Calcul d'Altitude et Influence de la Hauteur Instrumentale
Contexte : Le Nivellement DirectOpération topographique fondamentale visant à déterminer les altitudes (ou dénivelées) entre différents points..
Le nivellement direct, ou nivellement par rayonnement, est la méthode de base en topographie pour déterminer l'altitude de points inconnus à partir d'un point connu. L'opérateur installe un niveau optique sur un trépied au-dessus d'un point de station (dont l'altitude est connue ou arbitraire) et mesure la hauteur de son instrument. Cette Hauteur Instrumentale (Hi)Distance verticale entre le point de station au sol et l'axe optique (plan de visée) de l'instrument. est critique, car elle sert à définir l'altitude du plan de visée, qui est la référence pour tous les points mesurés depuis cette station.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer une altitude par nivellement direct (méthode de la station connue) et, plus important encore, à quantifier l'impact direct et systématique d'une simple erreur de mesure sur la hauteur instrumentale (`Hi`).
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser la formule du nivellement direct depuis une station connue.
- Calculer l'altitude d'un Plan de ViséeLe plan horizontal fictif généré par l'axe optique du niveau, servant de référence pour les lectures. (horizon instrumental).
- Calculer l'altitude d'un point visé à partir du plan de visée et d'une lecture sur mire.
- Comprendre et quantifier la propagation d'une erreur de mesure sur `Hi`.
- Différencier une erreur accidentelle d'une erreur systématique.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Point de Station | S1 |
| Instrument utilisé | Niveau Optique |
| Point visé | Point A |
Schéma de la situation de Nivellement
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude du point de Station S1 | \( \text{Alt}_{\text{S1}} \) | 150.000 | m |
| Hauteur Instrumentale (mesurée) | \( \text{Hi} \) | 1.650 | m |
| Lecture sur mire au Point A | \( \text{Lect}_{\text{A}} \) | 2.300 | m |
| Vraie Hauteur Instrumentale (révélée plus tard) | \( \text{Hi}_{\text{vrai}} \) | 1.600 | m |
Questions à traiter
- Calculer l'altitude du plan de visée (\( \text{Alt}_{\text{Visée}} \)) en utilisant la hauteur instrumentale mesurée (\( \text{Hi} \)).
- Calculer l'altitude du point A (\( \text{Alt}_{\text{A}} \)) en utilisant le plan de visée de la question 1.
- Après vérification, le topographe réalise qu'il a mal mesuré sa hauteur : la vraie valeur était \( \text{Hi}_{\text{vrai}} = 1.600 \text{ m} \). Calculer la *vraie* altitude du point A (\( \text{Alt}_{\text{A (vrai)}} \)).
- Calculer l'erreur d'altitude (\( e_{\text{alt}} \)) commise sur le point A à cause de la mauvaise mesure de \( \text{Hi} \).
- Discuter de l'impact de cette erreur. Si le topographe avait mesuré 10 autres points (B, C, D...) depuis cette même station S1, quelle aurait été l'erreur d'altitude sur *chacun* de ces points ?
Les bases du Nivellement Direct
Le nivellement direct (ou nivellement par rayonnement depuis une station) repose sur deux formules fondamentales pour transférer une altitude.
1. Calcul du Plan de Visée (\( \text{Alt}_{\text{Visée}} \))
L'instrument (niveau) crée un plan horizontal parfait. L'altitude de ce plan est simplement l'altitude du point au sol sur lequel il est stationné, augmentée de la hauteur de l'instrument.
\[ \text{Alt}_{\text{Visée}} = \text{Alt}_{\text{Station}} + \text{Hi} \]
2. Calcul de l'Altitude d'un Point (\( \text{Alt}_{\text{Point}} \))
Une fois le plan de visée connu, on vise une mire posée sur le point inconnu. La lecture sur la mire (\( \text{Lect} \)) représente la "profondeur" du point par rapport au plan de visée.
\[ \text{Alt}_{\text{Point}} = \text{Alt}_{\text{Visée}} - \text{Lect}_{\text{Point}} \]
Correction : Calcul d'Altitude et Influence de la Hauteur Instrumentale
Question 1 : Calculer l'altitude du plan de visée (\( \text{Alt}_{\text{Visée}} \))
Principe
L'altitude du plan de visée (ou horizon instrumental) est le point de départ de tous nos calculs de rayonnement. C'est notre "zéro" de référence en altitude pour cette station. On l'obtient en ajoutant la hauteur de l'instrument à l'altitude connue de la station.
Mini-Cours
La formule est directe : l'altitude du plan de visée est l'altitude du point au sol (le repère S1) plus la distance verticale qui sépare le sol de l'axe optique de l'instrument (la hauteur `Hi`).
Remarque Pédagogique
Visualisez-vous debout sur un tabouret. Votre altitude "au sol" est celle du plancher. L'altitude de vos yeux est celle du plancher + la hauteur de votre corps. C'est la même logique ici.
Normes
En topographie, on parle de "Conventions" plutôt que de normes strictes pour ce calcul de base. La convention est de toujours mesurer la `Hi` verticalement et d'utiliser des altitudes orthométriques (par rapport au niveau de la mer, représenté ici par l'altitude de S1).
Formule(s)
La formule à appliquer est la première formule de base :
Hypothèses
Nous supposons que l'instrument est parfaitement réglé (son axe optique est bien horizontal) et qu'il est stationné exactement à la verticale du point S1.
- Instrument parfaitement calé (bulle centrée).
- Stationnement précis sur S1.
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé relatives à la station et à la mesure de `Hi`.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Station S1 | \( \text{Alt}_{\text{S1}} \) | 150.000 | m |
| Hauteur Instrumentale (mesurée) | \( \text{Hi} \) | 1.650 | m |
Astuces
Une erreur fréquente est de soustraire `Hi`. Rappelez-vous : l'instrument est *au-dessus* du sol, donc on *ajoute* toujours la hauteur à l'altitude du sol pour trouver l'altitude de l'instrument.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé montre bien visuellement cette addition : la ligne de `Hi` (1.650m) se superpose à l'altitude de S1 (150.000m) pour former le plan de visée.
Zoom sur la Station S1
Calcul(s)
Appliquons la formule avec les données numériques, en décomposant chaque étape :
Étape 1 : Poser la formule de base
La première étape consiste à écrire la relation fondamentale qui lie l'altitude de la station, la hauteur instrumentale et le plan de visée.
Étape 2 : Substituer les valeurs de l'énoncé
Nous remplaçons maintenant les symboles \( \text{Alt}_{\text{S1}} \) et \( \text{Hi} \) par les valeurs numériques données dans le tableau des données (en utilisant la `Hi` *mesurée*).
Étape 3 : Obtenir le résultat final
L'addition simple de ces deux valeurs nous donne l'altitude du plan de visée.
Le plan horizontal créé par l'instrument se situe donc à 151.650 mètres d'altitude.
Schéma (Après les calculs)
Le plan de visée se situe donc à une altitude de 151.650 mètres.
Réflexions
Cette valeur de 151.650 m est maintenant notre altitude de référence pour *toutes* les lectures de mire effectuées depuis la station S1.
Points de vigilance
Assurez-vous que vos données (`Alt_S1` et `Hi`) sont dans la même unité (ici, les mètres) avant de les additionner. L'utilisation de 3 décimales (précision au millimètre) est standard en nivellement.
Points à retenir
La formule clé à retenir est : \( \text{Alt}_{\text{Visée}} = \text{Alt}_{\text{Station}} + \text{Hi} \). C'est le fondement du nivellement par rayonnement.
Le saviez-vous ?
Certains topographes préfèrent ne jamais mesurer la `Hi`. Ils utilisent une technique de "cheminement" où la première visée est faite sur un point connu (Lecture Arrière) pour calculer directement `Alt_Visée`, s'affranchissant ainsi du risque d'erreur sur `Hi`.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude de S1 était de 100.000 m et que vous mesuriez une `Hi` de 1.500 m, quelle serait l'altitude de votre plan de visée ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Calcul du plan de visée.
- Formule Essentielle : \( \text{Alt}_{\text{Visée}} = \text{Alt}_{\text{S1}} + \text{Hi} \).
- Calcul : \( 150.000 + 1.650 = 151.650 \text{ m} \).
Question 2 : Calculer l'altitude du point A (\( \text{Alt}_{\text{A}} \))
Principe
Maintenant que nous connaissons l'altitude de notre "ligne de visée" (151.650 m), nous visons la mire posée sur le point A. La lecture sur la mire nous indique de combien le point A est *en dessous* de notre ligne de visée. Il suffit donc de soustraire cette lecture à l'altitude du plan de visée.
Mini-Cours
L'altitude d'un point visé est toujours l'altitude du plan de visée de l'instrument moins la lecture effectuée sur la mire posée sur ce point. Si le point A est plus haut que le plan de visée (ex: visée au plafond), la lecture serait négative, mais c'est rare en nivellement classique.
Remarque Pédagogique
Pensez-y logiquement : une *grande* lecture sur la mire (ex: 3.000 m) signifie que le sol est *très bas*. Une *petite* lecture (ex: 0.500 m) signifie que le sol est *très haut*, proche de votre instrument. Pour que le calcul reflète cela, on doit soustraire.
Normes
La convention est de lire la mire au millimètre près (3 décimales). La mire doit être tenue parfaitement verticale (à l'aide d'une nivelle sphérique) pour garantir que la lecture n'est pas faussée.
Formule(s)
La formule à appliquer est la seconde formule de base :
Hypothèses
Nous supposons que la mire est tenue parfaitement verticale sur le point A et que la lecture de 2.300 m est exempte d'erreur (pas de faute de lecture).
- Verticalité de la mire assurée.
- Lecture correcte (pas de faute).
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la Q1 et la donnée de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Plan de Visée (calculée) | \( \text{Alt}_{\text{Visée}} \) | 151.650 | m |
| Lecture sur mire en A | \( \text{Lect}_{\text{A}} \) | 2.300 | m |
Astuces
Avant de calculer, faites une estimation. `Alt_Visée` est ~151.6 m. La lecture est ~2.3 m. Le résultat doit être aux alentours de 151.6 - 2.3 = 149.3 m. Cela permet de détecter une erreur de virgule ou d'opération.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé montre bien la géométrie : `Alt_A` est le résultat de `Alt_Visée` (grande flèche vers le haut) moins `Lect_A` (petite flèche vers le bas).
Calcul(s)
Appliquons la formule avec les données, en décomposant chaque étape :
Étape 1 : Poser la formule de base
Pour trouver l'altitude d'un point visé, nous partons de l'altitude du plan de visée et nous soustrayons la lecture sur mire.
Étape 2 : Substituer les valeurs
Nous utilisons le résultat de la Q1 (le plan de visée calculé) et la lecture sur mire au point A donnée dans l'énoncé.
Étape 3 : Obtenir le résultat final
La soustraction nous donne l'altitude du point A au sol.
Selon ce premier calcul, l'altitude du point A est de 149.350 mètres.
Schéma (Après les calculs)
Nous pouvons maintenant compléter notre schéma mental : le point A (149.350 m) est plus bas que le point S1 (150.000 m).
Résultats du Nivellement (Calculs Q1 & Q2)
Réflexions
Le calcul est simple, mais il dépend entièrement de la justesse du calcul de la Q1. Toute erreur sur `Alt_Visée` se propage directement et intégralement à `Alt_A`.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est d'inverser l'opération : 151.650 + 2.300. Souvenez-vous de l'astuce : une grande lecture (mire "longue") signifie un sol bas, donc on doit *soustraire* pour trouver une altitude plus faible.
Points à retenir
- Formule clé : \( \text{Alt}_{\text{Point}} = \text{Alt}_{\text{Visée}} - \text{Lect}_{\text{Point}} \).
- La lecture mire est une distance *descendante* depuis le plan de visée.
Le saviez-vous ?
Les mires topographiques modernes ne sont pas de simples règles. Elles sont souvent équipées de codes-barres (mires "Invar") qui sont lues électroniquement par des niveaux numériques pour éliminer totalement les fautes de lecture humaines.
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Avec le plan de visée de la Q1 (101.500 m) et une nouvelle lecture `Lect_B = 1.200 m`, quelle serait l'altitude du point B ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Calcul d'un point visé.
- Formule Essentielle : \( \text{Alt}_{\text{A}} = \text{Alt}_{\text{Visée}} - \text{Lect}_{\text{A}} \).
- Calcul : \( 151.650 - 2.300 = 149.350 \text{ m} \).
Question 3 : Calculer la *vraie* altitude du point A (\( \text{Alt}_{\text{A (vrai)}} \))
Principe
L'énoncé révèle une erreur de mesure. Nous devons "rejouer" le scénario en ignorant nos calculs précédents (Q1 et Q2) et en utilisant la *bonne* valeur de `Hi` dès le départ. Le processus est le même, mais avec une donnée d'entrée différente.
Mini-Cours
C'est un exercice classique de "calcul d'erreur". Nous recalculons l'ensemble de la chaîne de mesure avec la valeur corrigée pour obtenir la "valeur vraie", qui servira de référence pour quantifier l'erreur.
Remarque Pédagogique
Notez bien ce qui change et ce qui ne change pas. L'altitude de S1 est fixe (150.000). La lecture sur la mire en A est fixe (2.300), car elle dépend de la position du sol, pas de l'instrument. La seule variable qui change est `Hi`.
Normes
Ce n'est pas une "norme" à proprement parler, mais un principe fondamental de métrologie : lorsqu'une donnée d'entrée est corrigée, l'ensemble du processus de calcul qui dépend de cette donnée doit être repris pour déterminer la "valeur vraie".
Formule(s)
Étape 1 : Vrai Plan de Visée
Étape 2 : Vraie Altitude de A
Hypothèses
Les hypothèses de calage de l'instrument et de verticalité de la mire sont inchangées.
Donnée(s)
Nous utilisons les données corrigées.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Station S1 | \( \text{Alt}_{\text{S1}} \) | 150.000 | m |
| Vraie Hauteur Instrumentale | \( \text{Hi}_{\text{vrai}} \) | 1.600 | m |
| Lecture sur mire en A | \( \text{Lect}_{\text{A}} \) | 2.300 | m |
Astuces
La `Hi` mesurée (1.650) était *plus grande* que la vraie (1.600). Le plan de visée calculé était donc *trop haut*. L'altitude finale `Alt_A` devrait donc être *plus haute* que la vraie. Attendons-nous à trouver une `Alt_A (vrai)` *inférieure* à 149.350 m.
Schéma (Avant les calculs)
Imaginez le schéma précédent, mais le plan de visée bleu est légèrement plus bas (de 5 cm).
Calcul(s)
Étape 1 : Calculer le *vrai* plan de visée
Nous devons d'abord recalculer l'altitude du plan de visée, en utilisant cette fois la *vraie* hauteur instrumentale \( \text{Hi}_{\text{vrai}} \).
Formule :
Substitution avec la *vraie* `Hi` :
Résultat intermédiaire (vrai plan de visée) :
Le vrai plan de visée est 5 cm plus bas que celui calculé en Q1.
Étape 2 : Calculer la *vraie* altitude de A
Maintenant, nous utilisons ce *vrai* plan de visée (151.600 m) et nous soustrayons la lecture en A (qui, elle, n'a pas changé, car le sol n'a pas bougé).
Formule :
Substitution avec le *vrai* plan de visée :
Résultat final (vraie altitude) :
La véritable altitude du point A est donc 149.300 mètres.
Schéma (Après les calculs)
Visuellement, le nouveau plan de visée (151.600 m) est plus bas que l'ancien (151.650 m). Puisque la lecture (2.300 m) est soustraite de ce plan plus bas, le point A "atterrit" à une altitude logiquement plus basse.
Réflexions
Comme prévu par notre astuce, la vraie altitude (149.300 m) est bien inférieure à l'altitude que nous avions calculée (149.350 m).
Points de vigilance
Ne mélangez pas les valeurs ! N'utilisez pas la `Alt_Visée` de la Q1 (151.650) avec la `Hi_vrai`. Il faut refaire *toute* la chaîne de calcul.
Points à retenir
- Une modification d'une donnée d'entrée (`Hi`) oblige à recalculer toutes les valeurs qui en dépendent (`Alt_Visée` et `Alt_A`).
Le saviez-vous ?
Une erreur de 5 cm (0.050 m) comme celle-ci est considérée comme une "faute" grossière en nivellement de précision, où les tolérances sont de l'ordre de quelques millimètres par kilomètre de cheminement.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la `Hi_vrai` avait été de 1.610 m (avec `Alt_S1=150.000` et `Lect_A=2.300`), quelle aurait été la `Alt_A (vrai)` ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Recalcul avec données corrigées.
