Transformation de Coordonnées (Rotation)
Contexte : La Rotation de Coordonnées PlanimétriquesCalcul du passage d'un système de coordonnées (X, Y) à un autre (X', Y') par rotation autour d'une origine, sans changer l'échelle..
En topographie, il est fréquent de devoir passer d'un système de coordonnées "local" (propre à un chantier ou à un levé) à un système "projet" ou "général" (comme un système cadastral ou un plan d'aménagement). Lorsque les deux systèmes partagent la même origine mais ont des orientations différentes, on utilise une transformation par rotation. Cet exercice vous guidera à travers le calcul et la vérification de cette transformation.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les formules de rotation plane. C'est une compétence essentielle pour garantir que les plans et les implantations sur le terrain sont cohérents entre eux, même s'ils proviennent de sources ou d'orientations différentes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe d'une transformation par rotation autour d'une origine.
- Appliquer les formules de rotation plane (convention topographique horaire).
- Calculer les nouvelles coordonnées de points après rotation.
- Vérifier le principe d'isométrieUne transformation qui conserve les distances. La rotation et la translation en sont des exemples. en comparant les distances avant et après la transformation.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Système d'Origine (Local) | (X, Y) - Origine O(0, 0) |
| Système Cible (Projet) | (X', Y') - Origine O(0, 0) |
| Angle de Rotation (\(\alpha\)) | +30° (sens horaire, convention topographique) |
Schéma de la Rotation (Sens Horaire)
| Point | Coordonnée X (m) | Coordonnée Y (m) |
|---|---|---|
| P1 | 100.000 | 50.000 |
| P2 | 200.000 | 100.000 |
Questions à traiter
- Calculer les coordonnées (X', Y') du point P1 dans le nouveau système projet.
- Calculer les coordonnées (X', Y') du point P2 dans le nouveau système projet.
- Calculer la distance P1-P2 dans le système d'origine (X, Y).
- Calculer la distance P1'-P2' dans le nouveau système (X', Y').
- Comparer les distances calculées aux questions 3 et 4, et conclure.
Les bases de la Rotation Planimétrique
La transformation de coordonnées par rotation (autour d'une origine commune) est une opération fondamentale en géomatique. Elle permet de "faire pivoter" un ensemble de points d'un système à un autre. C'est une transformation isométriqueUne transformation qui conserve les distances. La forme de l'objet transformé est identique à l'originale., ce qui signifie qu'elle ne déforme pas le levé : les distances et les angles entre les points restent inchangés.
1. Formules de Rotation (Sens Horaire - Topographique)
En topographie, une rotation positive (angle \(\alpha\)) est généralement comptée dans le sens horaire (contrairement au sens trigonométrique anti-horaire). Les formules pour passer de (X, Y) à (X', Y') sont :
\[ X' = X \cdot \cos(\alpha) + Y \cdot \sin(\alpha) \]
\[ Y' = -X \cdot \sin(\alpha) + Y \cdot \cos(\alpha) \]
2. Formule de Distance entre deux points
Pour vérifier l'isométrie, on utilise la formule de distance euclidienne (Pythagore) entre un point A(\(X_A, Y_A\)) et un point B(\(X_B, Y_B\)) :
\[ D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]
Correction : Transformation de Coordonnées (Rotation)
Question 1 : Calcul des coordonnées de P1' (X', Y')
Principe
L'objectif est de projeter les anciennes coordonnées (X, Y) sur les *nouveaux axes* (X', Y'). On utilise la trigonométrie pour trouver la contribution de l'ancien X et de l'ancien Y à la nouvelle coordonnée X', et de même pour Y'. C'est un "mélange" des coordonnées d'origine, pondéré par l'angle de rotation.
Mini-Cours
Une rotation est une transformation qui "pivote" un objet autour d'un centre (ici, l'origine O). En topographie, le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) est généralement considéré comme positif. Les formules découlent de la trigonométrie dans un cercle.
Remarque Pédagogique
Comprendre cette transformation est la base. C'est la brique fondamentale qui permet ensuite de réaliser des transformations plus complexes, comme la transformation d'Helmert (rotation + translation + mise à l'échelle).
Normes
Il n'y a pas de "norme" au sens d'un Eurocode, mais une convention. En France et dans de nombreux domaines topographiques, l'angle \(\alpha\) est positif dans le sens horaire. En mathématiques pures, il est souvent positif dans le sens anti-horaire (trigonométrique). Nous suivons la convention topographique horaire.
Formule(s)
Coordonnée X'
Coordonnée Y'
Hypothèses
On pose les hypothèses suivantes, basées sur l'énoncé :
- L'origine O(0,0) est le centre de rotation et est commune aux deux systèmes.
- L'angle de rotation \(\alpha\) est de +30° (sens horaire).
- La transformation est isométrique (pas de changement d'échelle).
Donnée(s)
Nous avons besoin des coordonnées de P1 et des valeurs de sinus et cosinus pour 30°. Ces données proviennent directement de l'énoncé de l'exercice (sections "Fiche Technique" et "table des points").
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnée X de P1 | \(X_{P1}\) | 100.000 | m |
| Coordonnée Y de P1 | \(Y_{P1}\) | 50.000 | m |
| Angle de rotation | \(\alpha\) | +30 | degrés |
| Cosinus(30°) | \(\cos(30^{\circ})\) | 0.866025... | - |
| Sinus(30°) | \(\sin(30^{\circ})\) | 0.500000 | - |
Astuces
Pour mémoriser les formules, souvenez-vous que X' "commence" par \(X \cos \alpha\) et Y' "commence" par \(-X \sin \alpha\). Pour vérifier, testez avec un angle simple : une rotation de +90° horaire (\(\cos=0, \sin=1\)) transforme (X, Y) en (Y, -X). Nos formules donnent \(X' = X(0) + Y(1) = Y\) et \(Y' = -X(1) + Y(0) = -X\). Elles sont correctes !
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé (Schéma de la Rotation) montre la situation de départ. Nous allons y ajouter le point P1 pour visualiser son déplacement.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de X' (P1)
Nous partons de la formule :
On remplace les variables par leurs valeurs numériques (X=100, Y=50, \(\alpha=30^{\circ}\)) :
Avec \(\cos(30^{\circ}) \approx 0.866025\) et \(\sin(30^{\circ}) = 0.5\), on obtient :
Étape 2 : Calcul de Y' (P1)
Nous partons de la formule (attention au signe négatif) :
On remplace par les mêmes valeurs :
Avec \(\sin(30^{\circ}) = 0.5\) et \(\cos(30^{\circ}) \approx 0.866025\) :
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du déplacement du point P1 vers P1'.
Déplacement de P1 vers P1'
Réflexions
Le point P1, qui était dans le quadrant (X>0, Y>0), a pivoté. Ses nouvelles coordonnées (X'>0, Y'<0) le placent dans le quatrième quadrant. Cela est cohérent avec une rotation horaire de 30° : il a "plongé" sous l'axe des X'. La coordonnée X' (111.603) est plus grande que X (100), car la coordonnée Y positive (50) a "contribué" positivement à X' via le terme \(+Y \sin\alpha\).
Points de vigilance
Attention au signe négatif dans la formule de Y' ! C'est une source d'erreur fréquente. Vérifiez aussi que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non "radians". Utilisez une précision suffisante (5 ou 6 décimales) pour \(\cos\) et \(\sin\) afin d'éviter les erreurs d'arrondi.
Points à retenir
Voici les points clés à retenir pour cette question :
- La rotation "mélange" les coordonnées X et Y pour en créer de nouvelles.
- La formule de X' utilise \(+Y \sin\alpha\).
- La formule de Y' utilise \(-X \sin\alpha\).
Le saviez-vous ?
En navigation (maritime ou aérienne) et en robotique, ces mêmes calculs sont utilisés en permanence pour passer du repère "véhicule" (ce qui est "devant" le bateau ou le robot) au repère "monde" (le Nord, l'Est, etc.).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Que se passerait-il si l'angle \(\alpha\) était de -30° (sens anti-horaire) ? Calculez la nouvelle coordonnée X' de P1.
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Application directe des formules de rotation.
- Formules : \(X' = X \cos\alpha + Y \sin\alpha\) et \(Y' = -X \sin\alpha + Y \cos\alpha\).
- Piège : Le signe de la formule Y' et le mode de la calculatrice.
Question 2 : Calcul des coordonnées de P2' (X', Y')
Principe
Le principe est rigoureusement identique à la Question 1. La transformation (l'angle \(\alpha\) et les formules) est la même pour tous les points du levé. On applique donc la même "recette" de calcul, mais en utilisant les coordonnées d'entrée du point P2.
Mini-Cours
La transformation de rotation s'applique uniformément à tous les points du système. On ne recalcule pas l'angle ou les formules ; on change simplement les valeurs d'entrée (X, Y) pour chaque point que l'on souhaite transformer.
