Calcul de Cheminement avec Antenne
Contexte : Le Cheminement PlanimétriqueOpération topographique consistant à déterminer les coordonnées (X, Y) d'une série de points (stations) en mesurant angles et distances entre eux, formant ainsi un polygone..
Cet exercice vous guide à travers le calcul complet d'un cheminement planimétrique "encadré" (rattaché à deux points connus à ses extrémités). Nous allons non seulement calculer les stations du cheminement (S1, S2), mais aussi déterminer les coordonnées d'un point de détail (P1) visé depuis la station S1, souvent appelé "antenne" ou "point rayonné". Nous calculerons la propagation des gisementsAngle horizontal entre la direction du Nord (Y) et une direction donnée, mesuré dans le sens horaire. En topographie, on utilise souvent les Gons (400 gon = 360°)., les coordonnées provisoires, l'écart de fermeture, et nous appliquerons une compensation simple.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour tout topographe. Il simule une situation de terrain courante où l'on doit implanter ou lever des points en se basant sur un réseau de stations que l'on crée (le cheminement) et qui est lui-même rattaché à des points de référence fixes.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer un gisement de départ à partir d'une référence.
- Propager les gisements le long d'un cheminement.
- Calculer les coordonnées (X, Y) provisoires des stations.
- Calculer les écarts de fermeture en X et Y (\(f_x, f_y\)).
- Appliquer une compensation de base (proportionnelle aux distances).
- Calculer les coordonnées d'un point "antenne" (point rayonné).
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Levé | Cheminement encadré A-S1-S2-B |
| Points Connus (RGF93 L93) | A, B, C, D |
| Points à calculer | S1 (compensé), S2 (compensé), P1 |
| Unités Angulaires | Gon (ou Grade) |
| Unités de Longueur | Mètre (m) |
Schéma de Principe du Levé
| Donnée | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Point A | Coordonnées X, Y | (1000.000, 1000.000) | m |
| Point B | Coordonnées X, Y | (1200.000, 1100.000) | m |
| Gisement AD | Gisement de référence en A | 380.000 | gon |
| Gisement BC | Gisement de référence en B | 70.000 | gon |
| Angle \(\alpha_A\) | Angle D-A-S1 | 80.000 | gon |
| Angle \(\alpha_{S1}\) | Angle A-S1-S2 | 210.000 | gon |
| Angle \(\alpha_{S2}\) | Angle S1-S2-B | 210.000 | gon |
| Angle \(\alpha_B\) | Angle S2-B-C | 190.100 | gon |
| Distance A-S1 | Distance horizontale | 70.000 | m |
| Distance S1-S2 | Distance horizontale | 80.000 | m |
| Distance S2-B | Distance horizontale | 75.000 | m |
| Angle Antenne | Angle A-S1-P1 (sur S1) | 120.000 | gon |
| Distance Antenne | Distance S1-P1 | 30.000 | m |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de départ \(G_{AS1}\).
- Calculer et propager les gisements pour \(G_{S1S2}\) et \(G_{S2B}\).
- Calculer les coordonnées provisoires de S1, S2 et B (nommé \(B_{calc}\)).
- Calculer les écarts de fermeture \(f_x\) et \(f_y\), puis déterminer les coordonnées compensées de S1 et S2.
- Calculer les coordonnées du point "antenne" P1, rattaché à la station S1 compensée.
Les bases de la Planimétrie
Pour résoudre cet exercice, deux formules fondamentales de la topographie sont nécessaires : la propagation des gisements et le calcul de coordonnées par rayonnement.
1. Propagation de Gisement
Le gisement d'un côté (B) se déduit du gisement du côté précédent (A) et de l'angle mesuré à la station commune. La formule de base (en tournant à droite) est :
\[ G_{\text{Suivant}} = G_{\text{Précédent}} + \alpha_{\text{Station}} \pm 200 \text{ gon} \]
On ajoute ou retire 200 gon pour ramener le gisement "arrière" (\(G_{\text{Précédent}}\)) en gisement "avant". On ajuste ensuite le résultat final pour qu'il soit toujours compris entre 0 et 400 gon.
2. Calcul de Coordonnées (Rayonnement)
Les coordonnées d'un point B se calculent depuis un point A connu via le gisement \(G_{AB}\) et la distance \(D_{AB}\) :
\[ \Delta X = X_B - X_A = D_{AB} \times \sin(G_{AB}) \]
\[ \Delta Y = Y_B - Y_A = D_{AB} \times \cos(G_{AB}) \]
Ce qui donne :
\[ X_B = X_A + \Delta X \quad | \quad Y_B = Y_A + \Delta Y \]
Correction : Calcul de Cheminement avec Antenne
Question 1 : Calculer le gisement de départ \(G_{AS1}\)
Principe
Le premier gisement du cheminement (\(G_{AS1}\)) est déduit du gisement de référence connu (\(G_{AD}\)) et de l'angle mesuré à la station de départ A (\(\alpha_A\)). C'est l'étape d'initialisation de l'orientation de l'ensemble du levé.
Mini-Cours
Gisement de Référence : En topographie, on s'oriente presque toujours par rapport à des directions connues. Un gisement (\(G_{AD}\)) est une direction de référence (comme une "boussole" de haute précision) qui nous permet de caler nos angles. On "vise" le point D depuis A, on cale l'angle \(G_{AD}\) sur le théodolite, puis on vise S1 pour lire l'angle \(\alpha_A\).
Remarque Pédagogique
Pensez-y comme ajuster une carte. Le gisement \(G_{AD}\) aligne votre "carte" (votre levé) avec le Nord (Y). L'angle \(\alpha_A\) est simplement la rotation que vous faites ensuite pour regarder vers votre premier point, S1. L'orientation initiale est l'étape la plus critique.
Normes
Les calculs se font en grades ou Gons (400 gon = 360°), l'unité standard en topographie française. Les angles sont mesurés dans le sens horaire.
Formule(s)
Gisement de départ
Hypothèses
Pour ce calcul, nous supposons :
- Le gisement de référence \(G_{AD}\) est exact.
- L'angle \(\alpha_A\) (D-A-S1) a été mesuré sans erreur (nous traiterons les erreurs de fermeture plus tard).
Donnée(s)
Selon le carnet de terrain :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de référence | \(G_{AD}\) | 380.000 | gon |
| Angle en A | \(\alpha_A\) | 80.000 | gon |
Astuces
Un croquis est essentiel. Dessinez le Nord (Y), placez A, dessinez la direction AD (à 380 gon, presque le Nord, mais légèrement à l'Ouest) et ajoutez l'angle \(\alpha_A\) (80 gon) dans le sens horaire pour trouver la direction AS1.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'orientation à la station A.
Orientation en A
Calcul(s)
Calcul de \(G_{AS1}\)
Schéma (Après les calculs)
Le schéma "Avant les calculs" visualise déjà le résultat : le gisement \(G_{AS1}\) est de 60 gon, une direction orientée vers le Nord-Est.
Réflexions
Le résultat de 60 gon est cohérent. Partant d'une référence à 380 gon (Nord-Ouest), ajouter 80 gon (un peu moins qu'un angle droit) nous amène logiquement dans le quadrant Nord-Est (entre 0 et 100 gon).
Points de vigilance
Attention à toujours normaliser le gisement final pour qu'il soit compris entre 0 et 400 gon. Une erreur ici se propage sur tout le reste du calcul. Si le résultat avait été 30, il ne fallait *pas* soustraire 400.
Points à retenir
La formule de base de l'orientation : \(G_{Nouveau} = G_{Référence} + \alpha_{Mesuré}\). Cet angle est l'angle "tourné à droite" depuis la référence vers le nouveau point.
Le saviez-vous ?
Le "Gon" (ou Grade) a été inventé en France pendant la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de décimaliser l'angle : 100 gon pour un angle droit, 400 gon pour un cercle complet. C'est beaucoup plus simple pour les calculs que le système sexagésimal (Degré, Minute, Seconde).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle \(\alpha_A\) avait été de 110.000 gon, quel aurait été le gisement \(G_{AS1}\) ? (Gisement de référence \(G_{AD}\) toujours à 380.000 gon)
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 :
Concept : Orientation initiale.
Formule : \(G_{\text{départ}} = G_{\text{ref}} + \alpha_{\text{mesuré}}\)
Piège : Normaliser le résultat (entre 0 et 400).
Question 2 : Calculer et propager les gisements \(G_{S1S2}\) et \(G_{S2B}\)
Principe
On propage le gisement de station en station. Pour calculer le gisement "avant" (\(G_{S1S2}\)) depuis la station S1, on a besoin du gisement "arrière" (\(G_{S1A}\)). On l'obtient en ajoutant ou soustrayant 200 gon au gisement \(G_{AS1}\). On ajoute ensuite l'angle \(\alpha_{S1}\) mesuré à la station S1.
Mini-Cours
Transmission de Gisement : C'est le cœur d'un cheminement. On "transporte" l'orientation de A à S1, puis de S1 à S2, etc.
1. Arrivé à S1, on connaît \(G_{AS1}\).
2. On "retourne" le gisement : \(G_{S1A} = G_{AS1} \pm 200\). C'est la direction S1 vers A.
3. On ajoute l'angle mesuré à droite \(\alpha_{S1}\) (A-S1-S2) : \(G_{S1S2} = G_{S1A} + \alpha_{S1}\).
4. On répète le processus pour S2.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous marchez de A à S1 en suivant votre boussole (60 gon). Arrivé à S1, vous vous retournez pour regarder A. Votre boussole indique maintenant \(60+200=260\) gon. C'est votre nouvelle "référence 0". Vous tournez ensuite de l'angle \(\alpha_{S1}\) (210 gon) pour regarder S2. Votre nouvelle direction est \(260+210 = 470 \rightarrow 70\) gon.
Normes
Règle de calcul standard pour la propagation de gisement avec angles intérieurs (ou tournés à droite). La normalisation \(\pmod{400}\) est obligatoire à chaque étape.
Formule(s)
Gisement arrière
Propagation
Hypothèses
Nous supposons que les angles \(\alpha_{S1}\) et \(\alpha_{S2}\) sont provisoirement exacts. En réalité, ils contiennent des erreurs qui seront compensées (dans un calcul plus avancé, on compenserait d'abord les angles avant les coordonnées).
Donnée(s)
Depuis Q1 : \(G_{AS1} = 60.000 \text{ gon}\).
Carnet de terrain : \(\alpha_{S1} = 210.000 \text{ gon}\), \(\alpha_{S2} = 210.000 \text{ gon}\).
Astuces
La règle pour \(\pm 200\) est simple : si \(G < 200\), on ajoute 200. Si \(G \ge 200\), on soustrait 200. (Ici, \(G_{AS1}=60\), donc on ajoute 200). Cela évite les nombres négatifs ou > 400 avant même l'ajout de l'angle.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la propagation à la station S1.
Propagation en S1
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(G_{S1S2}\)
Étape 2 : Calcul de \(G_{S2B}\)
Schéma (Après les calculs)
Les calculs sont confirmés. Nous avons une chaîne de gisements : \(60 \Rightarrow 70 \Rightarrow 80\). Les directions "tournent" légèrement vers l'Est à chaque station.
Réflexions
Les angles \(\alpha_{S1}\) et \(\alpha_{S2}\) sont de 210 gon. Un angle de 200 gon signifierait "aller tout droit". 210 gon signifie qu'à chaque station, on tourne de 10 gon vers la droite. Le gisement de départ étant 60, il est logique que le suivant soit \(60+10=70\) et le suivant \(70+10=80\).
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans le \(\pm 200\). Si \(G_{AS1}\) était 260, il aurait fallu faire \(260 - 200 = 60\) pour \(G_{S1A}\). Une erreur ici fausse tout le reste.
Points à retenir
La formule de propagation est une "chaîne" : \(G_{n+1} = (G_n \pm 200) + \alpha_{n+1}\). C'est le moteur principal du calcul de cheminement.
Le saviez-vous ?
Pour vérifier les angles sur le terrain, les topographes font une "fermeture tour d'horizon". La somme de tous les angles mesurés autour d'une station doit faire exactement 400 gon. Cela permet de détecter une erreur de lecture avant de quitter la station.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle \(\alpha_{S1}\) (A-S1-S2) avait été de 200.000 gon (au lieu de 210), quel aurait été le gisement \(G_{S1S2}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q2 :
Concept : Propagation de gisement.
Formule : \(G_{B \Rightarrow C} = (G_{A \Rightarrow B} \pm 200) + \alpha_B\)
Piège : Se tromper sur le \(\pm 200\).
Question 3 : Calculer les coordonnées provisoires de S1, S2 et B (\(B_{calc}\))
Principe
En partant des coordonnées connues de A, on "rayonne" la station S1 en utilisant son gisement \(G_{AS1}\) et la distance \(D_{AS1}\). Puis, depuis S1, on rayonne S2, et ainsi de suite jusqu'à B. Ce sont des coordonnées "provisoires" car elles n'incluent pas encore la correction de fermeture.
Mini-Cours
Calcul de Rayonnement : C'est la transformation de coordonnées "polaires" (un angle/gisement et une distance) en coordonnées "rectangulaires" (X, Y). Les formules \(\Delta X = D \times \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \times \cos(G)\) sont le cœur de la topographie. On calcule le déplacement (\(\Delta X, \Delta Y\)) puis on l'ajoute aux coordonnées du point de départ.
Remarque Pédagogique
Le calcul est cumulatif. Les coordonnées de S2 dépendent du calcul de S1. Les coordonnées de \(B_{calc}\) dépendent de S2. C'est pourquoi une petite erreur au début peut entraîner un écart important à la fin.
Normes
Application des formules trigonométriques standards dans le système de projection RGF93 L93, où X est l'Est et Y le Nord.
Formule(s)
Calcul des "Deltas"
Calcul des Coordonnées
Hypothèses
Nous supposons que les distances mesurées (70, 80, 75) sont horizontales et exactes (provisoirement).
Donnée(s)
Coords A : (1000.000, 1000.000)
Gisements (de Q2) : \(G_{AS1}=60\), \(G_{S1S2}=70\), \(G_{S2B}=80\) (gon)
Distances : \(D_{AS1}=70\), \(D_{S1S2}=80\), \(D_{S2B}=75\) (m)
Astuces
Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode GON (ou GRADE). Si vous utilisez des degrés, tous vos calculs de \(\sin\) et \(\cos\) seront faux. (Ex: \(\sin(60 \text{ gon}) = 0.809\), mais \(\sin(60 \text{ deg}) = 0.866\)).
Schéma (Avant les calculs)
Reprise du schéma de principe, montrant le chemin A \(\rightarrow\) S1 \(\rightarrow\) S2 \(\rightarrow\) B.
Schéma de Principe du Levé
Calcul(s)
Calcul de S1 (depuis A)
Calcul de S2 (depuis S1)
Calcul de \(B_{calc}\) (depuis S2)
Schéma (Après les calculs)
Ce calcul nous donne les positions relatives brutes des stations. On peut maintenant les comparer aux points réels.
Réflexions
Nous avons calculé B en (1202.483, 1098.284). L'énoncé nous dit qu'il *devrait* être en (1200.000, 1100.000). Nos calculs ne "ferment" pas. Nous avons un écart (une erreur) que nous allons calculer et corriger à l'étape suivante.
Points de vigilance
Attention aux signes de SIN et COS. Ici, tous les gisements sont entre 0 et 100 gon (Quadrant NE), donc \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont tous positifs. Si un gisement était de 150 gon (Quadrant SE), \(\Delta X\) serait positif mais \(\Delta Y\) serait négatif.
Points à retenir
C'est un calcul en chaîne. \(X_{S2}\) dépend de \(X_{S1}\). \(Y_{S2}\) dépend de \(Y_{S1}\). La précision est essentielle à chaque étape. Ne pas arrondir les coordonnées intermédiaires !
Le saviez-vous ?
En topographie, l'axe Y pointe vers le Nord (les "ordonnées") et l'axe X pointe vers l'Est (les "abscisses"). C'est l'inverse du cercle trigonométrique mathématique classique où X est horizontal et Y vertical.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
S1 : (1059.846, 1038.070)
S2 : (1131.590, 1072.272)
\(B_{\text{calc}}\) : (1202.483, 1098.284)
A vous de jouer
Si la distance \(D_{AS1}\) était de 71m (au lieu de 70), quel serait le X provisoire de S1 ? (Gisement \(G_{AS1}=60\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q3 :
Concept : Rayonnement cumulatif.
Formule : \(X_B = X_A + D \times \sin(G)\), \(Y_B = Y_A + D \times \cos(G)\)
Piège : Mode GONS de la calculatrice.
Question 4 : Calculer les écarts \(f_x, f_y\) et les coordonnées compensées
Principe
On compare les coordonnées calculées de B (\(B_{\text{calc}}\)) avec ses coordonnées réelles (\(B_{\text{réel}}\)). La différence est l'erreur de fermeture (\(f_x, f_y\)). On répartit ensuite cette erreur (en changeant son signe) sur les stations S1 et S2, proportionnellement à la distance parcourue depuis A, pour obtenir les coordonnées "compensées".
Mini-Cours
Compensation Linéaire : C'est la méthode la plus simple, dite "proportionnelle aux longueurs". On part du principe que l'erreur s'est accumulée progressivement le long du cheminement. Une station à mi-parcours (en distance) récupérera la moitié de la correction totale. Une station aux 3/4 du parcours récupérera 3/4 de la correction, etc.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape de "vérité". L'écart de fermeture nous dit si notre travail sur le terrain était précis. Dans cet exercice, les écarts sont très grands (+2.48m et -1.72m) pour que les calculs soient évidents. En réalité, un tel écart sur 225m de cheminement serait inacceptable ! On chercherait une erreur grossière (ex: une distance mal notée).
Normes
Méthode de compensation dite "proportionnelle aux longueurs". Pour des travaux de précision, on utiliserait une compensation angulaire suivie d'une compensation linéaire, ou une méthode globale par moindres carrés.
Formule(s)
Écart de Fermeture (Erreur)
Correction (Opposé de l'erreur)
Coordonnée Compensée
Hypothèses
On suppose que l'erreur de fermeture est due aux mesures de distance et qu'elle s'accumule linéairement le long du parcours.
Donnée(s)
\(B_{\text{réel}} = (1200.000, 1100.000)\)
\(B_{\text{calc}} = (1202.483, 1098.284)\)
Distances : \(D_{AS1}=70\), \(D_{S1S2}=80\), \(D_{S2B}=75\)
Astuces
Vérification rapide : La correction totale pour le point B doit être égale à \(-f_x\) et \(-f_y\).
\(C_x(B) = -2.483 \times (225 / 225) = -2.483\).
\(X_{B_{\text{comp}}} = X_{B_{\text{prov}}} + C_x(B) = 1202.483 - 2.483 = 1200.000\). Ça marche ! Le chemin est maintenant "fermé" sur B.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'écart de fermeture (très exagéré).
Écart de Fermeture en B
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des Écarts de Fermeture (Erreur)
Étape 2 : Distances et Ratios
Étape 3 : Compensation de S1 (Correction = -Erreur * Ratio)
Étape 4 : Compensation de S2
Schéma (Après les calculs)
On obtient le cheminement final, calé sur A et B.
Réflexions
Les coordonnées compensées sont les coordonnées "officielles" des stations S1 et S2. Elles sont mathématiquement cohérentes avec les points de départ A et d'arrivée B. On voit que la correction est plus importante pour S2 que pour S1, car S2 est plus loin le long du cheminement et a donc "accumulé" plus d'erreur.
Points de vigilance
Le signe de la compensation est crucial ! La correction (\(C_x\)) est l'opposé de l'erreur (\(f_x\)). Si on calcule un X trop grand (\(f_x > 0\)), on doit soustraire la correction (\(C_x < 0\)).
Points à retenir
La compensation répartit l'erreur de fermeture. La formule de la correction est : \(C_i = -f_{\text{total}} \times (D_{\text{cumulée}} / D_{\text{totale}})\).
Le saviez-vous ?
L'écart linéaire total (ou "fermeture") se calcule avec Pythagore : \(f_{\text{lin}} = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\). Ici, \(\sqrt{2.483^2 + (-1.716)^2} = 3.018 \text{ m}\). C'est cet écart linéaire qu'on compare aux tolérances réglementaires (qui dépendent de la longueur totale).
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
S1 : (1059.074, 1038.603)
S2 : (1129.935, 1073.416)
A vous de jouer
Si l'erreur de fermeture \(f_x\) était de -1.500 m, quelle serait la correction \(C_x(S1)\) à appliquer à S1 ? (Ratio S1 = 70/225)
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q4 :
Concept : Compensation linéaire.
Formule : \(f_x = X_{\text{calc}} - X_{\text{réel}}\), \(C_x(i) = -f_x \times (D_i / D_{\text{tot}})\)
Piège : La correction est l'opposé de l'erreur (\(C_x = -f_x\)).
Question 5 : Calculer les coordonnées du point "antenne" P1
Principe
Le point P1 a été "rayonné" depuis S1. Pour calculer ses coordonnées finales, on doit impérativement utiliser les coordonnées compensées de S1 (\(S1_{\text{comp}}\)) comme point de départ. On a besoin du gisement \(G_{S1P1}\), que l'on calcule en se ré-orientant sur A (\(G_{S1A}\)) et en appliquant l'angle mesuré \(\alpha_{A-S1-P1}\).
Mini-Cours
Calcul d'un Point Rayonné (Antenne) : C'est un calcul de rayonnement simple (comme à la Q3). La seule différence, et elle est cruciale, est qu'on utilise la station *compensée* comme point d'appui. Le but du cheminement est de fournir des bases (S1, S2) fiables et définitives pour pouvoir ensuite lever des centaines de points de détail (arbres, lampadaires, coins de bâtiment...).
Remarque Pédagogique
Ne *jamais* utiliser les coordonnées provisoires de S1 pour calculer P1. Si vous le faisiez, votre point P1 serait "faux" de la même quantité que S1 était faux avant compensation (ici, -0.772m en X et +0.533m en Y). Tout le but de la compensation serait perdu.
Normes
Application des formules de rayonnement standards (Q3), mais en utilisant les coordonnées compensées (Q4) comme base.
Formule(s)
Gisement Antenne (Ré-orientation sur A)
Coordonnées
Hypothèses
La mesure d'antenne (Angle A-S1-P1 et Distance S1-P1) est considérée comme juste et n'est pas compensée, car elle n'appartient pas à la "boucle" fermée du cheminement.
Donnée(s)
Coordonnées (de Q4) : \(X_{S1_{\text{comp}}} = 1059.074\), \(Y_{S1_{\text{comp}}} = 1038.603\)
Gisement (de Q2) : \(G_{S1A} = 260.000 \text{ gon}\)
Carnet : \(\alpha_{A-S1-P1} = 120.000 \text{ gon}\), \(D_{S1P1} = 30.000 \text{ m}\)
Astuces
Le calcul d'une antenne est identique à un rayonnement simple. La seule "difficulté" est de s'assurer qu'on utilise la bonne station de départ (toujours compensée) et le bon gisement de référence (ici, \(G_{S1A}\), pas \(G_{AS1}\)).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du rayonnement de P1 depuis S1 compensé.
Calcul de l'antenne P1
Calcul(s)
Étape 1 : Gisement \(G_{S1P1}\)
Étape 2 : Coordonnées P1 (depuis S1 compensé)
Schéma (Après les calculs)
Le calcul est terminé. P1 est positionné au Nord-Ouest de la station S1.
Réflexions
Le gisement \(G_{S1P1}\) de 380 gon (Quadrant NO) donne un \(\Delta X\) négatif et un \(\Delta Y\) positif, ce qui est correct. Le point P1 est donc bien à l'Ouest et au Nord de S1. Les coordonnées (1049, 1067) sont cohérentes par rapport à S1 (1059, 1038).
Points de vigilance
L'erreur fatale est d'utiliser \(X_{S1_{\text{prov}}}\) (1059.846) au lieu de \(X_{S1_{\text{comp}}}\) (1059.074). Le point P1 aurait été faux de 77 cm en X et 53 cm en Y !
Points à retenir
Les points de détail (antennes) sont TOUJOURS calculés à partir des stations COMPENSÉES. Le cheminement est le "squelette" ; les antennes sont la "chair" qui s'y rattache.
Le saviez-vous ?
Les points d'antenne n'ont pas de vérification. L'opérateur doit donc être très rigoureux lors de la mesure. Pour les points très importants, on effectue un "double rayonnement" : on vise le même point depuis deux stations différentes (ex: P1 depuis S1 et S2) pour vérifier et solidifier sa position.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape :
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes données, si l'angle \(\alpha_{A-S1-P1}\) avait été de 80.000 gon (au lieu de 120), quel aurait été le X de P1 ? (Indice: \(G_{S1P1} = 260+80=340\))
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q5 :
Concept : Calcul d'antenne.
Formule : \(G_{\text{antenne}} = G_{\text{ref}} + \alpha_{\text{antenne}}\), puis rayonnement simple.
Piège : Utiliser la station *COMPENSÉE* comme départ.
Outil Interactif : Visualiseur d'Écart de Fermeture
Utilisez les sliders pour simuler l'impact d'un écart de fermeture (\(f_x, f_y\)) sur la position finale du cheminement. Le graphique montre le trajet "Réel" (que l'on veut obtenir) et le trajet "Calculé" (ce que l'on obtient avant compensation).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un Gisement (en topographie) ?
2. La formule pour calculer \(\Delta X\) (delta X) est :
4. Un écart de fermeture \(f_x = X_{\text{calc}} - X_{\text{réel}}\) positif signifie :
5. Qu'est-ce qu'une "antenne" (ou point rayonné) ?
Glossaire
- Antenne (Point Rayonné)
- Point de détail (ex: P1) dont les coordonnées sont déterminées par une seule visée (angle et distance) depuis une station connue (ex: S1).
- Cheminement Encadré
- Un cheminement qui part d'un point connu (A) et se termine sur un autre point connu (B). Cela permet de calculer un écart de fermeture et de compenser les mesures.
- Compensation
- Processus mathématique visant à répartir les écarts de fermeture (en angles et/ou coordonnées) sur l'ensemble des stations et mesures, pour assurer la cohérence du levé.
- Écart de Fermeture (\(f_x, f_y\))
- Différence entre les coordonnées calculées du point de fermeture (B_calc) et ses coordonnées réelles (B_réel). Une petite fermeture est un gage de qualité du levé.
- Gisement
- Angle horizontal entre la direction du Nord (Axe Y) et une direction donnée (ex: A vers B). En topographie française, il est compté en Gons (400 gon = 360°) dans le sens horaire.
D’autres exercices de Calculs Planimétriques:
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