Calcul de l'altitude d'un point par "barrage" (Nivellement Indirect)
Contexte : Le Nivellement IndirectMéthode topographique permettant de déterminer la différence d'altitude (dénivelée) entre deux points à l'aide de mesures d'angles verticaux et de distances, sans occuper le point visé..
En topographie, il est fréquent de devoir déterminer l'altitude d'un point inaccessible (comme le sommet d'un bâtiment, un pylône, ou un point de l'autre côté d'une rivière). Le nivellement direct (avec une mire) est alors impossible. Nous utilisons le nivellement indirect, qui s'appuie sur la trigonométrie. En stationnant un théodoliteInstrument de mesure de haute précision pour les angles horizontaux (azimutaux) et verticaux (zénithaux). en un point A d'altitude connue, nous pouvons viser le point inaccessible B. Cependant, la distance horizontale A-B est souvent inconnue. Cet exercice présente une méthode classique dite "par barrage" ou "point intermédiaire" : nous visons un point R (un repère, une mire) où nous connaissons la hauteur visée, ce qui nous permet de calculer l'altitude de notre instrument avant de déterminer celle du point B.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer et à vérifier l'altitude d'un point inaccessible en décomposant le problème : 1. Calculer la dénivelée vers un point connu pour trouver l'altitude de l'instrument. 2. Utiliser cette altitude pour calculer celle du point inconnu.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser la formule de la dénivelée par nivellement indirect : \(\text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V)\).
- Calculer l'altitude de l'axe des tourillons (hauteur de l'instrument) via une visée sur un point connu.
- Calculer l'altitude d'un point inaccessible B.
- Comprendre l'importance de la hauteur de prisme (\(\text{hp}\)) et de la hauteur de l'instrument (\(\text{Ht}\)).
- Vérifier un calcul en déterminant l'altitude du sol sous le point B.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Altitude du Repère R (\(\text{Alt}_R\)) | 125.000 m |
| Hauteur du prisme en B (\(\text{hp}_B\)) | 1.800 m |
| Hauteur de l'instrument en A (\(\text{Ht}\)) | Inconnue |
| Convention angulaire | Angles zénithaux (Zénith = 0 gr, Horizontal = 100 gr) |
Schéma de la situation
| Visée | Distance Horizontale (\(\text{Dh}\)) | Angle Zénithal (\(V\)) | Hauteur de Prisme (\(\text{hp}\)) |
|---|---|---|---|
| A -> R (Repère) | 60.000 m | 98.0000 gr | (N/A - Point fixe) |
| A -> B (Prisme) | 80.000 m | 90.5000 gr | 1.800 m |
Questions à traiter
- Calculer la dénivelée (\(\text{Dn}_R\)) entre l'axe des tourillons (T) et le repère R.
- En déduire l'altitude de l'axe des tourillons (\(\text{Alt}_T\)).
- Calculer la dénivelée (\(\text{Dn}_B\)) entre l'axe des tourillons (T) et le prisme B.
- En déduire l'altitude du prisme B (\(\text{Alt}_B\)).
- Calculer l'altitude du point S au sol, situé à la verticale du prisme B.
Les bases sur le Nivellement Indirect
Le nivellement indirect trigonométrique permet de calculer la différence d'altitude (\(\text{Dn}\), ou dénivelée) entre l'axe de rotation optique de l'instrument (appelé "axe des tourillons", T) et le point visé (P).
1. La formule fondamentale
La relation trigonométrique dans le triangle rectangle formé par l'axe T, le point P et la distance horizontale (\(\text{Dh}\)) est la suivante :
\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Dn}}{\text{Dh}} \]
Où \(\alpha\) est l'angle par rapport à l'horizontale.
2. Utilisation de l'angle Zénithal (\(V\))
Les théodolites modernes mesurent l'angle zénithal (\(V\)) (depuis la verticale "vers le haut"). La convention la plus courante (et celle utilisée ici) est :
- Zénith (verticale haut) = 0 gr
- Horizontal = 100 gr
- Nadir (verticale bas) = 200 gr
Puisque \(\tan(100 - V) = \cot(V)\) (en grades), la formule devient : \[ \text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V) \]
3. Calcul d'Altitude
Une fois la dénivelée (\(\text{Dn}\)) calculée, on peut trouver l'altitude du point visé (\(\text{Alt}_P\)) si on connaît l'altitude de l'axe des tourillons (\(\text{Alt}_T\)) :
\[ \text{Alt}_P = \text{Alt}_T + \text{Dn} \]
Inversement, si on connaît \(\text{Alt}_P\), on peut trouver \(\text{Alt}_T\) :
\[ \text{Alt}_T = \text{Alt}_P - \text{Dn} \]
Correction : Calcul de l'altitude d'un point par "barrage"
Question 1 : Calculer la dénivelée (\(\text{Dn}_R\)) entre l'axe des tourillons (T) et le repère R.
Principe
La première étape consiste à trouver la différence d'altitude (dénivelée) entre notre instrument (son axe T) et le point de référence R. Nous avons la distance horizontale (\(\text{Dh}_R\)) et l'angle vertical (\(V_R\)). Nous pouvons donc utiliser la formule trigonométrique de base pour trouver le troisième côté du triangle : la dénivelée (\(\text{Dn}_R\)).
Mini-Cours
Le nivellement indirect repose sur la trigonométrie simple. L'instrument, le point visé et la verticale du point visé forment un triangle rectangle. L'hypoténuse est la visée, un côté est la distance horizontale (\(\text{Dh}\)) et l'autre côté est la dénivelée (\(\text{Dn}\)). La formule \(\text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V)\) est la clé de tout l'exercice.
Remarque Pédagogique
Cette première question est cruciale. Elle utilise le point R (dont on connaît l'altitude) comme "étalon". En calculant la dénivelée vers ce point, nous allons pouvoir, à la question suivante, déterminer l'altitude exacte de notre instrument, qui est notre inconnue de départ.
Normes
En topographie, la précision est essentielle. Les angles sont mesurés en grades (gr), où un cercle complet fait 400 gr (et un angle droit 100 gr). Il est crucial de s'assurer que sa calculatrice est en mode "Grades" (ou "Grad") avant de calculer des cotangentes ou des sinus.
Formule(s)
La formule de base du nivellement indirect trigonométrique avec un angle zénithal \(V\) (où 100 gr = horizontal) est :
Rappel :
Hypothèses
Pour cet exercice, nous faisons les hypothèses simplificatrices suivantes :
- L'influence de la courbure de la Terre et de la réfraction atmosphérique est négligée, car les distances (60m, 80m) sont courtes.
- L'instrument est parfaitement réglé (l'axe vertical est bien vertical).
Donnée(s)
Nous extrayons les données de l'énoncé spécifiques à la visée A -> R :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Horizontale A-R | \(\text{Dh}_R\) | 60.000 | m |
| Angle Zénithal A-R | \(V_R\) | 98.0000 | gr |
Astuces
Avant de calculer, analysez l'angle \(V_R = 98.00\text{ gr}\). Puisque l'horizontale est à 100 gr, un angle de 98 gr est "au-dessus" de l'horizontale (visée montante). La dénivelée \(\text{Dn}_R\) doit donc être positive. Si votre calcul donne un signe négatif, vérifiez votre formule ou le mode de votre calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Nous nous concentrons sur le triangle rectangle formé par l'axe des tourillons (T), le repère R et la distance horizontale \(\text{Dh}_R\).
Triangle de visée A-R
Calcul(s)
Nous appliquons la formule \(\text{Dn}_R = \text{Dh}_R \cdot \cot(V_R)\) avec nos données.
Étape 1 : Calcul de la cotangente (en mode GRADES)
On calcule d'abord la valeur de \(\cot(98.00\text{ gr})\). C'est \(\frac{1}{\tan(98.00\text{ gr})}\).
Le résultat est positif, ce qui confirme notre "astuce" : la visée est bien montante.
Étape 2 : Calcul de la dénivelée \(\text{Dn}_R\)
On multiplie ce résultat par la distance horizontale \(\text{Dh}_R\).
On arrondit au millimètre, la précision habituelle en nivellement.
Schéma (Après les calculs)
Nous pouvons maintenant mettre à jour notre schéma avec le résultat. La dénivelée \(\text{Dn}_R\) est positive, ce qui signifie que R est 1.885 m plus haut que l'axe T.
Résultat de la visée A-R
Réflexions
Le résultat \(\text{Dn}_R = +1.885\text{ m}\) signifie que l'axe des tourillons (T) de notre instrument est 1.885 mètres plus bas que le repère R que nous avons visé. C'est une information logique, car le repère est sur un mur, et l'instrument est sur un trépied au sol.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente ici est le mode de la calculatrice. Si elle est en "Degrés" (DEG) au lieu de "Grades" (GRAD), le calcul \(\cot(98.00\text{ deg})\) donne \(-7.115\), ce qui est complètement faux. Une autre erreur est d'inverser la formule (par exemple, \(\tan(V)\) au lieu de \(\cot(V)\)).
Points à retenir
Pour trouver une dénivelée \(\text{Dn}\) à partir d'un angle zénithal \(V\) (où 100 gr = horizontal) :
- La formule est \(\text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V)\).
- Si \(V < 100\text{ gr}\), la visée est montante (\(\text{Dn}\) est positive).
- Si \(V > 100\text{ gr}\), la visée est plongeante (\(\text{Dn}\) est négative).
Le saviez-vous ?
Le "grade" (ou "gon") a été inventé en France après la Révolution, en même temps que le système métrique, pour "décimaliser" le cercle. Un angle droit = 100 grades, un cercle = 400 grades. C'est beaucoup plus simple pour les additions et soustractions que le système sexagésimal (90 degrés, 60 minutes, 60 secondes).
FAQ
Quelques questions courantes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle zénithal \(V_R\) avait été de \(102.00\text{ gr}\) (une visée plongeante) avec la même distance \(\text{Dh}_R\), quelle aurait été la dénivelée \(\text{Dn}_R\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Calcul de dénivelée \(\text{Dn}\).
- Formule Essentielle : \(\text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V)\).
- Point de Vigilance Majeur : Calculatrice en mode GRADES.
Question 2 : En déduire l'altitude de l'axe des tourillons (\(\text{Alt}_T\)).
Principe
Maintenant que nous connaissons l'altitude du point R (\(\text{Alt}_R\)) et la dénivelée (\(\text{Dn}_R\)) entre l'instrument (T) et ce point R, nous pouvons trouver l'altitude de l'instrument par une simple soustraction. C'est l'étape clé du "barrage" : on se sert du point connu R pour "caler" notre station A.
Mini-Cours
L'altitude est une mesure par rapport à un niveau de référence (souvent le niveau de la mer, 0 m). Si \(\text{Alt}_R = 125.000\text{ m}\), cela signifie que R est 125m au-dessus du niveau 0. Si \(\text{Dn}_R = +1.885\text{ m}\), cela veut dire que R est 1.885m plus haut que T. Pour trouver l'altitude de T, on doit donc soustraire la dénivelée à l'altitude de R.
Remarque Pédagogique
Pensez-y comme à un escalier. Vous êtes sur une marche (l'instrument T). Vous regardez une marche plus haute (le repère R). Vous savez que R est à 1.885m au-dessus de vous. Si on vous dit que l'altitude de R est de 125.000m, votre propre altitude est logiquement de \(125.000 - 1.885\).
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique ici, si ce n'est la logique mathématique de l'addition et de la soustraction des altitudes et des dénivelées. Une dénivelée positive (\(\text{Dn} > 0\)) signifie qu'on "monte" de l'instrument vers le point visé.
Formule(s)
La relation entre l'altitude de l'instrument (\(\text{Alt}_T\)), l'altitude du point visé (\(\text{Alt}_P\)) et la dénivelée (\(\text{Dn}\)) est :
En réarrangeant la formule pour trouver \(\text{Alt}_T\), on obtient :
Hypothèses
Nous utilisons les résultats de la question précédente, en supposant qu'ils sont corrects. Toute erreur de la Q1 se répercutera ici.
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1 :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude du Repère R | \(\text{Alt}_R\) | 125.000 | m |
| Dénivelée T -> R | \(\text{Dn}_R\) | +1.885 | m |
Astuces
Le piège ici est une simple erreur de signe. On est souvent tenté d'additionner. Visualisez toujours la situation : l'instrument (T) est-il plus haut ou plus bas que le point visé (R) ? Ici, \(V_R = 98\text{ gr}\) (montante), donc R est plus haut que T. \(\text{Alt}_T\) doit donc être inférieure à \(\text{Alt}_R\). Cela vous confirme qu'il faut faire une soustraction.
Schéma (Avant les calculs)
Nous représentons les altitudes sur un axe vertical "Z" par rapport au niveau de la mer (0 m).
Axe des altitudes (Z)
Calcul(s)
Nous appliquons la formule \(\text{Alt}_T = \text{Alt}_R - \text{Dn}_R\).
Étape 1 : Poser la soustraction
On prend l'altitude connue de R et on soustrait la dénivelée (positive) que nous avons calculée.
Étape 2 : Résultat
L'opération est une simple soustraction.
L'altitude de l'axe des tourillons de notre instrument est donc de 123.115 m.
Schéma (Après les calculs)
Nous mettons à jour notre axe des altitudes avec la valeur trouvée.
Axe des altitudes (Résultat Q2)
Réflexions
Nous avons maintenant l'altitude de notre "œil" (l'axe T). C'est la référence qui va nous servir pour toutes les autres visées que nous ferons depuis cette station A. Sans cette valeur, nous ne pourrions pas calculer l'altitude de B. L'inconnue \(\text{Ht}\) (hauteur instrumentale) n'est même plus nécessaire, car nous avons directement l'altitude de l'axe T.
Points de vigilance
Le seul point de vigilance est le signe de l'opération. Ne jamais additionner ou soustraire sans avoir visualisé la situation (T est-il plus haut ou plus bas que R ?). Une erreur ici fausse tout le reste de l'exercice.
Points à retenir
- \(\text{Alt}_T = \text{Alt}_R - \text{Dn}_R\) (pour une visée montante \(\text{Dn} > 0\)).
- L'altitude de l'instrument est la référence pour tous les calculs suivants depuis cette station.
Le saviez-vous ?
Dans les anciens théodolites, on ne pouvait pas mesurer \(\text{Ht}\) (hauteur de l'instrument) directement. Les géomètres devaient donc toujours utiliser une "référence" (un repère connu, comme notre point R) pour caler l'altitude de leur instrument avant de commencer le travail. C'est le principe même de cet exercice.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude du repère R (\(\text{Alt}_R\)) avait été de \(200.000\text{ m}\) (et \(\text{Dn}_R = +1.885\text{ m}\)), quelle serait \(\text{Alt}_T\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Calcul de l'altitude de l'instrument.
- Formule Essentielle : \(\text{Alt}_T = \text{Alt}_P - \text{Dn}\).
- Point de Vigilance Majeur : Le signe de l'opération (addition ou soustraction).
Question 3 : Calculer la dénivelée (\(\text{Dn}_B\)) entre l'axe des tourillons (T) et le prisme B.
Principe
Maintenant que nous avons "calé" notre instrument (nous connaissons \(\text{Alt}_T\)), nous pouvons l'utiliser pour trouver l'altitude d'autres points. Nous répétons exactement la même opération que pour la Question 1, mais cette fois avec les données de la visée vers le point B (prisme).
Mini-Cours
La méthode est identique. Nous avons une nouvelle distance horizontale (\(\text{Dh}_B\)) et un nouvel angle zénithal (\(V_B\)). Nous appliquons la même formule trigonométrique pour trouver la nouvelle dénivelée (\(\text{Dn}_B\)) entre T et B.
Remarque Pédagogique
C'est le cœur du nivellement par rayonnement. Une fois la station (A) calée en altitude (grâce à \(\text{Alt}_T\)), on peut "rayonner" et mesurer des dizaines de points (B, C, D...) en appliquant simplement cette formule \(\text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V)\) pour chaque point.
Normes
Comme pour la Q1, la calculatrice doit impérativement être en mode GRADES. La formule \(\text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V)\) est la norme pour cette convention angulaire (Zénith = 0 gr, Horizontal = 100 gr).
Formule(s)
La formule est identique à la Q1, mais appliquée aux données du point B :
Hypothèses
Nous supposons que l'instrument n'a pas bougé entre la visée sur R et la visée sur B. L'altitude \(\text{Alt}_T\) est constante.
Donnée(s)
Nous extrayons les données de l'énoncé spécifiques à la visée A -> B :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Horizontale A-B | \(\text{Dh}_B\) | 80.000 | m |
| Angle Zénithal A-B | \(V_B\) | 90.5000 | gr |
Astuces
Analyse de l'angle : \(V_B = 90.5000\text{ gr}\). C'est (encore) un angle inférieur à 100 gr, donc c'est une visée montante. Le résultat \(\text{Dn}_B\) doit être positif. C'est une visée très "raide" (proche du zénith), on s'attend à une grande dénivelée positive.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma est similaire à celui de la Q1, mais avec les données de la visée A -> B.
Triangle de visée A-B
Calcul(s)
Nous appliquons la formule \(\text{Dn}_B = \text{Dh}_B \cdot \cot(V_B)\).
Étape 1 : Calcul de la cotangente (en mode GRADES)
On calcule la valeur de \(\cot(90.50\text{ gr})\).
Le résultat est positif, ce qui confirme une visée montante.
Étape 2 : Calcul de la dénivelée \(\text{Dn}_B\)
On multiplie ce résultat par la distance horizontale \(\text{Dh}_B\).
On arrondit au millimètre.
Schéma (Après les calculs)
Le prisme B est 5.654 m plus haut que l'axe T.
Résultat de la visée A-B
Réflexions
Nous avons calculé la deuxième dénivelée. Nous savons maintenant que le prisme B est 5.654 m plus haut que notre instrument T. Notez que nous n'avons pas encore utilisé l'altitude \(\text{Alt}_T\) calculée à la Q2. Elle ne sera utile que pour la question suivante.
Points de vigilance
C'est exactement le même piège que la Q1 : le mode de la calculatrice. Assurez-vous qu'elle est toujours en GRADES. \(\cot(90.50\text{ deg})\) donne \(+0.0087\), un résultat très différent.
Points à retenir
- La formule \(\text{Dn} = \text{Dh} \cdot \cot(V)\) est universelle pour toutes les visées depuis cette station (tant que la convention Zénith=0, Horizontal=100 est utilisée).
Le saviez-vous ?
Les instruments modernes (Stations Totales) font ce calcul automatiquement. L'opérateur vise le prisme, appuie sur un bouton, et l'instrument mesure \(\text{Dh}\) et \(V\), puis affiche \(\text{Dn}\) directement. Mais il doit savoir quelle formule l'instrument utilise !
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance \(\text{Dh}_B\) avait été de \(100\text{ m}\) (et \(V_B = 90.50\text{ gr}\)), quelle aurait été la dénivelée \(\text{Dn}_B\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Application de la formule \(\text{Dn}\) à un nouveau point.
- Formule Essentielle : \(\text{Dn}_B = \text{Dh}_B \cdot \cot(V_B)\).
- Point de Vigilance Majeur : Toujours en mode GRADES.
Question 4 : En déduire l'altitude du prisme B (\(\text{Alt}_B\)).
Principe
Nous y sommes presque. Nous connaissons l'altitude de notre instrument (\(\text{Alt}_T\), calculée en Q2) et nous venons de calculer la dénivelée entre cet instrument et le prisme B (\(\text{Dn}_B\), calculée en Q3). Pour trouver l'altitude du prisme B, il suffit d'additionner ces two valeurs.
Mini-Cours
C'est l'opération inverse de la Q2. Là-bas, nous connaissions le point d'arrivée (R) et nous cherchions le point de départ (T). Ici, nous connaissons le point de départ (T) et nous cherchions le point d'arrivée (B). La formule de base \(\text{Alt}_P = \text{Alt}_T + \text{Dn}\) s'applique directement.
Remarque Pédagogique
C'est l'aboutissement de notre mission. L'objectif était de trouver \(\text{Alt}_B\). Nous avons dû passer par un point intermédiaire (R) pour trouver notre altitude de référence (\(\text{Alt}_T\)), pour enfin pouvoir calculer notre point inconnu (B).
Normes
Simple addition arithmétique.
Formule(s)
La formule de base pour trouver une altitude à partir d'une station connue est :
Appliquée à notre cas :
Hypothèses
Nous supposons que \(\text{Alt}_T\) (de Q2) et \(\text{Dn}_B\) (de Q3) sont corrects.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Axe Tourillons | \(\text{Alt}_T\) | 123.115 | m |
| Dénivelée T -> B | \(\text{Dn}_B\) | +5.654 | m |
Astuces
Vérification par le signe : \(\text{Dn}_B\) est positive (\(+5.654\text{ m}\)), ce qui signifie que B est plus haut que T. L'altitude \(\text{Alt}_B\) doit donc être supérieure à \(\text{Alt}_T\) (\(123.115\text{ m}\)). Cela confirme qu'il faut faire une addition.
Schéma (Avant les calculs)
Nous reprenons notre axe des altitudes pour visualiser l'addition.
Axe des altitudes (Visée B)
Calcul(s)
Nous appliquons la formule \(\text{Alt}_B = \text{Alt}_T + \text{Dn}_B\).
Étape 1 : Poser l'addition
On prend l'altitude de l'instrument (T) et on ajoute la dénivelée (positive) vers B.
Étape 2 : Résultat
L'opération est une simple addition.
L'altitude du prisme B (le point inaccessible) est de 128.769 m.
Schéma (Après les calculs)
Notre axe des altitudes est maintenant complet pour le point B.
Axe des altitudes (Résultat Q4)
Réflexions
Mission accomplie. Nous avons déterminé l'altitude d'un point B que nous n'avons jamais touché, simplement en visant un repère connu (R) et en effectuant des mesures d'angle et de distance. C'est toute la puissance du nivellement indirect.
Points de vigilance
Le risque est de se tromper dans les additions/soustractions. Si vous aviez additionné en Q2 et soustrait en Q4, vous seriez arrivé à un résultat complètement différent. L'astuce "visée montante = \(\text{Dn}\) positive" et "visée plongeante = \(\text{Dn}\) négative" est votre meilleur garde-fou.
Points à retenir
- La chaîne de calcul complète est :
- \(\text{Dn}_R = \text{Dh}_R \cdot \cot(V_R)\)
- \(\text{Alt}_T = \text{Alt}_R - \text{Dn}_R\)
- \(\text{Dn}_B = \text{Dh}_B \cdot \cot(V_B)\)
- \(\text{Alt}_B = \text{Alt}_T + \text{Dn}_B\)
Le saviez-vous ?
Cette méthode est utilisée pour ausculter des ouvrages d'art (barrages, ponts). En plaçant des prismes (comme B) sur la structure et en les mesurant régulièrement depuis une station fixe (A) calée sur un repère fixe (R), on peut détecter des mouvements de la structure de l'ordre du millimètre !
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude de l'instrument (\(\text{Alt}_T\)) avait été de \(100.000\text{ m}\) (et \(\text{Dn}_B = +5.654\text{ m}\)), quelle serait \(\text{Alt}_B\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Calcul de l'altitude du point inconnu.
- Formule Essentielle : \(\text{Alt}_B = \text{Alt}_T + \text{Dn}_B\).
- Point de Vigilance Majeur : Utiliser les bonnes valeurs de \(\text{Alt}_T\) (Q2) et \(\text{Dn}_B\) (Q3).
Question 5 : Calculer l'altitude du point S au sol, situé à la verticale du prisme B.
Principe
C'est une question de vérification et de bon sens. Nous avons trouvé l'altitude du prisme B (\(\text{Alt}_B\)). L'énoncé nous dit que ce prisme est tenu sur une canne (ou un trépied) au-dessus du point S au sol, et que la hauteur de cette canne est \(\text{hp}_B = 1.800\text{ m}\). Pour trouver l'altitude du sol S, il suffit de soustraire cette hauteur.
Mini-Cours
En topographie, on mesure presque toujours l'altitude d'un prisme (\(\text{hp} > 0\)) ou d'une mire. L'altitude du point au sol est presque toujours l'objectif final. La relation est simple : \(\text{Alt}_{\text{Sol}} = \text{Alt}_{\text{Prisme}} - \text{hauteur prisme}\).
Remarque Pédagogique
N'oubliez jamais la "hauteur de prisme" (\(\text{hp}\)) ! C'est une source d'erreur très fréquente sur le terrain. Si l'opérateur oublie de mesurer ou de noter la hauteur de sa canne, tous ses calculs d'altitude au sol seront faux de cette valeur.
Normes
Simple soustraction arithmétique.
Formule(s)
La formule pour trouver l'altitude du sol (S) à partir de l'altitude du prisme (B) est :
Hypothèses
Nous supposons que la canne portant le prisme B était parfaitement verticale (tenue avec une nivelle sphérique).
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la Q4 et une donnée de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Prisme B | \(\text{Alt}_B\) | 128.769 | m |
| Hauteur Prisme B | \(\text{hp}_B\) | 1.800 | m |
Astuces
Visualisez : le prisme B est au-dessus du sol S. L'altitude du sol \(\text{Alt}_S\) doit donc être inférieure à l'altitude du prisme \(\text{Alt}_B\). Cela confirme qu'il faut soustraire \(\text{hp}_B\).
Schéma (Avant les calculs)
Nous zoomons sur le point B et le sol S.
Zoom sur le point B/S
Calcul(s)
Nous appliquons la formule \(\text{Alt}_S = \text{Alt}_B - \text{hp}_B\).
Étape 1 : Poser la soustraction
On prend l'altitude du prisme B et on soustrait la hauteur de la canne.
Étape 2 : Résultat
L'opération est une simple soustraction.
L'altitude du point S au sol est de 126.969 m.
Schéma (Après les calculs)
Notre schéma est maintenant complet.
Zoom sur le point B/S (Résultat Q5)
Réflexions
Nous avons maintenant toutes les informations : l'altitude du prisme B (\(128.769\text{ m}\)) et l'altitude du sol S juste en dessous (\(126.969\text{ m}\)). L'exercice est terminé et toutes les inconnues sont levées.
Points de vigilance
Le piège serait d'additionner \(\text{hp}_B\) au lieu de soustraire, ou d'oublier complètement cette étape. L'altitude du prisme n'est que très rarement l'altitude finale recherchée.
Points à retenir
- \(\text{Alt}_{\text{Sol}} = \text{Alt}_{\text{Prisme}} - \text{hp}\).
- Toujours se demander : "Est-ce que je cherche l'altitude du prisme ou l'altitude du sol ?".
Le saviez-vous ?
Certains prismes ont une hauteur \(\text{hp}\) nulle ! Ce sont des "mini-prismes" spéciaux ou des pastilles réfléchissantes que l'on colle directement sur un mur ou au sol. Dans ce cas, \(\text{Alt}_S = \text{Alt}_B\).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude du prisme B (\(\text{Alt}_B\)) était de \(150.000\text{ m}\) et la hauteur du prisme \(\text{hp}_B\) était de \(2.150\text{ m}\), quelle serait \(\text{Alt}_S\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Passer de l'altitude du prisme à l'altitude du sol.
- Formule Essentielle : \(\text{Alt}_S = \text{Alt}_B - \text{hp}_B\).
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier cette dernière étape !
Outil Interactif : Simulateur
Utilisez les curseurs pour changer les conditions de la visée A -> B et voir comment l'altitude finale du sol (\(\text{Alt}_S\)) est impactée. L'altitude de l'instrument (\(\text{Alt}_T\)) est fixée à 123.115 m (résultat Q2).
Paramètres d'Entrée (Visée A -> B)
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la formule correcte pour la dénivelée (Dn) avec un angle zénithal (V) où Zénith=0 et Horizontal=100 ?
2. Dans cet exercice, pourquoi a-t-on visé le repère R ?
3. Un angle zénithal \(V = 101.50\text{ gr}\) correspond à :
4. Selon les calculs de l'exercice, quelle affirmation est VRAIE ?
5. Si \(\text{Alt}_{\text{Prisme}} = 50.000\text{ m}\) et \(\text{hp} = 1.600\text{ m}\), quelle est \(\text{Alt}_{\text{Sol}}\) ?
Glossaire
- Altitude (\(\text{Alt}\))
- Hauteur verticale d'un point mesurée par rapport à un niveau de référence (généralement le niveau moyen de la mer, NMM).
- Axe des Tourillons (T)
- L'axe horizontal autour duquel la lunette du théodolite pivote verticalement. C'est le "point de départ" (altitude \(\text{Alt}_T\)) de tous les calculs de dénivelée.
- Dénivelée (\(\text{Dn}\))
- Différence d'altitude (positive ou négative) entre deux points. \(\text{Dn}_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = \text{Alt}_B - \text{Alt}_A\).
- Grade (gr) ou Gon
- Unité d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit vaut 100 gr. C'est l'unité standard en topographie.
- Hauteur Instrumentale (\(\text{Ht}\))
- Hauteur verticale entre le point au sol (piquet A) et l'axe des tourillons (T). Dans cet exercice, \(\text{Ht}\) était inconnue.
- Hauteur de Prisme (\(\text{hp}\))
- Hauteur verticale entre le point au sol (S) et le centre du prisme visé (B). C'est la hauteur de la canne.
- Nivellement Indirect
- Méthode de détermination des altitudes par des mesures d'angles verticaux et de distances (par opposition au nivellement direct qui utilise une mire et un niveau).
- Angle Zénithal (\(V\))
- Angle vertical mesuré depuis le Zénith (la verticale "vers le haut").
- \(\text{Zénith} = 0\text{ gr}\) (visée verticale vers le ciel)
- \(\text{Horizontal} = 100\text{ gr}\)
- \(\text{Nadir} = 200\text{ gr}\) (visée verticale vers le sol)
- Visée montante : \(V < 100\text{ gr}\)
- Visée plongeante : \(V > 100\text{ gr}\)
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