Dans le cadre de projets d'infrastructure (routes, canalisationsOuvrage destiné au transport de fluides (eau, gaz, etc.)., voies ferrées), la définition précise de la géométrie est cruciale. Le topographe intervient pour implanter l'axe du projet sur le terrain. L'une des données fondamentales à calculer est le gisementAngle horizontal, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y), qui définit la direction d'une ligne. de chaque segment droit. Contrairement au cercle trigonométrique classique (sens anti-horaire, départ à l'Est), le gisement part du Nord et tourne dans le sens horaire (aiguilles d'une montre).

Remarque Pédagogique : Cet exercice traite le cas "idéal" du premier quadrant (Nord-Est). Maîtriser ce cas permet de comprendre la logique fondamentale (calcul des \(\Delta\), usage de l'Arctangente) avant de gérer les corrections de quadrants (Q2, Q3, Q4) qui ne sont que des ajustements arithmétiques.

Objectifs Pédagogiques

Différencier le repère topographique (Y=Nord) du repère mathématique standard.
Calculer rigoureusement les composantes vectorielles \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).
Utiliser la fonction Arctangente pour déterminer un angle géométrique non orienté.
Convertir un résultat angulaire de degrés décimaux vers le système des grades (gon).
Valider la cohérence d'un gisement par rapport à la position relative des points.

Données de l'étude : Implantation d'un collecteur

Dans le cadre de l'extension d'un réseau d'assainissement, vous devez implanter un tronçon rectiligne de collecteur pluvial entre deux regards de visite, notés A (amont) et B (aval). Le bureau d'études vous fournit les coordonnées planimétriques définitives dans le système national RGF93 projection Lambert 93.

Fiche Technique / Données (Système Lambert 93)

Point	Coordonnée Est (X)	Coordonnée Nord (Y)
Regard A (Départ)	120.45 m	350.15 m
Regard B (Arrivée)	185.60 m	470.90 m

Plan de situation (Schématique)

Questions à traiter

Calculer la variation des abscisses \(\Delta X\) entre les deux regards.
Calculer la variation des ordonnées \(\Delta Y\) entre les deux regards.
Déterminer l'angle auxiliaire \(V_{\text{m}}\) (gisement réduit) à l'aide de l'arc tangente.
En déduire le gisement topographique final \(G_{\text{AB}}\) exprimé en grades.

Les bases théoriques

Pour dimensionner et implanter correctement l'ouvrage, il est nécessaire de maîtriser les outils mathématiques de la géométrie plane appliquée.

Le Grade (gon)
C'est l'unité d'angle privilégiée des géomètres. Elle est décimale, ce qui simplifie les calculs mentaux : l'angle droit fait exactement 100 grades (au lieu de 90°), le plat 200 grades, et le tour complet 400 grades.

Conversion

1 \text{ gon} = \frac{\pi}{200} \text{ rad} = 0.9^{\circ}

Relation Gisement - Coordonnées
Tout segment AB peut être défini par ses projections sur les axes (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\)). Ces projections forment un triangle rectangle dont le gisement est l'un des angles.

Formule fondamentale

\tan(G) = \frac{\Delta X}{\Delta Y} = \frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}

Correction : Calcul de Gisement dans le Premier Quadrant

Question 1 : Calculer la variation des abscisses \(\Delta X\)

Principe

La variation d'abscisse \(\Delta X\) correspond à la distance projetée sur l'axe Est-Ouest. Elle quantifie le déplacement latéral pur pour aller du point A au point B.

Mini-Cours

En géométrie vectorielle, pour définir le vecteur \(\vec{AB}\), on soustrait toujours les coordonnées de l'origine (A) à celles de l'extrémité (B). C'est une règle absolue : "Arrivée moins Départ".

Remarque Pédagogique

Point Clé : Le signe du résultat est porteur d'information physique. Un signe positif signifie "vers l'Est", un signe négatif "vers l'Ouest". Conserver le signe est crucial pour la suite.

Normes

Dans le système Lambert 93, l'axe X est positif vers l'Est. Les coordonnées sont toujours positives en France métropolitaine pour éviter les erreurs de signe (grâce à l'ajout de constantes).

Formule(s)

Formule de la variation des abscisses

\Delta X = X_{\text{Arrivée}} - X_{\text{Départ}} = X_{\text{B}} - X_{\text{A}}

Hypothèses

On considère que les coordonnées fournies sont planes et que la courbure de la terre est négligeable sur cette courte distance (70-100m).

Donnée(s)

Point	Coordonnée X (Est)
A (Départ)	120.45 m
B (Arrivée)	185.60 m

Astuces

Vérification rapide : \(X_{\text{B}} > X_{\text{A}}\), donc on va vers l'Est (droite). Le résultat doit être positif.

Schéma (Avant calculs)

Calcul(s)

Pour déterminer le déplacement horizontal, nous soustrayons l'abscisse du point de départ à celle du point d'arrivée :

\begin{aligned} \Delta X &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \\ &= 185.60 - 120.45 \\ &= +65.15 \, \text{m} \end{aligned}

Nous obtenons une valeur positive de +65.15 m. Cela confirme que le mouvement se fait vers la droite sur l'axe des X (direction Est).

Réflexions

On obtient un déplacement de 65.15 mètres vers l'Est. Cette valeur servira de côté "Opposé" dans notre futur triangle rectangle (car le gisement est l'angle par rapport au Nord).

Points de vigilance

Inversion : Calculer \(X_{\text{A}} - X_{\text{B}}\) donnerait \(-65.15\), ce qui correspondrait au vecteur BA (retour). C'est l'erreur la plus fréquente.

Points à Retenir

Formule : \(X_{\text{fin}} - X_{\text{ini}}\).
Unité : Mètre (m).
Signification : Déplacement Est (+) / Ouest (-).

Le saviez-vous ?

Le terme "Abscisse" vient du latin linea abscissa, qui signifie "ligne coupée".

FAQ

Pourquoi ne pas utiliser des centimètres ?

En génie civil et topographie, le mètre est l'unité légale. Les centimètres (cm) ou millimètres (mm) sont utilisés pour exprimer la précision (ex: erreur de 3 mm), mais pas les coordonnées absolues.

Résultat Final : \(\Delta X = +65.15 \, \text{m}\).

A vous de jouer
Si le point A est à X=100 et le point B à X=50, que vaut \(\Delta X\) ?

📝 Mémo
On "avance" de A vers B : \(\Delta > 0\).

Question 2 : Calculer la variation des ordonnées \(\Delta Y\)

Principe

La variation des ordonnées, \(\Delta Y\), représente le déplacement vertical projeté sur l'axe Nord-Sud. C'est la distance "à vol d'oiseau" si l'on ne se déplaçait que vers le Nord.

Mini-Cours

En topographie, l'axe Y est généralement orienté vers le Nord Géographique ou le Nord de la projection. Une variation positive signifie qu'on se dirige vers le Nord.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Dans le calcul du gisement \(\tan(G) = \Delta X / \Delta Y\), le \(\Delta Y\) joue le rôle du côté adjacent à l'angle (car l'angle "touche" l'axe Y).

Normes

Standard ISO 80000-3 : Les coordonnées cartésiennes orthogonales spatiales.

Formule(s)

Formule de la variation des ordonnées

\Delta Y = Y_{\text{Arrivée}} - Y_{\text{Départ}} = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}

Hypothèses

Même repère orthonormé que pour les abscisses.

Donnée(s)

Point	Coordonnée Y (Nord)
A (Départ)	350.15 m
B (Arrivée)	470.90 m

Astuces

Si \(Y_{\text{B}} > Y_{\text{A}}\), vous "montez" sur la carte (Nord), donc \(\Delta Y\) est positif. Si \(Y_{\text{B}} < Y_{\text{A}}\), vous "descendez" (Sud).

Schéma (Avant calculs)

Calcul(s)

De même pour le déplacement vertical, nous soustrayons l'ordonnée du point de départ à celle de l'arrivée :

\begin{aligned} \Delta Y &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \\ &= 470.90 - 350.15 \\ &= +120.75 \, \text{m} \end{aligned}

Le résultat positif de +120.75 m indique que le point B est situé "plus haut" que le point A sur la carte, c'est-à-dire vers le Nord.

Réflexions

Un \(\Delta Y\) positif indique un déplacement de 120.75 m vers le Nord. C'est cohérent avec les coordonnées (470 > 350).

Points de vigilance

Confusion Colonnes : Ne mélangez pas les X et les Y. Une astuce consiste à surligner les colonnes de votre tableau de données avec des couleurs différentes.

Points à Retenir

\(\Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}\).
C'est le dénominateur dans la formule de la tangente.

Le saviez-vous ?

Dans les coordonnées maritimes (latitude), 1 minute d'angle correspond à environ 1852 mètres (un mille nautique), ce qui est aussi une forme de coordonnée Y.

FAQ

Que faire si \(\Delta Y = 0\) ?

Cela signifie que les deux points sont sur la même ligne Est-Ouest. On ne peut pas diviser par zéro dans la formule de la tangente. Le gisement est alors soit 100 gon (Est) soit 300 gon (Ouest) selon le signe de \(\Delta X\).

Résultat Final : \(\Delta Y = +120.75 \, \text{m}\).

A vous de jouer
Si vous partez de Y=500 (A) pour aller à Y=200 (B), que vaut \(\Delta Y\) ?

📝 Mémo
\(\Delta Y > 0 \rightarrow\) Vers le Nord.

Question 3 : Calculer l'angle brut \(V_{\text{m}}\)

Principe

Nous avons formé un triangle rectangle dont les cathètes sont \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Nous cherchons l'angle géométrique aigu à l'intérieur de ce triangle. C'est une étape intermédiaire purement géométrique, indépendante de l'orientation finale.

Mini-Cours

En trigonométrie, dans un triangle rectangle : \(\tan(\alpha) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}\).
Ici, l'angle est par rapport à la verticale (Y).
Donc : Opposé = \(\Delta X\) et Adjacent = \(\Delta Y\).
On utilise la fonction inverse \(\arctan\) (ou \(\tan^{-1}\)) pour retrouver l'angle.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Pour calculer cet angle "brut" \(V_{\text{m}}\), on utilise toujours les valeurs absolues \(|\Delta X|\) et \(|\Delta Y|\). Cela garantit d'obtenir un petit angle positif (entre 0 et 100 gon), facile à manipuler pour la correction de quadrant.

Normes

Le résultat doit être exprimé en Grades (gon), l'unité standard des théodolites et stations totales.
Rappel : \(360^{\circ} = 400 \, \text{gon}\).

Formule(s)

Formule de l'angle réduit (Vm)

V_{\text{m}} = \arctan\left(\frac{|\Delta X|}{|\Delta Y|}\right)

Hypothèses

Le triangle est plan (courbure négligée). La calculatrice doit être paramétrée correctement.

Donnée(s)

Variable	Valeur
\(\|\Delta X\|\) (Opposé)	65.15 m
\(\|\Delta Y\|\) (Adjacent)	120.75 m

Astuces

Vérifiez le mode de votre calculatrice !
- Si elle est en DEG : Multipliez le résultat par \(400/360\) (soit \(1.111...\)).
- Si elle est en GRAD/GON : Le résultat est direct.

Schéma (Le triangle de calcul)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du rapport trigonométrique
Nous calculons d'abord le rapport entre le côté opposé (le déplacement Est) et le côté adjacent (le déplacement Nord) :

\begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{|\Delta X|}{|\Delta Y|} \\ &= \frac{65.15}{120.75} \\ &\approx 0.53958178... \end{aligned}

Étape 2 : Détermination de l'angle en degrés
La fonction Arc Tangente nous permet de retrouver l'angle correspondant à ce rapport. Si la calculatrice est en degrés :

\begin{aligned} \theta_{\text{deg}} &= \arctan(0.53958178) \\ &\approx 28.34905^{\circ} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en Grades
En topographie, l'unité légale est le grade. Nous convertissons le résultat en utilisant le rapport 400/360 :

\begin{aligned} V_{\text{m}} &= 28.34905 \times \frac{400}{360} \\ &= 28.34905 \times 1.1111... \\ &\approx 31.4989 \, \text{gon} \end{aligned}

Nous obtenons un angle d'environ 31.5 grades, ce qui correspond à un angle assez aigu par rapport au Nord, cohérent avec le fait que \(\Delta Y\) (adjacent) est plus grand que \(\Delta X\) (opposé).

Réflexions

L'angle est inférieur à 50 gon (45°), ce qui est logique car \(\Delta Y > \Delta X\) (on monte plus qu'on ne va vers la droite).

Points de vigilance

Erreur de formule : Ne faites pas \(\Delta Y / \Delta X\). Cela donnerait l'angle par rapport à l'axe X, ce qui fausserait tout le calcul topographique ultérieur.

Points à Retenir

Toujours \(|\Delta X| / |\Delta Y|\).
Un angle en grades a toujours 4 décimales significatives (ex: 31.4989).

Le saviez-vous ?

Le milligrade (3ème décimale) correspond à un écart de 1.57 cm à 1 km de distance. La 4ème décimale (le décimilligrade) est la précision standard des stations totales modernes.

FAQ

Puis-je utiliser la fonction 'Pol' de la calculatrice ?

Oui ! La fonction `Pol(ΔY, ΔX)` (ou `Rect->Pol`) sur les calculatrices Casio/Ti donne directement la distance et l'angle. Attention à l'ordre des arguments qui varie selon les modèles.

Résultat Final : \(V_{\text{m}} \approx 31.4989 \, \text{gon}\).

A vous de jouer
Si \(\Delta X = 100\) et \(\Delta Y = 100\), quel est l'angle en grades ?

📝 Mémo
\(V_{\text{m}}\) est toujours positif et < 100 gon.

Question 4 : Déterminer le gisement final \(G_{\text{AB}}\)

Principe

L'angle \(V_{\text{m}}\) calculé précédemment est purement géométrique. Il faut maintenant le positionner sur le cercle complet (0-400 gon) en fonction de la direction du vecteur (Nord-Est, Sud-Est, Sud-Ouest, ou Nord-Ouest). C'est l'étape de "l'orientation".

Mini-Cours

On divise le plan en 4 quadrants selon les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) :
Quadrant 1 (N-E) : \(\Delta X+, \Delta Y+\) \(\rightarrow G = V_{\text{m}}\)
Quadrant 2 (S-E) : \(\Delta X+, \Delta Y-\) \(\rightarrow G = 200 - V_{\text{m}}\)
Quadrant 3 (S-O) : \(\Delta X-, \Delta Y-\) \(\rightarrow G = 200 + V_{\text{m}}\)
Quadrant 4 (N-O) : \(\Delta X-, \Delta Y+\) \(\rightarrow G = 400 - V_{\text{m}}\)

Remarque Pédagogique

Point Clé : Dans notre exercice, nous avons trouvé \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\). Nous sommes donc dans le Quadrant 1. C'est le cas le plus simple où l'angle calculé est directement le gisement.

Normes

Un gisement doit toujours être positif et compris strictement entre 0 et 400 grades. Il s'exprime généralement avec 3 ou 4 décimales.

Formule(s)

Formule pour le quadrant 1

G_{\text{AB}} = V_{\text{m}}

Hypothèses

Application de la règle des quadrants topographiques standard.

Donnée(s)

Donnée	Valeur / Signe
Signe \(\Delta X\)	Positif (+) \(\rightarrow\) Est
Signe \(\Delta Y\)	Positif (+) \(\rightarrow\) Nord
\(V_{\text{m}}\)	31.4989 gon

Astuces

Dessinez toujours un petit repère en croix et placez votre vecteur approximativement. Cela permet de vérifier visuellement si le résultat (ex: 31 gon) est cohérent (flèche vers le haut-droite).

Schéma (Situation Finale)

Calcul(s)

Analyse du quadrant :

\(\Delta X > 0\) (Positif)
\(\Delta Y > 0\) (Positif)

Nous sommes dans le 1er Quadrant. La formule est donc une simple égalité sans ajout de constante.

Application :

\begin{aligned} G_{\text{AB}} &= V_{\text{m}} + 0 \\ &= 31.4989 \, \text{gon} \end{aligned}

Le gisement final est donc directement égal à l'angle calculé. Il s'agit de la direction à suivre depuis le Nord pour atteindre le point B.

Réflexions

Le gisement de 31.5 gon indique une direction Nord-Nord-Est. C'est cohérent avec le tracé d'un collecteur qui doit suivre la pente naturelle du terrain ou la voirie.

Points de vigilance

Ne pas s'arrêter là : Dans un cas réel, vérifiez toujours si vous avez besoin du gisement AB (aller) ou BA (retour). Ils diffèrent de 200 grades.

Points à Retenir

Identifier le quadrant est l'étape la plus importante pour éviter les erreurs grossières (de 100 ou 200 grades).
Un gisement est une direction unique et universelle pour tous les intervenants du chantier.

Le saviez-vous ?

En programmation informatique (Python, JS, Excel), la fonction `atan2(dx, dy)` gère automatiquement ces quadrants et renvoie directement le bon angle (souvent en radians) !

FAQ

Quel est le gisement inverse G(BA) ?

Pour regarder de B vers A, on fait demi-tour : \(G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} + 200 = 231.4989\) gon.

Résultat Final : \(G_{\text{AB}} = 31.4989 \, \text{gon}\).

A vous de jouer
Si \(\Delta X = 50\) et \(\Delta Y = -50\) (Quadrant 2), le gisement serait-il 150 ou 250 gon ?

📝 Mémo
Q1 : Pas de calcul. Q2/Q3 : Base 200. Q4 : Base 400.

Schéma Bilan de l'Exercice

Ce schéma résume la situation géométrique complète : les points, les deltas et le gisement final.

📝 Grand Mémo : La méthode infaillible

Pour réussir tout calcul de gisement, suivez cet algorithme mental :

1️⃣
Calculer les Deltas : Toujours (Arrivée - Départ). Attention aux signes !
2️⃣
Calculer l'Angle Réduit : \(V_{\text{m}} = \arctan(|\Delta X|/|\Delta Y|)\). C'est toujours positif.
3️⃣
Appliquer la Correction de Quadrant :
- (+,+) \(\rightarrow\) Q1 : \(G = V_{\text{m}}\)
- (+,-) \(\rightarrow\) Q2 : \(G = 200 - V_{\text{m}}\)
- (-,-) \(\rightarrow\) Q3 : \(G = 200 + V_{\text{m}}\)
- (-,+) \(\rightarrow\) Q4 : \(G = 400 - V_{\text{m}}\)

"En topographie, perdre le Nord n'est pas une option, c'est une faute de calcul !"

🎛️ Simulateur interactif de Gisement

Modifiez les coordonnées des points pour voir l'impact sur le vecteur et le calcul.

Coordonnées

Point A (X) : 120.45 m

Point A (Y) : 350.15 m

Point B (X) : 185.60 m

Point B (Y) : 470.90 m

Delta X : -

Delta Y : -

Gisement (gon) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Un gisement de 200 gon correspond à une direction :

Plein Nord.
Plein Sud.
Plein Est.

2. Si \(\Delta X = -50\) et \(\Delta Y = -100\), dans quel quadrant se situe le gisement ?

Premier (N-E)
Deuxième (S-E)
Troisième (S-O)

📚 Glossaire

Gisement: Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence du Nord (axe Y). Il permet d'orienter une direction sur une carte ou un plan.
Coordonnées Rectangulaires: Système de localisation d'un point dans un plan à l'aide de deux valeurs : une abscisse (X, souvent Est) et une ordonnée (Y, souvent Nord).
Quadrant: Chacune des quatre régions du plan définies par les axes de coordonnées. En topographie, ils sont numérotés de 1 à 4 dans le sens horaire (NE, SE, SO, NO).
Grade (gon): Unité d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 grades. 1 gon = 0.9 degré.

Le Saviez-vous ?

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Calcul de Gisement dans le Premier Quadrant

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude : Implantation d'un collecteur

Fiche Technique / Données (Système Lambert 93)

Plan de situation (Schématique)

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul de Gisement dans le Premier Quadrant

Question 1 : Calculer la variation des abscisses \(\Delta X\)

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Question 2 : Calculer la variation des ordonnées \(\Delta Y\)

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