Étude Topographique

Piquetage d’une courbe

Topographie : Calcul de Piquetage d'une Courbe (Raccordement Circulaire)

Calcul de piquetage d'une courbe (raccordement circulaire)

Contexte : Raccorder deux Lignes Droites

En conception routière, il est rare que deux routes se croisent à angle vif. On utilise des courbes, appelées raccordements circulaires, pour assurer une transition fluide et sécuritaire entre deux alignements droits. Le calcul de piquetage d'une telle courbe est une tâche essentielle qui consiste à déterminer les coordonnées des points clés du raccordement : le sommet des tangentes, les points de début et de fin de la courbe (points de tangence), et des points intermédiaires sur l'arc pour guider les travaux.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un problème de géométrie classique en topographie. Il demande de calculer les caractéristiques d'un triangle formé par les deux alignements et de déduire ensuite tous les éléments de la courbe (tangentes, développement, etc.) avant de pouvoir calculer les coordonnées des points à piqueter.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le point d'intersection de deux droites (Sommet).
  • Déterminer les éléments caractéristiques d'un raccordement circulaire (tangente, développement, angle au centre).
  • Calculer les coordonnées des points de tangence (début et fin de la courbe).
  • Calculer les coordonnées de points intermédiaires sur l'arc de cercle.
  • Préparer une fiche de piquetage complète pour l'ensemble des points de la courbe.

Données de l'étude

Un géomètre doit calculer les éléments de piquetage pour un raccordement circulaire entre deux alignements droits. L'axe 1 est défini par les points A et S (Sommet), et l'axe 2 par les points S et B. Il doit implanter le point de tangence d'entrée (T1), le point de tangence de sortie (T2) et un point au milieu de l'arc (Pmilieu).

Schéma du Raccordement
A S B T1 T2 C

Coordonnées des points définissant les axes (m) :

  • Point A : X = 1000.00 ; Y = 1500.00
  • Sommet S : X = 1130.00 ; Y = 1350.00
  • Point B : X = 1260.00 ; Y = 1400.00

Caractéristique de la courbe :

  • Rayon du raccordement (R) : 50.00 m

Questions à traiter

  1. Calculer les gisements des alignements G(A-S) et G(S-B).
  2. Calculer les éléments de la courbe : l'angle au sommet (Ω), la longueur de la tangente (ST), le développement de l'arc (L) et l'angle au centre (θ).
  3. Calculer les coordonnées des points T1, T2 et du centre C.

Correction : Piquetage d'une courbe

Question 1 : Gisements des Alignements

Principe :
A S B

La première étape est de déterminer les directions des deux lignes droites qui doivent être raccordées. On calcule pour cela le gisement de chaque alignement à partir des coordonnées des points qui les définissent.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ces deux gisements sont la base de tout le problème. La différence entre eux nous donnera l'angle au sommet, qui est essentiel pour calculer tous les autres éléments de la courbe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G = \arctan\left(\frac{X_{\text{fin}} - X_{\text{début}}}{Y_{\text{fin}} - Y_{\text{début}}}\right) \]
Donnée(s) :
  • A(1000.00, 1500.00)
  • S(1130.00, 1350.00)
  • B(1260.00, 1400.00)
Calcul(s) :
\[ G_{\text{A-S}} = \arctan\left(\frac{1130.00 - 1000.00}{1350.00 - 1500.00}\right) + 200 = 152.2388 \, \text{gon} \]
\[ G_{\text{S-B}} = \arctan\left(\frac{1260.00 - 1130.00}{1400.00 - 1350.00}\right) = 78.4349 \, \text{gon} \]
Points de vigilance :

Ajustement de quadrant : L'erreur la plus commune est d'oublier d'ajuster le résultat de l'arctangente. Une analyse des signes de ΔX et ΔY est indispensable pour situer la direction dans le bon quadrant et appliquer la bonne correction (+200 ou +400 gon).

Le saviez-vous ?

Les logiciels de conception routière (comme Covadis ou Mensura) automatisent entièrement ces calculs. Le projeteur dessine les axes et définit un rayon, et le logiciel calcule instantanément tous les éléments de la courbe et les coordonnées des points caractéristiques.

FAQ en rapport avec la question :
Le point B est-il nécessaire pour ce calcul ?

Oui, absolument. Sans le point B (ou un autre point sur le deuxième alignement), on ne peut pas définir la direction de la deuxième droite, et donc on ne peut pas calculer l'angle au sommet S ni les éléments du raccordement.

Résultat : G(A-S) = 152.2388 gon et G(S-B) = 78.4349 gon.

Question 2 : Calcul des Éléments de la Courbe

Principe :
A B S ST ST L

À partir des gisements, on calcule l'angle au sommet S, puis l'angle au centre C de la courbe. La trigonométrie dans le triangle (T1, S, C) nous permet de trouver la longueur de la tangente ST. Le développement (longueur de l'arc) est proportionnel au rayon et à l'angle au centre.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Comprendre les relations géométriques dans le triangle formé par le sommet S et les points de tangence T1 et T2 avec le centre C est essentiel. Ce triangle est isocèle en S, et la bissectrice de l'angle en S passe par le centre C.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Omega = G_{\text{entrant}} - G_{\text{sortant}} \pm 200 \]
\[ \theta = 200 - \Omega \]
\[ ST = R \times \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) \]
\[ L = R \times \frac{\pi \times \theta}{200} \]
Donnée(s) :
  • G(A-S) = 152.2388 gon
  • G(S-B) = 78.4349 gon
  • Rayon R = 50.00 m
Calcul(s) :
\[ \Omega = 152.2388 - 78.4349 = 73.8039 \, \text{gon} \]
\[ \theta = 200 - 73.8039 = 126.1961 \, \text{gon} \]
\[ ST = 50.00 \times \tan\left(\frac{126.1961}{2}\right) = 50.00 \times \tan(63.09805) = 66.86 \, \text{m} \]
\[ L = 50.00 \times \frac{\pi \times 126.1961}{200} = 99.11 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Calcul de l'angle au sommet : L'angle Ω est l'angle entre les deux alignements. Il se calcule par la différence des gisements. Il faut être vigilant sur le sens de la soustraction pour obtenir un angle interne positif et inférieur à 200 gon.

Le saviez-vous ?

La distance entre le sommet S et le milieu de la courbe, appelée "flèche", est un autre élément caractéristique. Elle est souvent utilisée pour des vérifications rapides sur le terrain et se calcule par \( f = R \left( \frac{1}{\cos(\theta/2)} - 1 \right) \).

FAQ en rapport avec la question :
Qu'est-ce que le "développement" ?

Le développement (L) est la longueur réelle de l'arc de cercle que parcourrait une voiture en suivant la courbe. C'est une information essentielle pour le calcul des métrés de matériaux (enrobé, peinture, etc.).

Résultat : Tangente ST = 66.86 m, Développement L = 99.11 m, Angle au centre θ = 126.1961 gon.

Question 3 : Coordonnées des Points Clés (T1, T2, C)

Principe :

Les points de tangence T1 et T2 sont calculés par rayonnement depuis le sommet S. T1 est sur l'alignement entrant (A-S), et T2 sur l'alignement sortant (S-B), à une distance ST du sommet. Le centre C est ensuite calculé par rayonnement depuis T1, sur une direction perpendiculaire à l'axe A-S.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul des coordonnées des points de tangence est la dernière étape avant de pouvoir définir les points sur la courbe elle-même. Ils servent de "portes d'entrée et de sortie" pour le raccordement circulaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{T1}} = X_{\text{S}} + ST \times \sin(G_{\text{S-A}}) \]
\[ Y_{\text{T1}} = Y_{\text{S}} + ST \times \cos(G_{\text{S-A}}) \]
\[ X_{\text{T2}} = X_{\text{S}} + ST \times \sin(G_{\text{S-B}}) \]
\[ Y_{\text{T2}} = Y_{\text{S}} + ST \times \cos(G_{\text{S-B}}) \]
\[ X_{\text{C}} = X_{\text{T1}} + R \times \sin(G_{\text{A-S}} + 100) \]
Calcul(s) :
\[ G_{\text{S-A}} = 152.2388 + 200 = 352.2388 \, \text{gon} \]
\[ X_{\text{T1}} = 1130.00 + 66.86 \times \sin(352.2388) = 1076.62 \, \text{m} \]
\[ Y_{\text{T1}} = 1350.00 + 66.86 \times \cos(352.2388) = 1424.96 \, \text{m} \]
\[ X_{\text{T2}} = 1130.00 + 66.86 \times \sin(78.4349) = 1195.14 \, \text{m} \]
\[ Y_{\text{T2}} = 1350.00 + 66.86 \times \cos(78.4349) = 1376.62 \, \text{m} \]
\[ X_{\text{C}} = 1076.62 + 50.00 \times \sin(152.2388 + 100) = 1076.62 - 47.76 = 1028.86 \, \text{m} \]
\[ Y_{\text{C}} = 1424.96 + 50.00 \times \cos(252.2388) = 1424.96 - 14.78 = 1410.18 \, \text{m} \]
Résultat : T1(1076.62, 1424.96), T2(1195.14, 1376.62), C(1028.86, 1410.18).

Simulation de Raccordement

Modifiez le rayon de la courbe pour voir son influence sur la longueur de la tangente (ST) et la position des points de raccordement.

Paramètres de la Courbe
Longueur Tangente (ST)
Développement (L)
Géométrie du Raccordement

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Piquetage par abscisses et ordonnées : Une autre méthode courante pour piquetier une courbe est de le faire par "abscisses et ordonnées sur la tangente". On prolonge l'alignement droit et on calcule, pour des abscisses régulières (tous les 10m par exemple), la distance perpendiculaire (ordonnée) pour rejoindre la courbe. C'est une méthode pratique quand on ne peut pas stationner au centre du cercle.

Le Saviez-Vous ?

Dans les projets très contraints, il arrive que les deux alignements ne se coupent pas et qu'on doive les raccorder par une courbe qui leur est tangente à tous les deux. Le calcul devient plus complexe et implique de trouver un cercle "bi-tangent" à deux droites.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment sait-on si le virage est à droite ou à gauche ?

Cela dépend du sens de parcours du projet et de la valeur des gisements. Si le gisement de l'axe de sortie est inférieur à celui de l'axe d'entrée (comme ici, 78 < 152), le tracé tourne dans le sens horaire, c'est un virage à droite. S'il était supérieur, ce serait un virage à gauche.

Qu'est-ce que le "décalage de l'axe" ?

Souvent, les plans ne donnent pas l'axe de la route mais le bord de la chaussée (la bordure). Le géomètre doit alors calculer l'axe en appliquant un décalage (offset) perpendiculaire à la définition du projet. Tous les calculs de piquetage se font ensuite par rapport à cet axe théorique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle au sommet Ω est de 50 gon, l'angle au centre θ de la courbe de raccordement est de :

2. Si on augmente le rayon d'un raccordement circulaire, la longueur de la tangente ST :

Glossaire

Raccordement Circulaire
Arc de cercle utilisé pour relier deux alignements droits de manière tangente.
Sommet (S)
Point d'intersection (théorique) des deux alignements droits que la courbe raccorde.
Tangente (ST)
Distance entre le sommet (S) et le début (T1) ou la fin (T2) de la courbe.
Développement (L)
Longueur de l'arc de cercle entre les deux points de tangence T1 et T2.
Topographie : Piquetage d'une courbe

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