Calcul de la Distance entre Deux Points en 3D en Topographie
Contexte : Au-delà de la carte, la réalité du terrain
Alors qu'une carte représente le monde en 2D (Est, Nord), le terrain réel possède une troisième dimension cruciale : l'altitude. Pour des projets d'ingénierie comme la pose de canalisations, de lignes électriques ou la construction de routes en montagne, il est impératif de connaître la distance réelle en penteDistance qui suit la surface du terrain, en tenant compte de la différence d'altitude. Elle est toujours supérieure ou égale à la distance horizontale. entre deux points, et non simplement leur distance vue de dessus. Ce calcul combine la distance horizontale avec la différence d'altitude (la dénivelée).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous montrera comment le théorème de Pythagore, que vous connaissez en 2D, s'étend logiquement à la 3D. Nous allons d'abord calculer la distance horizontale (comme sur une carte), puis y intégrer la différence d'altitude pour trouver la distance réelle à parcourir sur le terrain.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer les écarts en coordonnées (\(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z\)) entre deux points.
- Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la distance horizontale (2D).
- Comprendre la notion de dénivelée (\(\Delta Z\)).
- Appliquer le théorème de Pythagore une seconde fois pour calculer la distance en pente (3D).
- Différencier clairement la distance horizontale de la distance en pente.
Données de l'étude
Schéma de la distance en 3D
- Point P1 : \(X_1 = 450.12 \, \text{m}\), \(Y_1 = 820.45 \, \text{m}\), \(Z_1 = 112.50 \, \text{m}\).
- Point P2 : \(X_2 = 485.32 \, \text{m}\), \(Y_2 = 865.65 \, \text{m}\), \(Z_2 = 121.80 \, \text{m}\).
Questions à traiter
- Calculer la distance horizontale (\(D_h\)) entre P1 et P2.
- Calculer la distance en pente (\(D_p\)) entre P1 et P2.
Correction : Calcul de la Distance entre Deux Points en 3D en Topographie
Question 1 : Calculer la distance horizontale (\(D_h\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La distance horizontale est la distance "à vol d'oiseau" entre les projections des deux points sur un plan horizontal. Elle ne tient pas compte de l'altitude. On la calcule en appliquant le théorème de Pythagore aux écarts en X (\(\Delta X\)) et en Y (\(\Delta Y\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour deux points A(\(X_A, Y_A\)) et B(\(X_B, Y_B\)) dans un plan, la distance qui les sépare est donnée par la racine carrée de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées. C'est l'application directe du théorème de Pythagore, où les différences \(\Delta X = X_B - X_A\) et \(\Delta Y = Y_B - Y_A\) forment les deux côtés d'un triangle rectangle, et la distance est l'hypoténuse.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Calculez toujours les écarts \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) en premier. Peu importe le sens du calcul (\(X_2 - X_1\) ou \(X_1 - X_2\)), car la mise au carré annulera un éventuel signe négatif. Le résultat sera toujours positif, comme il se doit pour une distance.
Normes (la référence réglementaire)
La formule de la distance euclidienne est un fondement mathématique universel. En topographie, elle est appliquée dans le cadre de systèmes de projection cartographique (comme le Lambert 93) qui permettent de représenter la Terre courbe sur un plan.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les coordonnées X et Y sont exprimées dans un système de coordonnées orthonormal, ce qui est le cas des systèmes de projection topographique usuels.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Calcul des écarts en coordonnées planimétriques :
Calcul de la distance horizontale :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(X_1 = 450.12 \, \text{m}\), \(Y_1 = 820.45 \, \text{m}\)
- \(X_2 = 485.32 \, \text{m}\), \(Y_2 = 865.65 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(\Delta X\) :
Calcul de \(\Delta Y\) :
Calcul de \(D_h\) :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La distance horizontale de 57.29 m représente la longueur de la canalisation si le terrain était parfaitement plat. C'est la distance que l'on mesurerait sur une carte. Elle nous servira de base pour le calcul de la distance réelle en pente.
Point à retenir : La distance horizontale est la racine carrée de la somme des carrés des écarts en X et Y.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Calculer la distance horizontale est une étape intermédiaire essentielle. Elle forme l'un des côtés du triangle rectangle vertical qui nous permettra, à l'étape suivante, de calculer la distance en pente.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier la racine carrée : Une erreur fréquente est de s'arrêter à la somme des carrés (\(\Delta X^2 + \Delta Y^2\)) sans prendre la racine carrée finale, ce qui donnerait un résultat absurde.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Calculez la distance horizontale pour \(\Delta X = 30\) m et \(\Delta Y = 40\) m.
Question 2 : Calculer la distance en pente (\(D_p\))
Principe avec image animée (le concept physique)
La distance en pente est la distance réelle, directe, entre les deux points dans l'espace 3D. On la calcule en appliquant une seconde fois le théorème de Pythagore, cette fois dans un triangle rectangle vertical dont les côtés sont la distance horizontale (\(D_h\)) que nous venons de calculer et la dénivelée (\(\Delta Z\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distance 3D est une extension directe de la formule 2D. La distance en pente (\(D_p\)) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la distance horizontale (\(D_h\)) et la différence d'altitude, ou dénivelée, (\(\Delta Z = Z_2 - Z_1\)). La formule complète est donc \( D_p = \sqrt{D_h^2 + (\Delta Z)^2} \), ce qui équivaut à \( D_p = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2 + (\Delta Z)^2} \).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Visualisez ce calcul en deux étapes. D'abord, vous "écrasez" le problème au sol pour trouver la distance sur la carte (\(D_h\)). Ensuite, vous "relevez" ce segment en tenant compte de la différence de hauteur (\(\Delta Z\)) pour trouver la longueur réelle de la "ficelle" tendue entre les deux points.
Normes (la référence réglementaire)
Les altitudes (coordonnée Z) en France sont généralement rattachées au système de Nivellement Général de la France (NGF-IGN69), dont le point zéro est défini par le marégraphe de Marseille.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'axe Z est parfaitement perpendiculaire au plan (X, Y), ce qui est la définition d'un repère cartésien tridimensionnel.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Calcul de la dénivelée (écart en Z) :
Calcul de la distance en pente :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Distance horizontale : \(D_h = 57.29 \, \text{m}\)
- Altitude P1 : \(Z_1 = 112.50 \, \text{m}\)
- Altitude P2 : \(Z_2 = 121.80 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(\Delta Z\) :
Calcul de \(D_p\) :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La distance en pente (58.04 m) est légèrement supérieure à la distance horizontale (57.29 m). La différence, bien que faible ici, est cruciale. Commander 57.29 m de tuyau serait insuffisant. Cette différence serait beaucoup plus importante pour un terrain très pentu.
Point à retenir : La distance en pente est l'hypoténuse du triangle formé par la distance horizontale et la dénivelée.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Ce calcul fournit la distance réelle, la seule qui compte pour les métrés de matériaux (tuyaux, câbles, enrobé) ou pour des calculs de génie civil (pentes, terrassements). C'est la finalité de la mesure 3D.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Confondre les distances : N'utilisez jamais une distance en pente dans un calcul de coordonnées planimétriques (X, Y) et inversement. Chaque distance a son propre usage.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Si \(D_h = 120\) m et \(\Delta Z = 50\) m, quelle est la distance en pente ?
Mini Fiche Mémo de la Correction
| Concept | Formule Essentielle |
|---|---|
| Distance Horizontale (2D) | \( D_h = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2} \) |
| Distance en Pente (3D) | \( D_p = \sqrt{(D_h)^2 + (\Delta Z)^2} \) |
Mini Fiche Mémo : Calcul de Distance 3D
| Étape | Formule Clé & Objectif |
|---|---|
| 1. Distance Horizontale | \( D_h = \sqrt{(X_2-X_1)^2 + (Y_2-Y_1)^2} \) Calculer la distance projetée sur le plan (X,Y). |
| 2. Distance en Pente | \( D_p = \sqrt{(D_h)^2 + (Z_2-Z_1)^2} \) Intégrer la dénivelée pour obtenir la distance réelle 3D. |
Outil Interactif : Calculateur de Distance 3D
Modifiez les coordonnées des points pour voir l'impact sur les distances.
Coordonnées du Point 1 (m)
Coordonnées du Point 2 (m)
Résultats Calculés
Le Saviez-Vous ?
La carte de Cassini, achevée au 18ème siècle, fut la première carte géométrique couvrant l'ensemble du royaume de France. Réalisée à l'échelle d'une ligne pour cent toises (environ 1/86 400), elle a nécessité plus de 60 ans de travail par quatre générations de la famille Cassini.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre une surface planimétrique et une surface réelle ?
La surface planimétrique est la surface mesurée sur un plan, comme si le terrain était parfaitement plat (projection horizontale). La surface réelle (ou topographique) tient compte de la pente du terrain. Pour un terrain en pente, la surface réelle est toujours supérieure à la surface planimétrique. Cet exercice ne traite que de la surface planimétrique.
Pourquoi utilise-t-on différentes échelles ?
Le choix de l'échelle dépend du niveau de détail requis. Une grande échelle (ex: 1/200) montre beaucoup de détails sur une petite zone (plan de bâtiment). Une petite échelle (ex: 1/250 000) montre peu de détails mais couvre une vaste région (carte routière).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre deux points est nulle, alors la distance en pente est :
2. Pour calculer une distance 3D, on applique le théorème de Pythagore :
- Distance Horizontale (Dh)
- Distance entre deux points projetés sur un plan horizontal. C'est la distance que l'on lirait sur une carte.
- Distance en Pente (Dp)
- Distance réelle et directe entre deux points dans un espace tridimensionnel, tenant compte de la dénivelée.
- Dénivelée (\(\Delta Z\))
- Différence d'altitude entre deux points.
- Coordonnées (X, Y, Z)
- Ensemble de trois valeurs qui permettent de localiser un point de manière unique dans un repère 3D : X (Est), Y (Nord) et Z (Altitude).
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