Étude Topographique

Déterminer la Portée Maximale d’un Niveau Optique

Calcul de la Portée Maximale d'un Niveau Optique

Déterminer la Portée Maximale d'un Niveau Optique

Contexte : Le Nivellement DirectEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes et des dénivelées..

Le nivellement est une opération fondamentale en topographie qui vise à déterminer l'altitude de points. Pour cela, on utilise un niveau optique qui matérialise une ligne de visée horizontale. Cependant, sur de longues distances, deux phénomènes physiques viennent perturber la mesure : la courbure terrestreLe fait que la Terre n'est pas plate. Une ligne de visée horizontale s'écarte de la surface de niveau (courbe) de la Terre. et la réfraction atmosphériqueDéviation des rayons lumineux lorsqu'ils traversent les couches d'air de densités différentes, ce qui courbe la ligne de visée.. Cet exercice a pour but de quantifier ces erreurs et de déterminer la portée maximale d'utilisation d'un niveau pour une précision donnée.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser des phénomènes physiques pour comprendre et quantifier les limites d'un instrument de mesure, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre l'influence de la rotondité de la Terre sur les mesures de nivellement.
  • Calculer l'erreur combinée due à la courbure et à la réfraction.
  • Déterminer la portée maximale d'un niveau en fonction d'une tolérance.
  • Identifier les bonnes pratiques de terrain pour minimiser ces erreurs.

Données de l'étude

Un géomètre doit réaliser un nivellement de haute précision. Il souhaite connaître la distance maximale à laquelle il peut positionner sa mire pour que l'erreur due à la courbure et à la réfraction ne dépasse pas la tolérance de lecture sur la mire.

Caractéristiques et Constantes
Paramètre Symbole Valeur Unité
Tolérance de lecture sur mire \(e_{\text{max}}\) 1 mm
Rayon terrestre moyen \(R\) 6371 km
Coefficient de réfraction atmosphérique \(k\) 0.13 (sans dimension)
Schéma du Phénomène de Courbure
Surface de niveau (Terre) Ligne de visée horizontale Niveau Mire e_c D (Portée)

Questions à traiter

  1. Calculer l'erreur due à la courbure terrestre (\(e_c\)) pour une portée (\(D\)) de 80 mètres.
  2. Calculer la correction due à la réfraction atmosphérique (\(e_r\)) pour cette même portée.
  3. En déduire l'erreur combinée finale (\(e_{\text{total}}\)) pour une portée de 80 mètres.
  4. Déterminer la portée maximale (\(D_{\text{max}}\)) pour que l'erreur combinée reste inférieure à la tolérance de 1 mm.
  5. Expliquer brièvement la méthode de nivellement dite "par rayonnement" et pourquoi elle est moins précise que la méthode "par cheminement".

Les bases sur le Nivellement et ses Erreurs

Lorsqu'on effectue un nivellement sur de grandes distances, la ligne de visée de l'instrument (une droite tangente à la Terre) s'écarte de la surface de niveau (une surface courbe équipotentielle). Cette divergence crée une erreur systématique.

1. Erreur de courbure (\(e_c\))
Elle est toujours positive, signifiant que la lecture sur la mire est trop haute. Elle peut être calculée avec une bonne approximation par la formule : \[ e_c \approx \frac{D^2}{2R} \] Où \(D\) est la portée (distance instrument-mire) et \(R\) est le rayon terrestre.

2. Erreur de réfraction (\(e_r\))
La densité de l'air diminue avec l'altitude, ce qui courbe le trajet de la lumière vers le bas. Cet effet compense en partie l'erreur de courbure. On l'estime comme une fraction de \(e_c\) : \[ e_r \approx k \cdot e_c \] L'erreur totale est donc \(e_{\text{total}} = e_c - e_r = (1-k)e_c\).

Correction : Déterminer la Portée Maximale d'un Niveau Optique

Question 1 : Calculer l'erreur de courbure (\(e_c\)) pour une portée de 80 m.

Principe

On applique directement la formule de l'erreur de courbure en s'assurant que toutes les unités sont cohérentes. Le problème vient du fait que la ligne de visée, étant une ligne droite (tangente à la Terre), s'écarte de la surface de niveau qui est courbe.

Mini-Cours

La surface de niveau est une surface sur laquelle le potentiel de pesanteur est constant. C'est l'équivalent d'une surface d'eau calme étendue. Le niveau optique matérialise un plan horizontal, qui est tangent à cette surface de niveau au point de station. L'erreur de courbure est l'écart vertical entre ce plan et la surface de niveau à la distance D.

Remarque Pédagogique

Pour bien visualiser, imaginez que vous êtes au bord de la mer et que vous regardez un bateau s'éloigner. Votre ligne de visée est droite, mais le bateau disparaît progressivement derrière l'horizon courbe. C'est exactement le même phénomène, mais à une échelle beaucoup plus petite.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul physique, mais les manuels de topographie et de géodésie (comme ceux de l'IGN en France) décrivent tous cette formule comme base du nivellement de précision.

Formule(s)

Formule de l'erreur de courbure

\[ e_c = \frac{D^2}{2R} \]
Hypothèses

Pour que cette formule simple soit valide, nous posons quelques hypothèses.

  • La Terre est considérée comme une sphère parfaite de rayon R.
  • La portée D est très petite par rapport au rayon R, ce qui justifie l'approximation.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
PortéeD80m
Rayon terrestreR6371km
Astuces

Une astuce pour estimer rapidement l'erreur de courbure en millimètres est d'utiliser la formule simplifiée : \(e_c (\text{mm}) \approx 0.0785 \times (D(\text{km}))^2\). Pour 80m (0.08km), on a \(0.0785 \times 0.08^2 \approx 0.5\) mm. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de son résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Surface de niveau (Terre) Ligne de visée horizontale Niveau Mire e_c D = 80 m
Calcul(s)

Étape 1 : Conversion du rayon terrestre

\[ \begin{aligned} R &= 6371 \text{ km} \\ &= 6 \ 371 \ 000 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de l'erreur de courbure

\[ \begin{aligned} e_c &= \frac{80^2}{2 \times 6 \ 371 \ 000} \\ &= \frac{6400}{12 \ 742 \ 000} \\ &\approx 0.000502 \text{ m} \\ &\Rightarrow e_c \approx 0.50 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'Erreur Calculée
Erreur vs Tolérance (en mm) 1.0 (Tolérance) 0.50 (Erreur) 0 0.5 1.0
Réflexions

Une erreur de 0.5 mm sur une seule visée peut sembler faible. Cependant, dans un long cheminement de nivellement, ces erreurs s'accumulent et peuvent rapidement dépasser les tolérances requises for des travaux de génie civil. Cela souligne l'importance de contrôler la longueur des portées.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est l'oubli de la conversion des unités. Si vous mélangez des mètres (pour D) et des kilomètres (pour R), votre résultat sera faux d'un facteur 1000. Assurez-vous de toujours travailler dans un système cohérent (le Système International, avec des mètres, est le plus sûr).

Points à retenir
  • L'erreur de courbure est due à la rotondité de la Terre.
  • Elle est proportionnelle au carré de la distance (\(D^2\)).
  • La formule à retenir est \(e_c = D^2 / (2R)\).
Le saviez-vous ?

Le célèbre savant grec Ératosthène a utilisé un principe similaire, basé sur les ombres et la géométrie, pour faire la première estimation étonnamment précise de la circonférence de la Terre vers 240 av. J.-C. !

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Cette erreur est-elle toujours la même ?

Oui, pour une distance D donnée, l'erreur de courbure est une erreur systématique qui a toujours la même valeur et le même signe. C'est pour cela qu'on peut la calculer et la corriger.

Résultat Final
Pour une portée de 80 mètres, l'erreur due à la courbure terrestre est d'environ 0.50 mm.
A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Quelle serait l'erreur de courbure si la portée était de 150 m ?

Question 2 : Calculer la correction due à la réfraction (\(e_r\)).

Principe

La réfraction atmosphérique courbe la visée vers le sol, car les couches d'air proches du sol sont généralement plus denses. Cet effet réduit l'erreur apparente, on parle donc de "correction". On la modélise comme un pourcentage de l'erreur de courbure, défini par le coefficient k.

Mini-Cours

Le coefficient de réfraction k n'est pas une constante universelle. Il dépend de la pression atmosphérique, de la température et du gradient de température vertical. La valeur de k=0.13 est une moyenne communément admise pour des conditions standards au niveau de la mer. Dans des conditions particulières (par exemple, visée au-dessus d'une surface chaude comme de l'asphalte), k peut varier considérablement.

Remarque Pédagogique

Pensez à un mirage sur une route chaude en été. La lumière semble se courber, créant une illusion d'eau. C'est une forme extrême de réfraction. En topographie, l'effet est beaucoup plus subtil mais toujours présent.

Normes

Les modèles de correction de la réfraction sont standardisés dans les logiciels de calcul géodésique et topométrique, souvent basés sur des modèles atmosphériques comme le "Standard Atmosphere Model".

Formule(s)

Formule de l'erreur de réfraction

\[ e_r = k \cdot e_c \]
Hypothèses

Nous supposons que le coefficient k est constant sur toute la ligne de visée et égal à la valeur moyenne fournie.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de réfractionk0.13-
Erreur de courbure (Q1)\(e_c\)0.50mm
Astuces

Comme k est souvent proche de 1/7, on peut rapidement estimer que la réfraction corrige environ 14% de l'erreur de courbure. C'est une correction non négligeable.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration de la Réfraction
Visée géométrique (droite)Trajet lumineux (courbé)
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} e_r &= 0.13 \times 0.50 \text{ mm} \\ &= 0.065 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composition des Erreurs
Valeurs des erreurs (mm)Courbure (e_c)0.50Réfraction (e_r)0.07
Réflexions

La correction est de moins d'un dixième de millimètre. Bien que faible, elle est systématique et doit être prise en compte dans les calculs de haute précision pour ne pas biaiser les résultats.

Points de vigilance

Ne jamais ignorer la réfraction. Bien qu'elle soit plus faible que la courbure, son omission constitue une erreur méthodologique dans les travaux de précision.

Points à retenir
  • La réfraction courbe la visée vers le bas.
  • Elle réduit l'erreur de courbure.
  • On la calcule avec \(e_r = k \cdot e_c\).
Le saviez-vous ?

La réfraction atmosphérique est aussi ce qui nous permet de voir le Soleil quelques minutes avant qu'il ne se lève réellement au-dessus de l'horizon géométrique, et quelques minutes après son coucher.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Pourquoi le coefficient k est-il sans dimension ?

Parce qu'il représente un ratio, un pourcentage. C'est le rapport entre la courbure du rayon lumineux et la courbure de la Terre. Les unités (m/m) s'annulent.

Résultat Final
La correction due à la réfraction est d'environ 0.07 mm.
A vous de jouer

Avec l'erreur de courbure de 1.76 mm pour 150 m (calculée à la Q1), quelle serait la correction de réfraction ?

Question 3 : En déduire l'erreur combinée finale (\(e_{\text{total}}\)).

Principe

L'erreur finale est la résultante des deux effets. La courbure augmente la lecture (erreur positive), tandis que la réfraction la diminue (correction). On soustrait donc l'effet de la réfraction à l'erreur de courbure.

Mini-Cours

Le facteur (1-k) est parfois appelé "coefficient de nivellement". Il représente l'effet combiné des deux phénomènes. C'est ce facteur qui est réellement utilisé dans les logiciels de calcul pour appliquer une correction globale aux mesures brutes.

Remarque Pédagogique

C'est un exemple classique en sciences de l'ingénieur où deux phénomènes physiques s'opposent. Comprendre lequel est dominant (ici, la courbure) et comment l'autre le module est une compétence clé.

Normes

Les tolérances pour les cheminements de nivellement (par exemple, en France, les tolérances Nivellement Général de la France - NGF) sont définies en fonction de la précision attendue, et les calculs de correction doivent être menés pour les respecter.

Formule(s)

Formule de l'erreur combinée

\[ e_{\text{total}} = e_c - e_r = (1-k) \cdot e_c = \frac{(1-k)D^2}{2R} \]
Hypothèses

Nous utilisons les mêmes hypothèses que précédemment, à savoir une Terre sphérique et un coefficient k constant.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Erreur de courbure\(e_c\)0.50mm
Erreur de réfraction\(e_r\)0.065mm
Schéma (Avant les calculs)
Surface de niveau (Terre) Ligne de visée horizontale Niveau Mire
Calcul(s)

Application numérique

\[ \begin{aligned} e_{\text{total}} &= 0.50 - 0.065 \\ &= 0.435 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Erreurs
Composition des Erreurs (mm) e_c 0.50 e_r 0.07 e_total 0.44
Réflexions

Le résultat de 0.44 mm est inférieur à notre tolérance de 1 mm. Pour une portée de 80 m, la mesure est donc considérée comme acceptable. Mais on voit qu'on se rapproche de la limite et qu'il ne faudrait pas beaucoup augmenter la portée.

Points de vigilance

Attention à ne pas additionner les deux erreurs ! La réfraction compense une partie de l'erreur de courbure, elle ne l'aggrave pas. L'erreur totale est toujours inférieure à l'erreur de courbure seule.

Points à retenir

L'erreur combinée est la différence entre l'erreur de courbure et la correction de réfraction. Sa formule est \(e_{\text{total}} = (1-k)e_c\).

Le saviez-vous ?

Dans des conditions thermiques très particulières (inversion de température), le coefficient k peut devenir négatif, ce qui signifie que le rayon lumineux se courbe vers le haut. Dans ce cas, la réfraction aggrave l'erreur de courbure au lieu de la corriger !

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Peut-on toujours utiliser k=0.13 ?

C'est une bonne moyenne, mais pour des travaux de très haute précision (nivellement géodésique), les opérateurs mesurent le gradient de température pour calculer une valeur de k plus précise pour les conditions du jour.

Résultat Final
L'erreur combinée pour une portée de 80 m est d'environ 0.44 mm.
A vous de jouer

Pour une portée de 150m, l'erreur de courbure était de 1.76 mm et la réfraction de 0.23 mm. Quelle est l'erreur totale ?

Question 4 : Déterminer la portée maximale (\(D_{\text{max}}\)) pour une tolérance de 1 mm.

Principe

Nous cherchons la distance D pour laquelle l'erreur totale \(e_{\text{total}}\) sera égale à notre tolérance maximale \(e_{\text{max}}\) de 1 mm. Pour cela, nous devons inverser la formule de l'erreur totale pour isoler D.

Mini-Cours

Cette démarche est fondamentale en ingénierie : on part d'une exigence (la tolérance) et on en déduit une contrainte de conception ou d'opération (la portée maximale). C'est le passage d'une analyse (calculer l'erreur pour une distance donnée) à un dimensionnement (calculer la distance pour une erreur donnée).

Remarque Pédagogique

Pensez-y comme à la limitation de vitesse sur une route. Les ingénieurs ont calculé que, compte tenu de la courbure de la route, du revêtement, etc., la vitesse maximale pour rester en sécurité est de 90 km/h. Nous faisons la même chose ici pour la "vitesse" de notre mesure : la portée.

Formule(s)

Formule de la portée maximale

\[ e_{\text{total}} = \frac{(1-k)D^2}{2R} \Rightarrow D = \sqrt{\frac{2R \cdot e_{\text{total}}}{(1-k)}} \]
Hypothèses

Les hypothèses de Terre sphérique et de k constant restent valables.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Erreur maximale tolérée\(e_{\text{max}}\)1mm
Rayon terrestreR6371km
Coefficient de réfractionk0.13-
Astuces

Plutôt que de tout recalculer, on peut utiliser le résultat de la question 3. On sait que pour D=80m, e=0.435mm. Comme l'erreur est proportionnelle à \(D^2\), on peut écrire une règle de trois : \(D_{\text{max}}^2 / D^2 = e_{\text{max}} / e\). Donc \(D_{\text{max}} = D \times \sqrt{e_{\text{max}}/e} = 80 \times \sqrt{1/0.435} \approx 121.5\) m. C'est une excellente façon de vérifier son calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Recherche de la Portée Maximale D_max
Surface de niveau (Terre)Ligne de visée horizontaleNiveauMiree_max = 1mmD_max = ?
Calcul(s)

Étape 1 : Conversion des unités

\[ \begin{aligned} e_{\text{max}} &= 1 \text{ mm} \\ &= 0.001 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R &= 6371 \text{ km} \\ &= 6 \ 371 \ 000 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la portée maximale

\[ \begin{aligned} D_{\text{max}} &= \sqrt{\frac{2 \times 6371000 \times 0.001}{1 - 0.13}} \\ &= \sqrt{\frac{12742}{0.87}} \\ &= \sqrt{14645.97} \\ &\Rightarrow D_{\text{max}} \approx 120.9 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Portée Maximale
Erreur vs PortéePortée (m)Erreur (mm)e_totalTolérance = 1mmD_max ≈ 121 m1.00
Réflexions

Ce calcul donne une limite théorique. En pratique, la portée est souvent limitée à 50-70 m à cause d'autres facteurs : la difficulté de lire précisément les graduations de la mire de loin, les vibrations de l'air (scintillation), et le vent.

Points de vigilance

Ne pas oublier la racine carrée à la fin du calcul est une erreur classique. Si vous trouvez une distance de plus de 14 000 m, c'est probablement que vous avez oublié cette étape !

Points à retenir

Pour trouver une condition limite (comme une distance max), il faut savoir manipuler et inverser les équations de base.

Le saviez-vous ?

Les instruments modernes comme les stations totales robotisées peuvent mesurer des distances de plusieurs kilomètres, mais pour le nivellement, ils utilisent des corrections automatiques basées sur ces mêmes formules, en y ajoutant des données de capteurs de pression et de température.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Pourquoi la tolérance est-elle de 1 mm ?

C'est une valeur courante en nivellement de précision. Elle correspond à la plus petite graduation sur une mire de précision (le millimètre), et représente la limite de ce qu'un opérateur expérimenté peut apprécier visuellement.

Résultat Final
La portée maximale théorique pour que l'erreur reste inférieure à 1 mm est d'environ 121 mètres.
A vous de jouer

Quelle serait la portée maximale si la tolérance était plus stricte, disons 0.5 mm ?

Question 5 : Expliquer la méthode de nivellement par rayonnement.

Principe

Cette question porte sur les méthodes de terrain. Le nivellement par rayonnement et par cheminement sont deux manières d'organiser les mesures sur le terrain pour déterminer l'altitude de plusieurs points.

Mini-Cours

Nivellement par Rayonnement : L'opérateur stationne le niveau à un seul endroit et vise plusieurs points autour de lui. Pour chaque point, l'altitude est \(Alt_{\text{point}} = Alt_{\text{station}} + H_i - L_{\text{mire}}\), où \(H_i\) est la hauteur de l'instrument. C'est rapide, mais l'altitude de chaque point est indépendante et directement affectée par l'erreur de portée, qui est différente pour chaque point.

Nivellement par Cheminement : L'opérateur déplace l'instrument entre les points, en effectuant des "visées arrière" sur le point d'altitude connue et des "visées avant" sur le nouveau point. La dénivelée est \(\Delta H = L_{\text{AR}} - L_{\text{AV}}\). En plaçant l'instrument à mi-distance (\(D_{\text{AR}} \approx D_{\text{AV}}\)), les erreurs de courbure et de réfraction (\(e_{\text{AR}}\) et \(e_{\text{AV}}\)) sont quasiment identiques et s'annulent dans la différence, rendant la mesure de dénivelée très précise.

Remarque Pédagogique

Le cheminement est comme une randonnée par étapes : on s'assure de la solidité de chaque pas avant de faire le suivant. Le rayonnement est comme essayer de tout voir depuis un seul sommet : pratique, mais la vision des points lointains est moins claire.

Schéma (Avant les calculs)
Cheminement vs Rayonnement
RayonnementStationCheminementPt APt BStationVisée ARVisée AVD_AR ≈ D_AV
Réflexions

Le choix de la méthode dépend de l'objectif. Le rayonnement est acceptable pour des levers de détails de faible précision sur de courtes distances (ex: relevé d'un petit jardin). Pour des travaux de précision ou des cheminements longs (routes, canaux), le cheminement avec égalisation des portées est obligatoire pour garantir la qualité des résultats.

Points de vigilance

Utiliser la méthode par rayonnement pour des points de base d'un chantier est une erreur professionnelle grave, car toutes les altitudes calculées seront entachées d'erreurs non maîtrisées.

Points à retenir
  • Rayonnement : Rapide, moins précis, erreurs non compensées. Station unique.
  • Cheminement : Plus lent, plus précis, permet l'annulation des erreurs systématiques en égalisant les portées avant/arrière. Plusieurs stations.
Le saviez-vous ?

Le Nivellement Général de la France (NGF) est le réseau de points dont l'altitude a été déterminée avec une très haute précision par cheminement sur des milliers de kilomètres. Le point d'origine, le "zéro fondamental", est fixé par le marégraphe de Marseille.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Qu'est-ce que "l'égalisation des portées" ?

C'est la procédure de terrain qui consiste, lors d'un cheminement, à placer l'instrument de niveau exactement à mi-distance entre la mire sur le point arrière et la mire sur le point avant. Cela garantit que l'erreur de courbure/réfraction est la même pour les deux visées et s'annule donc dans le calcul de la dénivelée.

Résultat Final
Le nivellement par rayonnement est moins précis car les erreurs systématiques (courbure, réfraction) ne s'annulent pas, contrairement au nivellement par cheminement où l'égalisation des portées permet de les éliminer.
A vous de jouer

Si, dans un cheminement, la portée arrière est de 50 m et la portée avant de 70 m, l'erreur de courbure/réfraction est-elle compensée ?

Outil Interactif : Simulateur d'Erreur de Nivellement

Utilisez les curseurs pour faire varier la distance de la visée et le coefficient de réfraction. Observez l'impact sur l'erreur de courbure et l'erreur combinée. Le graphique montre l'évolution de l'erreur totale en fonction de la distance.

Paramètres d'Entrée
80 m
0.13
Résultats Calculés
Erreur de courbure (\(e_c\)) - mm
Erreur combinée (\(e_{\text{total}}\)) - mm

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel phénomène est la cause principale de l'erreur en nivellement sur longue distance ?

2. Si on double la distance de la portée, l'erreur de courbure est...

3. Comment la réfraction atmosphérique affecte-t-elle la mesure ?

4. Quelle est la méthode de terrain la plus efficace pour annuler ces erreurs ?

5. Une erreur de courbure de 2 mm est mesurée. Avec k=0.15, quelle est l'erreur totale ?

Nivellement
Ensemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes et des dénivelées entre des points.
Portée
Distance horizontale entre l'axe de l'instrument (niveau) et la mire.
Mire
Règle graduée que l'on place verticalement sur un point et sur laquelle on effectue une lecture avec le niveau.
Courbure terrestre
Effet de la rotondité de la Terre qui fait qu'une ligne de visée horizontale s'écarte de la surface de niveau courbe.
Réfraction atmosphérique
Phénomène de déviation d'un rayon lumineux lorsqu'il traverse les couches de l'atmosphère de densités variables.
Calcul de la Portée Maximale d'un Niveau Optique

D’autres exercices d’instruments topographique:

Nivellement par Cheminement
Nivellement par Cheminement

Nivellement par Cheminement Nivellement par Cheminement Contexte : Le Nivellement DirectEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées avec un niveau et une mire.. Une équipe de topographes doit déterminer avec...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *