Nivellement d'un Réseau de Points
Contexte : Le Nivellement DirectOpération de topographie qui consiste à déterminer des altitudes ou des dénivelées par des visées horizontales, généralement à l'aide d'un niveau et d'une mire..
Cet exercice porte sur le calcul et la compensation d'un cheminement fermé de nivellement direct. Vous partirez d'un repère connu (BM-A), effectuerez une série de mesures de dénivelées pour déterminer l'altitude de nouveaux points (P1, P2, P3), et reviendrez au point de départ pour vérifier la précision de vos mesures.
Remarque Pédagogique : L'objectif est de maîtriser le calcul des altitudes brutes, la détermination de l'erreur de fermeture, la comparaison à une tolérance et l'application d'une compensation proportionnelle pour obtenir des altitudes précises.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la somme des dénivelées mesurées dans une boucle.
- Déterminer l'erreur de fermeture altimétriqueÉcart entre la somme des dénivelées mesurées et la somme théorique (qui est de 0 dans un cheminement fermé). (fₐ).
- Calculer la tolérance de fermeture et valider la qualité du levé.
- Compenser la fermeture et calculer les altitudes définitives des points du réseau.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Point de départ (Repère) | BM-A |
| Altitude de BM-A | 100.000 m |
| Tolérance de fermeture (T) | \( T = \pm 10 \text{ mm} \sqrt{n} \) (où n = nb de dénivelées) |
Schéma du Cheminement Fermé
| De | Vers | Dénivelée (m) | Symbole |
|---|---|---|---|
| BM-A | P1 | +2.150 | \( \Delta H_1 \) |
| P1 | P2 | -1.725 | \( \Delta H_2 \) |
| P2 | P3 | +0.890 | \( \Delta H_3 \) |
| P3 | BM-A | -1.330 | \( \Delta H_4 \) |
Questions à traiter
- Calculer la somme des dénivelées mesurées \( \sum \Delta H_{\text{mes}} \).
- En déduire l'erreur de fermeture \( f_a \).
- Calculer la tolérance \( T \). Le levé est-il acceptable ?
- Si oui, calculer la compensation unitaire \( C_i \) à appliquer à chaque dénivelée.
- Calculer les altitudes compensées (définitives) des points P1, P2 et P3.
Les bases sur le Nivellement Fermé
Un nivellement en cheminement fermé est une boucle qui part et revient à un même point d'altitude connue. Cette méthode permet un contrôle qualité essentiel : la vérification de la fermeture.
1. Erreur de Fermeture (\(f_a\))
Théoriquement, si l'on part d'un point et qu'on y revient, la somme de toutes les dénivelées (montées et descentes) doit être nulle. En pratique, les petites erreurs de mesure s'accumulent. L'erreur de fermeture est la valeur réelle de cette somme.
\[ \sum \Delta H_{\text{théorique}} = 0 \]
\[ f_a = \sum \Delta H_{\text{mesurée}} - \sum \Delta H_{\text{théorique}} = \sum \Delta H_{\text{mesurée}} \]
2. Tolérance et Compensation
On compare l'erreur commise (\(|f_a|\)) à une tolérance (\(T\)). Si \(|f_a| \le T\), le levé est acceptable. On doit alors "annuler" l'erreur en appliquant une compensation totale \(C_{\text{totale}} = -f_a\). Cette compensation est répartie sur toutes les mesures, souvent de manière égale si les portées sont similaires.
\[ C_{\text{totale}} = -f_a \]
\[ \text{Compensation unitaire } C_i = \frac{C_{\text{totale}}}{n} \]
\[ \Delta H_{\text{compensée}} = \Delta H_{\text{mesurée}} + C_i \]
Correction : Nivellement d'un Réseau de Points
Question 1 : Calculer la somme des dénivelées mesurées \( \sum \Delta H_{\text{mes}} \)
Principe
L'objectif est d'additionner algébriquement (en tenant compte des signes + et -) toutes les dénivelées mesurées le long de la boucle, de BM-A à BM-A.
Mini-Cours
La somme des dénivelées mesurées est la première étape pour déterminer l'erreur de fermeture. Elle représente l'écart global accumulé sur l'ensemble du parcours. Dans un monde parfait sans erreur de mesure, cette somme serait exactement nulle pour un cheminement fermé.
Remarque Pédagogique
Prenez votre temps pour cette première addition. Une simple erreur de calcul à cette étape rendra toutes les questions suivantes incorrectes. C'est la fondation de votre calcul.
Normes
Il n'y a pas de "norme" pour une simple addition, mais les normes topographiques imposent que ce calcul soit tracé et vérifiable.
Formule(s)
La formule est une simple sommation :
Hypothèses
On suppose que les valeurs fournies dans le tableau sont les mesures brutes relevées sur le terrain, sans correction préalable.
Donnée(s)
Nous utilisons les dénivelées du tableau de l'énoncé :
| Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \( \Delta H_1 \) | +2.150 | m |
| \( \Delta H_2 \) | -1.725 | m |
| \( \Delta H_3 \) | +0.890 | m |
| \( \Delta H_4 \) | -1.330 | m |
Astuces
Pour éviter les erreurs de calculatrice, il est conseillé de sommer les positifs ensemble et les négatifs ensemble, puis de faire la différence.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé montre les 4 dénivelées qui forment la boucle fermée que nous allons sommer.
Schéma du Cheminement Fermé
Calcul(s)
On applique la formule de sommation, on substitue les valeurs, on regroupe les termes, puis on calcule le résultat final :
Schéma (Après les calculs)
Le calcul ne produit pas de nouveau schéma, mais il donne une valeur (l'erreur de fermeture) qui sera visualisée à la prochaine étape.
Réflexions
La somme n'est pas nulle, ce qui est normal. La valeur de -0.015 m (soit -15 mm) représente l'écart total accumulé sur la boucle. C'est la valeur brute de l'erreur de fermeture.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe ou une faute d'addition. Vérifiez deux fois ce calcul simple mais critique.
Points à retenir
- La somme algébrique est la première étape de tout calcul de cheminement.
- Le résultat \(\sum \Delta H_{\text{mes}}\) est directement l'erreur de fermeture \(f_a\) dans un cheminement fermé.
Le saviez-vous ?
Les carnets de nivellement électroniques (niveaux numériques) font cette somme automatiquement à chaque mesure, permettant au topographe de connaître l'erreur de fermeture dès le retour au point de départ sur le terrain.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la dénivelée \( \Delta H_4 \) avait été mesurée à -1.320 m (au lieu de -1.330 m), quelle aurait été la nouvelle somme \( \sum \Delta H_{\text{mes}} \) (en m) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 :
- Concept Clé : Sommation algébrique des mesures.
- Résultat : \( \sum \Delta H_{\text{mes}} = -0.015 \text{ m} \).
Question 2 : En déduire l'erreur de fermeture \( f_a \)
Principe
Dans un cheminement fermé, l'altitude de départ est la même que l'altitude d'arrivée. La somme théorique des dénivelées est donc nulle. L'erreur de fermeture \( f_a \) est simplement la valeur que l'on vient de calculer.
Mini-Cours
L'erreur de fermeture est la différence entre le résultat des mesures et le résultat théorique attendu. Pour un cheminement fermé, le point d'arrivée étant le même que le point de départ, la dénivelée totale théorique est 0.
Remarque Pédagogique
Cette erreur est la somme de toutes les petites imprécisions de lecture, de calage de niveau, et de tassement du trépied. C'est une étape de contrôle cruciale.
Normes
Le calcul de \(f_a\) lui-même n'est pas normé, mais sa *valeur* sera comparée à une tolérance normative à la question suivante.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le point de départ BM-A et le point d'arrivée BM-A sont identiques et n'ont pas bougé durant les mesures.
- Le point de départ est stable.
Donnée(s)
On utilise le résultat de la Question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Somme des dénivelées mesurées | \(\sum \Delta H_{\text{mes}}\) | -0.015 | m |
Astuces
Le signe est important ! \( f_a < 0 \) signifie que vos mesures vous ont fait arriver "plus bas" que le point de départ. \( f_a > 0 \) signifie "plus haut".
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé est toujours valable, montrant la boucle qui se referme.
Schéma de la boucle
Calcul(s)
On utilise la formule de l'erreur de fermeture pour un cheminement fermé :
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessus visualise cette erreur comme l'écart vertical entre le point de départ et le point d'arrivée (calculé).
Réflexions
Une erreur de fermeture de -15 mm signifie que le cheminement "ferme" 15 mm trop bas par rapport au point de départ. Si l'altitude de BM-A est 100.000 m, en recalculant avec les mesures brutes, on arriverait à 99.985 m.
Points de vigilance
Ne pas confondre l'erreur \(f_a\) (qui est \(-0.015\)) et la compensation totale (qui sera \(+0.015\)). L'une constate l'erreur, l'autre la corrige.
Points à retenir
- Pour un cheminement fermé, \( f_a = \sum \Delta H_{\text{mes}} \).
- Le signe est important : \( f_a < 0 \) signifie qu'on arrive "trop bas". \( f_a > 0 \) signifie qu'on arrive "trop haut".
Le saviez-vous ?
Dans un cheminement "ouvert" (d'un repère A à un repère B, tous deux connus), la formule est \( f_a = \sum \Delta H_{\text{mes}} - (H_B - H_A) \).
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si un autre levé a une erreur de fermeture \( f_a = +5 \text{ mm} \), quelle est la compensation totale \( C_{\text{totale}} \) à appliquer (en mm) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2 :
- Concept Clé : \( f_a = \sum \Delta H_{\text{mes}} \) pour un fermé.
- Résultat : \( f_a = -15 \text{ mm} \).
Question 3 : Calculer la tolérance \( T \). Le levé est-il acceptable ?
Principe
La tolérance est l'erreur maximale admissible pour que le levé soit considéré comme valide. Nous devons comparer la valeur absolue de notre erreur (\(|f_a|\)) à cette tolérance (\(T\)).
Mini-Cours
Chaque projet topographique a un cahier des charges qui définit la précision requise. La tolérance (\(T\)) est la traduction mathématique de cette exigence. Elle est souvent fonction de la racine carrée du nombre de stations (\(\sqrt{n}\)) ou de la distance (\(\sqrt{L_{\text{km}}}\)), car les erreurs aléatoires s'accumulent de cette manière.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape du "Go / No-Go". Si le levé est hors tolérance, on ne doit *pas* le compenser. On doit retourner sur le terrain et refaire les mesures, car une erreur grossière (faute de lecture, mire qui s'enfonce) s'est probablement produite.
Normes
La formule \( T = \pm 10 \text{ mm} \sqrt{n} \) est un exemple de tolérance pour un nivellement de précision courante. Des travaux de plus haute précision auraient une formule plus stricte (ex: \( 5 \text{ mm} \sqrt{n} \)).
Formule(s)
Tolérance donnée
Condition de validité
Hypothèses
On suppose que la formule de tolérance donnée est celle applicable à notre chantier.
Donnée(s)
Données nécessaires pour le calcul :
- \( n \) (nombre de dénivelées) = 4
- \( f_a \) (de Q2) = \( -0.015 \text{ m} = -15 \text{ mm} \)
- \( |f_a| \) (erreur commise) = \( |-15 \text{ mm}| = 15 \text{ mm} \)
Astuces
Assurez-vous de comparer des valeurs absolues. Une erreur de \(-15 \text{ mm}\) est comparée à une tolérance de \(20 \text{ mm}\), et non \(-20 \text{ mm}\).
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser cela comme une "cible" de \(\pm 20 \text{ mm}\) autour du point de départ. Notre erreur de \(-15 \text{ mm}\) est tombée *dans* la cible.
Visualisation de la Tolérance
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la tolérance \( T \)
On applique la formule \( T = \pm 10 \text{ mm} \sqrt{n} \) avec \( n=4 \) (car il y a 4 dénivelées : \(\Delta H_1, \Delta H_2, \Delta H_3, \Delta H_4\)).
Étape 2 : Comparaison
On vérifie la condition \( |f_a| \le T \). On utilise la valeur \( |f_a| = 15 \text{ mm} \).
La condition est respectée.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessus illustre le résultat : l'erreur est dans la zone verte de tolérance.
Réflexions
L'erreur que nous avons commise (15 mm) est plus petite que l'erreur maximale autorisée (20 mm). Le levé est donc de qualité suffisante et peut être compensé. Si l'erreur avait été de 22 mm, il aurait fallu refaire les mesures sur le terrain.
Points de vigilance
Ne pas oublier la racine carrée ! Une erreur fréquente est de faire \(10 \times 4 = 40 \text{ mm}\), ce qui est incorrect. L'erreur ne s'accumule pas linéairement.
Points à retenir
- La tolérance dépend du nombre de mesures (\(n\)).
- On compare la *valeur absolue* de l'erreur à la tolérance.
Le saviez-vous ?
La tolérance basée sur \(\sqrt{n}\) (ou \(\sqrt{L}\)) vient de la théorie statistique de la propagation des erreurs aléatoires.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tolérance \( T \) avait été de \( \pm 12 \text{ mm} \) et notre erreur \( |f_a| \) est de 15 mm, de combien de mm avons-nous *dépassé* la tolérance ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3 :
- Concept Clé : Vérifier \( |f_a| \le T \).
- Calcul : \( T = 10 \sqrt{4} = 20 \text{ mm} \).
- Conclusion : \( 15 \le 20 \), donc OK.
Question 4 : Calculer la compensation unitaire \( C_i \)
Principe
Puisque le levé est acceptable, nous devons maintenant répartir l'erreur. On prend l'opposé de l'erreur (\( C_{\text{totale}} = -f_a \)) et on divise cette valeur par le nombre de dénivelées (\(n\)) pour trouver la petite correction \( C_i \) à ajouter à *chaque* mesure.
Mini-Cours
La compensation vise à annuler l'erreur de fermeture. L'erreur totale étant \(f_a\), la correction totale doit être \(-f_a\). Cette correction est ensuite répartie. La méthode la plus simple est une répartition équiprobable (on divise par \(n\)), supposant que chaque mesure a contribué également à l'erreur.
Remarque Pédagogique
Il existe des méthodes plus complexes de compensation, par exemple proportionnelles à la longueur de la visée (plus une visée est longue, plus elle est susceptible d'être erronée). Ici, nous utilisons la méthode la plus simple (répartition égale).
Formule(s)
Compensation totale
Compensation unitaire
Hypothèses
On fait l'hypothèse d'une répartition équiprobable de l'erreur. On suppose que chaque mesure de dénivelée est entachée de la même erreur moyenne.
Donnée(s)
- \( f_a = -0.015 \text{ m} \) (de Q2)
- \( n = 4 \) (nombre de dénivelées)
Astuces
Le signe de la compensation totale (\(C_{\text{totale}}\)) est toujours l'opposé de l'erreur (\(f_a\)). Si on a trouvé -15 mm (trop bas), on doit compenser en ajoutant +15 mm au total.
Schéma (Avant les calculs)
On cherche à "remonter" le point d'arrivée de 15 mm, en ajoutant une petite correction positive à chaque étape.
Calcul(s)
Étape 1 : Compensation totale
On prend l'opposé de l'erreur de fermeture \( f_a = -0.015 \text{ m} \).
Étape 2 : Compensation unitaire
On divise la compensation totale par le nombre de dénivelées \( n=4 \).
Réflexions
Chaque mesure sera donc augmentée de +3.75 mm. La somme des 4 compensations \((4 \times +0.00375)\) est bien égale à la compensation totale de \(+0.015 \text{ m}\).
Points de vigilance
En pratique, on ne peut pas mesurer au-delà du millimètre (0.001 m). On arrondirait : 3 dénivelées recevraient +4 mm (0.004 m) et une recevrait +3 mm (0.003 m), pour un total de +15 mm. Pour la précision de l'exercice, nous gardons la valeur exacte \(+0.00375 \text{ m}\).
Points à retenir
- La compensation totale \(C_{\text{totale}}\) est l'opposé de l'erreur \(f_a\).
- La compensation unitaire \(C_i\) est \(C_{\text{totale}} / n\).
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la compensation totale \( C_{\text{totale}} \) était de \( +20 \text{ mm} \) et qu'il y avait \( n=5 \) dénivelées, quelle serait la compensation unitaire \( C_i \) (en mm) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4 :
- Concept Clé : \( C_i = (-f_a) / n \).
- Calcul : \( C_i = -(-0.015) / 4 \).
- Résultat : \( C_i = +0.00375 \text{ m} \).
Question 5 : Calculer les altitudes compensées (définitives)
Principe
Nous allons "refaire" le cheminement, mais en utilisant les dénivelées compensées. On part de l'altitude connue de BM-A et on ajoute la première dénivelée compensée pour trouver P1, puis on repart de P1 pour trouver P2, et ainsi de suite.
Mini-Cours
C'est l'étape finale. Le calcul d'altitude est une "sommation en cascade". On part d'un point connu, on ajoute la dénivelée (maintenant corrigée) pour trouver le point suivant. Ce nouveau point devient la base de calcul pour le suivant, et ainsi de suite.
Remarque Pédagogique
L'étape la plus importante est la vérification finale : en calculant l'altitude de retour à BM-A (en utilisant l'altitude de P3 et la dernière dénivelée compensée), on *doit* retrouver exactement 100.000 m. Si ce n'est pas le cas, une erreur de calcul s'est glissée.
Formule(s)
Dénivelée compensée
Calcul d'altitude
Hypothèses
On suppose que l'altitude de départ \(H_{\text{BM-A}} = 100.000 \text{ m}\) est une référence fiable et juste.
Donnée(s)
- \( H_{\text{BM-A}} = 100.000 \text{ m} \)
- \( C_i = +0.00375 \text{ m} \)
- Mesures : +2.150, -1.725, +0.890, -1.330
Astuces
Pour éviter les erreurs d'arrondi en chaîne, gardez la précision maximale (0.00375) pendant tous les calculs intermédiaires. N'arrondissez les altitudes finales au millimètre (0.001 m) qu'à la toute fin.
Schéma (Avant les calculs)
Nous allons maintenant attribuer une valeur d'altitude finale (Z) à chaque point du schéma.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des dénivelées compensées (\( \Delta H' \))
On applique la formule \( \Delta H' = \Delta H_{\text{mesurée}} + C_i \) pour chaque dénivelée, avec \( C_i = +0.00375 \text{ m} \).
(Vérification : On somme les nouvelles dénivelées)
\( \sum \Delta H' = (+2.15375) + (-1.72125) + (+0.89375) + (-1.32625) = 0.000 \text{ m} \). La boucle est parfaitement fermée.
Étape 2 : Calcul des altitudes (arrondies au mm ou 0.001 m)
On applique la formule \( H_{\text{Arrivée}} = H_{\text{Départ}} + \Delta H' \) en partant de \( H_{\text{BM-A}} = 100.000 \text{ m} \).
(Contrôle final : On repart de P3 pour retrouver BM-A)
On vérifie que \( H_{P3} + \Delta H'_4 \) redonne bien 100.000.
Le calcul est correct.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final montre les altitudes définitives de chaque point.
Altitudes Compensées du Réseau
Réflexions
Le contrôle final est parfait (100.000 m), ce qui prouve que nos calculs de compensation et d'altitudes sont corrects. Les altitudes des points intermédiaires sont maintenant connues et cohérentes.
Points de vigilance
Attention aux erreurs d'arrondi en chaîne. Si vous arrondissez \(H_{P1}\) à 102.154, puis que vous utilisez cette valeur arrondie pour calculer \(H_{P2}\), vous propagez une petite erreur. Il est préférable d'utiliser les valeurs non arrondies (102.15375) pour les calculs intermédiaires.
Points à retenir
- Calculer les dénivelées compensées \(\Delta H'\) d'abord.
- Calculer les altitudes en chaîne à partir du point connu.
- Toujours faire le calcul de retour au point de départ comme vérification finale.
Le saviez-vous ?
Pour des réseaux très complexes (plusieurs boucles qui s'entrecroisent), on n'utilise pas cette méthode séquentielle. On utilise une méthode de "compensation par les moindres carrés", un calcul matriciel qui trouve la solution la plus probable pour *tous* les points en même temps.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
- Altitude P1 = 102.154 m
- Altitude P2 = 100.433 m
- Altitude P3 = 101.326 m
A vous de jouer
En utilisant l'altitude \(H_{P3}\) arrondie à \(101.326 \text{ m}\) et la dénivelée \( \Delta H'_4 \) arrondie à \(-1.326 \text{ m}\), quelle altitude de retour trouvez-vous pour BM-A ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q5 :
- Concept Clé : Calcul "en cascade" des altitudes.
- Formule : \( H_{\text{B}} = H_{\text{A}} + (\Delta H_{\text{AB}} + C_i) \).
- Vérification : Le retour au point de départ doit donner \(H_{\text{départ}}\).
Outil Interactif : Simulateur de Fermeture
Utilisez cet outil pour voir comment l'erreur de fermeture et le nombre de stations influencent la compensation unitaire.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que l'erreur de fermeture \(f_a\) dans un nivellement fermé ?
2. Que signifie une erreur \(f_a = +0.010 \text{ m}\) ?
3. Si \(f_a = -12 \text{ mm}\) et \(n = 4\), quelle est la compensation *totale* \(C_{\text{totale}}\) à appliquer ?
4. Si l'on constate que \(|f_a| > T\)...
5. Si \(H_A = 50.000 \text{ m}\) et \( \Delta H_{AB (\text{compensée})} = -1.234 \text{ m} \), quelle est l'altitude \(H_B\) ?
Glossaire
- Nivellement Direct
- Opération de topographie qui consiste à déterminer des altitudes ou des dénivelées (différences d'altitude) par des visées horizontales, généralement à l'aide d'un niveau et d'une mire.
- Cheminement Fermé
- Un parcours de nivellement qui part d'un point d'altitude connue (repère) et qui revient à ce même point après avoir visé plusieurs points intermédiaires.
- Erreur de Fermeture (\(f_a\))
- Différence entre la somme des dénivelées mesurées le long d'une boucle et la somme théorique (qui est de 0 dans un cheminement fermé). C'est la mesure de l'erreur accumulée.
- Tolérance (\(T\))
- Erreur maximale admissible pour qu'un levé topographique soit considéré comme valide. Elle dépend souvent de la précision de l'instrument et de la longueur du parcours (ou du nombre de stations).
- Compensation
- Processus mathématique de répartition de l'erreur de fermeture (si elle est inférieure à la tolérance) sur l'ensemble des mesures, afin de "fermer" parfaitement la boucle (somme des dénivelées compensées = 0).
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