- Calcul 1 : \( \text{Alt}_{\text{Vis (vrai)}} = 150.000 + 1.600 = 151.600 \text{ m} \).
- Calcul 2 : \( \text{Alt}_{\text{A (vrai)}} = 151.600 - 2.300 = 149.300 \text{ m} \).
Question 4 : Calculer l'erreur d'altitude (\( e_{\text{alt}} \)) sur le point A
Principe
L'erreur (ou "biais") est la différence entre la valeur fausse que nous avons calculée et la valeur vraie que nous venons de déterminer. Cela quantifie l'impact de l'erreur de mesure initiale.
Mini-Cours
En métrologie, l'erreur est définie comme : \( e = \text{Valeur}_{\text{Mesurée}} - \text{Valeur}_{\text{Vraie}} \). Un résultat positif signifie que notre mesure était trop élevée. Un résultat négatif signifie qu'elle était trop basse.
Remarque Pédagogique
Nous pouvons calculer cette erreur de deux façons : 1. En comparant les altitudes finales (Résultat de Q2 - Résultat de Q3). 2. En comparant directement les données d'entrée erronées (`Hi` - `Hi_vrai`). Les deux méthodes *doivent* donner le même résultat.
Normes
La définition de l'erreur en métrologie (Valeur Mesurée - Valeur Vraie) est une convention universelle, souvent formalisée dans le VIM (Vocabulaire International de Métrologie).
Formule(s)
Méthode 1 : Erreur sur le résultat final
Méthode 2 : Erreur sur la donnée d'entrée
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse qu'il n'y a pas d'autres erreurs dans la chaîne de calcul (ni sur `Alt_S1`, ni sur `Lect_A`) afin d'isoler uniquement l'impact de l'erreur sur `Hi`.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude A (Fausse) | \( \text{Alt}_{\text{A}} \) | 149.350 | m |
| Altitude A (Vraie) | \( \text{Alt}_{\text{A (vrai)}} \) | 149.300 | m |
| Hauteur Hi (Fausse) | \( \text{Hi} \) | 1.650 | m |
| Hauteur Hi (Vraie) | \( \text{Hi}_{\text{vrai}} \) | 1.600 | m |
Astuces
La méthode 2 (comparer les `Hi`) est beaucoup plus rapide. Si vous comprenez la propagation de l'erreur, vous pouvez trouver la réponse sans même calculer Q2 ou Q3, juste en faisant \( 1.650 - 1.600 \).
Schéma (Avant les calculs)
Il s'agit de visualiser l'écart (l'erreur) entre le plan de visée faux (Q1) et le plan de visée vrai (Q3).
Calcul(s)
Méthode 1 : Comparer les altitudes finales (Résultats)
La façon la plus directe de voir l'erreur sur le résultat est de soustraire la *vraie* altitude (de Q3) de l'altitude *fausse* (de Q2).
Formule de l'erreur :
Substitution des valeurs de Q2 et Q3 :
Résultat de l'erreur :
L'erreur est de +5 cm.
Méthode 2 : Comparer les données d'entrée (Cause)
Nous pouvons aussi calculer l'erreur en amont, en comparant directement la *fausse* `Hi` à la *vraie* `Hi`. C'est l'erreur qui a *causé* l'erreur de résultat.
Formule de l'erreur sur Hi :
Substitution des valeurs de l'énoncé :
Résultat de l'erreur :
Comme on le voit, l'erreur à la source (+5 cm) est identique à l'erreur sur le résultat final.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma de la Q5 illustre parfaitement cet écart : la distance verticale entre le "Faux Plan de visée" et le "Vrai Plan de visée" est l'erreur de +0.050 m.
Réflexions
Les deux méthodes donnent le même résultat : +0.050 m (soit +5 cm). Cela prouve que l'erreur sur la hauteur instrumentale (`e_Hi`) s'est propagée *directement* et avec le *même signe* à l'altitude finale (`e_alt`). \( e_{\text{alt}} = e_{\text{Hi}} \).
Points de vigilance
Attention au signe. L'erreur est positive (+5 cm), ce qui signifie que notre calcul initial était *trop élevé* de 5 cm par rapport à la réalité.
Points à retenir
- Dans un nivellement par rayonnement, l'erreur sur `Hi` est égale à l'erreur sur l'altitude de *tous* les points visés.
- \( e_{\text{alt}} = e_{\text{Hi}} \).
Le saviez-vous ?
La mesure de la `Hi` est l'une des plus grandes sources d'erreur en nivellement par rayonnement. Les topographes utilisent souvent un mètre-ruban spécial (parfois rigide) ou une fonction laser sur l'instrument pour la mesurer avec précision au millimètre près.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la `Hi` mesurée était de 1.590 m, mais que la `Hi_vrai` était de 1.600 m, quelle serait l'erreur `e_alt` (en m) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Calcul de l'erreur.
- Formule Essentielle : \( e = \text{Faux} - \text{Vrai} \).
- Propagation : \( e_{\text{alt}} = e_{\text{Hi}} \).
- Calcul : \( 1.650 - 1.600 = +0.050 \text{ m} \).
Question 5 : Discuter de l'impact de cette erreur sur 10 autres points
Principe
Cette question porte sur la nature de l'erreur. Est-ce une erreur qui change à chaque fois (accidentelle) ou une erreur qui se répète (systématique) ?
Mini-Cours
Erreur Systématique : Une erreur qui, dans les mêmes conditions, se reproduit à l'identique en valeur et en signe. Elle est due à une cause permanente (instrument mal réglé, étalon faux, ou... une mauvaise `Hi` utilisée pour tous les calculs).
Erreur Accidentelle : Une erreur qui varie en valeur et en signe de manière aléatoire (ex: mauvaise appréciation de lecture, petite instabilité du trépied). Elles tendent à se compenser en moyenne.
Remarque Pédagogique
L'erreur sur `Hi` est une erreur *systématique* pour la station S1. L'opérateur a mesuré 1.650 m une fois, et il va utiliser cette valeur pour calculer A, B, C, D... J, K. Il va utiliser le *même* plan de visée erroné (151.650 m) pour *tous* ses calculs.
Normes
La distinction entre erreurs systématiques et accidentelles est un pilier de la théorie des erreurs en topographie et en ingénierie. Les normes de calcul (comme les normes ISO) exigent l'identification et la correction des erreurs systématiques connues.
Formule(s)
Pour n'importe quel point P visé depuis S1 :
L'erreur sur P est donc :
Hypothèses
On suppose que la seule erreur commise est celle sur `Hi`. Les lectures sur mire (`Lect_B`, `Lect_C`...) sont supposées justes.
Donnée(s)
L'erreur systématique identifiée est \( e_{\text{Hi}} = +0.050 \text{ m} \).
Astuces
C'est une question de logique pure : si la référence de départ (le plan de visée) est fausse de +5 cm, tout ce qui est mesuré *par rapport* à cette référence sera également faux de +5 cm.
Schéma (Avant les calculs)
Imaginez le schéma de l'énoncé avec plusieurs mires (A, B, C...) à différentes distances et différentes altitudes. Toutes les flèches de lecture partent du *même* plan de visée erroné (la ligne bleue).
Erreur Systématique sur plusieurs points
Calcul(s)
Pour comprendre pourquoi l'erreur est la même pour tous les points, nous allons faire la démonstration mathématique. Nous utilisons un point `P` générique.
Démonstration de la propagation de l'erreur
1. L'erreur sur un point P (`e_P`) est, par définition, la différence entre son altitude fausse et son altitude vraie :
C'est notre point de départ.
2. Nous substituons chaque terme par sa formule de calcul. Notez que `Lect_P` (la lecture sur le point P) est la même dans les deux cas :
Nous avons remplacé `Alt_P (fausse)` et `Alt_P (vrai)`.
3. Nous retirons les parenthèses, en faisant attention au changement de signe :
C'est une simple réécriture algébrique.
4. Les termes `- Lect_P` et `+ Lect_P` s'annulent mutuellement. Il ne reste que la différence entre les plans de visée :
C'est là que la magie opère : la lecture sur mire, quelle qu'elle soit, disparaît du calcul de l'erreur.
5. Or, la différence entre le faux plan de visée et le vrai plan de visée est, par définition (voir Q4, Méthode 2), l'erreur sur `Hi` :
Nous avons prouvé que l'erreur sur le point P est égale à l'erreur sur la hauteur instrumentale.
Conclusion
La démonstration prouve que l'erreur sur *n'importe quel* point P (`e_P`) est *exactement égale* à l'erreur commise sur la hauteur instrumentale (`e_Hi`).
Par conséquent, les 10 autres points (B, C, D...) seront tous faux de +0.050 m, car ils ont été calculés avec le même plan de visée erroné.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessus montre bien que l'écart de +0.050 m entre le vrai plan et le faux plan est constant. Peu importe où se trouve le point (B ou C), la lecture partira du plan rouge (faux) au lieu du plan vert (vrai), propageant l'erreur.
Réflexions
L'erreur de mesure de la hauteur instrumentale est l'une des pires erreurs en nivellement par rayonnement car elle n'est pas "diluée" ou compensée. Elle affecte *tous* les points mesurés depuis la station. Si vous calculez l'altitude de 50 points depuis S1, les 50 points seront faux de +5 cm.
Points de vigilance
Ne confondez pas cette erreur systématique avec une *faute de lecture* sur la mire. Si vous lisez 2.300 m sur le point A mais que la vraie lecture était 2.310 m, *seul* le point A sera affecté. L'erreur sur `Hi` est plus insidieuse.
Points à retenir
- Une erreur sur `Hi` est une erreur systématique.
- Elle se propage intégralement et avec le même signe à tous les points levés depuis cette station.
Le saviez-vous ?
Pour éviter ce problème, les topographes "ferment" leurs circuits. Après avoir mesuré A, B, C... ils reviennent mesurer leur point de départ S1 (ou un autre point connu). Si le calcul ne "retombe" pas sur l'altitude de départ, c'est qu'une erreur (systématique ou accidentelle) s'est glissée dans le processus.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'erreur sur `Hi` était de -2 cm (0.020 m trop bas), quelle serait l'erreur (en cm) sur le 8ème point mesuré depuis cette station ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Erreur systématique.
- Propagation : L'erreur sur `Hi` affecte tous les points visés.
- Résultat : \( e_{\text{A}} = e_{\text{B}} = \dots = e_{\text{Hi}} \).
Outil Interactif : Simulateur d'Altitude
Utilisez cet outil pour voir comment l'altitude d'un point varie en fonction de la lecture sur mire, pour un plan de visée donné. Observez la relation linéaire inverse.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la formule correcte pour le Plan de Visée ?
2. Quelle est la formule correcte pour l'Altitude d'un Point ?
3. Si vous mesurez une `Hi` 2 cm *trop haut* (ex: 1.62m au lieu de 1.60m), l'altitude calculée de votre point sera :
4. Une erreur de mesure sur `Hi` qui est utilisée pour 20 points est une :
5. Calcul rapide : \( \text{Alt}_{\text{S1}} = 100.000 \text{ m} \), \( \text{Hi} = 1.500 \text{ m} \), \( \text{Lect}_{\text{A}} = 2.000 \text{ m} \). Quelle est \( \text{Alt}_{\text{A}} \) ?
Glossaire
- Altitude (Alt)
- Distance verticale d'un point par rapport à une surface de référence (généralement le niveau moyen des mers, ou géoïde).
- Hauteur Instrumentale (Hi)
- Distance verticale, mesurée au-dessus du point de station, entre le repère au sol et l'axe optique (plan de visée) de l'instrument.
- Lecture sur Mire (Lect)
- Valeur lue sur la mire (règle graduée) tenue verticalement sur un point. Elle représente la distance verticale entre le point au sol et le plan de visée.
- Nivellement Direct
- Ensemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées à l'aide d'un niveau et d'une mire.
- Plan de Visée (ou Horizon Instrumental)
- Le plan horizontal fictif généré par l'axe optique du niveau. Son altitude est la référence pour les lectures : \( \text{Alt}_{\text{Visée}} = \text{Alt}_{\text{Station}} + \text{Hi} \).
- Erreur Systématique
- Erreur qui se reproduit constamment, en valeur et en signe, dans les mêmes conditions. Elle est due à une cause permanente (ex: `Hi` mal mesurée, instrument déréglé).
D’autres exercices de Calculs Altimétriques:
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