Coordonnées Relatives et Absolues en Topographie
Contexte : Se repérer dans l'espace
En topographie, chaque point à la surface de la Terre peut être localisé de manière unique grâce à un système de coordonnées. On distingue les coordonnées absoluesPosition d'un point définie dans un système de référence global et unique, comme les coordonnées Lambert 93 en France., qui positionnent un point dans un système de référence général (comme une carte nationale), et les coordonnées relativesPosition d'un point définie par rapport à un autre point connu, en utilisant une distance et une direction (gisement)., qui décrivent la position d'un point par rapport à un autre. Le travail du topographe consiste souvent à mesurer des coordonnées relatives sur le terrain pour en déduire les coordonnées absolues de nouveaux points.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est au cœur du métier de topographe. Il vous montrera comment, à partir d'un point connu (coordonnées absolues) et de mesures de terrain (angle et distance), on peut calculer les coordonnées absolues d'un nouveau point. C'est le principe du "rayonnement".
Objectifs Pédagogiques
- Différencier coordonnées relatives et absolues.
- Comprendre la notion de gisement (angle par rapport au Nord).
- Utiliser la trigonométrie (sinus, cosinus) pour décomposer un vecteur en ses composantes \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
- Calculer les coordonnées relatives (\(\Delta X, \Delta Y\)) à partir d'un gisement et d'une distance.
- Calculer les coordonnées absolues d'un point à partir d'un point connu et des coordonnées relatives.
Données de l'étude
Schéma de la mesure par rayonnement
- Coordonnées absolues du point A : \(X_A = 550 \, 120.45 \, \text{m}\), \(Y_A = 6 \, 850 \, 430.20 \, \text{m}\).
- Gisement de A vers B : \(G_{AB} = 58.00 \, \text{grades}\).
- Distance horizontale de A vers B : \(D_{AB} = 75.32 \, \text{m}\).
Questions à traiter
- Calculer les coordonnées relatives de B par rapport à A (\(\Delta X_{AB}\) et \(\Delta Y_{AB}\)).
- En déduire les coordonnées absolues du point B (\(X_B\) et \(Y_B\)).
Correction : Coordonnées Relatives et Absolues en Topographie
Question 1 : Calculer les coordonnées relatives (\(\Delta X_{AB}, \Delta Y_{AB}\))
Principe avec image animée (le concept physique)
Les coordonnées relatives (\(\Delta X, \Delta Y\)) sont les projections du vecteur \(\vec{AB}\) sur les axes Est (X) et Nord (Y). On utilise la trigonométrie de base dans un triangle rectangle formé par le vecteur et ses projections pour les calculer à partir de la distance (l'hypoténuse) and du gisement (l'angle).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. C'est la direction de la visée. (\(G\)) est l'angle entre l'axe des Y (le Nord) et la direction visée, compté dans le sens des aiguilles d'une montre. Les formules de transformation sont : \(\Delta X = D \times \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \times \cos(G)\). Attention, en topographie, l'angle est par rapport à l'axe Y (Nord), contrairement aux mathématiques classiques où il est souvent par rapport à l'axe X.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : L'erreur la plus fréquente est d'inverser le sinus et le cosinus. Retenez bien : le sinus est associé à l'Est (\(\Delta X\)) et le cosinus au Nord (\(\Delta Y\)). Pensez aussi à bien configurer votre calculatrice en mode "Grades" (ou "Grads") car c'est l'unité d'angle standard en topographie française.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul par rayonnement est une méthode fondamentale décrite dans tous les manuels de topographie. L'unité d'angle légale en France pour les travaux du cadastre est le grade (un angle droit vaut 100 grades).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On travaille dans un système de projection plan. La distance mesurée est la distance horizontale, déjà corrigée de la pente du terrain. Le gisement est également projeté dans le plan horizontal.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Calcul de la variation en X (Est) :
Calcul de la variation en Y (Nord) :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Gisement : \(G_{AB} = 58.00 \, \text{gr}\)
- Distance : \(D_{AB} = 75.32 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(\Delta X_{AB}\) :
Calcul de \(\Delta Y_{AB}\) :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les deux valeurs sont positives, ce qui est logique. Un gisement de 58 grades se situe dans le premier quadrant (Nord-Est), donc le point B est bien à l'Est (\(\Delta X > 0\)) et au Nord (\(\Delta Y > 0\)) du point A.
Point à retenir : Les coordonnées relatives sont les composantes du vecteur qui relie deux points, calculées avec le sinus (pour X) et le cosinus (pour Y) du gisement.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape transforme les mesures polaires (angle + distance) en un déplacement cartésien (\(\Delta X, \Delta Y\)). C'est indispensable pour pouvoir ensuite additionner ce déplacement aux coordonnées du point de départ.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Mode de la calculatrice : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode GRADES (gr) et non en Degrés (deg) ou Radians (rad). C'est la source d'erreur la plus fréquente et la plus grave dans ce type de calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Calculez \(\Delta X\) (en m) pour un gisement de 125 gr et une distance de 100 m.
Question 2 : Calculer les coordonnées absolues du point B (\(X_B, Y_B\))
Principe avec image animée (le concept physique)
Le calcul des coordonnées absolues d'un nouveau point est une simple addition vectorielle. On part des coordonnées du point connu (le "vecteur position" de A) et on y ajoute le vecteur de déplacement relatif que l'on vient de calculer (\(\vec{AB}\)) pour obtenir le vecteur position du nouveau point B.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En mathématiques vectorielles, si l'on connaît les coordonnées d'un point A et le vecteur de déplacement \(\vec{AB}\), les coordonnées du point B sont obtenues par la relation : \( \text{Coordonnées}(B) = \text{Coordonnées}(A) + \text{Coordonnées}(\vec{AB}) \). En topographie, cela se traduit par : \(X_B = X_A + \Delta X_{AB}\) et \(Y_B = Y_A + \Delta Y_{AB}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Soyez très attentif aux signes ! Si le point B était au Sud-Ouest de A, \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) seraient tous les deux négatifs. Une erreur de signe dans l'addition mène à un point complètement erroné sur le terrain.
Normes (la référence réglementaire)
Ce principe d'addition de coordonnées est la base de tous les calculs de polygonation (cheminements) et de levés de détails en topographie, conformément aux bonnes pratiques de la profession.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les coordonnées du point A sont exactes et exemptes d'erreur. La précision des coordonnées calculées pour B dépendra directement de la précision des coordonnées de A et de la qualité des mesures de terrain (gisement et distance).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Calcul de la coordonnée X du point B :
Calcul de la coordonnée Y du point B :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Coordonnées de A : \(X_A = 550120.45 \, \text{m}\), \(Y_A = 6850430.20 \, \text{m}\)
- Coordonnées relatives : \(\Delta X_{AB} = +63.92 \, \text{m}\), \(\Delta Y_{AB} = +39.84 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de \(X_B\) :
Calcul de \(Y_B\) :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les coordonnées du point B sont plus grandes en X et en Y que celles du point A, ce qui est cohérent avec un déplacement vers le Nord-Est. Les valeurs obtenues sont précises au centimètre près, ce qui correspond au standard de la plupart des travaux topographiques.
Point à retenir : Coordonnées du nouveau point = Coordonnées du point connu + Coordonnées relatives.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Cette étape finale atteint l'objectif principal de l'exercice : déterminer la position absolue et unique de la nouvelle borne B dans le système de coordonnées général, ce qui permettra de la retrouver ou de la représenter sur n'importe quelle carte utilisant le même système.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Erreur d'addition : Cela peut paraître simple, mais une erreur d'inattention lors de l'addition des coordonnées est vite arrivée, surtout avec de nombreux chiffres. Une double vérification est toujours une bonne pratique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer : Si \(X_A=1000\), \(Y_A=2000\), \(\Delta X = -50\) et \(\Delta Y = +100\), quelles sont les coordonnées de B ?
Mini Fiche Mémo de la Correction
| Concept | Formule Essentielle |
|---|---|
| Coordonnées Relatives | \(\Delta X = D \times \sin(G)\) \(\Delta Y = D \times \cos(G)\) |
| Coordonnées Absolues | \(X_B = X_A + \Delta X\) \(Y_B = Y_A + \Delta Y\) |
Mini Fiche Mémo : Calcul de Coordonnées
| Étape | Formule Clé & Objectif |
|---|---|
| 1. Coordonnées Relatives | \(\Delta X = D \times \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \times \cos(G)\) Transformer les mesures polaires (angle, distance) en un déplacement cartésien. |
| 2. Coordonnées Absolues | \(X_{\text{final}} = X_{\text{départ}} + \Delta X\) et \(Y_{\text{final}} = Y_{\text{départ}} + \Delta Y\) Calculer la position finale en ajoutant le déplacement à la position de départ. |
Outil Interactif : Calculateur de Coordonnées
Modifiez les données de départ pour voir leur influence sur le point calculé.
Données de Départ (Point A)
Mesures vers B
Résultats Calculés (Point B)
\(X_B = \) -
\(Y_B = \) -
Le Saviez-Vous ?
La carte de Cassini, achevée au 18ème siècle, fut la première carte géométrique couvrant l'ensemble du royaume de France. Réalisée à l'échelle d'une ligne pour cent toises (environ 1/86 400), elle a nécessité plus de 60 ans de travail par quatre générations de la famille Cassini.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre une surface planimétrique et une surface réelle ?
La surface planimétrique est la surface mesurée sur un plan, comme si le terrain était parfaitement plat (projection horizontale). La surface réelle (ou topographique) tient compte de la pente du terrain. Pour un terrain en pente, la surface réelle est toujours supérieure à la surface planimétrique. Cet exercice ne traite que de la surface planimétrique.
Pourquoi utilise-t-on différentes échelles ?
Le choix de l'échelle dépend du niveau de détail requis. Une grande échelle (ex: 1/200) montre beaucoup de détails sur une petite zone (plan de bâtiment). Une petite échelle (ex: 1/250 000) montre peu de détails mais couvre une vaste région (carte routière).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un gisement de 300 grades correspond à une direction :
2. Si \(\Delta X\) est négatif et \(\Delta Y\) est positif, le point B se situe au...
- Coordonnées Absolues
- Position d'un point définie dans un système de référence global et unique, comme les coordonnées Lambert 93 en France.
- Coordonnées Relatives
- Position d'un point définie par rapport à un autre point connu, en utilisant une distance et une direction (gisement). Se note (\(\Delta X, \Delta Y\)).
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction du Nord (axe Y).
- Grade (gr)
- Unité d'angle où le cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 grades.
D’autres exercices de Fondamentaux de la topographie:
0 commentaires