Étude Topographique

Cheminement fermé autour d’un bâtiment

Exercice : Calcul d'un Cheminement Fermé

Cheminement fermé autour d'un bâtiment

Contexte : Le Cheminement FerméParcours polygonal effectué par un topographe, partant d'un point connu, passant par plusieurs stations, et revenant au point de départ pour vérification. en topographie planimétrique.

Cet exercice porte sur le calcul complet d'un cheminement fermé réalisé autour d'un bâtiment. L'objectif est de déterminer les coordonnées précises des sommets du polygone (stations) après avoir mesuré les angles internes et les longueurs des côtés. Ce type de calcul est fondamental pour les levers topographiques, l'implantation et la vérification de points sur le terrain. Nous allons calculer les gisementsAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction Nord (ou d'une direction de référence) jusqu'à une ligne. Exprimé généralement en grades (gon)., les écarts en X et Y, vérifier la fermeture planimétriqueErreur de position entre le point de départ et le point d'arrivée calculé d'un cheminement fermé. Idéalement, elle devrait être nulle., puis compenser les erreurs pour obtenir les coordonnées finales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser la méthodologie complète du calcul d'un cheminement fermé, incluant la gestion des angles (en grades), le calcul des coordonnées partielles, la détermination et la répartition des erreurs de fermeture.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la fermeture angulaire et compenser les angles mesurés.
  • Calculer les gisements des côtés du cheminement.
  • Calculer les coordonnées partielles (ΔX, ΔY) pour chaque côté.
  • Déterminer la fermeture linéaire (fx, fy, fL) du cheminement.
  • Appliquer une méthode de compensation planimétrique (ex: proportionnelle aux longueurs).
  • Calculer les coordonnées X, Y compensées de toutes les stations.

Données de l'étude

Un cheminement fermé à 4 sommets (A, B, C, D) a été mesuré autour d'un bâtiment. La station A a pour coordonnées connues : Xa = 1000.000 m, Ya = 500.000 m. Le gisement de départ G(AB) est de 50.0000 gon.

Mesures Terrain
Schéma du Cheminement
Schéma du cheminement fermé A-B-C-D autour d'un bâtiment Bâtiment A B C D L_AB L_BC L_CD L_DA αA αB αC αD
Station Visée Angle Interne Observé (gon) Distance Horizontale (m)
A vers B αA = 105.1250 L(AB) = 45.67
B vers C αB = 98.7650 L(BC) = 52.89
C vers D αC = 92.3450 L(CD) = 48.23
D vers A αD = 103.7550 L(DA) = 55.11

Questions à traiter

  1. Calculer la fermeture angulaire et compenser les angles internes.
  2. Calculer les gisements compensés de chaque côté (G'AB, G'BC, G'CD, G'DA).
  3. Calculer les coordonnées partielles brutes (ΔX, ΔY) pour chaque côté.
  4. Calculer la fermeture linéaire (fx, fy) et l'erreur de fermeture linéaire totale (fL).
  5. Calculer les corrections Cx et Cy à appliquer à chaque côté par la méthode proportionnelle aux longueurs (type Bowditch/Compas).
  6. Calculer les coordonnées compensées (X, Y) des stations B, C et D. Vérifier le retour au point A.

Les bases du calcul de cheminement fermé

Un cheminement fermé est un polygone dont le point de départ et le point d'arrivée sont confondus. Il permet un contrôle des mesures angulaires et linéaires.

1. Fermeture Angulaire
La somme des angles internes d'un polygone à \(n\) sommets est théoriquement \((n-2) \times 200\) gon. La différence entre la somme observée \(\Sigma \alpha_{obs}\) et la somme théorique est la fermeture angulaire \(f_{\alpha}\). \[ f_{\alpha} = \Sigma \alpha_{obs} - (n-2) \times 200 \text{ gon} \] Cette fermeture est répartie (compensée) sur chaque angle mesuré, souvent de manière égale : \(C_{\alpha} = -f_{\alpha} / n\). L'angle compensé \(\alpha'\) est \(\alpha' = \alpha_{obs} + C_{\alpha}\).

2. Calcul des Gisements
Le gisement d'un côté est calculé à partir du gisement du côté précédent et de l'angle interne (compensé) au sommet commun. Pour un cheminement tournant à droite (angles internes mesurés dans le sens horaire) : \[ G_{i, i+1} = G_{i-1, i} + \alpha'_{i} \pm 200 \text{ gon} \] On ajoute ou retire 200 gon pour ramener le gisement dans l'intervalle [0, 400 gon]. (Attention : si les angles sont mesurés à gauche, la formule change).

3. Coordonnées Partielles
Les différences de coordonnées entre deux points A et B sont : \[ \Delta X_{AB} = L_{AB} \times \sin(G_{AB}) \] \[ \Delta Y_{AB} = L_{AB} \times \cos(G_{AB}) \]

4. Fermeture Linéaire
Dans un cheminement fermé, la somme théorique des ΔX et des ΔY doit être nulle. Les sommes réelles donnent les erreurs de fermeture : \[ f_x = \Sigma \Delta X \] \[ f_y = \Sigma \Delta Y \] L'erreur de fermeture linéaire totale est : \( f_L = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \).

5. Compensation Linéaire (Méthode proportionnelle aux longueurs)
Les corrections à appliquer sur chaque ΔX et ΔY sont proportionnelles à la longueur du côté concerné par rapport à la longueur totale du cheminement (\(\Sigma L\)) : \[ C_{x_{AB}} = -f_x \times \frac{L_{AB}}{\Sigma L} \] \[ C_{y_{AB}} = -f_y \times \frac{L_{AB}}{\Sigma L} \] Les coordonnées partielles compensées sont : \(\Delta X' = \Delta X + C_x\) et \(\Delta Y' = \Delta Y + C_y\). La somme des \(\Delta X'\) et des \(\Delta Y'\) doit être nulle.

6. Calcul des Coordonnées Compensées
Les coordonnées définitives sont calculées de proche en proche en utilisant les coordonnées partielles compensées : \[ X_B = X_A + \Delta X'_{AB} \] \[ Y_B = Y_A + \Delta Y'_{AB} \] \[ X_C = X_B + \Delta X'_{BC} \quad \text{etc.} \] On doit retomber sur les coordonnées du point de départ A à la fin du calcul.

Correction : Cheminement fermé autour d'un bâtiment

Question 1 : Calculer la fermeture angulaire et compenser les angles internes.

Principe

Vérifier si la somme des angles mesurés sur le terrain correspond à la somme théorique attendue pour un polygone à 4 côtés, puis répartir l'écart constaté pour assurer la cohérence géométrique.

Mini-Cours

La somme théorique des angles internes d'un polygone convexe à \(n\) côtés est toujours \((n-2) \times 200\) gon (ou \((n-2) \times 180\) degrés). Toute différence observée (\(f_{\alpha}\)) provient des erreurs de mesure. La compensation consiste à ajuster les angles observés pour annuler cet écart.

Remarque Pédagogique

La compensation angulaire est la première étape cruciale. Si les angles ne sont pas compensés correctement, les calculs de gisements et de coordonnées suivants seront faussés dès le départ. C'est la base de la cohérence du cheminement.

Normes

Les tolérances sur la fermeture angulaire (\(T_{\alpha}\)) dépendent de la précision requise et du matériel utilisé. Par exemple, une tolérance courante pourrait être \( T_{\alpha} = k \sqrt{n} \), où \(k\) est une constante en centigrades (cgon, 1 cgon = 0.01 gon) et \(n\) le nombre de sommets. Si \(|f_{\alpha}| \le T_{\alpha}\), la fermeture est acceptable.

Formule(s)

Somme théorique des angles internes (polygone à n côtés)

\[ \Sigma \alpha_{th} = (n-2) \times 200 \text{ gon} \]

Fermeture angulaire

\[ f_{\alpha} = \Sigma \alpha_{obs} - \Sigma \alpha_{th} \]

Correction unitaire (égale répartition)

\[ C_{\alpha} = -f_{\alpha} / n \]

Angle compensé

\[ \alpha' = \alpha_{obs} + C_{\alpha} \]
Hypothèses

On suppose que l'erreur angulaire se répartit uniformément sur tous les angles mesurés (compensation égale). C'est l'hypothèse la plus simple en l'absence d'informations sur la précision relative de chaque mesure (longueur des visées, conditions d'observation...).

Donnée(s)

Nombre de sommets \(n=4\). Angles observés (gon) : αA = 105.1250, αB = 98.7650, αC = 92.3450, αD = 103.7550.

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, notez clairement les angles observés et les corrections dans un tableau. Vérifiez la somme des angles compensés à la fin : elle doit être exactement égale à la somme théorique.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des angles internes mesurés aux sommets A, B, C, D du polygone.

Angles Internes Observés
Schéma montrant les angles internes A B C D αA αB αC αD
Calcul(s)

Étape 1 : Somme des angles observés

\[ \begin{aligned} \Sigma \alpha_{obs} &= 105.1250 + 98.7650 + 92.3450 + 103.7550 \\ &= 399.9900 \text{ gon} \end{aligned} \]

Étape 2 : Somme théorique

\[ \begin{aligned} \Sigma \alpha_{th} &= (4-2) \times 200 \\ &= 2 \times 200 \\ &= 400.0000 \text{ gon} \end{aligned} \]

Étape 3 : Fermeture angulaire

\[ \begin{aligned} f_{\alpha} &= \Sigma \alpha_{obs} - \Sigma \alpha_{th} \\ &= 399.9900 - 400.0000 \\ &= -0.0100 \text{ gon} \end{aligned} \]

Étape 4 : Correction unitaire

\[ \begin{aligned} C_{\alpha} &= -f_{\alpha} / n \\ &= -(-0.0100) / 4 \\ &= +0.0025 \text{ gon} \end{aligned} \]

Étape 5 : Angles compensés

\[ \begin{aligned} \alpha'_A &= \alpha_{obs,A} + C_{\alpha} \\ &= 105.1250 + 0.0025 \\ &= 105.1275 \text{ gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha'_B &= \alpha_{obs,B} + C_{\alpha} \\ &= 98.7650 + 0.0025 \\ &= 98.7675 \text{ gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha'_C &= \alpha_{obs,C} + C_{\alpha} \\ &= 92.3450 + 0.0025 \\ &= 92.3475 \text{ gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha'_D &= \alpha_{obs,D} + C_{\alpha} \\ &= 103.7550 + 0.0025 \\ &= 103.7575 \text{ gon} \end{aligned} \]

Vérification

\[ \begin{aligned} \Sigma \alpha' &= 105.1275 + 98.7675 + 92.3475 + 103.7575 \\ &= 400.0000 \text{ gon} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Les angles ont été légèrement ajustés (augmentés de 0.0025 gon chacun) pour que leur somme soit exactement 400 gon. Visuellement, la différence est imperceptible sur un schéma général.

Angles Internes Compensés (α')
Schéma montrant les angles internes compensés A B C D α'A α'B α'C α'D
Réflexions

La fermeture angulaire de -0.0100 gon (soit -1 cgon) est très faible, ce qui suggère des mesures angulaires de bonne qualité ou une coïncidence. La correction appliquée à chaque angle est minime (+0.0025 gon), ce qui est normal pour une faible fermeture et une répartition égale.

Points de vigilance

Vérifiez le signe de la fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\)) : s'il est négatif, la somme observée est plus petite que la somme théorique, et la correction (\(C_{\alpha}\)) sera positive (on ajoute à chaque angle). L'inverse est vrai si \(f_{\alpha}\) est positive. Vérifiez toujours que la somme des angles compensés est égale à la somme théorique.

Points à retenir
  • La somme théorique des angles internes d'un quadrilatère est 400 gon.
  • La fermeture angulaire se calcule par : Somme observée - Somme théorique.
  • La correction unitaire (répartition égale) est l'opposé de la fermeture divisé par le nombre de sommets (\(C_{\alpha} = -f_{\alpha} / n\)).
Le saviez-vous ?

Le grade (gon) est une unité d'angle où un angle droit mesure 100 gon et un cercle complet 400 gon. Il a été introduit en France après la Révolution pour décimaliser les mesures d'angle, facilitant les calculs par rapport aux degrés, minutes, secondes (système sexagésimal).

FAQ

Questions fréquentes sur la fermeture angulaire.

Que faire si la fermeture angulaire est très grande ?

Une fermeture importante (hors tolérance) indique généralement une erreur de mesure grossière (faute de lecture, mauvais point visé, erreur de notation...). Il faut alors identifier la ou les mesures suspectes et idéalement retourner sur le terrain pour les vérifier ou les refaire. Compensar une faute importante n'a pas de sens.

Existe-t-il d'autres méthodes de compensation angulaire ?

Oui, si l'on a des informations sur la précision de chaque mesure (par exemple, des longueurs de visées différentes, un nombre de séquences de mesure variable), on peut appliquer une compensation pondérée. Les angles mesurés avec moins de précision (variance plus élevée) reçoivent une correction plus importante. La méthode des moindres carrés réalise une compensation rigoureuse en tenant compte de toutes les variances.

Résultat Final
La fermeture angulaire est de -0.0100 gon. Les angles compensés sont : α'A = 105.1275 gon, α'B = 98.7675 gon, α'C = 92.3475 gon, α'D = 103.7575 gon.
A vous de jouer

Si la somme observée des angles d'un pentagone (5 côtés) était de 599.9850 gon, quelle serait la correction unitaire \(C_{\alpha}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

  • Somme théo. angles (\(n\) côtés): \((n-2) \times 200\) gon.
  • Fermeture \(f_{\alpha}\) = Σ obs - Σ théo.
  • Correction \(C_{\alpha} = -f_{\alpha} / n\).
  • Angle compensé \(\alpha' = \alpha_{obs} + C_{\alpha}\).

Question 2 : Calculer les gisements compensés de chaque côté.

Principe

Déterminer l'orientation de chaque côté du polygone par rapport à une direction de référence (le Nord Y), en se basant sur un gisement de départ connu et les angles internes préalablement compensés.

Mini-Cours

Le gisement est fondamental car il définit l'orientation dans le système de coordonnées. La transmission des gisements d'un côté au suivant se fait en ajoutant l'angle interne (si on tourne à droite) au sommet commun, puis en ajustant le résultat pour qu'il reste entre 0 et 400 gon (en ajoutant ou retirant 200 gon ou 400 gon si nécessaire).

Remarque Pédagogique

Le calcul des gisements est une chaîne : une erreur sur un gisement se répercute sur tous les suivants. Il est crucial d'utiliser les angles compensés (\(\alpha'\)) et de bien appliquer la règle d'ajustement modulaire (±200/400 gon). La vérification finale (retomber sur le gisement de départ après un tour complet) est essentielle pour valider cette étape.

Normes

Pas de norme spécifique pour le calcul lui-même, mais une convention forte : le gisement est généralement compté positivement dans le sens horaire à partir de la direction du Nord Y.

Formule(s)

Pour un cheminement tournant à droite (sens horaire des angles internes mesurés, \(\alpha'_i\) étant l'angle compensé au sommet i) :

\[ G_{i, i+1} = G_{i-1, i} + \alpha'_{i} \pm 200 \text{ gon} \]

L'opération \(\pm 200\) (ou \(\pm 400\)) est appliquée pour ramener le résultat dans l'intervalle [0 gon, 400 gon].

Hypothèses

On suppose que le gisement de départ G(AB) est correct (ou correctement orienté dans le système souhaité) et que les angles compensés \(\alpha'\) calculés à l'étape 1 sont exacts.

Donnée(s)

Gisement de départ G(AB) = 50.0000 gon. Angles compensés (gon) : α'A = 105.1275, α'B = 98.7675, α'C = 92.3475, α'D = 103.7575.

Astuces

Faites un schéma approximatif du cheminement et estimez l'orientation de chaque côté pour vérifier visuellement si les gisements calculés semblent cohérents (par exemple, un côté allant vers le Sud-Est devrait avoir un gisement entre 100 et 200 gon).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du gisement de départ G(AB) et de l'angle compensé α'B qui vont permettre de calculer le gisement suivant G'(BC).

Transmission des Gisements
Schéma illustrant le calcul des gisements N (Y) E (X) G(AB) A B C D α'B
Calcul(s)

Calcul de G'(BC)

\[ \begin{aligned} G'_{BC} &= G_{AB} + \alpha'_B \pm 200 \\ &= 50.0000 + 98.7675 \pm 200 \\ &= 148.7675 \text{ gon} \end{aligned} \]

Calcul de G'(CD)

\[ \begin{aligned} G'_{CD} &= G'_{BC} + \alpha'_C \pm 200 \\ &= 148.7675 + 92.3475 \pm 200 \\ &= 241.1150 \text{ gon} \end{aligned} \]

Calcul de G'(DA)

\[ \begin{aligned} G'_{DA} &= G'_{CD} + \alpha'_D \pm 200 \\ &= 241.1150 + 103.7575 \pm 200 \\ &= 344.8725 \text{ gon} \end{aligned} \]

Vérification de G(AB)

\[ \begin{aligned} G_{AB_{calc}} &= G'_{DA} + \alpha'_A \pm 200 \\ &= 344.8725 + 105.1275 \pm 200 \\ &= 450.0000 \text{ gon} \\ &= 450.0000 - 400 \\ &= 50.0000 \text{ gon} \quad (= G_{AB} \text{ initial}) \end{aligned} \]

La vérification est correcte.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation des gisements compensés (orientations par rapport au Nord) pour chaque côté du cheminement.

Gisements Compensés (G')
Schéma illustrant les gisements calculés N A B C D G'AB=50g G'BC≈149g G'CD≈241g G'DA≈345g
Réflexions

Les gisements obtenus sont cohérents avec un polygone tournant globalement dans le sens horaire. Le premier côté (AB) est dans le premier quadrant (Nord-Est), BC dans le deuxième (Sud-Est), CD dans le troisième (Sud-Ouest), et DA dans le quatrième (Nord-Ouest). La vérification finale confirme la cohérence des calculs et la bonne compensation des angles.

Points de vigilance

La formule de calcul du gisement dépend du sens de rotation des angles mesurés (gauche ou droite). Assurez-vous d'utiliser la bonne formule (\( G_{i, i+1} = G_{i-1, i} + \alpha'_{i} \pm 200 \) pour des angles internes mesurés à droite). Ne pas oublier d'ajouter ou soustraire 200 gon (ou 400 gon si nécessaire) pour ramener le gisement dans l'intervalle [0, 400 gon]. C'est une erreur fréquente.

Points à retenir
  • Formule de transmission des gisements (tournant à droite): \( G_{suivant} = G_{précédent} + \alpha'_{sommet} \pm 200 \).
  • Le calcul se fait de proche en proche, en utilisant les angles compensés.
  • La vérification finale en recalculant le gisement de départ (\(G_{AB}\) doit boucler exactement) est impérative.
Le saviez-vous ?

En topographie, on peut aussi utiliser un gisement "initial" arbitraire (par exemple, G(AB)=0) si aucun gisement de départ n'est connu par rapport au Nord. Les coordonnées calculées seront alors dans un système local, mais la forme et les dimensions relatives du cheminement seront correctes.

FAQ

Questions fréquentes sur le calcul des gisements.

Que signifie "ajouter ou soustraire 200 gon" ?

Quand on ajoute l'angle interne (inférieur à 400 gon) au gisement précédent (entre 0 et 400 gon), la somme peut dépasser 400 ou être dans un intervalle qui ne correspond pas à la géométrie. La règle \( \pm 200 \) (parfois \( \pm 400 \)) est une opération modulaire pour ramener le résultat dans la plage [0, 400 gon] tout en respectant l'orientation géométrique. Pratiquement : si \(G + \alpha' < 200\), on ajoute 200. Si \(200 \le G + \alpha' < 600\), on soustrait 200. Si \(G + \alpha' \ge 600\), on soustrait 600.

Et si mes angles étaient mesurés à gauche (sens anti-horaire) ?

Si les angles \(\alpha'\) sont mesurés dans le sens anti-horaire (tournant à gauche), la formule de transmission devient : \( G_{i, i+1} = G_{i-1, i} - \alpha'_{i} \pm 200 \text{ gon} \). Il faut être très attentif à la convention de mesure des angles.

Résultat Final
Les gisements compensés sont : G'(AB) = 50.0000 gon, G'(BC) = 148.7675 gon, G'(CD) = 241.1150 gon, G'(DA) = 344.8725 gon.
A vous de jouer

Si G(MN) = 120.0000 gon et l'angle interne compensé au sommet N (tournant à droite) est α'N = 110.0000 gon, quel est le gisement G'(NP) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

  • Transmission (droite): \( G_{i, i+1} = G_{i-1, i} + \alpha'_{i} \pm 200 \).
  • Ajuster pour rester dans [0, 400 gon].
  • Vérifier le retour au gisement initial.

Question 3 : Calculer les coordonnées partielles brutes (ΔX, ΔY).

Principe

Calculer, pour chaque côté du cheminement, son déplacement projeté sur l'axe des X (Est) et sur l'axe des Y (Nord). Ces projections utilisent les gisements (orientations) compensés et les distances horizontales mesurées.

Mini-Cours

Les coordonnées partielles (ou projections) sont la base du calcul des coordonnées absolues. Elles transforment les mesures polaires (longueur, gisement) en composantes cartésiennes (ΔX, ΔY). Dans un système où Y est le Nord et X l'Est, et où le gisement G est compté depuis le Nord dans le sens horaire : ΔX = L * sin(G) et ΔY = L * cos(G).

Remarque Pédagogique

Soyez très méthodique dans ce calcul, car il est répétitif et source d'erreurs (signes, inversion sin/cos, conversion d'unités d'angle). L'utilisation d'un tableau est fortement recommandée pour organiser les données (Côté | Longueur L | Gisement G' | sin(G') | cos(G') | ΔX = L*sin(G') | ΔY = L*cos(G')) pour chaque côté.

Normes

Les axes X et Y doivent être clairement définis (conventionnellement X vers l'Est, Y vers le Nord). Le système angulaire (grades ou degrés) doit être cohérent avec les fonctions trigonométriques utilisées (la plupart des calculatrices/logiciels utilisent des radians).

Formule(s)
\[ \Delta X = L \times \sin(G') \]
\[ \Delta Y = L \times \cos(G') \]

Note importante : Les fonctions trigonométriques (\(\sin, \cos\)) des calculatrices standard et des langages de programmation attendent généralement un angle en radians. Il faut donc convertir le gisement \(G'\) (en grades) avant le calcul : \( G'_{\text{radians}} = G'_{\text{grades}} \times \frac{\pi}{200} \).

Hypothèses

Les distances horizontales mesurées (L) sont considérées comme correctes à ce stade (avant compensation linéaire). Les gisements utilisés sont les gisements compensés (\(G'\)) calculés à l'étape 2.

Donnée(s)

Distances (m) : L(AB) = 45.67, L(BC) = 52.89, L(CD) = 48.23, L(DA) = 55.11. Gisements compensés (gon) : G'(AB)=50.0000, G'(BC)=148.7675, G'(CD)=241.1150, G'(DA)=344.8725.

Astuces

Vérifiez le signe attendu de sin(G') et cos(G') en fonction du quadrant du gisement pour détecter des erreurs de signe grossières :

  • Quadrant 1 (0-100 gon): ΔX +, ΔY +
  • Quadrant 2 (100-200 gon): ΔX +, ΔY -
  • Quadrant 3 (200-300 gon): ΔX -, ΔY -
  • Quadrant 4 (300-400 gon): ΔX -, ΔY +

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation d'un côté (ex: AB) avec sa longueur L et son gisement G', montrant comment les projections ΔX et ΔY sont obtenues par trigonométrie dans le triangle rectangle formé.

Calcul de ΔX et ΔY pour un côté
Illustration calcul delta X delta Y N (Y) E (X) A B L G' ΔX = L.sinG' ΔY = L.cosG'
Calcul(s)

Calcul pour AB (G'=50.00 gon, L=45.67 m):

\[ \begin{aligned} \Delta X_{AB} &= 45.67 \times \sin(50.0000 \times \pi/200) \\ &= 45.67 \times 0.707107 \\ &= +32.293 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{AB} &= 45.67 \times \cos(50.0000 \times \pi/200) \\ &= 45.67 \times 0.707107 \\ &= +32.293 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour BC (G'=148.7675 gon, L=52.89 m):

\[ \begin{aligned} \Delta X_{BC} &= 52.89 \times \sin(148.7675 \times \pi/200) \\ &= 52.89 \times 0.723146 \\ &= +38.245 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{BC} &= 52.89 \times \cos(148.7675 \times \pi/200) \\ &= 52.89 \times (-0.690695) \\ &= -36.530 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour CD (G'=241.1150 gon, L=48.23 m):

\[ \begin{aligned} \Delta X_{CD} &= 48.23 \times \sin(241.1150 \times \pi/200) \\ &= 48.23 \times (-0.890125) \\ &= -42.931 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{CD} &= 48.23 \times \cos(241.1150 \times \pi/200) \\ &= 48.23 \times (-0.455708) \\ &= -21.980 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul pour DA (G'=344.8725 gon, L=55.11 m):

\[ \begin{aligned} \Delta X_{DA} &= 55.11 \times \sin(344.8725 \times \pi/200) \\ &= 55.11 \times (-0.424687) \\ &= -23.404 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{DA} &= 55.11 \times \cos(344.8725 \times \pi/200) \\ &= 55.11 \times 0.905349 \\ &= +49.890 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Les calculs donnent les composantes ΔX et ΔY pour chaque côté. On peut les visualiser comme des vecteurs de déplacement reliant les sommets successifs.

Composantes ΔX, ΔY Brutes
Vecteurs Delta X Delta Y A B ΔXab > 0 ΔYab > 0 C D ΔXcd < 0 ΔYcd < 0
Réflexions

Les signes des ΔX et ΔY obtenus sont cohérents avec les quadrants des gisements utilisés. Ces valeurs représentent les déplacements bruts entre stations, avant toute compensation pour l'erreur de fermeture linéaire qui sera calculée à l'étape suivante.

Points de vigilance

La principale source d'erreur ici est la conversion d'angle : ne pas oublier de convertir les gisements en radians (\(G' \times \pi / 200\)) avant d'utiliser les fonctions trigonométriques standard. Vérifiez également que votre calculatrice est bien en mode radian ou utilisez les fonctions appropriées si elle gère les grades. Une inversion entre sinus et cosinus est aussi une erreur classique.

Points à retenir
  • Formules : ΔX = L * sin(G'), ΔY = L * cos(G').
  • Le gisement G' doit être converti en radians pour les fonctions sin/cos standard.
  • Les signes de ΔX et ΔY dépendent du quadrant du gisement.
  • Ces ΔX, ΔY sont "bruts", ils contiennent encore les erreurs de mesure.
Le saviez-vous ?

Historiquement, les topographes utilisaient des tables trigonométriques très détaillées (comme les tables de Bouvart et Ratinet en France) et des règles à calcul pour effectuer ces multiplications avant l'avènement des calculatrices électroniques. Les calculs étaient longs et fastidieux.

FAQ

Questions fréquentes sur les coordonnées partielles.

Pourquoi utilise-t-on sinus pour ΔX et cosinus pour ΔY ?

Cela vient de la définition du gisement (G) comme l'angle compté à partir de l'axe Y (Nord) dans le sens horaire. Dans le triangle rectangle formé par le déplacement L, l'axe Y et l'axe X, ΔY est le côté adjacent à l'angle G (donc L*cos(G)) et ΔX est le côté opposé (donc L*sin(G)). C'est l'inverse de la convention trigonométrique usuelle où l'angle est compté depuis l'axe X.

Quelle précision garder pour ΔX et ΔY ?

Il est conseillé de garder une décimale de plus que la précision des distances mesurées (ici, 3 décimales car les longueurs sont au cm près) pour limiter les erreurs d'arrondi dans les étapes suivantes (calcul de fermeture et compensation).

Résultat Final
Coordonnées partielles brutes (m) : ΔXab=+32.293, ΔYab=+32.293; ΔXbc=+38.245, ΔYbc=-36.530; ΔXcd=-42.931, ΔYcd=-21.980; ΔXda=-23.404, ΔYda=+49.890.
A vous de jouer

Si L(EF) = 100.00 m et G'(EF) = 250.0000 gon, calculez ΔXef et ΔYef (arrondis à 3 décimales).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

  • ΔX = L * sin(G' [rad])
  • ΔY = L * cos(G' [rad])
  • Attention aux signes et conversion d'angle.
  • Garder une précision suffisante.

Question 4 : Calculer la fermeture linéaire (fx, fy) et l'erreur de fermeture linéaire totale (fL).

Principe

Vérifier la cohérence géométrique du cheminement en termes de position. En additionnant tous les déplacements partiels (ΔX, ΔY) calculés, on devrait théoriquement revenir exactement au point de départ (somme nulle). L'écart constaté est l'erreur de fermeture linéaire.

Mini-Cours

La fermeture linéaire (\(f_x = \Sigma \Delta X\), \(f_y = \Sigma \Delta Y\)) représente le vecteur erreur entre le point de départ A et le point A' recalculé après avoir parcouru toute la boucle. La norme de ce vecteur, \(f_L = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\), quantifie l'erreur globale de position. Cette valeur est un indicateur clé de la qualité combinée des mesures angulaires et linéaires.

Remarque Pédagogique

Le calcul de \(f_L\) est essentiel pour valider le cheminement. Il doit être comparé à une tolérance réglementaire ou définie par le projet. Si la fermeture est hors tolérance, une compensation n'est généralement pas justifiée et il faut rechercher la source de l'erreur (faute de mesure ou de calcul).

Normes

Les tolérances sur \(f_L\) (Tolérance Linéaire) sont souvent exprimées par rapport au périmètre total \( \Sigma L \) du cheminement. Par exemple, pour un cheminement de précision courante, on pourrait exiger \( f_L \le 0.05 \sqrt{\Sigma L} \) ou \( f_L \le 0.001 \times \Sigma L \) (ces valeurs sont indicatives). La précision relative \( f_L / \Sigma L \) est aussi un critère (ex: doit être meilleure que 1/2000).

Formule(s)
\[ f_x = \Sigma \Delta X = \Delta X_{AB} + \Delta X_{BC} + \Delta X_{CD} + \Delta X_{DA} \]
\[ f_y = \Sigma \Delta Y = \Delta Y_{AB} + \Delta Y_{BC} + \Delta Y_{CD} + \Delta Y_{DA} \]
\[ f_L = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \]
Hypothèses

On utilise les coordonnées partielles brutes (\(\Delta X, \Delta Y\)) calculées à l'étape 3, qui intègrent les erreurs de mesure (après compensation angulaire).

Donnée(s)

Coordonnées partielles brutes (m) issues de Q3 : ΔXab=+32.293, ΔYab=+32.293; ΔXbc=+38.245, ΔYbc=-36.530; ΔXcd=-42.931, ΔYcd=-21.980; ΔXda=-23.404, ΔYda=+49.890.

Astuces

Utilisez la fonction "somme" de votre calculatrice ou tableur pour calculer \(f_x\) et \(f_y\), en faisant attention aux signes de chaque terme. Pour \(f_L\), utilisez la fonction racine carrée (\(\sqrt{}\) ou SQRT).

Schéma (Avant les calculs)

Le cheminement calculé à partir des mesures brutes (avec angles compensés) ne revient pas exactement au point de départ A, mais aboutit à un point A'. Le vecteur AA' représente la fermeture linéaire, avec ses composantes fx et fy.

Visualisation de la Fermeture Linéaire
Schéma Fermeture Linéaire A A' fx = ΣΔX fy = ΣΔY fL
Calcul(s)

Somme des ΔX

\[ \begin{aligned} f_x &= (+32.293) + (+38.245) + (-42.931) + (-23.404) \\ &= 70.538 - 66.335 \\ &= +4.203 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des ΔY

\[ \begin{aligned} f_y &= (+32.293) + (-36.530) + (-21.980) + (+49.890) \\ &= 82.183 - 58.510 \\ &= +23.673 \text{ m} \end{aligned} \]

Erreur de fermeture linéaire totale

\[ \begin{aligned} f_L &= \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \\ &= \sqrt{(+4.203)^2 + (+23.673)^2} \\ &= \sqrt{17.665 + 560.409} \\ &= \sqrt{578.074} \\ &\approx 24.043 \text{ m} \end{aligned} \]

Note : Cette fermeture est volontairement très importante pour l'exercice et dépasserait largement les tolérances habituelles en pratique.

Périmètre total (pour information)

\[ \begin{aligned} \Sigma L &= 45.67 + 52.89 + 48.23 + 55.11 \\ &= 201.90 \text{ m} \end{aligned} \]

Précision relative (pour information)

\[ \text{Précision} = \frac{f_L}{\Sigma L} = \frac{24.043}{201.90} \approx 0.119 \approx \frac{1}{8.4} \]
Schéma (Après les calculs)

Le vecteur fermeture fL a été calculé en norme (24.043 m). Ses composantes (fx=+4.203 m, fy=+23.673 m) indiquent un décalage global important du point d'arrivée A' par rapport au point de départ A, principalement vers le Nord (Y positif) et un peu vers l'Est (X positif).

Vecteur Fermeture Calculé
Vecteur Fermeture fL A A' fL ≈ 24m fx=+4.2m fy=+23.7m
Réflexions

Une fermeture de 24 mètres sur un périmètre d'environ 202 mètres (précision relative de 1/8.4) est extrêmement mauvaise pour un travail topographique standard. Cela signale quasi certainement une faute majeure dans les données (une mesure d'angle ou de distance erronée, une erreur de saisie...). Dans un cas réel, il faudrait impérativement identifier et corriger la source de cette erreur avant de procéder à la compensation. Nous continuons ici à titre purement pédagogique.

Points de vigilance

Attention aux signes lors de la sommation des ΔX et ΔY. Une erreur de signe ici fausserait l'amplitude et la direction de la fermeture, et par conséquent toute la compensation ultérieure. Vérifiez vos additions !

Points à retenir
  • Les fermetures \(f_x = \Sigma \Delta X\) et \(f_y = \Sigma \Delta Y\) représentent l'erreur de fermeture en coordonnées.
  • L'erreur totale \(f_L = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\) quantifie l'écart global.
  • La fermeture linéaire doit être comparée aux tolérances admises pour valider le levé.
Le saviez-vous ?

La précision relative (parfois exprimée comme l'inverse : \( \Sigma L / f_L \)) est un indicateur couramment utilisé pour juger de la qualité d'un cheminement. Par exemple, une précision de 1/5000 (ou \( 2 \times 10^{-4} \)) signifie que l'erreur de fermeture est 5000 fois plus petite que le périmètre total parcouru.

FAQ

Questions fréquentes sur la fermeture linéaire.

Quelles sont les causes possibles d'une grande fermeture linéaire ?

Les causes peuvent être multiples : une erreur grossière (faute) dans une mesure d'angle ou de distance, une erreur de saisie des données, un mauvais calage de l'instrument sur une station, l'instabilité d'un point visé, des conditions atmosphériques (réfraction, température) affectant fortement les mesures de distance optiques ou électroniques, etc. Une fermeture aussi grande que dans cet exemple pointe généralement vers une faute plutôt qu'une accumulation d'erreurs aléatoires.

Quelle est une tolérance typique ?

Cela dépend grandement du type de travail. Pour un cheminement de précision courante en milieu urbain, une tolérance de l'ordre de \( f_L \le 0.05 + 0.0001 \times \Sigma L \) (en mètres) pourrait être envisagée. Pour des travaux de haute précision, les exigences sont bien plus strictes.

Résultat Final
La fermeture linéaire est fx = +4.203 m et fy = +23.673 m. L'erreur de fermeture linéaire totale est fL = 24.043 m.
A vous de jouer

Si fx = -0.06 m et fy = +0.08 m, quelle est la valeur de fL ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

  • Calculer \(f_x = \Sigma \Delta X\) et \(f_y = \Sigma \Delta Y\).
  • Calculer \(f_L = \sqrt{f_x^2 + f_y^2}\).
  • Comparer \(f_L\) à la tolérance pour valider.

Question 5 : Calculer les corrections Cx et Cy par la méthode proportionnelle aux longueurs.

Principe

Répartir les erreurs de fermeture \(f_x\) et \(f_y\) sur les coordonnées partielles de chaque côté, afin que la somme des coordonnées partielles corrigées soit nulle. La méthode proportionnelle aux longueurs attribue une correction à chaque côté en fonction de sa longueur relative par rapport au périmètre total.

Mini-Cours

La méthode de compensation proportionnelle aux longueurs (aussi appelée méthode du compas ou règle de Bowditch) est l'une des plus simples et courantes. Elle suppose que les erreurs de position sont principalement dues aux mesures de distances ou que l'effet combiné des erreurs angulaires et de distance se traduit par une erreur proportionnelle à la longueur parcourue. Les corrections \(C_x, C_y\) sont de signe opposé à \(f_x, f_y\).

Remarque Pédagogique

Cette étape vise à "annuler" mathématiquement l'erreur de fermeture en la distribuant sur tous les segments du cheminement. La somme des corrections \( \Sigma C_x \) doit être exactement égale à \(-f_x\), et \( \Sigma C_y = -f_y \). C'est une vérification cruciale de vos calculs de correction.

Normes

Cette méthode est classiquement enseignée et largement acceptée pour la compensation de cheminements polygonaux de précision courante, à condition que la fermeture initiale soit dans les tolérances admises.

Formule(s)
\[ \Sigma L = \sum_{i=1}^{n} L_{i, i+1} \quad (\text{Périmètre total}) \]
\[ C_{x_{i, i+1}} = -f_x \times \frac{L_{i, i+1}}{\Sigma L} \quad (\text{Correction en X pour le côté i, i+1}) \]
\[ C_{y_{i, i+1}} = -f_y \times \frac{L_{i, i+1}}{\Sigma L} \quad (\text{Correction en Y pour le côté i, i+1}) \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale de cette méthode est que les erreurs de position se répartissent proportionnellement aux longueurs des côtés du cheminement.

Donnée(s)

Fermetures (Q4) : fx=+4.203 m, fy=+23.673 m. Longueur totale (Q4) : ΣL = 201.90 m. Longueurs individuelles (énoncé) : L(AB)=45.67, L(BC)=52.89, L(CD)=48.23, L(DA)=55.11.

Astuces

Calculez d'abord le rapport \( L / \Sigma L \) pour chaque côté (la somme de ces rapports doit faire 1). Ensuite, multipliez chaque rapport par \(-f_x\) pour obtenir \(C_x\) et par \(-f_y\) pour obtenir \(C_y\). Conservez suffisamment de décimales dans les calculs intermédiaires pour que la somme finale des corrections (\(\Sigma C_x\) et \(\Sigma C_y\)) corresponde bien à \(-f_x\) et \(-f_y\).

Schéma (Avant les calculs)

Le vecteur fermeture AA' (fx, fy) doit être annulé. On va calculer des petits vecteurs de correction (-Cx, -Cy) pour chaque côté, dont la somme vectorielle sera égale à A'A (-fx, -fy).

Principe de la Compensation Linéaire
Principe Compensation Linéaire A A' fL=(fx,fy) Corrections (Cx, Cy) Σ(Cx,Cy) = (-fx, -fy)
Calcul(s)

Calcul des rapports \(L/\Sigma L\):

\[ \frac{L_{AB}}{\Sigma L} = \frac{45.67}{201.90} \approx 0.22620 \]
\[ \frac{L_{BC}}{\Sigma L} = \frac{52.89}{201.90} \approx 0.26196 \]
\[ \frac{L_{CD}}{\Sigma L} = \frac{48.23}{201.90} \approx 0.23888 \]
\[ \frac{L_{DA}}{\Sigma L} = \frac{55.11}{201.90} \approx 0.27296 \]

(Vérification somme des rapports : 0.22620 + 0.26196 + 0.23888 + 0.27296 = 1.00000)

Calcul des corrections pour AB :

\[ \begin{aligned} C_{xAB} &= -f_x \times \frac{L_{AB}}{\Sigma L} \\ &= -(+4.203) \times 0.22620 \\ &= -0.950 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C_{yAB} &= -f_y \times \frac{L_{AB}}{\Sigma L} \\ &= -(+23.673) \times 0.22620 \\ &= -5.353 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des corrections pour BC :

\[ \begin{aligned} C_{xBC} &= -(+4.203) \times 0.26196 \\ &= -1.101 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C_{yBC} &= -(+23.673) \times 0.26196 \\ &= -6.202 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des corrections pour CD :

\[ \begin{aligned} C_{xCD} &= -(+4.203) \times 0.23888 \\ &= -1.004 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C_{yCD} &= -(+23.673) \times 0.23888 \\ &= -5.657 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul des corrections pour DA :

\[ \begin{aligned} C_{xDA} &= -(+4.203) \times 0.27296 \\ &= -1.148 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C_{yDA} &= -(+23.673) \times 0.27296 \\ &= -6.467 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérification des sommes

\[ \begin{aligned} \Sigma C_x &= (-0.950) + (-1.101) + (-1.004) + (-1.148) \\ &= -4.203 \\ &= -f_x \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Sigma C_y &= (-5.353) + (-6.202) + (-5.657) + (-6.467) \\ &= -23.679 \\ &\approx -f_y \text{ (OK aux arrondis)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Chaque vecteur de coordonnée partielle brute (ΔX, ΔY) va être corrigé par le vecteur (Cx, Cy) calculé spécifiquement pour ce côté.

Vecteurs Corrections (Cx, Cy)
Vecteur Correction P_i (P_i+1)brut (Cx, Cy) (P_i+1)comp (ΔX', ΔY')
Réflexions

Les corrections calculées sont importantes, ce qui est logique étant donné la très grande fermeture initiale. Elles sont toutes négatives car les fermetures fx et fy étaient positives (la compensation doit "ramener" le point A' vers A). On remarque que les côtés les plus longs (DA et BC) reçoivent logiquement les corrections les plus importantes en valeur absolue.

Points de vigilance

Attention aux signes : les corrections \(C_x\) et \(C_y\) ont toujours le signe opposé aux fermetures \(f_x\) et \(f_y\). Vérifiez impérativement que la somme des corrections calculées (\(\Sigma C_x\) et \(\Sigma C_y\)) est bien égale à l'opposé des fermetures correspondantes (\(-f_x\) et \(-f_y\)), aux erreurs d'arrondi près. C'est le contrôle clé de cette étape.

Points à retenir
  • La méthode répartit l'erreur proportionnellement aux longueurs des côtés.
  • Formules : \( C_x = -f_x \times (L / \Sigma L) \) et \( C_y = -f_y \times (L / \Sigma L) \).
  • La somme des corrections doit annuler la fermeture : \( \Sigma C_x = -f_x \) et \( \Sigma C_y = -f_y \).
Le saviez-vous ?

Nathaniel Bowditch, un mathématicien et navigateur américain, a popularisé cette méthode de compensation (connue sous son nom dans le monde anglo-saxon) au début du 19ème siècle, notamment pour ajuster les relevés de navigation maritime.

FAQ

Questions fréquentes sur la compensation linéaire.

Pourquoi compenser si la fermeture est hors tolérance (comme ici) ?

Dans une situation professionnelle réelle, on ne compenserait JAMAIS une fermeture aussi grande sans avoir trouvé et corrigé la faute (erreur grossière) à l'origine de l'écart. La compensation n'a de sens que pour répartir les petites erreurs aléatoires inévitables lorsque la fermeture est jugée acceptable (inférieure à la tolérance). Nous effectuons le calcul ici uniquement à titre pédagogique pour illustrer le processus complet.

Cette méthode est-elle toujours la meilleure ?

Non, elle est simple mais pas la plus rigoureuse. Si les angles ont été mesurés avec une précision très différente des distances, ou si certaines mesures sont plus fiables que d'autres, des méthodes pondérées ou la méthode des moindres carrés (qui prend en compte la variance de chaque mesure) donnent des résultats théoriquement meilleurs.

Résultat Final
Corrections (en m) : CxAB=-0.950, CyAB=-5.353; CxBC=-1.101, CyBC=-6.202; CxCD=-1.004, CyCD=-5.657; CxDA=-1.148, CyDA=-6.467.
A vous de jouer

Si fx = +0.10m, fy = -0.20m, ΣL = 500m et L(PQ) = 100m, quelles sont les corrections Cx(PQ) et Cy(PQ) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

  • Calculer \( \Sigma L \).
  • Calculer \( C_x = -f_x \times (L / \Sigma L) \).
  • Calculer \( C_y = -f_y \times (L / \Sigma L) \).
  • Vérifier \( \Sigma C_x = -f_x \) et \( \Sigma C_y = -f_y \).

Question 6 : Calculer les coordonnées compensées (X, Y) des stations B, C et D. Vérifier A.

Principe

Obtenir les coordonnées définitives de chaque station du cheminement. D'abord, on calcule les coordonnées partielles compensées (\(\Delta X', \Delta Y'\)) en ajoutant les corrections (\(C_x, C_y\)) aux coordonnées partielles brutes (\(\Delta X, \Delta Y\)). Ensuite, on calcule les coordonnées absolues de chaque point de proche en proche, en partant des coordonnées connues du point A et en additionnant successivement les \(\Delta X'\) et \(\Delta Y'\) compensés.

Mini-Cours

Le calcul final des coordonnées est l'aboutissement du cheminement. Il fournit les positions X, Y de chaque station dans le système de référence choisi, après répartition des erreurs de mesure via la compensation. La somme des \(\Delta X'\) et la somme des \(\Delta Y'\) doivent être nulles (aux arrondis près), garantissant la fermeture géométrique du polygone compensé.

Remarque Pédagogique

Cette dernière étape est cruciale et nécessite de la rigueur dans les additions. La vérification finale (calcul des coordonnées du point de départ A à partir du dernier point D et du dernier segment DA) est indispensable : on doit impérativement retrouver les coordonnées initiales de A (aux erreurs d'arrondi près) pour valider l'ensemble du calcul de compensation et de coordonnées.

Normes

Les coordonnées finales doivent être présentées avec une précision (nombre de décimales) cohérente avec celle des mesures initiales et des besoins du projet (généralement au millimètre ou au centimètre près en topographie courante).

Formule(s)

Coordonnées partielles compensées

\[ \Delta X'_{i, i+1} = \Delta X_{i, i+1} + C_{x_{i, i+1}} \]
\[ \Delta Y'_{i, i+1} = \Delta Y_{i, i+1} + C_{y_{i, i+1}} \]

Calcul des coordonnées absolues

\[ X_{i+1} = X_i + \Delta X'_{i, i+1} \]
\[ Y_{i+1} = Y_i + \Delta Y'_{i, i+1} \]
Hypothèses

Les coordonnées du point de départ A (Xa, Ya) sont considérées comme exactes dans le système de référence. Les corrections \(C_x, C_y\) calculées à l'étape 5 sont correctes et leur somme annule bien la fermeture (\(\Sigma C_x = -f_x, \Sigma C_y = -f_y\)).

Donnée(s)

Coordonnées de départ Xa=1000.000, Ya=500.000. Coordonnées partielles brutes (Q3). Corrections (Q5).

Astuces

Utiliser un tableau pour suivre le calcul est très fortement recommandé : Point | X | Y | Côté | ΔX | Cx | ΔX' | ΔY | Cy | ΔY'. Calculez d'abord toutes les ΔX' et ΔY', vérifiez que leur somme est nulle, puis calculez les X et Y de proche en proche. Enfin, effectuez le dernier calcul (de D vers A) comme une vérification.

Schéma (Avant les calculs)

Le point A est connu. On va ajouter le vecteur compensé (ΔX'ab, ΔY'ab) pour trouver B, puis ajouter (ΔX'bc, ΔY'bc) à B pour trouver C, etc., jusqu'à revenir en A.

Calcul de Proche en Proche
Calcul Coordonnées Proche en Proche A (Connu) B = A + (ΔX'ab, ΔY'ab) (ΔX'ab, ΔY'ab) C = B + (ΔX'bc, ΔY'bc) (ΔX'bc, ΔY'bc)
Calcul(s)

Étape 1 : Coordonnées partielles compensées (ΔX', ΔY')

\[ \begin{aligned} \Delta X'_{AB} &= \Delta X_{AB} + C_{xAB} \\ &= 32.293 + (-0.950) \\ &= +31.343 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y'_{AB} &= \Delta Y_{AB} + C_{yAB} \\ &= 32.293 + (-5.353) \\ &= +26.940 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta X'_{BC} &= \Delta X_{BC} + C_{xBC} \\ &= 38.245 + (-1.101) \\ &= +37.144 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y'_{BC} &= \Delta Y_{BC} + C_{yBC} \\ &= -36.530 + (-6.202) \\ &= -42.732 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta X'_{CD} &= \Delta X_{CD} + C_{xCD} \\ &= -42.931 + (-1.004) \\ &= -43.935 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y'_{CD} &= \Delta Y_{CD} + C_{yCD} \\ &= -21.980 + (-5.657) \\ &= -27.637 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta X'_{DA} &= \Delta X_{DA} + C_{xDA} \\ &= -23.404 + (-1.148) \\ &= -24.552 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y'_{DA} &= \Delta Y_{DA} + C_{yDA} \\ &= 49.890 + (-6.467) \\ &= +43.423 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérification des sommes

\[ \begin{aligned} \Sigma \Delta X' &= 31.343 + 37.144 - 43.935 - 24.552 \\ &= 68.487 - 68.487 \\ &= 0.000 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Sigma \Delta Y' &= 26.940 - 42.732 - 27.637 + 43.423 \\ &= 70.363 - 70.369 \\ &= -0.006 \approx 0 \text{ (OK aux arrondis)} \end{aligned} \]

Étape 2 : Coordonnées compensées finales

\[ X_A = 1000.000 \quad | \quad Y_A = 500.000 \]
\[ \begin{aligned} X_B &= X_A + \Delta X'_{AB} \\ &= 1000.000 + 31.343 \\ &= 1031.343 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_B &= Y_A + \Delta Y'_{AB} \\ &= 500.000 + 26.940 \\ &= 526.940 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_C &= X_B + \Delta X'_{BC} \\ &= 1031.343 + 37.144 \\ &= 1068.487 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_C &= Y_B + \Delta Y'_{BC} \\ &= 526.940 + (-42.732) \\ &= 484.208 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_D &= X_C + \Delta X'_{CD} \\ &= 1068.487 + (-43.935) \\ &= 1024.552 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_D &= Y_C + \Delta Y'_{CD} \\ &= 484.208 + (-27.637) \\ &= 456.571 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérification retour en A

\[ \begin{aligned} X_{A_{calc}} &= X_D + \Delta X'_{DA} \\ &= 1024.552 + (-24.552) \\ &= 1000.000 = X_A \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{A_{calc}} &= Y_D + \Delta Y'_{DA} \\ &= 456.571 + 43.423 \\ &= 499.994 \approx Y_A \text{ (OK aux arrondis)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le cheminement final, géométriquement fermé, avec les positions X, Y calculées pour chaque station B, C, et D par rapport à A.

Cheminement Compensé Final
Schéma cheminement compensé A(1000,500) B(1031,527) C(1068,484) D(1025,457)
Réflexions

Le calcul de proche en proche a permis d'obtenir les coordonnées de toutes les stations intermédiaires. La vérification finale, où l'on retombe sur les coordonnées de départ de A (à 6 mm près en Y dus aux arrondis), confirme que la compensation linéaire a été correctement appliquée et que l'ensemble du calcul est cohérent.

Points de vigilance

Attention aux erreurs d'addition ou de soustraction lors du calcul de proche en proche (\(X_{i+1} = X_i + \Delta X'_{i, i+1}\), etc.). Une seule erreur fausse toutes les coordonnées suivantes. La vérification finale (\(X_A = X_D + \Delta X'_{DA}\), \(Y_A = Y_D + \Delta Y'_{DA}\)) est donc absolument capitale pour s'assurer de la justesse de tous les calculs de coordonnées.

Points à retenir
  • Calculer les projections compensées : \(\Delta X' = \Delta X + C_x\) et \(\Delta Y' = \Delta Y + C_y\).
  • Vérifier que les sommes \(\Sigma \Delta X' = 0 \) et \( \Sigma \Delta Y' = 0 \) (aux arrondis près).
  • Calculer les coordonnées absolues de proche en proche : \( Point_{i+1} = Point_i + (\Delta X', \Delta Y')_{i, i+1} \).
  • Vérifier impérativement le retour aux coordonnées du point de départ A.
Le saviez-vous ?

Les calculs de cheminement sont aujourd'hui largement automatisés par les carnets de terrain électroniques et les logiciels de topographie (comme Topcon Tools, Trimble Business Center, Leica Infinity, ou des logiciels CAO/DAO comme COVADIS/Mensura sur AutoCAD/BricsCAD). Cependant, comprendre la méthode manuelle reste essentiel pour interpréter correctement les résultats, paramétrer les logiciels et détecter les éventuelles erreurs ou incohérences.

FAQ

Questions fréquentes sur les coordonnées finales.

Quelle est la précision finale des coordonnées calculées ?

La précision dépend de la qualité des mesures initiales (angles et distances) et de la méthode de compensation. Même après compensation, les coordonnées ne sont pas "parfaites" ; elles ont une incertitude résiduelle. L'estimation rigoureuse de cette incertitude (par exemple, via le calcul d'ellipses de confiance autour de chaque point) relève de méthodes plus avancées comme le calcul par moindres carrés, qui prend en compte la variance de chaque mesure.

Pourquoi y a-t-il une petite différence (6 mm en Y) lors de la vérification du retour en A ?

Cela est dû aux erreurs d'arrondi accumulées tout au long des calculs (gisements, sinus/cosinus, ΔX/ΔY, corrections, additions successives). En gardant plus de décimales dans les calculs intermédiaires, cet écart serait réduit. Un écart de quelques millimètres est généralement acceptable pour des calculs manuels ou avec une précision limitée.

Résultat Final
Les coordonnées compensées sont (en m) : A(1000.000, 500.000), B(1031.343, 526.940), C(1068.487, 484.208), D(1024.552, 456.571). La vérification du retour en A est satisfaisante aux arrondis près.
A vous de jouer

Si les coordonnées de départ de A étaient (2000 m, 3000 m), quelles seraient les nouvelles coordonnées de C ? (Utilisez les mêmes ΔX', ΔY' calculés).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q6 :

  • Calculer \(\Delta X' = \Delta X + C_x\) et \(\Delta Y' = \Delta Y + C_y\).
  • Vérifier \(\Sigma \Delta X' = 0\) et \(\Sigma \Delta Y' = 0\).
  • Calculer \(X_{i+1} = X_i + \Delta X'_{i, i+1}\), \(Y_{i+1} = Y_i + \Delta Y'_{i, i+1}\).
  • Vérifier le retour au point de départ A.

Outil Interactif : Influence du point de départ

Ajustez les coordonnées de départ du point A et observez comment les coordonnées finales des autres points sont modifiées. Notez que la forme et les dimensions du cheminement (les ΔX' et ΔY') restent identiques, seule sa position absolue change.

Coordonnées de départ A
1000 m
500 m
Coordonnées Compensées Calculées
Point B (X; Y) - ; -
Point C (X; Y) - ; -
Point D (X; Y) - ; -
Retour A calculé (X; Y) - ; -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la somme théorique des angles internes (en grades) d'un cheminement fermé à 6 sommets ?

2. Si la somme des ΔX (fx) est +0.05 m et la somme des ΔY (fy) est -0.12 m, quelle est l'erreur de fermeture linéaire fL ?

3. Dans la méthode de compensation proportionnelle aux longueurs, la correction sur ΔX pour un côté est :

4. Comment calcule-t-on ΔY (projection sur l'axe Nord) entre les points M et N, connaissant la longueur L_MN et le gisement G_MN (angle depuis le Nord) ?

5. Après compensation linéaire réussie d'un cheminement fermé, que doit valoir idéalement la somme des ΔX' compensés (Σ ΔX') ?

Glossaire

Cheminement Fermé
Parcours polygonal effectué par un topographe, partant d'un point connu (ou de coordonnées arbitraires), passant par plusieurs stations intermédiaires où des mesures d'angles et de distances sont effectuées, et revenant au point de départ. Permet de contrôler et compenser les erreurs de mesure.
Gisement (G)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (généralement) à partir de la direction de référence (souvent le Nord Y) jusqu'à une direction donnée (le côté du cheminement). En France, il est couramment exprimé en grades (gon), où un cercle complet fait 400 gon.
Compensation (ou Réglage)
Processus mathématique visant à répartir les erreurs de fermeture (angulaire et linéaire) constatées dans un cheminement sur l'ensemble des mesures (angles et/ou distances) pour satisfaire les conditions géométriques (somme des angles, fermeture des coordonnées).
Fermeture Angulaire (fα)
Différence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique que ces angles devraient avoir selon la géométrie du polygone.
Fermeture Linéaire (fx, fy, fL)
Dans un cheminement fermé, écart entre les coordonnées du point de départ et les coordonnées calculées pour ce même point après avoir parcouru toute la boucle. fx est l'erreur en X (Est), fy est l'erreur en Y (Nord), fL est l'erreur totale \(\sqrt{f_x^2 + f_y^2}\).
Tolérance
Erreur maximale admissible (angulaire ou linéaire) pour qu'un cheminement soit considéré comme acceptable selon les normes ou le cahier des charges du projet.
Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
Projection d'un côté du cheminement sur l'axe des X (ΔX = L * sin G) et sur l'axe des Y (ΔY = L * cos G). Représente le déplacement en X et Y entre deux stations successives.
Grade (gon)
Unité d'angle où l'angle droit vaut 100 gon et le cercle complet 400 gon. Utilisée en topographie pour sa facilité de calcul décimal.
Radian (rad)
Unité d'angle du Système International, utilisée par la plupart des fonctions trigonométriques des calculatrices et langages informatiques. Un cercle complet vaut \(2\pi\) radians. Conversion : \( \text{radians} = \text{grades} \times \pi / 200 \).
Exercice : Calcul d'un Cheminement Planimétrique Fermé

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