hauteur lue.

Le saviez-vous ?

Une autre erreur systématique qui s'annule avec cette méthode est l'erreur de collimation (l'axe de visée du niveau n'est pas parfaitement horizontal) *à condition* que les portées (distance ST-AR et ST-AV) soient égales.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Cette erreur n'a aucun impact sur le calcul des dénivelées, ni sur la fermeture, ni sur les altitudes finales. L'altitude correcte de `NIV_B` reste celle calculée précédemment : `126.206 m`.

A vous de jouer

Que se passerait-il si l'erreur n'était que sur les lectures AVANT (L_AV) ? (par ex: le géomètre oublie de régler sa mire qu'au moment de la visée AV). Quelle serait la vraie dénivelée pour la ST1 (\(\Delta H_{A \rightarrow P1}\)) ? (L_AR=1.560, L_AV=1.230)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Annulation des erreurs systématiques.
Formule Essentielle : \(\Delta H_{\text{vraie}} = (L_{AR} + e) - (L_{AV} + e) = \Delta H_{\text{lue}}\).
Point de Vigilance Majeur : C'est un cas particulier. L'erreur ne s'annule que parce qu'elle est identique sur L_AR et L_AV.

Outil Interactif : Simulateur de Profil

Utilisez les curseurs pour voir l'impact de l'altitude de départ et de l'erreur de fermeture sur le profil altimétrique du cheminement "Aller" (`NIV_A` \(\rightarrow\) `NIV_B`).

Paramètres d'Entrée

Altitude NIV_A (m) 125.450 m

Erreur de fermeture f_H (mm) 7 mm

Résultats Clés (Compensés)

Altitude P1 (m) -

Altitude NIV_B (m) -

Glossaire

Nivellement Direct: Méthode topographique de mesure des différences d'altitude (dénivelées) à l'aide d'un niveau (instrument horizontal) et d'une mire graduée.
Dénivelée (\(\Delta H\)): La différence d'altitude entre deux points.
Fermeture Altimétrique (\(f_H\)): Ensemble des opérations de terrain et de bureau permettant de contrôler la qualité des mesures d'un cheminement altimétrique en vérifiant l'écart entre la valeur théorique et la valeur mesurée au retour au point de départ.
Lecture Arrière (L_AR): Visée sur la mire placée sur un point d'altitude déjà connue (ou le point de départ de la dénivelée).
Lecture Avant (L_AV): Visée sur la mire placée sur un nouveau point dont on cherche à déterminer l'altitude (ou le point d'arrivée de la dénivelée).
Erreur Systématique: Erreur qui se produit dans le même sens et avec la même valeur à chaque mesure (ex: une mire mal étalonnée, un défaut de l'instrument).

Correction d’Erreur de Hauteur de Prisme

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma du Cheminement Altimétrique

Questions à traiter

Les bases du Nivellement Direct

Correction : Correction d'Erreur de Hauteur de Prisme

Question 1 : Calculer les dénivelées brutes (\(\Delta H\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Principe du Nivellement par le Milieu (ST1)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f_H\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Schéma de la Boucle Fermée

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : La fermeture est-elle acceptable ?

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison Fermeture / Tolérance

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer les altitudes compensées de `P1` et `NIV_B`

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces