Étude Topographique

Calcul d’un Cheminement Nivelé et Détection d’Erreur

Exercice de Topographie : Erreur de Lecture sur Mire

Calcul d'un Cheminement Nivelé et Détection d'Erreur

Contexte : Le nivellement directEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer des altitudes ou des dénivelées avec un niveau et une mire..

Le nivellement direct, ou géométrique, est la méthode la plus précise pour déterminer l'altitude de points sur le terrain. Elle repose sur l'utilisation d'un niveau (assurant une ligne de visée horizontale) et d'une mireRègle graduée que l'on place verticalement sur un point et sur laquelle on effectue une lecture à travers le niveau. graduée. Dans cet exercice, nous allons analyser le carnet de nivellement d'un cheminement réalisé entre deux repères A et B d'altitudes connues. Une erreur de lecture s'est glissée dans les mesures ; votre mission est de la localiser et de la corriger pour valider le levé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser la méthode de calcul et de vérification d'un cheminement nivelé, une compétence fondamentale en topographie. Il met l'accent sur la rigueur et l'importance des contrôles pour garantir la fiabilité des mesures.

Objectifs Pédagogiques

  • Savoir calculer les altitudes des points d'un cheminement nivelé.
  • Maîtriser la méthode de contrôle par calcul de la fermeture.
  • Apprendre à identifier une lecture erronée dans un carnet de nivellement.

Données de l'étude

Un géomètre a effectué un cheminement nivelé entre deux repères connus, A et B. Le carnet de levé est fourni ci-dessous. Les altitudes des points de départ et d'arrivée sont considérées comme exactes.

Altitudes des Repères
Caractéristique Valeur
Altitude du point de départ A \(150,000 \text{ m}\)
Altitude du point d'arrivée B \(151,355 \text{ m}\)
Schéma du Cheminement Nivelé
A P1 P2 P3 B St.1 St.2 St.3 St.4
Carnet de Nivellement
Station Point Visé Lecture Arrière (Larr) [m] Lecture Avant (Lav) [m]
St. 1 A / P1 \(1,875\) \(1,250\)
St. 2 P1 / P2 \(2,110\) \(0,985\)
St. 3 P2 / P3 \(1,545\) \(2,450\)
St. 4 P3 / B \(0,880\) \(1,370\)

Questions à traiter

  1. Calculer les dénivelées partielles entre chaque point visé.
  2. En partant du point A, calculer les altitudes de tous les points intermédiaires (P1, P2, P3) et l'altitude calculée de B.
  3. Effectuer la vérification de fermeture du cheminement.
  4. Comparer la dénivelée totale calculée à la dénivelée réelle. Quelle est l'erreur de fermeture ?
  5. Identifier la lecture erronée, proposer une correction et recalculer le cheminement pour vérifier.

Les bases du Nivellement Direct

Le nivellement direct par cheminement consiste à déterminer les altitudes de points en "progressant" de station en station depuis un point d'altitude connue vers un autre.

1. Calcul de la dénivelée (\(\Delta H\))
La dénivelée entre un point arrière (A) et un point avant (B) depuis une même station est la différence entre la lecture arrière (\(L_{\text{arr}}\)) et la lecture avant (\(L_{\text{av}}\)). \[ \Delta H_{AB} = L_{\text{arr}} - L_{\text{av}} \]

2. Calcul d'altitude (\(H\))
L'altitude d'un point B est obtenue en ajoutant la dénivelée à l'altitude du point A. \[ H_B = H_A + \Delta H_{AB} \]

3. Contrôle de Fermeture
Pour un cheminement entre deux points connus A et B, la somme de toutes les lectures arrière moins la somme de toutes les lectures avant doit être égale à la différence d'altitude entre B et A. \[ \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}} = H_{\text{final}} - H_{\text{initial}} \] Toute différence entre les deux termes de l'équation est appelée "erreur de fermeture".

Correction : Calcul d'un Cheminement Nivelé et Détection d'Erreur

Question 1 : Calculer les dénivelées partielles

Principe (le concept physique)

La dénivelée est la différence de hauteur verticale entre deux points. Depuis une station de niveau, on la détermine en mesurant la hauteur de la ligne de visée horizontale par rapport à chaque point à l'aide de la mire. La différence entre ces deux hauteurs donne directement la dénivelée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le niveau crée un plan de visée horizontal imaginaire à une altitude constante. La lecture sur la mire (L) est la distance verticale entre ce plan et le point au sol. La dénivelée entre un point Arrière (Arr) et un point Avant (Av) est donc \(H_{\text{Av}} - H_{\text{Arr}}\). Or, \(H_{\text{Arr}} = H_{\text{plan}} - L_{\text{arr}}\) et \(H_{\text{Av}} = H_{\text{plan}} - L_{\text{av}}\). En soustrayant, on obtient : \(\Delta H = (H_{\text{plan}} - L_{\text{av}}) - (H_{\text{plan}} - L_{\text{arr}}) = L_{\text{arr}} - L_{\text{av}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La règle d'or est simple : toujours soustraire la lecture avant de la lecture arrière. Une erreur d'inversion est l'une des fautes les plus communes. Prenez l'habitude de l'écrire et de le vérifier systématiquement.

Normes (la référence réglementaire)

Bien que cet exercice se concentre sur le calcul, en pratique, les opérations de nivellement sont régies par des normes qui définissent des classes de précision (nivellement de haute précision, de précision, ordinaire, etc.). Ces normes imposent des tolérances pour la fermeture des cheminements, qui dépendent souvent de la longueur du parcours.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la dénivelée

\[ \Delta H = L_{\text{arr}} - L_{\text{av}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le niveau est parfaitement réglé, générant une ligne de visée rigoureusement horizontale.
  • La mire est tenue parfaitement verticale sur chaque point.
  • Les lectures sur la mire sont exemptes d'erreurs de parallaxe.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
StationLarr [m]Lav [m]
St. 1\(1,875\)\(1,250\)
St. 2\(2,110\)\(0,985\)
St. 3\(1,545\)\(2,450\)
St. 4\(0,880\)\(1,370\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pensez au signe du résultat : un \(\Delta H\) positif signifie que le terrain monte (le point avant est plus haut que le point arrière), un signe négatif signifie qu'il descend. C'est un excellent moyen de vérifier rapidement la cohérence de vos calculs par rapport à la topographie générale du site.

Schéma (Avant les calculs)
Principe de la Dénivelée par Station
Plan de visée horizontalPt. ArrièrePt. AvantStationLarrLav
Calcul(s) (l'application numérique)

Dénivelée Station 1 (entre A et P1)

\[ \Delta H_{AP1} = 1,875 - 1,250 = +0,625 \text{ m} \]

Dénivelée Station 2 (entre P1 et P2)

\[ \Delta H_{P1P2} = 2,110 - 0,985 = +1,125 \text{ m} \]

Dénivelée Station 3 (entre P2 et P3)

\[ \Delta H_{P2P3} = 1,545 - 2,450 = -0,905 \text{ m} \]

Dénivelée Station 4 (entre P3 et B)

\[ \Delta H_{P3B} = 0,880 - 1,370 = -0,490 \text{ m} \]
Schéma (Après les calculs)
Tableau des Dénivelées Partielles
TronçonCalculDénivelée (m)
A → P1\(1,875 - 1,250\)\(+0,625\)
P1 → P2\(2,110 - 0,985\)\(+1,125\)
P2 → P3\(1,545 - 2,450\)\(-0,905\)
P3 → B\(0,880 - 1,370\)\(-0,490\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les résultats montrent que le terrain monte de A à P2 (dénivelées positives), puis descend de P2 à B (dénivelées négatives). Ces valeurs sont les briques élémentaires qui vont nous permettre de construire les altitudes de chaque point.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'inverser Lecture Arrière et Lecture Avant dans la soustraction. Une double vérification de chaque calcul est indispensable avant de passer à l'étape suivante.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La dénivelée est la différence de lecture mire : \(\Delta H = L_{\text{arr}} - L_{\text{av}}\).
  • Un signe positif indique une montée, un signe négatif une descente.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'invention du niveau à lunette, qui a révolutionné la précision du nivellement, est souvent attribuée à l'astronome anglais William Gascoigne vers 1630. Il a eu l'idée de placer un réticule (fils croisés) au foyer d'une lunette pour permettre une visée précise.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la lecture est-elle plus grande quand le point est plus bas ?

La mire est graduée de bas en haut (le zéro est au sol). Si un point est plus bas, il faudra "dérouler" plus de mire pour atteindre le plan de visée horizontal du niveau, d'où une lecture plus grande.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les dénivelées partielles sont : \(\Delta H_{AP1} = +0,625 \text{ m}\), \(\Delta H_{P1P2} = +1,125 \text{ m}\), \(\Delta H_{P2P3} = -0,905 \text{ m}\), et \(\Delta H_{P3B} = -0,490 \text{ m}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Depuis une station, un géomètre lit \(2,155 \text{ m}\) sur le point arrière P5 et \(1,830 \text{ m}\) sur le point avant P6. Quelle est la dénivelée de P5 à P6 ?

Question 2 : Calculer les altitudes

Principe (le concept physique)

Le calcul des altitudes se fait de proche en proche. Connaissant l'altitude d'un point de départ et la dénivelée pour aller au point suivant, on peut en déduire l'altitude de ce nouveau point par une simple addition algébrique. On répète ce processus tout le long du cheminement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un cheminement nivelé est une succession de points dont les altitudes sont déterminées les unes après les autres. En "transportant" l'altitude de point en point via les dénivelées, on propage l'information altimétrique le long du parcours. La précision de l'altitude de chaque point dépend de la précision de tous les points qui le précèdent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La rigueur dans ce calcul est primordiale. Une seule erreur d'addition ou un signe de dénivelée inversé faussera toutes les altitudes des points suivants. Il est conseillé de présenter les calculs dans un tableau pour plus de clarté et pour faciliter la vérification.

Normes (la référence réglementaire)

En France, les altitudes sont généralement rattachées au système de Nivellement Général de la France (NGF-IGN69 ou NGF-IGN78). Pour qu'un levé soit officiellement valide, il doit partir (et si possible arriver) sur des repères dont l'altitude est certifiée dans ce système.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de calcul d'altitude

\[ H_{\text{nouveau}} = H_{\text{précédent}} + \Delta H \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • L'altitude du point de départ A est considérée comme exacte et sans incertitude.
  • Les dénivelées calculées à la question 1 sont utilisées comme données d'entrée.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreValeur
Altitude de A (\(H_A\))\(150,000 \text{ m}\)
Dénivelée \(\Delta H_{AP1}\)\(+0,625 \text{ m}\)
Dénivelée \(\Delta H_{P1P2}\)\(+1,125 \text{ m}\)
Dénivelée \(\Delta H_{P2P3}\)\(-0,905 \text{ m}\)
Dénivelée \(\Delta H_{P3B}\)\(-0,490 \text{ m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs de calcul, il est utile de faire une estimation mentale. Si le point précédent est à 150 m et que la dénivelée est d'environ +1 m, l'altitude du nouveau point doit être autour de 151 m. Si votre calculatrice donne un résultat très différent, vérifiez votre saisie.

Schéma (Avant les calculs)
Progression du Calcul d'Altitude
H_A(Connu)H_P1(À calculer)H_P2(Etc...)+ ΔH_AP1+ ΔH_P1P2
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'altitude de P1

\[ \begin{aligned} H_{P1} &= H_A + \Delta H_{AP1} \\ &= 150,000 + 0,625 \\ &= 150,625 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude de P2

\[ \begin{aligned} H_{P2} &= H_{P1} + \Delta H_{P1P2} \\ &= 150,625 + 1,125 \\ &= 151,750 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude de P3

\[ \begin{aligned} H_{P3} &= H_{P2} + \Delta H_{P2P3} \\ &= 151,750 + (-0,905) \\ &= 150,845 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude de B

\[ \begin{aligned} H_{B, \text{calc}} &= H_{P3} + \Delta H_{P3B} \\ &= 150,845 + (-0,490) \\ &= 150,355 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Tableau des Altitudes Calculées
PointAltitude Calculée (m)
A\(150,000\) (Donnée)
P1\(150,625\)
P2\(151,750\)
P3\(150,845\)
B\(150,355\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul nous donne une altitude pour le point final B de 150,355 m. Une première comparaison avec l'altitude connue de B (151,355 m) révèle immédiatement un problème majeur, qui sera quantifié à la prochaine question.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Faites particulièrement attention en additionnant une dénivelée négative. Une erreur de signe est vite arrivée (\(151,750 - 0,905\) et non \(151,750 + 0,905\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'altitude d'un point est celle du point précédent plus (algébriquement) la dénivelée.
  • La chaîne de calcul propage les altitudes d'un bout à l'autre du cheminement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le niveau de la mer n'est pas une surface plane. Il suit une surface équipotentielle du champ de pesanteur terrestre appelée "géoïde". C'est cette surface complexe qui sert de véritable référence "zéro" pour les altitudes.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si je n'ai pas de point de départ avec une altitude connue ?

Dans ce cas, on utilise une altitude de référence arbitraire (par exemple, 100,000 m) pour le premier point. Toutes les altitudes calculées seront alors relatives à ce point de départ et non des altitudes absolues.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les altitudes calculées sont : \(H_{P1} = 150,625 \text{ m}\), \(H_{P2} = 151,750 \text{ m}\), \(H_{P3} = 150,845 \text{ m}\), et \(H_{B, \text{calc}} = 150,355 \text{ m}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

L'altitude d'un point P8 est de \(212,450 \text{ m}\). La dénivelée pour aller au point P9 est de \(-1,120 \text{ m}\). Quelle est l'altitude de P9 ?

Question 3 : Effectuer la vérification de fermeture du cheminement

Principe (le concept physique)

Le contrôle de fermeture est une méthode de validation globale. Puisque nous connaissons le point de départ et le point d'arrivée, la dénivelée totale mesurée sur le terrain doit être identique à la dénivelée réelle issue des altitudes connues de ces deux points. C'est une vérification fondamentale de la cohérence de l'ensemble des mesures.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Il existe deux types principaux de cheminement : le cheminement "ouvert" (qui part d'un point connu et se termine sur un point inconnu) qui n'est pas contrôlable, et le cheminement "fermé". Ce dernier peut être soit fermé sur lui-même (départ et arrivée au même point), soit rattaché à deux points connus (notre cas). Seuls les cheminements fermés ou rattachés permettent un contrôle et donc une validation des mesures.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est l'étape la plus importante pour un géomètre. Un levé sans contrôle n'a aucune valeur car on ne peut pas lui faire confiance. Prenez toujours le temps de réaliser ce calcul avant même de quitter le terrain si possible, afin de pouvoir refaire une mesure en cas de problème.

Normes (la référence réglementaire)

Les cahiers des charges pour des travaux topographiques spécifient toujours les tolérances de fermeture à respecter. Par exemple, pour un nivellement ordinaire, la tolérance pourrait être de \(T = 20 \text{ mm} \sqrt{L}\), où L est la longueur du cheminement en km. Si l'erreur de fermeture dépasse cette tolérance, le levé est refusé.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de contrôle de fermeture

\[ \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}} \stackrel{?}{=} H_B - H_A \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les altitudes des repères de départ (A) et d'arrivée (B) sont exactes et exprimées dans le même système de référence altimétrique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreValeur
Lectures Arrière (\(L_{\text{arr}}\))\(1,875 ; 2,110 ; 1,545 ; 0,880 \text{ m}\)
Lectures Avant (\(L_{\text{av}}\))\(1,250 ; 0,985 ; 2,450 ; 1,370 \text{ m}\)
Altitude de A (\(H_A\))\(150,000 \text{ m}\)
Altitude de B (\(H_B\))\(151,355 \text{ m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Sur votre carnet de terrain, faites directement les sommes des colonnes "Lecture Arrière" et "Lecture Avant" à la fin du cheminement. Cela vous donnera immédiatement les deux termes nécessaires pour le calcul de la dénivelée totale mesurée.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Dénivelées Totales
Dénivelée Totale MESURÉE(Somme des lectures)

ΣLarr - ΣLav

?Dénivelée Totale RÉELLE(Différence d'altitudes)

H_B - H_A

Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des lectures arrière

\[ \begin{aligned} \sum L_{\text{arr}} &= 1,875 + 2,110 + 1,545 + 0,880 \\ &= 6,410 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des lectures avant

\[ \begin{aligned} \sum L_{\text{av}} &= 1,250 + 0,985 + 2,450 + 1,370 \\ &= 6,055 \text{ m} \end{aligned} \]

Dénivelée totale calculée

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{calc}} &= \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}} \\ &= 6,410 - 6,055 \\ &= +0,355 \text{ m} \end{aligned} \]

Dénivelée réelle

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{réel}} &= H_B - H_A \\ &= 151,355 - 150,000 \\ &= +1,355 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification
ParamètreValeur (m)Statut
Dénivelée Calculée\(+0,355\)NON CONFORME
Dénivelée Réelle\(+1,355\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La dénivelée calculée (\(+0,355 \text{ m}\)) est très différente de la dénivelée réelle (\(+1,355 \text{ m}\)). La condition de fermeture n'est donc pas respectée. Cela confirme la présence d'une ou plusieurs erreurs graves dans le levé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de ne pas faire d'erreur en recopiant les altitudes des repères A et B. Une erreur de transcription à ce niveau fausserait tout le contrôle et pourrait vous faire chercher une erreur dans les mesures alors qu'elle est dans les données de base.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le contrôle de fermeture est non négociable pour valider un cheminement rattaché.
  • Il compare la somme des dénivelées mesurées à la dénivelée connue entre les points de référence.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les grands réseaux de nivellement nationaux, qui couvrent des milliers de kilomètres, sont calculés par des méthodes statistiques complexes dites de "compensation par les moindres carrés". Cette méthode permet de répartir les petites erreurs inévitables de mesure de la manière la plus probable sur l'ensemble du réseau.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si mon cheminement ne se ferme pas sur un point connu ?

S'il s'agit d'un cheminement ouvert non rattaché, il n'y a aucun moyen de le contrôler. Pour le fiabiliser, la seule solution est de le faire en "double cheminement", c'est-à-dire de faire l'aller puis le retour pour vérifier que l'on retombe bien sur le point de départ.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification de fermeture n'est pas satisfaite : \(0,355 \text{ m} \neq 1,355 \text{ m}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Si \(\sum L_{\text{arr}} = 10,250 \text{ m}\) et \(\sum L_{\text{av}} = 9,850 \text{ m}\), quelle est la dénivelée totale calculée ?

Question 4 : Quelle est l'erreur de fermeture ?

Principe (le concept physique)

L'erreur de fermeture, notée \(f_H\), n'est rien d'autre que la quantification de l'écart constaté à la question précédente. C'est la valeur numérique de la différence entre ce qu'on a mesuré et ce qu'on aurait dû trouver. Elle est essentielle pour juger de la gravité de l'erreur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On distingue trois types d'erreurs en mesure : l'erreur systématique (due à un défaut de l'instrument, elle est constante), l'erreur accidentelle (petites variations aléatoires inévitables) et la faute (erreur humaine grossière : mauvaise lecture, erreur de transcription...). Une erreur de fermeture importante comme celle que nous allons calculer signale quasi-certainement une faute.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le signe de l'erreur de fermeture est crucial. Un signe négatif, comme ici, signifie que votre dénivelée calculée est "trop petite" par rapport à la réalité. Cela vous guidera pour chercher où corriger : il faudra trouver un moyen d'augmenter la dénivelée totale calculée.

Normes (la référence réglementaire)

La tolérance de fermeture, qui est la valeur maximale acceptable pour \(f_H\), est définie par les normes. Si \(|f_H|\) est inférieure à la tolérance, on peut "compenser" l'erreur en la répartissant sur les mesures. Si elle est supérieure, comme dans notre cas, le levé est rejeté et une correction de la faute est obligatoire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'erreur de fermeture

\[ f_H = \Delta H_{\text{calculée}} - \Delta H_{\text{réelle}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • L'erreur est considérée comme une faute unique et non une accumulation de petites erreurs accidentelles. Cette hypothèse est justifiée par la magnitude de l'écart attendu.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreValeur
Dénivelée calculée (\(\Delta H_{\text{calc}}\))\(+0,355 \text{ m}\)
Dénivelée réelle (\(\Delta H_{\text{réel}}\))\(+1,355 \text{ m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Une erreur de fermeture "ronde" (par exemple 1,000 m, 0,100 m, 0,010 m) est un indice très fort qu'une faute de lecture a été commise (erreur sur le mètre, le décimètre ou le centimètre).

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'Erreur de Fermeture
Altitude AAltitude B (Réelle)151.355Altitude B (Calculée)150.355fH = -1.000 m
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'erreur de fermeture

\[ \begin{aligned} f_H &= 0,355 - 1,355 \\ &= -1,000 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Erreur de Fermeture Identifiée

Erreur de Fermeture (\(f_H\))

-1,000 m

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une erreur de fermeture de -1,000 m est une faute grossière et inacceptable. Elle indique sans le moindre doute une erreur humaine majeure lors d'une des lectures sur la mire.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au signe de l'erreur. Une erreur dans le calcul de \(f_H\) pourrait vous amener à chercher à corriger la mesure dans le mauvais sens (par exemple, chercher à diminuer une lecture alors qu'il faut l'augmenter).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'erreur de fermeture quantifie l'écart entre le mesuré et le réel.
  • Sa valeur et sa forme (chiffre "rond") donnent des indices précieux sur la nature de l'erreur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Certains niveaux numériques modernes enregistrent automatiquement la lecture sur des mires à code-barres. Cela permet d'éliminer quasi-totalement les fautes de lecture, qui sont historiquement la source d'erreur la plus fréquente en nivellement.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment savoir si c'est une seule grosse erreur ou plusieurs petites ?

Une erreur de fermeture aussi grande et "ronde" qu'un mètre pointe vers une unique faute. Si l'erreur était de quelques centimètres, il pourrait s'agir soit d'une petite faute, soit d'une accumulation d'erreurs accidentelles si le cheminement est très long, ou d'une erreur systématique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'erreur de fermeture du cheminement est de \(f_H = -1,000 \text{ m}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Si la dénivelée calculée est de \(+2,545 \text{ m}\) et la dénivelée réelle est de \(+2,510 \text{ m}\), quelle est l'erreur de fermeture ?

Question 5 : Identification et correction de l'erreur

Principe (le concept physique)

Le processus consiste à émettre une hypothèse logique sur la source de l'erreur, puis à la vérifier par le calcul. Sachant que l'erreur de fermeture est de -1,000 m, on recherche dans le carnet une lecture qui, si elle était modifiée de +1 m ou -1 m, semblerait plus cohérente et annulerait l'erreur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La correction d'une faute n'est pas une compensation. La compensation répartit une petite erreur supposée accidentelle. La correction d'une faute consiste à remplacer une valeur manifestement fausse par sa valeur juste (ou la plus probable). Une fois la faute corrigée, on vérifie à nouveau la fermeture. S'il reste une petite erreur résiduelle, celle-ci pourra alors être compensée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ce travail ressemble à une enquête. L'erreur de \(-1,000 \text{ m}\) nous dit que \(\Delta H_{\text{calc}}\) est trop petit de 1 m. On doit donc trouver comment augmenter \(\Delta H_{\text{calc}}\) de 1 m. Puisque \(\Delta H_{\text{calc}} = \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av}}\), il faut soit trouver une \(L_{\text{arr}}\) qui aurait dû être 1 m plus grande, soit une \(L_{\text{av}}\) qui aurait dû être 1 m plus petite.

Normes (la référence réglementaire)

Toute correction apportée à un carnet de levé doit être clairement documentée. La valeur erronée doit être barrée proprement (jamais effacée ou masquée), et la valeur corrigée doit être inscrite à côté, avec une note expliquant la raison de la correction. La traçabilité est un pilier de la qualité en mesure.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Vérification de la correction

\[ \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av, corrigée}} \stackrel{?}{=} H_B - H_A \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • L'erreur est unique et correspond à une erreur de lecture de 1 m sur un des fils de la mire.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Le carnet de nivellement complet et l'erreur de fermeture de \(-1,000 \text{ m}\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Examinez les lectures pour des valeurs inhabituelles. Une lecture de 2,450 m (Station 3, Lav) est assez élevée pour une mire standard de 3 ou 4 m et pourrait indiquer que l'opérateur a mal lu le chiffre du mètre. L'hypothèse qu'il s'agisse de 1,450 m est donc une piste très sérieuse à explorer en premier.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation de l'Erreur Potentielle
StationPoint ViséLarr [m]Lav [m]
St. 1A / P1\(1,875\)\(1,250\)
St. 2P1 / P2\(2,110\)\(0,985\)
St. 3P2 / P3\(1,545\)\(2,450\)
St. 4P3 / B\(0,880\)\(1,370\)
Calcul(s) (l'application numérique)

On pose l'hypothèse : la lecture avant sur P3 est \(1,450 \text{ m}\) au lieu de \(2,450 \text{ m}\). Vérifions si cela corrige l'erreur de fermeture.

Recalcul de la somme des lectures avant

\[ \begin{aligned} \sum L_{\text{av, corr}} &= 1,250 + 0,985 + 1,450 + 1,370 \\ &= 5,055 \text{ m} \end{aligned} \]

Nouvelle dénivelée calculée

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{calc, corr}} &= \sum L_{\text{arr}} - \sum L_{\text{av, corr}} \\ &= 6,410 - 5,055 \\ &= +1,355 \text{ m} \end{aligned} \]

Vérification finale

\[ \Delta H_{\text{réel}} = +1,355 \text{ m} = \Delta H_{\text{calc, corr}} \]
Schéma (Après les calculs)
Tableau des Résultats Corrigés
PointAltitude Corrigée [m]
A\(150,000\)
P1\(150,625\)
P2\(151,750\)
P3\(151,845\)
B\(151,355\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La nouvelle dénivelée calculée (\(+1,355 \text{ m}\)) est maintenant parfaitement égale à la dénivelée réelle. Notre hypothèse était donc correcte. La correction d'une seule valeur a permis de valider l'ensemble du levé. Toutes les altitudes peuvent maintenant être recalculées avec la valeur corrigée pour obtenir le résultat final juste.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Après avoir trouvé une correction qui fonctionne, assurez-vous qu'elle est physiquement plausible. Une lecture de 1,450 m est tout à fait standard. Si la correction vous avait donné une lecture de 5,200 m, cela aurait été impossible avec une mire normale et aurait indiqué que votre hypothèse était fausse.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Analyser la valeur de l'erreur de fermeture pour émettre une hypothèse sur sa source.
  • Tester l'hypothèse par le calcul en corrigeant la valeur suspecte.
  • Valider lorsque la nouvelle erreur de fermeture devient nulle ou acceptable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le mot "topographie" vient des mots grecs anciens "topos" qui signifie "lieu", et "graphein" qui signifie "décrire". C'est littéralement l'art de décrire un lieu.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si l'erreur n'avait pas été de 1m pile ?

Si l'erreur avait été, par exemple, de \(0,18 \text{ m}\), il aurait pu s'agir d'une inversion de deux chiffres lors de la transcription (par exemple, \(1,482 \text{ m}\) écrit \(1,428 \text{ m}\)). La recherche est alors plus complexe et demande d'examiner toutes les lectures pour des inversions plausibles.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La lecture erronée est la lecture avant sur le point P3 (\(2,450 \text{ m}\)). Sa valeur correcte est de \(1,450 \text{ m}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant par rapport a la question)

Si une erreur de fermeture était de \(+0,100 \text{ m}\), quel type d'erreur de lecture suspecteriez-vous ?

Outil Interactif : Impact d'une erreur de lecture

Utilisez ce simulateur pour voir comment une modification de la lecture avant sur le point P3 (la valeur que nous avons corrigée) impacte l'erreur de fermeture finale du cheminement.

Paramètres d'Entrée
2.450 m
Résultats Clés
Altitude calculée de B (m) -
Erreur de fermeture (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la formule correcte pour calculer une dénivelée (\(\Delta H\)) entre un point arrière (A) et un point avant (B) ?

2. Dans un cheminement entre deux points connus, que signifie une "erreur de fermeture" non nulle ?

3. Si la somme des lectures arrière est supérieure à la somme des lectures avant, cela signifie que globalement :

4. Qu'est-ce qu'une "lecture arrière" (\(L_{\text{arr}}\)) ?

5. Une erreur de fermeture de \(+0.100 \text{ m}\) est très probablement due à :

Glossaire de Topographie

Nivellement Direct
Opération consistant à déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide d'un viseur horizontal (niveau) et d'une règle graduée verticale (mire).
Mire
Règle graduée, généralement en centimètres, utilisée pour mesurer la hauteur de la ligne de visée du niveau par rapport à un point au sol.
Lecture Arrière (Larr)
Première visée effectuée depuis une nouvelle station du niveau, sur un point dont l'altitude est déjà connue (point de départ ou point intermédiaire précédent).
Lecture Avant (Lav)
Dernière visée effectuée depuis une station du niveau, sur un point dont on cherche à déterminer l'altitude.
Dénivelée (ΔH)
Différence d'altitude entre deux points.
Erreur de Fermeture
Différence entre la dénivelée totale calculée à partir des mesures et la dénivelée réelle entre les points de départ et d'arrivée connus.
Exercice de Topographie - Nivellement et Erreur de Lecture

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