Remarque Pédagogique
C'est un calcul itératif. En topographie, on a souvent des milliers de points à transformer. On applique la même "recette" (les formules de transformation) à chaque point, un par un. C'est la force des calculs informatisés.
Normes
La convention reste la même : \(\alpha = +30^{\circ}\) (sens horaire).
Formule(s)
Coordonnée X'
Coordonnée Y'
Hypothèses
Mêmes hypothèses que pour P1.
Donnée(s)
On utilise les mêmes données de transformation (\(\alpha = +30^{\circ}\) et les sinus/cosinus associés). La seule différence est que l'on utilise les coordonnées du point P2, extraites de l'énoncé : \(X_{P2} = 200.000\) m et \(Y_{P2} = 100.000\) m.
Astuces
Notez que P1(100, 50) et P2(200, 100) sont alignés avec l'origine O(0,0). \(Y = 0.5 \cdot X\) pour les deux. Leurs points transformés P1' et P2' seront également alignés avec l'origine O. Vérifions : \(Y'_{P1'} / X'_{P1'} = -6.699 / 111.603 \approx -0.06\). Pour P2 : \(Y'_{P2} / X'_{P2} = -13.398 / 223.205 \approx -0.06\). L'alignement est conservé !
Schéma (Avant les calculs)
Pas de schéma spécifique requis, le principe est le même que pour P1.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de X' (P2)
On utilise la même formule que pour P1 :
On remplace par les valeurs de P2 (X=200, Y=100, \(\alpha=30^{\circ}\)) :
Avec les valeurs des sinus/cosinus :
Étape 2 : Calcul de Y' (P2)
On utilise la formule pour Y' :
On remplace par les valeurs de P2 :
Avec les valeurs des sinus/cosinus :
Schéma (Après les calculs)
Le point P2 se déplace de manière similaire à P1, mais sur un arc de cercle plus grand.
Réflexions
Comme P2 est exactement deux fois plus loin de l'origine que P1 (car \(P2 = 2 \cdot P1\)), ses coordonnées transformées (X', Y') sont aussi exactement deux fois celles de P1'. Vérifions : \(X'_{P2} \approx 2 \cdot X'_{P1'}\) (223.205 \(\approx\) 2 * 111.6025) et \(Y'_{P2} \approx 2 \cdot Y'_{P1'}\) (-13.3975 \(\approx\) 2 * -6.6987). Cela confirme que la rotation conserve les alignements et les proportions radiales.
Points de vigilance
La méthode est la même, donc les pièges sont les mêmes : attention au signe 'moins' de la formule Y' et à la cohérence des unités et du mode (degrés) de la calculatrice.
Points à retenir
Une transformation de rotation s'applique de la même manière à tous les points d'un levé. L'angle et les formules ne changent pas.
Le saviez-vous ?
Les calculs de rotation peuvent être exprimés sous forme de multiplication de matricesOpération mathématique permettant de combiner des matrices pour représenter des transformations linéaires, comme les rotations.. C'est ainsi que les logiciels de topographie et de DAO (Dessin Assisté par Ordinateur) effectuent cette opération sur des milliers de points simultanément.
FAQ
Pas de nouvelles FAQ pour cette étape, les principes sont identiques à la Q1.
Résultat Final
A vous de jouer
En gardant \(\alpha = +30^{\circ}\), si un point P3 a pour coordonnées (X=200, Y= -100), quelle est sa coordonnée Y' ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La méthode est identique pour tous les points.
- Résultat : P2' (223.205, -13.398)
Question 3 : Calcul de la distance P1-P2 (système d'origine)
Principe
L'objectif est de trouver la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle imaginaire. Les côtés de ce triangle sont les différences de coordonnées (\(\Delta X = X_2 - X_1\) et \(\Delta Y = Y_2 - Y_1\)). C'est l'application la plus directe du théorème de Pythagore.
Mini-Cours
La distance entre deux points A(\(X_A, Y_A\)) et B(\(X_B, Y_B\)) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la différence des abscisses (\(\Delta X = X_B - X_A\)) et la différence des ordonnées (\(\Delta Y = Y_B - Y_A\)). C'est l'application directe du théorème de Pythagore.
Remarque Pédagogique
Cette étape est cruciale. Elle nous donne la "vérité terrain" avant transformation. C'est la valeur de référence que nous utiliserons à la question 4 pour prouver que la rotation n'a pas déformé notre levé.
Normes
Ce calcul est universel et ne dépend pas d'une norme, mais du postulat que le repère (X, Y) est orthonormé (axes perpendiculaires et de même échelle).
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le repère (X, Y) est orthonormé (axes perpendiculaires et de même échelle), ce qui est la base de tous les calculs topographiques planimétriques.
Donnée(s)
On utilise les coordonnées de P1 et P2 du système d'origine (X, Y), fournies dans l'énoncé :
- P1 : (100.000, 50.000)
- P2 : (200.000, 100.000)
Astuces
Notez que \( \Delta X = 100.000 \) et \( \Delta Y = 50.000 \). On peut voir que \( \Delta X = 2 \cdot \Delta Y \). La distance est donc \( \sqrt{(2 \cdot 50)^2 + (50)^2} = \sqrt{4 \cdot 50^2 + 50^2} = \sqrt{5 \cdot 50^2} = 50 \cdot \sqrt{5} \). En effet, \( 50 \cdot \sqrt{5} \approx 111.803 \). C'est une façon de vérifier le calcul mentalement.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser le triangle rectangle formé par P1 et P2.
Distance P1-P2 (Pythagore)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)
On calcule la différence des abscisses (\(\Delta X\)) et des ordonnées (\(\Delta Y\)) :
Étape 2 : Calcul de la distance D
On applique la formule de Pythagore avec ces différences :
On remplace \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) par leurs valeurs :
Schéma (Après les calculs)
Le calcul confirme la valeur de l'hypoténuse D = 111.803 m.
Réflexions
Cette distance de 111.803 m est la longueur "invariante" ou *propriété intrinsèque* du segment [P1, P2]. Quoi que nous fassions (rotation, translation), cette valeur ne doit jamais changer. C'est notre valeur de contrôle.
Points de vigilance
N'oubliez pas de mettre les différences (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\)) au carré avant de les additionner. L'ordre des opérations (PEMDAS/BODMAS) est crucial. Le résultat est toujours positif car c'est une distance.
Points à retenir
La distance entre deux points est la racine carrée de la somme des carrés des différences de coordonnées. La distance est invariante, peu importe le sens (P1 à P2 ou P2 à P1), car les \(\Delta\) sont mis au carré.
Le saviez-vous ?
Cette formule est la base de tous les calculs de distance en 2D. Elle est utilisée des milliards de fois par seconde dans les puces graphiques (GPU) pour le rendu des jeux vidéo et de la 3D.
FAQ
Pas de FAQ pour ce calcul, il est assez direct.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la distance entre l'origine O(0,0) et le point P1(100, 50) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Calcul de distance (Pythagore).
- Formule : \(D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\).
- Résultat : 111.803 m
Question 4 : Calcul de la distance P1'-P2' (nouveau système)
Principe
C'est l'étape de vérification. On applique rigoureusement la même formule que pour la Question 3 (Pythagore), mais cette fois en utilisant les coordonnées (X', Y') que nous avons calculées aux Questions 1 et 2. L'objectif est de voir si la distance a changé.
Mini-Cours
C'est l'étape de vérification. Si la rotation est bien une isométrie (une transformation qui conserve les distances), alors la nouvelle distance D' doit être rigoureusement identique à l'ancienne distance D. C'est le cœur de l'exercice.
Remarque Pédagogique
En effectuant ce calcul, vous prouvez que la transformation est correcte et qu'elle n'a pas "déformé" la réalité. Si vous trouvez une D' différente de D, vous avez fait une erreur de calcul soit dans la Q1/Q2, soit dans la Q3/Q4.
Normes
Le repère (X', Y') est aussi orthonormé, car il est le résultat d'une rotation d'un repère orthonormé.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les calculs de P1' et P2' (Questions 1 et 2) sont corrects. Il est crucial d'utiliser les valeurs non arrondies (avec toutes les décimales) pour cette vérification afin d'éviter les erreurs d'arrondi.
Donnée(s)
Les données d'entrée ici ne viennent pas de l'énoncé, mais sont les résultats de nos calculs des Questions 1 et 2 :
- P1' : (111.6025, -6.6987)
- P2' : (223.2050, -13.3975)
Astuces
Pour éviter les erreurs d'arrondi, utilisez la mémoire de votre calculatrice. Stockez les 4 valeurs (X'1, Y'1, X'2, Y'2) et calculez D' à partir de ces mémoires. Le résultat devrait être \(\sqrt{12500}\) exactement, et non \(\sqrt{12499.9}\).
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser le nouveau triangle rectangle, qui est simplement le triangle de la Q3 pivoté de 30°.
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(\Delta X'\) et \(\Delta Y'\)
On calcule les différences des nouvelles coordonnées (calculées en Q1 et Q2) :
Étape 2 : Calcul de la distance D'
On applique à nouveau la formule de Pythagore :
On remplace par les nouvelles différences (attention aux signes) :
Note : Le carré de \(-6.6988\) est \({+}44.873\). Le signe négatif disparaît.
Schéma (Après les calculs)
Le calcul confirme que la nouvelle distance est identique.
Réflexions
Nous avons trouvé D = 111.803 m (Q3) et D' = 111.803 m (Q4). Les distances sont identiques. Cela prouve mathématiquement que notre transformation a fonctionné et que le levé n'a pas été altéré, seulement ré-orienté. L'identité parfaite (D=D') prouve que nos calculs pour P1' et P2' sont corrects et que la transformation est bien isométrique.
Points de vigilance
Attention en soustrayant des nombres négatifs. \( \Delta Y' = Y'_2 - Y'_1 = (-13.3975) - (-6.6987) = -13.3975 + 6.6987 \). De plus, n'oubliez pas que le carré d'un nombre négatif (\( (-6.6988)^2 \)) est toujours positif.
Points à retenir
La rotation est une isométrie : elle conserve les distances. C'est le point le plus important de l'exercice.
Le saviez-vous ?
Dans la théorie de la relativité d'Einstein, les transformations d'espace-temps (transformations de Lorentz) sont des sortes de "rotations" dans un espace à 4 dimensions. Étonnamment, certaines "distances" (intervalles d'espace-temps) y sont aussi conservées !
FAQ
FAQ pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la distance entre l'origine O(0,0) et le point P1'(111.603, -6.699) ? (Indice : comparez-la à la distance O-P1 de la question 3 "A vous de jouer").
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Vérification de la distance dans le nouveau repère.
- Formule : \(D' = \sqrt{\Delta X'^2 + \Delta Y'^2}\).
- Résultat : 111.803 m (identique à Q3)
Question 5 : Comparaison des distances et conclusion
Principe
On compare les deux distances calculées pour en tirer une conclusion fondamentale sur la nature de la transformation par rotation.
Donnée(s)
| Distance | Valeur |
|---|---|
| Distance \(D_{P1-P2}\) (avant rotation) | 111.803 m |
| Distance \(D'_{P1'-P2'}\) (après rotation) | 111.803 m |
Réflexions
La distance calculée dans le système d'origine (X, Y) est de 111.803 m.
La distance calculée dans le système projet (X', Y') est de 111.803 m.
Les deux distances sont identiques (aux erreurs d'arrondi près si on ne garde pas la précision).
Points à retenir
Conclusion Fondamentale :
- La transformation par rotation est une transformation isométrique (ou "rigide").
- Cela signifie qu'elle conserve les distances, les angles et les surfaces.
- Le "nuage de points" du levé a pivoté, mais sa forme et ses dimensions internes sont restées intactes. C'est le but recherché : on ne veut pas déformer la réalité, juste la "regarder" sous un angle différent.
Résultat Final
Schéma de Synthèse de la Transformation
Vue Globale : Avant et Après Rotation (\(\alpha = +30^{\circ}\))
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Une transformation qui conserve les distances est appelée...
2. Quelle est la formule correcte pour X' lors d'une rotation horaire \(\alpha\) ?
3. On pivote le point P(X=0, Y=10) de +90° (sens horaire). Quelles sont ses nouvelles coordonnées (X', Y') ?
4. Quelle propriété n'est PAS conservée lors d'une rotation (autour de l'origine) ?
5. Que vaut le sinus d'un angle de 30 degrés ?
Glossaire
- Coordonnées Planimétriques
- Ensemble de deux valeurs (X, Y) ou (E, N) qui définissent la position d'un point sur une surface plane (un plan).
- Isométrie (ou Transformation Rigide)
- Une transformation géométrique (comme une rotation ou une translation) qui conserve les distances entre les points. La forme de l'objet n'est pas déformée.
- Rotation (Horaire)
- Transformation qui fait "pivoter" un système de coordonnées autour d'un point fixe (l'origine) d'un certain angle (\(\alpha\)). En topographie, le sens positif est généralement le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre).
- Système Local
- Un système de coordonnées arbitraire, souvent défini pour un projet ou un levé spécifique, qui n'est pas nécessairement aligné sur un système national ou global.
D’autres exercices de Calculs Planimétriques:
0 commentaires