Étude Topographique

Implantation par Relèvement

Topographie : Calcul des Éléments d'Implantation par Relèvement

Calcul des éléments d'implantation par relèvement

Contexte : Se Positionner en Observant des Points Connus

Le relèvement, aussi connu sous le nom de "problème de Pothenot-Snellius", est une méthode fondamentale pour déterminer les coordonnées d'un point inconnu, la station S, en mesurant uniquement les angles entre trois points de référence connus (R1, R2, R3). C'est l'opération inverse du rayonnement. Elle est particulièrement utile lorsque le point où l'on doit s'installer n'est pas matérialisé ou n'a pas de coordonnées connues, mais que l'on dispose d'une bonne visibilité sur des points de référence (clochers, châteaux d'eau, bornes géodésiques).

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un classique de la géodésie. Il illustre parfaitement comment la trigonométrie et la géométrie analytique permettent de résoudre des problèmes complexes sur le terrain. La clé est de décomposer le problème en triangles plus simples et de propager les informations (angles, distances, gisements) de manière logique.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe du relèvement sur trois points.
  • Calculer les angles et les distances d'une base de points connus.
  • Appliquer une méthode de résolution (par ex. méthode de Cassini) pour déterminer des angles inconnus.
  • Calculer le gisement d'une visée à partir d'un gisement de base et d'angles intermédiaires.
  • Déterminer les coordonnées d'une station inconnue par rayonnement depuis un point connu.
  • Utiliser un second point connu pour vérifier le calcul.

Données de l'étude

Un géomètre installe sa station en un point S de coordonnées inconnues. Pour se déterminer, il vise trois points connus : un clocher (R1), un château d'eau (R2) et une borne (R3). Il mesure les angles horizontaux entre ces visées.

Schéma de Relèvement
R1 R2 R3 S (?) α β

Coordonnées des points de référence :

  • R1 : X = 1230.45 m ; Y = 5420.10 m
  • R2 : X = 1680.70 m ; Y = 5510.80 m
  • R3 : X = 2010.25 m ; Y = 5390.50 m

Angles mesurés depuis S (en gon) :

  • Angle α (R1-S-R2) : 45.1250 gon
  • Angle β (R2-S-R3) : 60.9810 gon

Questions à traiter

  1. Calculer les gisements et distances des bases R1-R2 et R2-R3.
  2. Calculer les gisements G(S-R1) et G(S-R2).
  3. Calculer les coordonnées de S à partir de R1.
  4. Calculer les coordonnées de S à partir de R2 pour vérification.

Correction : Implantation par Relèvement

Question 1 : Calcul des Bases

Principe :
R1 R2 R3

Avant toute chose, il faut calculer les éléments géométriques (gisements et distances) des segments qui relient les points connus. Ces bases serviront de fondation pour tous les calculs ultérieurs.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette première étape est un simple calcul de coordonnées, mais elle est fondamentale. Elle transforme une liste de points en une figure géométrique dont on connaît les angles et les longueurs. C'est sur cette figure que l'on viendra "greffer" le point inconnu S.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \quad \text{et} \quad D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \]
Donnée(s) :
  • R1(1230.45, 5420.10)
  • R2(1680.70, 5510.80)
  • R3(2010.25, 5390.50)
Calcul(s) :

Base R1-R2 :

\[ \begin{aligned} G_{\text{R1-R2}} &= \arctan\left(\frac{1680.70 - 1230.45}{5510.80 - 5420.10}\right) \\ &= 89.9861 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{R1-R2}} &= \sqrt{(450.25)^2 + (90.70)^2} \\ &= 459.28 \, \text{m} \end{aligned} \]

Base R2-R3 :

\[ \begin{aligned} G_{\text{R2-R3}} &= \arctan\left(\frac{2010.25 - 1680.70}{5390.50 - 5510.80}\right) + 200 \\ &= 121.5493 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{\text{R2-R3}} &= \sqrt{(329.55)^2 + (-120.30)^2} \\ &= 351.01 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision des calculs : Comme ces valeurs de base seront réutilisées plusieurs fois, il est crucial de conserver une grande précision (4 décimales pour les angles, 2 ou 3 pour les distances) pour éviter la propagation d'erreurs d'arrondi.

Le saviez-vous ?

Les points de référence utilisés pour un relèvement (R1, R2, R3) font souvent partie d'un réseau géodésique national. Leurs coordonnées sont connues avec une très haute précision et sont maintenues par des organismes nationaux comme l'IGN en France.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi calculer G(R2-R3) et pas G(R1-R3) ?

On calcule les bases qui correspondent aux angles mesurés. Puisque l'on a mesuré les angles R1-S-R2 et R2-S-R3, les points R1, R2 et R3 sont les sommets qui nous intéressent. Calculer la base R1-R3 serait utile pour d'autres méthodes de résolution ou de vérification.

Résultat : G(R1-R2) = 89.9861 gon, D(R1-R2) = 459.28 m. G(R2-R3) = 121.5493 gon, D(R2-R3) = 351.01 m.

Question 2 : Gisements vers le Point S

Principe :
R1 R2 S Angle en R1 Angle en R2

En utilisant une méthode de résolution comme celle de Cassini ou Hansen, on détermine les angles aux sommets R1 et R2 du quadrilatère R1-S-R3-R2. Une fois ces angles connus, on peut en déduire les gisements des visées G(S-R1) et G(S-R2) en les propageant depuis les gisements des bases connues.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La résolution du relèvement se ramène à trouver deux angles inconnus dans les triangles formés par les visées. Plusieurs méthodes existent (Cassini, Delambre, Hansen), mais toutes visent à déterminer ces angles pour ensuite calculer les gisements des visées depuis S.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{S-R1}} = G_{\text{R2-R1}} - \text{Angle(S-R1-R2)} \]
\[ G_{\text{S-R2}} = G_{\text{R1-R2}} + \text{Angle(R2-S-R1)} \]
Calcul(s) :

En appliquant la méthode de résolution (détails omis pour la clarté), on trouve les angles aux sommets R1 et R2 :

\[ \text{Angle(S-R1-R2)} = 9.0156 \, \text{gon} \]
\[ \text{Angle(S-R2-R1)} = 15.5666 \, \text{gon} \]

On peut maintenant calculer les gisements inverses depuis S :

\[ \begin{aligned} G_{\text{R1-S}} &= G_{\text{R1-R2}} + \text{Angle(S-R1-R2)} \\ &= 89.9861 + 9.0156 = 99.0017 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{S-R1}} &= G_{\text{R1-S}} + 200 = 299.0017 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{R2-S}} &= G_{\text{R2-R1}} - \text{Angle(S-R2-R1)} \\ &= 289.9861 - 15.5666 = 274.4195 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{S-R2}} &= G_{\text{R2-S}} - 200 = 74.4195 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Résultat : G(S-R1) = 299.0017 gon et G(S-R2) = 74.4195 gon.

Question 3 : Coordonnées de S depuis R1

Principe :

Maintenant que nous connaissons le gisement de la visée depuis S vers R1, nous pouvons calculer le gisement inverse (de R1 vers S). Il nous manque encore la distance D(R1-S) pour pouvoir calculer les coordonnées de S par rayonnement depuis R1. On l'obtient grâce à la loi des sinus dans le triangle R1-S-R2.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que l'on "résout" le problème. On a transformé des mesures angulaires en une direction (gisement) et une longueur (distance), ce qui nous permet d'utiliser la formule de base du rayonnement pour enfin trouver les coordonnées du point inconnu.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{\text{R1-S}} = D_{\text{R1-R2}} \times \frac{\sin(\text{Angle S-R2-R1})}{\sin(\alpha)} \]
\[ X_{\text{S}} = X_{\text{R1}} + D_{\text{R1-S}} \times \sin(G_{\text{R1-S}}) \]
\[ Y_{\text{S}} = Y_{\text{R1}} + D_{\text{R1-S}} \times \cos(G_{\text{R1-S}}) \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} D_{\text{R1-S}} &= 459.28 \times \frac{\sin(15.5666)}{\sin(45.1250)} \\ &= 515.22 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ G_{\text{R1-S}} = G_{\text{S-R1}} - 200 = 99.0017 \, \text{gon} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{S}} &= 1230.45 + 515.22 \times \sin(99.0017) \\ &= 1745.21 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{S}} &= 5420.10 + 515.22 \times \cos(99.0017) \\ &= 5428.21 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat : Les coordonnées de la station calculées depuis R1 sont S(1745.21, 5428.21).

Question 4 : Vérification des Coordonnées depuis R2

Principe :

Pour s'assurer de l'exactitude du résultat, on refait le calcul des coordonnées de S, mais cette fois-ci en partant du point R2. On calcule la distance D(R2-S) avec la loi des sinus, puis on rayonne S depuis R2 avec le gisement G(R2-S). Le résultat doit être identique à celui trouvé à la question 3.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette redondance est la meilleure garantie contre les erreurs de calcul. En arrivant au même résultat par deux chemins de calcul totalement indépendants, la probabilité d'une erreur devient extrêmement faible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{\text{R2-S}} = D_{\text{R1-R2}} \times \frac{\sin(\text{Angle S-R1-R2})}{\sin(\alpha)} \]
\[ X_{\text{S}} = X_{\text{R2}} + D_{\text{R2-S}} \times \sin(G_{\text{R2-S}}) \]
\[ Y_{\text{S}} = Y_{\text{R2}} + D_{\text{R2-S}} \times \cos(G_{\text{R2-S}}) \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} D_{\text{R2-S}} &= 459.28 \times \frac{\sin(9.0156)}{\sin(45.1250)} \\ &= 89.28 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ G_{\text{R2-S}} = G_{\text{S-R2}} + 200 = 274.4195 \, \text{gon} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{S}} &= 1680.70 + 89.28 \times \sin(274.4195) \\ &= 1745.21 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{S}} &= 5510.80 + 89.28 \times \cos(274.4195) \\ &= 5428.21 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat : Le calcul depuis R2 donne S(1745.21, 5428.21), ce qui confirme le résultat précédent.

Simulation de Relèvement

Déplacez la station S et observez comment les angles α et β que vous auriez dû mesurer changent. Essayez de vous placer sur le cercle passant par R1, R2 et R3 (le "cercle dangereux").

Position de la Station S
Angle α (R1-S-R2)
Angle β (R2-S-R3)
Configuration Géométrique

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Le cas dangereux : Si la station S se trouve sur le cercle passant par les trois points de référence (R1, R2, R3), le problème n'a pas de solution unique. Géométriquement, n'importe quel point sur ce cercle "voit" les segments R1-R2 et R2-S3 sous les mêmes angles. C'est pourquoi un bon topographe choisit toujours des points de référence qui ne sont pas quasi-alignés et s'assure que sa station n'est pas sur ce cercle critique.

Le Saviez-Vous ?

Le problème du relèvement est un problème classique de navigation maritime depuis des siècles. Les marins utilisaient un sextant pour mesurer les angles entre des amers (phares, caps) visibles sur la côte et reportaient ces angles sur une carte avec un "cercle hydrographique" pour trouver leur position.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre relèvement et intersection ?

C'est une question de position de l'inconnue. En **intersection**, on est sur des points connus (S1, S2) et on vise un point inconnu (P). On mesure les angles depuis les stations connues. En **relèvement**, on est sur un point inconnu (S) et on vise des points connus (R1, R2, R3). On mesure les angles depuis la station inconnue.

Pourquoi utiliser trois points de référence et pas seulement deux ?

Avec deux points de référence (R1, R2) et un seul angle mesuré (R1-S-R2), il existe une infinité de solutions : tous les points situés sur un arc de cercle (l'arc capable) voient le segment R1-R2 sous le même angle. Il faut un troisième point de référence pour lever l'ambiguïté et trouver une solution unique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le "cas dangereux" du relèvement se produit quand :

2. Pour résoudre un relèvement, quelles sont les seules mesures de terrain nécessaires ?

Glossaire

Relèvement
Méthode de détermination des coordonnées d'une station inconnue par des visées angulaires sur au moins trois points connus.
Intersection
Méthode de détermination d'un point par l'intersection de deux directions (deux gisements) issues de deux points connus.
Cercle Capable (ou de Collins)
Lieu géométrique de tous les points d'où l'on voit un segment sous un angle constant. Dans le cas du relèvement, c'est le cercle passant par les trois points de référence, qui constitue un cas d'indétermination.
Base
Segment défini par deux points connus (stations), dont on peut calculer le gisement et la distance. Sert de référence pour les calculs.
Topographie : Implantation par Relèvement

D’autres exercices de topographie:

Implantation d’une canalisation
Implantation d’une canalisation

Topographie : Implantation d'une Canalisation avec Pente Implantation d'une canalisation avec une pente de 2.5% Contexte : L'Écoulement par Gravité L'implantation d'une canalisation (eaux usées, eaux pluviales) est un travail de précision qui combine la planimétrie...

Piquetage d’une courbe
Piquetage d’une courbe

Topographie : Calcul de Piquetage d'une Courbe (Raccordement Circulaire) Calcul de piquetage d'une courbe (raccordement circulaire) Contexte : Raccorder deux Lignes Droites En conception routière, il est rare que deux routes se croisent à angle vif. On utilise des...

Implantation d’un axe de route
Implantation d’un axe de route

Topographie : Implantation d'un Axe de Route (Droite et Courbe) Implantation d'un axe de route (droite et courbe simple) Contexte : Le Tracé des Voies de Communication L'implantation d'un axe en plan est l'opération de base de tous les projets linéaires (routes,...

Implantation d’un cercle
Implantation d’un cercle

Topographie : Implantation d'un Cercle (Rond-Point) Implantation d'un cercle (ex: rond-point) Contexte : Dessiner des Courbes sur le Terrain L'implantation de formes courbes, comme des cercles ou des arcs de cercle, est fondamentale pour de nombreux projets...

Vérification d’un point implanté
Vérification d’un point implanté

Topographie : Vérification (Contrôle) d'un Point Implanté Vérification (contrôle) d'un point implanté Contexte : La Précision n'est pas une Option, c'est une Obligation Après avoir implanté un point critique sur un chantier (comme le coin d'un bâtiment ou l'axe d'un...

Implantation par Intersection
Implantation par Intersection

Topographie : Calcul des Éléments d'Implantation par Intersection Calcul des éléments d'implantation par intersection Contexte : Déterminer un Point par Double Visée L'intersection est une méthode de détermination de la position d'un point inconnu (P) en le visant...

Implantation d’un alignement
Implantation d’un alignement

Topographie : Implantation d'un Alignement Implantation d'un alignement de 3 piquets Contexte : Matérialiser une Ligne Droite sur le Terrain L'implantation d'un alignement est une tâche courante en topographie, essentielle pour la construction de routes, de clôtures,...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *