Calcul des Coordonnées d'un Point sur un Alignement
Contexte : Les Calculs PlanimétriquesPartie de la topographie qui étudie la représentation des points sur un plan horizontal (X, Y), sans considérer l'altitude (Z). en Topographie.
Cet exercice est un cas classique en topographie : l'implantation d'un point P sur un alignementUne ligne droite définie par deux points de coordonnées connues (X, Y). défini par deux points A et B. Nous connaissons les coordonnées de A et B, ainsi que la distance de A au point P (D_AP). L'objectif est de déterminer les coordonnées exactes (X_P, Y_P) du point P.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer les coordonnées d'un point par "rayonnement" (gisement et distance), une compétence fondamentale pour l'implantation sur le terrain ou le levé topographique.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le gisement d'une droite (AB) à partir des coordonnées de ses extrémités.
- Calculer la distance d'une droite (AB) à partir des coordonnées.
- Appliquer la formule de calcul de coordonnées (Xp, Yp) à partir d'un point connu (A), d'un gisement (G_AB) et d'une distance (D_AP).
- Vérifier la cohérence et l'exactitude des calculs.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Point A (X_A, Y_A) | (1000.00 m, 500.00 m) |
| Point B (X_B, Y_B) | (1250.00 m, 650.00 m) |
| Distance AP (D_AP) | 100.00 m |
Schéma de la situation
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnée X de A | \(X_A\) | 1000.00 | m |
| Coordonnée Y de A | \(Y_A\) | 500.00 | m |
| Coordonnée X de B | \(X_B\) | 1250.00 | m |
| Coordonnée Y de B | \(Y_B\) | 650.00 | m |
| Distance A vers P | \(D_{AP}\) | 100.00 | m |
Questions à traiter
- Calculer la distance totale \(D_{AB}\) entre les points A et B.
- Calculer le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire (en grades/gons) à partir de l'axe Y (Nord) vers la droite visée. \(G_{AB}\) de la droite (AB).
- En déduire les coordonnées (X_P, Y_P) du point P.
- Vérifier que P est bien sur l'alignement en calculant les gisements \(G_{AP}\) et \(G_{PB}\).
Les bases des Calculs Planimétriques
Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux ensembles de formules fondamentales en topographie : le calcul de la distance et du gisement entre deux points, et le calcul des coordonnées d'un point par rayonnement.
1. Calcul du Gisement et de la Distance (entre A et B)
D'abord, on calcule les différences de coordonnées (les "deltas") :
\[ \Delta X_{AB} = X_B - X_A \]
\[ \Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A \]
Ensuite, la distance (par le théorème de Pythagore) :
\[ D_{AB} = \sqrt{\Delta X_{AB}^2 + \Delta Y_{AB}^2} \]
Et le gisement (angle par rapport au Nord, en Gons) :
\[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X_{AB}}{\Delta Y_{AB}}\right) + \text{Correction de quadrant} \]
2. Calcul de Coordonnées par Rayonnement (Point P)
Connaissant un point de départ A, un angle (gisement \(G_{AP}\)) et une distance (\(D_{AP}\)), on trouve les coordonnées du point P :
\[ X_P = X_A + \Delta X_{AP} = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP}) \]
\[ Y_P = Y_A + \Delta Y_{AP} = Y_A + D_{AP} \cdot \cos(G_{AP}) \]
(Attention : les fonctions sinus et cosinus doivent être calculées en Gons/Grades !)
Correction : Calcul des Coordonnées d'un Point sur un Alignement
Question 1 : Calculer la distance totale \(D_{AB}\)
Principe
Pour trouver la distance entre A et B, nous devons d'abord calculer la différence des coordonnées en X (\(\Delta X\)) et en Y (\(\Delta Y\)). Ensuite, nous appliquons simplement le théorème de Pythagore sur le triangle rectangle formé par \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Mini-Cours
Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes). En topographie, \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont les cathètes et la distance \(D_{AB}\) est l'hypoténuse.
Remarque Pédagogique
Cette formule est la base de presque tous les calculs de distance en planimétrie. Il est essentiel de la maîtriser parfaitement. Pensez toujours à dessiner un petit triangle rectangle pour visualiser \(\Delta X\), \(\Delta Y\) et \(D\).
Normes
Ce calcul est universel et ne dépend pas d'une norme spécifique (comme les Eurocodes pour la structure). Il s'agit d'une application directe de la géométrie euclidienne, utilisée dans tous les systèmes de coordonnées cartésiennes.
Formule(s)
Calcul des "Deltas"
Calcul de la Distance
Hypothèses
Nous travaillons dans un système de coordonnées local supposé parfaitement plan (cartésien). Nous ne tenons pas compte de la courbure de la Terre, ce qui est une hypothèse valide pour des distances de cette échelle.
- Le système est orthogonal (axes X et Y perpendiculaires).
- Le terrain est projeté sur un plan horizontal.
Donnée(s)
Nous utilisons les coordonnées des points A et B fournies dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées A | (X_A, Y_A) | (1000.00, 500.00) | m |
| Coordonnées B | (X_B, Y_B) | (1250.00, 650.00) | m |
Astuces
Même si votre calculatrice a une fonction "POL" (Polaire) qui donne la distance et l'angle d'un coup, il est pédagogiquement important de faire le calcul en deux étapes (deltas, puis distance) pour bien comprendre la décomposition du problème.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons le triangle rectangle formé par les points A, B et un point intermédiaire C (fictif) ayant les coordonnées (X_B, Y_A).
Triangle Rectangle pour Pythagore
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des deltas (\(\Delta X, \Delta Y\))
On applique les formules \( \Delta X_{AB} = X_B - X_A \) et \( \Delta Y_{AB} = Y_B - Y_A \).
Étape 2 : Calcul de la distance \(D_{AB}\)
On applique la formule \( D_{AB} = \sqrt{\Delta X_{AB}^2 + \Delta Y_{AB}^2} \) en substituant les valeurs trouvées à l'étape 1.
Schéma (Après les calculs)
Aucun schéma supplémentaire n'est requis pour cette étape, le schéma "avant calcul" reste la référence visuelle principale.
Réflexions
La distance totale de l'alignement AB est de 291.55 m. Le point P, situé à 100.00 m de A, se trouve bien sur le segment [AB] (puisque \(D_{AP} < D_{AB}\)).
Points de vigilance
Le signe des deltas (positif ou négatif) n'a pas d'importance pour le calcul de la distance, car ils sont mis au carré. Cependant, ils sont absolument essentiels pour le calcul du gisement à la prochaine étape. Prenez l'habitude de les noter.
Points à retenir
- La distance entre deux points est l'hypoténuse du triangle formé par \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Le saviez-vous ?
Sur de très longues distances (plusieurs kilomètres), les topographes doivent appliquer une "correction de réduction à l'horizon" et une "correction de projection" pour tenir compte de l'altitude et de la courbure de la Terre. Pour cet exercice, nous restons en géométrie plane simple.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le point B avait les coordonnées (1000.00, 600.00), quelle serait la distance \(D_{AB}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Distance euclidienne.
- Formule Essentielle : \(D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\).
- Point de Vigilance : Noter les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour l'étape suivante.
Question 2 : Calculer le gisement \(G_{AB}\) de la droite (AB).
Principe
Le gisement est l'angle de la direction AB par rapport au Nord (axe Y). On l'obtient avec l'arc tangente du rapport \(\Delta X / \Delta Y\). Il faut ensuite ajuster cet angle de base en fonction du quadrant dans lequel se situe B par rapport à A, déterminé par les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Mini-Cours
Quadrants du Gisement (en Gons) :
- Q1 (Nord-Est) : \(\Delta X > 0\), \(\Delta Y > 0 \Rightarrow G = \arctan(\frac{\Delta X}{\Delta Y})\)
- Q2 (Sud-Est) : \(\Delta X > 0\), \(\Delta Y < 0 \Rightarrow G = 200 + \arctan(\frac{\Delta X}{\Delta Y})\)
- Q3 (Sud-Ouest) : \(\Delta X < 0\), \(\Delta Y < 0 \Rightarrow G = 200 + \arctan(\frac{\Delta X}{\Delta Y})\)
- Q4 (Nord-Ouest) : \(\Delta X < 0\), \(\Delta Y > 0 \Rightarrow G = 400 + \arctan(\frac{\Delta X}{\Delta Y})\)
Remarque Pédagogique
Le gisement est l'outil fondamental pour s'orienter. Contrairement aux angles mathématiques (comptés depuis X+), le gisement topographique est toujours compté depuis le Nord (Y+) dans le sens horaire. C'est la convention "des aiguilles d'une montre".
Normes
L'utilisation du Grade (ou Gon), où un cercle complet fait 400 gon, est la norme dans la topographie française et dans de nombreux pays européens. L'angle droit vaut 100 gon, ce qui simplifie les calculs d'équerre (comme les 4 quadrants).
Formule(s)
Formule du Gisement
Hypothèses
Nous supposons que l'axe Y du système de coordonnées est parfaitement aligné avec le Nord de référence (qu'il soit magnétique, géographique ou de projection).
Donnée(s)
Nous réutilisons les deltas calculés à la question 1.
- \(\Delta X_{AB} = +250.00 \text{ m}\)
- \(\Delta Y_{AB} = +150.00 \text{ m}\)
Astuces
Puisque \(\Delta X\) est positif (Est) et \(\Delta Y\) est positif (Nord), le point B est dans le quadrant Nord-Est par rapport à A. Le gisement sera donc "naturel", compris entre 0 et 100 gon. Aucune correction de quadrant (200 ou 400) ne sera nécessaire.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons le gisement comme l'angle partant de l'axe Y (Nord) au point A, et tournant dans le sens horaire jusqu'à la direction AB.
Visualisation du Gisement (Q1)
Calcul(s)
Étape 1 : Identification du quadrant
On analyse les signes de \(\Delta X_{AB}\) et \(\Delta Y_{AB}\) calculés précédemment.
Puisque \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), nous sommes dans le Quadrant 1 (Nord-Est). La correction de quadrant est de 0.
Étape 2 : Calcul du gisement \(G_{AB}\)
On applique la formule \( G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X_{AB}}{\Delta Y_{AB}}\right) + \text{Correction}\).
Schéma (Après les calculs)
Le calcul confirme l'angle aigu (inférieur à 100 gon) visualisé sur le schéma.
Réflexions
Un gisement de 65.48 gon signifie que la direction AB est principalement orientée vers le Nord (plus proche de 0 gon) et fortement vers l'Est (plus proche de 100 gon). \(\Delta X\) (250) est d'ailleurs plus grand que \(\Delta Y\) (150), ce qui explique pourquoi l'angle (65.48 gon) est supérieur à 50 gon (l'angle de la bissectrice N-E).
Points de vigilance
LA FAUTE CLASSIQUE : Assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en mode **Grades (gon)** et non en Degrés (deg) ou Radians (rad). 400 gon = 360 deg.
Attention aussi à l'ordre : c'est bien \(\arctan(\Delta X / \Delta Y)\) et non l'inverse.
Points à retenir
L'analyse des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) (le quadrant) est aussi importante que le calcul \(\arctan\) lui-même pour déterminer le gisement final.
Le saviez-vous ?
Les cas particuliers : Si \(\Delta Y = 0\), le gisement est soit 100 gon (Est) soit 300 gon (Ouest). Si \(\Delta X = 0\), le gisement est soit 0 gon (Nord) soit 200 gon (Sud). La formule \(\arctan\) échoue dans ces cas (division par zéro).
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(\Delta X = -250.00 \text{ m}\) et \(\Delta Y = -150.00 \text{ m}\), quel serait le gisement ? (Quadrant Sud-Ouest)
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Gisement et quadrants.
- Formule Essentielle : \(G = \arctan(\Delta X / \Delta Y) + \text{Correction}\).
- Point de Vigilance Majeur : Régler la calculatrice en GON.
Question 3 : En déduire les coordonnées (X_P, Y_P) du point P.
Principe
Puisque P est sur l'alignement AB, le gisement pour aller de A vers P (\(G_{AP}\)) est identique au gisement pour aller de A vers B (\(G_{AB}\)). Nous connaissons le point de départ (A), le gisement (\(G_{AB}\)) et la distance (\(D_{AP}\)). Nous pouvons donc calculer les coordonnées de P par "rayonnement".
Mini-Cours
Le calcul par rayonnement est l'opération inverse du calcul de gisement/distance.
- Partant de (X, Y) + (G, D) \(\rightarrow\) on trouve (X, Y) d'arrivée.
- C'est la base de l'implantation : on se stationne sur un point connu (A), on vise une direction (gisement) et on mesure une distance (D) pour placer le nouveau point (P).
Remarque Pédagogique
C'est ici que l'on voit l'importance de la convention (X = Sin, Y = Cos). Le gisement est l'angle avec le Nord (Y). Le \(\cos(G)\) projette la distance sur l'axe Y, et le \(\sin(G)\) la projette sur l'axe X.
Normes
Pas de norme spécifique, il s'agit de trigonométrie appliquée à la convention topographique (gisement en gon).
Formule(s)
Formules de Rayonnement
Hypothèses
La principale hypothèse est que P est sur la droite (AB) et *dans le même sens* (de A vers B). Si P était "en arrière" de A sur l'alignement, il faudrait utiliser le gisement inverse \(G_{BA}\) (ou une distance négative, ce qui est moins courant).
Donnée(s)
Nous combinons les données de l'énoncé et le résultat de la Q2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées A | (X_A, Y_A) | (1000.00, 500.00) | m |
| Distance | \(D_{AP}\) | 100.00 | m |
| Gisement | \(G_{AP} = G_{AB}\) | 65.48 | gon |
Astuces
Avant de calculer, anticipez le résultat. \(G_{AB}\) est dans le Q1 (Nord-Est). Donc P doit avoir un X > X_A et un Y > Y_A. Si vous obtenez un X_P < 1000 ou un Y_P < 500, vous avez probablement fait une erreur de signe ou de formule (inversion sin/cos).
Schéma (Avant les calculs)
Reprise du schéma général de l'énoncé, en se concentrant sur le rayonnement depuis A.
Rayonnement du point P depuis A
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(X_P\)
On applique la formule \( X_P = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP}) \).
Étape 2 : Calcul de \(Y_P\)
On applique la formule \( Y_P = Y_A + D_{AP} \cdot \cos(G_{AP}) \).
Schéma (Après les calculs)
Le calcul est terminé, le schéma "Avant calcul" est maintenant complété mentalement avec les coordonnées trouvées pour P.
Réflexions
Les coordonnées de P sont (1085.72, 551.50). On peut faire une vérification rapide : Xp (1085.72) est bien entre Xa (1000) et Xb (1250). De même, Yp (551.50) est bien entre Ya (500) et Yb (650). Le résultat est cohérent.
Points de vigilance
Encore une fois, vérifiez le mode de votre calculatrice (GON). De plus, n'inversez pas Sinus et Cosinus : en topographie avec gisement, X est avec Sinus et Y est avec Cosinus. C'est l'inverse du cercle trigonométrique mathématique classique (où X est avec Cosinus).
Points à retenir
La convention \(X = X_A + D \cdot \sin(G)\) et \(Y = Y_A + D \cdot \cos(G)\) est fondamentale pour le rayonnement.
Le saviez-vous ?
Sur le terrain, l'opérateur "stationne" son tachéomètre sur le point A. Il "vise" le point B pour s'orienter (il cale son 0 sur le gisement \(G_{AB}\)). Ensuite, il tourne son appareil jusqu'à l'angle \(G_{AP} = G_{AB}\) (il ne bouge pas, en fait), et un aide-opérateur se place avec un prisme à 100.00m dans cette direction pour planter le piquet P.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelles serait la coordonnée \(X_P\) si P était situé à 200m de A sur le même alignement ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Calcul par rayonnement.
- Formule Essentielle : \(X_P = X_A + D \cdot \sin(G)\) et \(Y_P = Y_A + D \cdot \cos(G)\).
- Point de Vigilance Majeur : X avec SIN, Y avec COS (en gisement).
Question 4 : Vérifier l'alignement (calculs \(G_{AP}\) et \(G_{PB}\))
Principe
Pour confirmer que nos calculs sont corrects et que P est bien sur l'alignement, nous pouvons faire le calcul inverse. Nous calculons le gisement \(G_{AP}\) (en utilisant les coordonnées de A et P) et le gisement \(G_{PB}\) (en utilisant P et B). S'ils sont tous identiques au gisement \(G_{AB}\) original, notre point P est parfaitement aligné.
Mini-Cours
Cette étape est une "fermeture". En topographie, on vérifie toujours ses calculs par une méthode indépendante ou un calcul inverse. Si \(G_{AP} = G_{PB} = G_{AB}\), on dit que les points A, P, B sont "colinéaires", ce qui était le but recherché.
Remarque Pédagogique
C'est une excellente habitude à prendre. Une simple faute de frappe dans la calculatrice à l'étape 3 peut être détectée par cette vérification à l'étape 4. Un topographe doit toujours être sceptique vis-à-vis de ses propres résultats jusqu'à ce qu'ils soient vérifiés.
Normes
Les tolérances de précision (de combien \(G_{AP}\) peut différer de \(G_{PB}\)) sont définies par les classes de précision des travaux. Pour un travail courant, une différence de quelques milligons (mgon) due aux arrondis est acceptable.
Formule(s)
Formule du Gisement (rappel)
Hypothèses
On utilise les coordonnées calculées de P comme si elles étaient des données d'entrée pour ce calcul de vérification.
Donnée(s)
Nous utilisons les 3 points.
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 1000.00 | 500.00 |
| P | 1085.72 | 551.50 |
| B | 1250.00 | 650.00 |
Astuces
Les deux calculs (\(G_{AP}\) et \(G_{PB}\)) doivent être dans le même quadrant (Nord-Est, Q1), car P est entre A et B. Si vous trouvez un gisement dans un autre quadrant, une erreur s'est glissée dans les coordonnées de P.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre les deux segments de droite dont nous allons calculer le gisement indépendamment.
Vérification des gisements G_AP et G_PB
Calcul(s)
Étape 1 : Vérification du Gisement \(G_{AP}\)
On calcule les deltas de A à P : \( \Delta X_{AP} = X_P - X_A \) et \( \Delta Y_{AP} = Y_P - Y_A \).
Les deux deltas sont positifs (Quadrant 1). On calcule le gisement :
Étape 2 : Vérification du Gisement \(G_{PB}\)
On calcule les deltas de P à B : \( \Delta X_{PB} = X_B - X_P \) et \( \Delta Y_{PB} = Y_B - Y_P \).
Les deux deltas sont aussi positifs (Quadrant 1). On calcule le gisement :
Schéma (Après les calculs)
Les calculs confirment que les deux angles \(G_{AP}\) et \(G_{PB}\) sont identiques, validant le schéma.
Réflexions
Nous constatons que \(G_{AP} \approx G_{PB} \approx G_{AB} \approx 65.48 \text{ gon}\). Les légères différences (si on n'arrondit pas) proviennent des arrondis de calcul intermédiaires, mais sont négligeables. L'alignement est confirmé.
Points de vigilance
Si vous aviez arrondi \(X_P\) ou \(Y_P\) différemment (par exemple à 1085.7 ou 551.5), vous trouveriez des gisements très légèrement différents (ex: 65.49 gon). C'est normal. C'est ce qu'on appelle la "propagation des erreurs" d'arrondi.
Points à retenir
Trois points colinéaires A, P, B (dans cet ordre) doivent impérativement vérifier \(G_{AP} = G_{PB} = G_{AB}\).
Le saviez-vous ?
En topographie, le gisement "retour" \(G_{BA}\) n'est pas égal à \(G_{AB}\). La relation est \(G_{BA} = G_{AB} + 200 \text{ gon}\) (ou -200 si \(G_{AB} > 200\)). Ici, \(G_{BA} = 65.48 + 200 = 265.48 \text{ gon}\), ce qui correspond bien au quadrant Sud-Ouest.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Ce bloc n'est pas applicable pour une question de vérification.
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Vérification d'alignement.
- Méthode : Tous les gisements partiels (\(G_{AP}\), \(G_{PB}\)) doivent être égaux au gisement total (\(G_{AB}\)).
Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement
Utilisez cet outil pour voir comment les coordonnées de P changent en fonction de la distance d'implantation (\(D_{AP}\)) et du gisement (\(G_{AP}\)). Le point de départ A est fixe à (1000, 500).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. En topographie (système français/gons), le Gisement est un angle mesuré...
2. Si \(\Delta X = +50.00 \text{ m}\) et \(\Delta Y = -50.00 \text{ m}\), dans quel quadrant se situe-t-on ?
3. La formule correcte pour calculer la coordonnée \(X_P\) par rayonnement (avec Gisement en gons) est :
4. Un angle de 200 gon équivaut à :
5. Si \(G_{AB} = 50 \text{ gon}\), alors le gisement "retour" \(G_{BA}\) vaut :
Glossaire
- Alignement
- En topographie, une ligne droite définie par deux points de coordonnées connues (A et B).
- Gisement (G)
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (en Gons/Grades) à partir de la direction de l'axe Y (Nord) vers la direction visée (ex: AB).
- Planimétrie
- Partie de la topographie qui étudie et représente les objets sur un plan horizontal (coordonnées X et Y), sans tenir compte de l'altitude (Z).
- Quadrant
- Division du cercle topographique en quatre parties de 100 gon chacune. Q1 (NE), Q2 (SE), Q3 (SW), Q4 (NW).
- Rayonnement
- Méthode de calcul de coordonnées d'un point P à partir d'un point A connu, en utilisant un angle (gisement \(G_{AP}\)) et une distance (\(D_{AP}\)).
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