Étude Topographique

Calcul et Compensation d’un Cheminement Fermé

Exercice : Calcul d'un Cheminement Fermé

Calcul et Compensation d'un Cheminement Fermé

Contexte : Levé topographique d'une parcelle.

En topographie, le cheminement planimétriqueOpération qui consiste à déterminer les coordonnées X et Y d'une série de points (stations) en mesurant les angles et les distances entre eux. est une méthode fondamentale pour déterminer les coordonnées d'une série de points. Dans cet exercice, nous allons étudier un cheminement fermé, c'est-à-dire une boucle où le point de départ et le point d'arrivée sont identiques. Cette technique permet de contrôler la précision des mesures grâce à la vérification des fermetures angulaire et linéaire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers toutes les étapes du calcul et de la compensation d'un cheminement fermé, une compétence essentielle pour tout topographe afin de garantir la qualité et la précision d'un levé.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les gisements à partir des angles observés.
  • Déterminer et compenser la fermeture angulaire.
  • Calculer les coordonnées partielles (ΔX, ΔY).
  • Déterminer et compenser la fermeture linéaire.
  • Calculer les coordonnées définitives des stations.

Données de l'étude

Une équipe de topographes a réalisé un levé d'un cheminement fermé à 4 sommets (A, B, C, D). Les mesures d'angles et de distances sont consignées ci-dessous. Les angles ont été mesurés en grades (gon).

Données Initiales
  • Coordonnées du point A : XA = 1000.00 m, YA = 500.00 m
  • Gisement de la direction AB \( (G_{\text{AB}}) \) : 68.01 gon
Schéma du Cheminement (non à l'échelle)
A B C D L_AB L_BC L_CD L_DA
Station Visée Angle Intérieur Observé (gon) Distance Horizontale (m)
A αA = 181.99 LDA = 70.71
B αB = 89.88 LAB = 215.41
C αC = 57.77 LBC = 215.41
D αD = 70.36 LCD = 183.85

Questions à traiter

  1. Calculer la somme des angles intérieurs observés et déterminer la fermeture angulaire.
  2. Compenser la fermeture angulaire et calculer les angles corrigés.
  3. Calculer les gisements corrigés pour chaque côté du cheminement.
  4. Calculer les projections (ΔX, ΔY) pour chaque côté et déterminer la fermeture linéaire (fx, fy).
  5. Compenser la fermeture linéaire (méthode proportionnelle aux longueurs) et calculer les coordonnées définitives des points B, C et D.

Les bases du calcul de cheminement

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de plusieurs formules clés de la topographie planimétrique.

1. Somme théorique des angles intérieurs
Pour un polygone fermé à 'n' sommets, la somme théorique des angles intérieurs est : \[ \sum \alpha_{\text{th}} = (n - 2) \times 200 \text{ gon} \]

2. Transmission des Gisements
Le gisement d'un côté (i, j) se calcule à partir du gisement du côté précédent (k, i) et de l'angle intérieur corrigé au sommet i : \[ G_{ij} = G_{ki} + \alpha'_i \pm 200 \text{ gon} \] On ajoute ou soustrait 200 gon pour ramener le résultat dans l'intervalle [0, 400].

3. Calcul des Projections (Coordonnées partielles)
Les variations en X et Y se calculent avec la longueur du côté et son gisement : \[ \Delta X_{ij} = L_{ij} \times \sin(G_{ij}) \] \[ \Delta Y_{ij} = L_{ij} \times \cos(G_{ij}) \]

Correction : Calcul et Compensation d'un Cheminement Fermé

Question 1 : Fermeture Angulaire

Principe (le concept physique)

La première étape de contrôle consiste à vérifier si la somme des angles que nous avons mesurés sur le terrain correspond à la somme théorique géométrique d'un polygone à 4 côtés. La différence entre la mesure et la théorie représente l'erreur de mesure globale, appelée "fermeture angulaire".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe est une propriété géométrique immuable. Pour un quadrilatère, cette somme est toujours de 400 gon (360°). Toute déviation dans les mesures de terrain révèle la présence d'erreurs instrumentales ou humaines, dites "accidentelles", qu'il faudra corriger.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez cette étape comme le premier filet de sécurité. Elle permet de détecter immédiatement une erreur grossière. Si la fermeture est très importante, il est inutile de continuer les calculs ; il faut retourner sur le terrain.

Normes (la référence réglementaire)

En France, les tolérances pour les levés topographiques sont définies par des arrêtés. Pour un cheminement de précision, la tolérance de fermeture angulaire \( (T\alpha) \) est souvent de l'ordre de : \[ T_{\alpha} = \pm 0.02 \sqrt{n} \] où 'n' est le nombre de sommets. Dans notre cas, \( T\alpha = \pm 0.02 \times \sqrt{4} = \pm 0.04 \text{ gon} \).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la somme théorique des angles

\[ \sum \alpha_{\text{th}} = (n - 2) \times 200 \text{ gon} \]

Formule de la fermeture angulaire \( (f\alpha) \)

\[ f_{\alpha} = \sum \alpha_{\text{obs}} - \sum \alpha_{\text{th}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que les erreurs sont accidentelles et non systématiques, et qu'elles se répartissent de manière égale sur chaque station.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreValeur
Angles Observés (gon)αA=181.99, αB=89.88, αC=57.77, αD=70.36
Nombre de sommets (n)4
Astuces(Pour aller plus vite)

Avant de sortir la calculatrice, faites une somme mentale rapide des unités et des premières décimales pour vérifier l'ordre de grandeur et éviter les erreurs de frappe.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du cheminement avec angles intérieurs
ABCDαAαBαCαD
Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des angles observés

\[\begin{aligned} \sum \alpha_{\text{obs}} &= 181.99 + 89.88 + 57.77 + 70.36 \\ &= 400.00 \text{ gon} \end{aligned}\]

Somme théorique

\[\begin{aligned} \sum \alpha_{\text{th}} &= (4 - 2) \times 200 \\ &= 2 \times 200 \\ &= 400.00 \text{ gon} \end{aligned}\]

Fermeture angulaire

\[\begin{aligned} f_{\alpha} &= 400.00 - 400.00 \\ &= 0.00 \text{ gon} \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la somme angulaire
ABCDΣα = 400.00 gonConforme ✔
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Notre erreur de 0.00 gon est parfaite et donc bien dans la tolérance réglementaire de ±0.04 gon. Le levé est acceptable et ne nécessite pas de compensation angulaire.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans le calcul de la somme théorique (n-2) ou de faire une faute de frappe lors de la somme des angles observés. Toujours vérifier son addition.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La comparaison entre la somme des angles mesurés et la somme théorique est le premier contrôle qualité fondamental d'un levé polygonal. Sa valeur (la fermeture) doit impérativement être inférieure à la tolérance admise.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le grade (ou gon) est une unité d'angle conçue pour le système métrique (un angle droit vaut 100 gon), ce qui simplifie souvent les calculs par rapport aux degrés. Il a été introduit en France après la Révolution pour standardiser les mesures.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la fermeture angulaire est très grande ?

Une fermeture importante (hors tolérance) indique une erreur grossière (ex: mauvaise lecture, erreur de notation). La compensation est alors impossible et il est impératif de retourner sur le terrain pour mesurer à nouveau les angles.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fermeture angulaire est de \( f_{\alpha} = 0.00 \text{ gon} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la fermeture angulaire si l'angle en A avait été mesuré à 182.02 gon ?

Question 2 : Compensation Angulaire

Principe (le concept physique)

L'erreur angulaire totale, si elle est acceptable, est considérée comme une accumulation de petites erreurs accidentelles. Le principe de la compensation est de répartir cette erreur de manière équitable sur toutes les mesures, afin de rétablir la cohérence géométrique du polygone.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de compensation la plus simple, dite "équirépartition", suppose que chaque mesure d'angle a contribué de manière égale à l'erreur totale. On calcule donc une correction unitaire (l'erreur totale divisée par le nombre d'angles) que l'on applique à chaque angle mesuré, en changeant le signe de l'erreur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La compensation est un acte de "lissage" des données. On ajuste légèrement nos mesures pour qu'elles collent parfaitement au modèle mathématique. La clé est de toujours appliquer une correction de signe opposé à l'erreur trouvée : si on a mesuré "en trop" (erreur positive), on doit corriger "en moins".

Normes (la référence réglementaire)

Les normes n'imposent pas une méthode de compensation unique, mais la méthode de l'équirépartition est universellement acceptée pour les cheminements courants. Pour des levés de très haute précision, des méthodes plus complexes comme celle des moindres carrés peuvent être exigées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la compensation par angle \( (c\alpha) \)

\[ c_{\alpha} = - \frac{f_{\alpha}}{n} \]

Formule de l'angle corrigé \( (\alpha') \)

\[ \alpha' = \alpha_{\text{obs}} + c_{\alpha} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la probabilité d'erreur est la même à chaque station, justifiant ainsi une répartition égale de la correction.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreValeur
Fermeture angulaire (fα)0.00 gon
Nombre de sommets (n)4
Angles Observés (gon)181.99, 89.88, 57.77, 70.36
Astuces(Pour aller plus vite)

Après avoir calculé tous les angles corrigés, faites-en la somme. Vous devez retomber EXACTEMENT sur la somme théorique (400.00 gon dans notre cas). C'est une vérification infaillible.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de la compensation angulaire
Fermeture Angulaire Totale (fα)est répartie en 4 corrections égalescα (A)cα (B)cα (C)cα (D)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la compensation unitaire

\[\begin{aligned} c_{\alpha} &= - \frac{0.00}{4} \\ &= 0.00 \text{ gon} \end{aligned}\]

Calcul des angles corrigés

Comme la fermeture est nulle, les angles corrigés sont égaux aux angles observés.

Schéma (Après les calculs)
Polygone avec angles corrigés
ABCDα'Aα'Bα'Cα'DLa somme Σα' est maintenant géométriquement juste.
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous disposons maintenant d'un jeu d'angles "parfaits" dont la somme est rigoureusement égale à 400.00 gon. Ces angles corrigés vont servir de base pour la suite des calculs, notamment pour déterminer les orientations de chaque côté du cheminement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser le signe de la fermeture pour calculer la compensation. Si fα est positive, la compensation est négative, et vice-versa.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La compensation angulaire est la première étape de correction des données brutes. Elle vise à rendre les mesures d'angles conformes à la géométrie théorique du polygone. La méthode de l'équirépartition est la plus simple et la plus courante.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les théodolites et stations totales modernes, des logiciels internes peuvent réaliser ces calculs de compensation automatiquement sur le terrain, mais comprendre le calcul manuel reste indispensable pour contrôler et valider les résultats.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas mettre toute la correction sur un seul angle ?

Cela serait arbitraire. On suppose que chaque mesure est entachée d'une petite erreur. Il est donc plus logique et plus rigoureux de répartir l'erreur globale sur l'ensemble des mesures qui y ont contribué.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les angles corrigés sont : \( \alpha'_{\text{A}}=181.99 \), \( \alpha'_{\text{B}}=89.88 \), \( \alpha'_{\text{C}}=57.77 \), \( \alpha'_{\text{D}}=70.36 \text{ gon} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec une fermeture angulaire fα = +0.06 gon sur un cheminement à 5 côtés, quelle serait la correction à appliquer à chaque angle ?

Question 3 : Calcul des Gisements Corrigés

Principe (le concept physique)

Le gisement est l'orientation d'un côté par rapport à une direction de référence fixe (le Nord). En partant d'un gisement connu (celui de AB), on peut déduire l'orientation de tous les autres côtés en "transportant" l'orientation de proche en proche, à l'aide des angles (maintenant corrigés) qui relient les côtés entre eux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La transmission de gisement est une opération fondamentale. En se plaçant sur une station, le gisement du côté suivant est égal au gisement du côté précédent, auquel on ajoute l'angle mesuré à droite. Une correction de ±200 gon est appliquée pour maintenir la valeur du gisement dans l'intervalle [0, 400].

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous êtes à la station B. Vous regardez vers A (direction du gisement inverse de AB, soit GBA). Vous pivotez ensuite de la valeur de l'angle en B (α'B) pour viser C. Le nouveau gisement GBC est donc GBA + α'B. Et comme GBA = GAB ± 200, la formule s'en déduit.

Normes (la référence réglementaire)

Les calculs de gisement sont des applications directes de la géométrie euclidienne et ne sont pas soumis à des normes spécifiques, si ce n'est la convention de les calculer dans le sens horaire à partir du Nord.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de transmission de gisement

\[ G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} + \alpha'_{\text{sommet}} \pm 200 \text{ gon} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le gisement de départ GAB est exempt d'erreur et que les angles corrigés sont parfaits.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreValeur
Gisement de départ \( (G_{\text{AB}}) \)68.01 gon
Angles corrigés \( (\alpha') \)α'A=181.99, α'B=89.88, α'C=57.77, α'D=70.36
Astuces(Pour aller plus vite)

La règle pour le "±200" est simple : après avoir additionné le gisement précédent et l'angle, si le résultat est inférieur à 200, on ajoute 200. S'il est supérieur à 200, on retranche 200. L'objectif est de toujours avoir un résultat positif.

Schéma (Avant les calculs)
Transmission de gisement au point B
BNordACG_BAα'_B
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du Gisement BC

\[\begin{aligned} G_{\text{BC}} &= G_{\text{AB}} + \alpha'_{\text{B}} + 200 \\ &= 68.01 + 89.88 + 200 \\ &= 357.89 \text{ gon} \end{aligned} \]

Calcul du Gisement CD

\[\begin{aligned} G_{\text{CD}} &= G_{\text{BC}} + \alpha'_{\text{C}} - 200 \\ &= 357.89 + 57.77 - 200 \\ &= 215.66 \text{ gon} \end{aligned} \]

Calcul du Gisement DA

\[\begin{aligned} G_{\text{DA}} &= G_{\text{CD}} + \alpha'_{\text{D}} - 200 \\ &= 215.66 + 70.36 - 200 \\ &= 86.02 \text{ gon} \end{aligned} \]

Vérification du Gisement AB

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB (calculé)}} &= G_{\text{DA}} + \alpha'_{\text{A}} - 200 \\ &= 86.02 + 181.99 - 200 \\ &= 68.01 \text{ gon} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Cheminement orienté
NABCDG_AB
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le fait de retomber exactement sur le gisement de départ (68.01 gon) confirme que nos angles corrigés étaient parfaits et que nos calculs de transmission sont corrects. Nous avons maintenant l'orientation précise de chaque segment du cheminement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de se tromper dans l'addition ou la soustraction des 200 gon. Une autre est de ne pas utiliser les angles corrigés, mais les angles bruts, ce qui propagerait l'erreur angulaire dans tous les gisements.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul des gisements est une chaîne où chaque maillon dépend du précédent. La rigueur est essentielle. La vérification finale en recalculant le gisement de départ est une étape de contrôle obligatoire.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Avant les calculatrices, les topographes utilisaient des tables de logarithmes pour effectuer ces calculs de trigonométrie, un processus long et fastidieux qui demandait une concentration extrême.

FAQ (pour lever les doutes)
Ma calculatrice doit-elle être en mode grade (gon) ?

Oui, absolument. Toutes les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan) doivent être configurées pour interpréter les angles en grades, sinon tous les calculs de projection seront faux.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Gisements corrigés : GBC=357.89, GCD=215.66, GDA=86.02 gon.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si GAB=100 gon et l'angle corrigé en B est de 150 gon, que vaut GBC ?

Question 4 : Fermeture Linéaire

Principe (le concept physique)

Chaque côté du cheminement peut être décomposé en un déplacement sur l'axe des X (Est-Ouest) et un déplacement sur l'axe des Y (Nord-Sud). Puisque le cheminement est fermé, si on additionne tous les déplacements en X, on devrait obtenir zéro. De même pour les Y. L'écart à zéro mesure l'erreur de fermeture linéaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette décomposition est une application directe de la trigonométrie dans un triangle rectangle formé par le côté du cheminement (hypoténuse), sa projection sur l'axe X (côté opposé au gisement) et sa projection sur l'axe Y (côté adjacent). Les formules découlent des définitions du sinus et du cosinus.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape transforme un problème de terrain (angles et distances) en un problème purement cartésien (coordonnées). C'est le pont entre les mesures et le plan final. Soyez très attentif aux signes (+ ou -) des résultats, qui dépendent du quadrant dans lequel se situe le gisement.

Normes (la référence réglementaire)

La tolérance de fermeture linéaire \( (T_{L}) \) dépend du périmètre (L en km) du cheminement. Une formule courante est : \[T_L = k \sqrt{L}\] où k est une constante dépendant de la précision requise (ex: 0.10 m pour des travaux courants).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules des projections

\[ \Delta X = L \times \sin(G) \quad | \quad \Delta Y = L \times \cos(G) \]

Formules de la fermeture linéaire

\[ f_x = \sum \Delta X \quad | \quad f_y = \sum \Delta Y \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les erreurs sur les longueurs sont accidentelles et proportionnelles à la longueur de chaque côté mesuré.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

On utilise les gisements calculés à l'étape précédente et les longueurs mesurées sur le terrain.

Astuces(Pour aller plus vite)

Faites un tableau pour organiser vos calculs (Côté, Gisement, Longueur, sin(G), cos(G), ΔX, ΔY). Cela réduit considérablement le risque d'erreur et facilite la vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition d'un côté en ΔX et ΔY
ABΔX_ABΔY_ABL_ABG_AB
Calcul(s) (l'application numérique)
CôtéGisement (gon)Longueur (m)ΔX (m)ΔY (m)
AB68.01215.41+200.007+80.004
BC178.13215.41-80.000-200.000
CD320.36183.85-170.005+70.005
DA50.0070.71+49.999+50.000

Calcul de la fermeture en X

\[\begin{aligned} f_x &= \sum \Delta X \\ &= 200.007 - 80.000 - 170.005 + 49.999 \\ &= +0.001 \text{ m} \end{aligned}\]

Calcul de la fermeture en Y

\[\begin{aligned} f_y &= \sum \Delta Y \\ &= 80.004 - 200.000 + 70.005 + 50.000 \\ &= +0.009 \text{ m} \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur de fermeture linéaire
A (Départ)A' (Arrivée)fxfy
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons une erreur de fermeture de +1 mm en X et +9 mm en Y. Ces faibles valeurs confirment la bonne qualité des mesures de distance. Cette erreur va maintenant être "gommée" par une dernière compensation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode GRADES (gon) avant de calculer les sinus et cosinus. C'est l'erreur la plus fréquente et la plus pénalisante à ce stade.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul des projections transforme les mesures polaires (angle, distance) en données cartésiennes \( (\Delta X, \Delta Y) \). La vérification de la fermeture linéaire est le second contrôle qualité fondamental, portant cette fois sur la précision des mesures de longueurs.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La fermeture totale \( F = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \) est souvent rapportée au périmètre du cheminement pour donner une précision relative (ex: 1/5000), qui est un indicateur de qualité universel pour comparer différents levés.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi mes ΔX et ΔY sont-ils différents de la correction ?

Il est possible d'avoir de petites différences dues aux arrondis de la calculatrice. L'important est que votre démarche soit correcte et que vos fermetures soient très proches de celles de la correction.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fermeture linéaire est \( f_x = +0.001 \text{ m} \) et \( f_y = +0.009 \text{ m} \).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec G=125 gon et L=100 m, que vaut ΔX ?

Question 5 : Coordonnées Définitives

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale. On répartit les erreurs de fermeture linéaire fx et fy sur les projections de chaque côté pour les annuler. Ensuite, on calcule les coordonnées de chaque point de proche en proche en partant du point A connu et en utilisant les projections corrigées.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de compensation proportionnelle aux longueurs part du principe qu'une erreur de mesure de distance est plus probable sur un côté long que sur un côté court. La correction appliquée à chaque projection est donc proportionnelle à la longueur du côté correspondant par rapport à la longueur totale du cheminement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'aboutissement de tout le processus. Chaque étape précédente doit être juste pour que le résultat final soit correct. La toute dernière étape consiste à recalculer les coordonnées du point de départ A à partir du dernier point calculé (D). Vous devez retomber exactement sur les coordonnées initiales de A. C'est la preuve ultime que votre calcul est juste.

Normes (la référence réglementaire)

La méthode de compensation proportionnelle aux longueurs est une méthode simplifiée mais acceptée pour la plupart des travaux de topographie courants. Elle est parfois appelée "Méthode de la Boussole".

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formules des corrections

\[ C_{x_i} = -f_x \times \frac{L_i}{\sum L} \quad | \quad C_{y_i} = -f_y \times \frac{L_i}{\sum L} \]

Formules des coordonnées finales

\[ X_{B} = X_{A} + \Delta X'_{AB} \quad | \quad Y_{B} = Y_{A} + \Delta Y'_{AB} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les coordonnées et le gisement de départ sont considérés comme parfaits et ne sont pas corrigés.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Périmètre total : ΣL = 215.41 + 215.41 + 183.85 + 70.71 = 685.38 m. Fermetures : \( f_x = +0.001 \text{ m}, f_y = +0.009 \text{ m} \).

Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord les facteurs de correction \( k_x = -f_x/\sum L \) et \( k_y = -f_y/\sum L \). Ensuite, pour chaque côté, la correction est simplement \( C_{x_i} = k_x \times L_i \) et \( C_{y_i} = k_y \times L_i \). Cela évite de refaire la division à chaque fois.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de coordonnées du point B
A(XA,YA)B(XB,YB)ΔX'_ABΔY'_AB
Calcul(s) (l'application numérique)
CôtéΔXΔYCx (m)Cy (m)ΔX CorrigéΔY Corrigé
AB+200.007+80.0040.000-0.003+200.007+80.001
BC-80.000-200.0000.000-0.003-80.000-200.003
CD-170.005+70.0050.000-0.002-170.005+70.003
DA+49.999+50.000-0.001-0.001+49.998+49.999

Coordonnées du point B

\[\begin{aligned} X_{\text{B}} &= X_{\text{A}} + \Delta X'_{\text{AB}} \\ &= 1000.000 + 200.007 \\ &= 1200.007 \text{ m} \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} Y_{\text{B}} &= Y_{\text{A}} + \Delta Y'_{\text{AB}} \\ &= 500.000 + 80.001 \\ &= 580.001 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnées du point C

\[\begin{aligned} X_{\text{C}} &= X_{\text{B}} + \Delta X'_{\text{BC}} \\ &= 1200.007 - 80.000 \\ &= 1120.007 \text{ m} \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} Y_{\text{C}} &= Y_{\text{B}} + \Delta Y'_{\text{BC}} \\ &= 580.001 - 200.003 \\ &= 379.998 \text{ m} \end{aligned} \]

Coordonnées du point D

\[\begin{aligned} X_{\text{D}} &= X_{\text{C}} + \Delta X'_{\text{CD}} \\ &= 1120.007 - 170.005 \\ &= 950.002 \text{ m} \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} Y_{\text{D}} &= Y_{\text{C}} + \Delta Y'_{\text{CD}} \\ &= 379.998 + 70.003 \\ &= 450.001 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérification des coordonnées du point A

\[\begin{aligned} X_{\text{A (vérif)}} &= X_{\text{D}} + \Delta X'_{\text{DA}} \\ &= 950.002 + 49.998 \\ &= 1000.000 \text{ m} \quad (\text{OK!}) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} Y_{\text{A (vérif)}} &= Y_{\text{D}} + \Delta Y'_{\text{DA}} \\ &= 450.001 + 49.999 \\ &= 500.000 \text{ m} \quad (\text{OK!}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Plan final du cheminement avec coordonnées
A(1000,500)B(1200,580)C(1120,380)D(950,450)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les coordonnées finales sont la production la plus importante d'un levé topographique. Elles serviront de base pour le calcul de surfaces, l'établissement de plans, ou l'implantation de projets. La vérification finale qui boucle sur les coordonnées de départ est la garantie que l'ensemble du processus de calcul est correct.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux erreurs d'arrondi en chaîne. Il est conseillé de garder le plus de décimales possible pendant les calculs intermédiaires et de n'arrondir qu'à la toute fin. Une erreur d'addition ou de soustraction lors du calcul des coordonnées se répercutera sur tous les points suivants.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul des coordonnées finales est l'aboutissement de la compensation. On part d'un point connu, on applique successivement les projections \( (\Delta X, \Delta Y) \) corrigées pour trouver les coordonnées de chaque station. La fermeture sur le point de départ valide l'ensemble des calculs.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les systèmes de coordonnées utilisés en topographie (comme le Lambert 93 en France) sont des projections. Ils permettent de représenter la surface courbe de la Terre sur un plan, ce qui induit de légères déformations qu'il faut prendre en compte sur de très grands chantiers.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si mon calcul final ne retombe pas exactement sur les coordonnées de départ ?

Si l'écart est minime (1 mm), c'est probablement un arrondi. S'il est plus grand, vous avez certainement fait une erreur de calcul dans la chaîne : une addition, une soustraction ou un report de valeur erroné. Il faut reprendre les calculs depuis la dernière étape validée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Coordonnées définitives (arrondies au cm) :
B (1200.01 m, 580.00 m)
C (1120.01 m, 380.00 m)
D (950.00 m, 450.00 m)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le point A est à (100, 200) et que ΔX' et ΔY' pour le côté AB valent +50.10 et -25.20, quelles sont les coordonnées de B ?

Outil Interactif : Influence d'une erreur de mesure

Utilisez les curseurs pour modifier l'angle mesuré en B ou la longueur du côté AB et observez l'impact direct sur la fermeture linéaire en X (fx) et Y (fy).

Paramètres d'Entrée
89.88 gon
215.41 m
Fermeture Linéaire Résultante
Erreur de fermeture en X (fx) -
Erreur de fermeture en Y (fy) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la somme théorique des angles intérieurs d'un cheminement fermé à 6 sommets ?

2. Si le gisement de A vers B est de 50 gon, quel est le gisement de B vers A ?

3. Une fermeture angulaire de -0.12 gon pour un polygone à 4 côtés implique une compensation sur chaque angle de :

Cheminement Fermé
Parcours topographique dont le point de départ et le point d'arrivée coïncident, formant une boucle fermée.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction de référence (généralement le Nord Y) vers une direction donnée. Exprimé en grades (gon) ou en degrés.
Fermeture (Angulaire / Linéaire)
Différence entre la valeur théorique et la somme des valeurs mesurées (pour les angles) ou calculées (pour les projections ΔX, ΔY) dans un cheminement fermé.
Compensation
Processus de répartition des erreurs de fermeture (angulaire et linéaire) sur les mesures originales afin d'obtenir un levé géométriquement cohérent.
Exercice : Calcul et Compensation d'un Cheminement Fermé

D’autres exercices de calculs planimétriques:

Calcul de la Fermeture Linéaire Totale
Calcul de la Fermeture Linéaire Totale

Exercice : Fermeture Linéaire en Topographie Calcul de la Fermeture Linéaire d'un Cheminement Contexte : Le calcul de fermeture d'un cheminement planimétriqueOpération topographique consistant à mesurer une suite de points (stations) par des angles et des distances...

Compensation de la Fermeture Angulaire
Compensation de la Fermeture Angulaire

Exercice : Compensation Angulaire d'un Polygone Compensation de la Fermeture Angulaire Contexte : Le cheminement polygonalOpération topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points d'appui en mesurant angles et distances d'un parcours formé par des...

Calcul de la fermeture angulaire
Calcul de la fermeture angulaire

Exercice : Fermeture Angulaire en Topographie Calcul de la Fermeture Angulaire d'un Polygone Contexte : Les Calculs Planimétriques en Topographie. En topographie, lors de la réalisation d'un levé de terrain, les opérateurs créent un cheminement polygonalUn itinéraire...

Calcul du gisement inverse
Calcul du gisement inverse

Exercice : Calcul du Gisement Inverse Calcul du Gisement Inverse en Topographie Contexte : Le calcul de gisementLe calcul de l'angle d'une direction, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. est une opération fondamentale en topographie. Il permet...

Calcul du gisement et de la distance
Calcul du gisement et de la distance

Exercice : Calcul de Gisement et Distance Calcul de Gisement et de Distance Contexte : Les Calculs PlanimétriquesEnsemble des calculs topographiques permettant de déterminer les positions relatives des points en projection sur un plan horizontal, sans tenir compte de...

Calcul de la Fermeture Linéaire Totale
Calcul de la Fermeture Linéaire Totale

Exercice : Fermeture Linéaire en Topographie Calcul de la Fermeture Linéaire d'un Cheminement Contexte : Le calcul de fermeture d'un cheminement planimétriqueOpération topographique consistant à mesurer une suite de points (stations) par des angles et des distances...

Compensation de la Fermeture Angulaire
Compensation de la Fermeture Angulaire

Exercice : Compensation Angulaire d'un Polygone Compensation de la Fermeture Angulaire Contexte : Le cheminement polygonalOpération topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points d'appui en mesurant angles et distances d'un parcours formé par des...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *