Étude Topographique

Implantation d’un bâtiment rectangulaire

Topographie : Implantation d'un Bâtiment Rectangulaire

Implantation des 4 coins d'un bâtiment rectangulaire

Contexte : Donner Vie aux Plans d'Architecture

L'implantation des coins d'un bâtiment est l'une des applications les plus critiques de la topographie en génie civil. Elle consiste à matérialiser sur le terrain, avec une très grande précision, les angles d'une future construction définie sur un plan. Cette opération jette les bases de l'ensemble du chantier. Une erreur à ce stade peut avoir des conséquences coûteuses et complexes à corriger. L'exercice consiste à calculer les coordonnées de tous les coins du bâtiment, puis à déterminer les éléments nécessaires à leur implantation depuis une station de travail.

Remarque Pédagogique : Cet exercice démontre la puissance de la géométrie analytique en topographie. En connaissant un seul point, une direction et les dimensions de l'ouvrage, on peut déterminer la position de tous les autres points importants. La rigueur dans l'enchaînement des calculs et la vérification finale sont les clés de la réussite.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les propriétés géométriques d'un rectangle (angles droits, côtés parallèles).
  • Calculer des gisements par ajout d'angles (90°, 180°, 270° ou 100, 200, 300 gon).
  • Calculer les coordonnées de points en série par rayonnement.
  • Effectuer un calcul de fermeture pour vérifier la cohérence d'un polygone.
  • Préparer une fiche d'implantation complète pour un chantier.

Données de l'étude

Un géomètre doit implanter les 4 coins (A, B, C, D) d'un bâtiment rectangulaire de 25.00 m de long (AB) et 12.00 m de large (BC). Il connaît les coordonnées du coin A et le gisement de la façade A-B. Il opère depuis la station S1 en utilisant S2 comme référence.

Schéma du Projet
S1 S2 A B C D

Coordonnées et données de base :

  • Station S1 : X = 480.50 m ; Y = 115.25 m
  • Référence S2 : X = 512.80 m ; Y = 180.75 m
  • Coin A : X = 210.30 m ; Y = 325.60 m
  • Gisement de la façade A-B : 75.00 gon
  • Dimensions : Longueur(A-B) = 25.00 m ; Largeur(B-C) = 12.00 m

Questions à traiter

  1. Calculer les coordonnées des 3 autres coins du bâtiment (B, C, D).
  2. Calculer les données d'implantation (angle et distance) pour chaque coin (A, B, C, D) depuis la station S1, en utilisant S2 comme référence.

Correction : Implantation d'un bâtiment rectangulaire

Question 1 : Coordonnées des Coins du Bâtiment

Principe :
A B C D

On calcule les coordonnées de chaque coin séquentiellement. En partant de A, on calcule B. Puisque le bâtiment est rectangulaire, le gisement de B vers C est perpendiculaire à celui de A vers B (G_BC = G_AB + 100 gon). On continue ainsi pour chaque coin, en utilisant les dimensions et les angles droits.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La propagation des gisements autour du polygone est fondamentale. Pour un rectangle, à chaque coin, on tourne de 100 gon. Le gisement de C vers D est donc celui de A vers B + 200 gon, et celui de D vers A est celui de A vers B + 300 gon. Cela permet de calculer tous les points à partir du premier.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{P2}} = X_{\text{P1}} + D_{\text{P1-P2}} \times \sin(G_{\text{P1-P2}}) \]
\[ Y_{\text{P2}} = Y_{\text{P1}} + D_{\text{P1-P2}} \times \cos(G_{\text{P1-P2}}) \]
\[ G_{\text{côté suivant}} = G_{\text{côté précédent}} + 100 \, \text{gon} \]
Donnée(s) :
  • A : X = 210.30 m ; Y = 325.60 m
  • Gisement A-B : 75.00 gon
  • Longueur A-B = 25.00 m ; Largeur B-C = 12.00 m
Calcul(s) :

Coin B :

\[ \begin{aligned} X_{\text{B}} &= 210.30 + 25.00 \times \sin(75.00) = 233.58 \, \text{m} \\ Y_{\text{B}} &= 325.60 + 25.00 \times \cos(75.00) = 333.68 \, \text{m} \end{aligned} \]

Coin C : G_BC = 75.00 + 100 = 175.00 gon

\[ \begin{aligned} X_{\text{C}} &= 233.58 + 12.00 \times \sin(175.00) = 237.53 \, \text{m} \\ Y_{\text{C}} &= 333.68 + 12.00 \times \cos(175.00) = 324.23 \, \text{m} \end{aligned} \]

Coin D : G_CD = 175.00 + 100 = 275.00 gon

\[ \begin{aligned} X_{\text{D}} &= 237.53 + 25.00 \times \sin(275.00) = 214.25 \, \text{m} \\ Y_{\text{D}} &= 324.23 + 25.00 \times \cos(275.00) = 316.15 \, \text{m} \end{aligned} \]

Vérification (calcul de A depuis D) : G_DA = 275.00 + 100 = 375.00 gon

\[ \begin{aligned} X_{\text{A}} &= 214.25 + 12.00 \times \sin(375.00) = 210.30 \, \text{m} \, (\text{OK}) \\ Y_{\text{A}} &= 316.15 + 12.00 \times \cos(375.00) = 325.60 \, \text{m} \, (\text{OK}) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul en chaîne : Une erreur sur les coordonnées de B se répercutera sur C et D. La vérification finale en recalculant A est donc essentielle pour valider l'ensemble du calcul du polygone.

Le saviez-vous ?

Les plans d'architecte définissent souvent les dimensions "finies" du bâtiment (murs extérieurs). Le géomètre doit parfois implanter l'axe des fondations, qui peut être décalé de plusieurs centimètres. Cette information de décalage (offset) est cruciale et doit être clarifiée avant tout calcul.

FAQ en rapport avec la question :
Et si le gisement de la façade n'était pas donné ?

Si le gisement n'est pas imposé, le géomètre peut choisir une orientation qui optimise l'intégration du bâtiment sur le terrain (ensoleillement, alignement avec une rue, etc.). Il fixerait alors lui-même le gisement de l'axe A-B comme donnée de départ pour tous les autres calculs.

Coordonnées calculées :
B(233.58, 333.68) ; C(237.53, 324.23) ; D(214.25, 316.15)

Question 2 : Données d'Implantation depuis S1

Principe :
S1 S2

Pour chaque coin du bâtiment, on effectue un calcul de rayonnement depuis la station S1. Cela nous donne un gisement et une distance pour chaque point. L'angle à afficher sur l'instrument est ensuite déduit en soustrayant le gisement de la direction de référence (S1-S2).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la transformation des coordonnées du projet (A, B, C, D) en instructions directes pour l'opérateur sur le terrain (angles et distances). Chaque ligne du tableau final correspond à une action d'implantation concrète.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{S1-P}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{P}} - X_{\text{S1}}}{Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}}}\right) \]
\[ D_{\text{S1-P}} = \sqrt{(X_{\text{P}} - X_{\text{S1}})^2 + (Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}})^2} \]
\[ \alpha_{\text{S2-S1-P}} = G_{\text{S1-P}} - G_{\text{S1-S2}} \]
Calcul(s) :

1. Gisement de référence S1-S2 :

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= \arctan\left(\frac{512.80 - 480.50}{180.75 - 115.25}\right) \\ &= 27.54 \, \text{gon} \end{aligned} \]

2. Données pour chaque coin :

PointGisement S1-P (gon)Distance S1-P (m)Angle α (gon)
A389.98342.33362.44
B387.52334.83359.98
C384.81321.21357.27
D382.43333.64354.89
Points de vigilance :

Rigueur des calculs : Une seule erreur sur le gisement de référence (S1-S2) se répercutera sur le calcul de tous les angles d'implantation. Il est crucial de le vérifier. De plus, lors du calcul de l'angle α, n'oubliez pas d'ajouter 400 gon si le résultat est négatif pour obtenir un angle positif à tourner sur le terrain.

Le saviez-vous ?

Les stations totales robotisées permettent à un seul opérateur de réaliser ce travail. L'instrument vise et suit automatiquement le prisme tenu par le géomètre, qui peut lire les instructions d'implantation (écart en direction et en distance) sur une tablette ou un carnet de terrain électronique.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas implanter tous les points depuis la même station ?

C'est l'idéal pour garantir la meilleure homogénéité et précision. Changer de station introduit des risques d'erreurs supplémentaires (centrage, orientation). On ne change de station que si c'est absolument nécessaire (obstacle, point non visible).

Fiche d'implantation depuis S1 (réf. S2) :
A : Angle = 362.44 gon, Distance = 342.33 m
B : Angle = 359.98 gon, Distance = 334.83 m
C : Angle = 357.27 gon, Distance = 321.21 m
D : Angle = 354.89 gon, Distance = 333.64 m

Simulation de Bâtiment

Faites varier les dimensions du bâtiment et observez comment sa géométrie et les coordonnées du coin C évoluent.

Dimensions du Bâtiment
Coordonnée X de C
Coordonnée Y de C
Vue en Plan du Bâtiment

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Implantation des chaises : Sur un chantier, les géomètres n'implantent pas directement les coins du bâtiment, qui seraient détruits par les travaux de terrassement. Ils implantent des "chaises", des cadres en bois situés en retrait de l'emprise du bâtiment. Des cordeaux sont ensuite tendus entre ces chaises pour matérialiser les façades. L'intersection des cordeaux donne la position exacte des coins.

Le Saviez-Vous ?

Pour vérifier l'équerrage d'un bâtiment une fois les fondations coulées, les maçons et géomètres utilisent souvent la "règle du 3-4-5". Ils mesurent 3 mètres sur un côté, 4 mètres sur le côté adjacent, et la diagonale entre ces deux points doit mesurer exactement 5 mètres. C'est une application pratique du théorème de Pythagore pour vérifier un angle droit.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le bâtiment n'est pas rectangulaire ?

Si le bâtiment a des angles non droits, le principe reste le même mais les calculs sont adaptés. Au lieu d'ajouter 100 gon à chaque coin, on ajoute (ou soustrait) l'angle interne du bâtiment tel que défini sur les plans de l'architecte. Chaque coin est calculé séquentiellement de la même manière.

Pourquoi la vérification de fermeture est-elle si importante ?

La vérification de fermeture (recalculer les coordonnées du point de départ A après avoir fait le tour du polygone) permet de détecter immédiatement toute erreur de calcul ou de saisie. Si le point de départ n'est pas retrouvé à quelques millimètres près (tolérance d'arrondi), cela signifie qu'une erreur a été commise et qu'il faut revoir tous les calculs avant d'aller sur le terrain.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le gisement de l'axe A-B est de 50 gon. Quel est le gisement de l'axe C-D, parallèle et de même sens ?

2. Pour vérifier un angle droit sur un chantier, on peut utiliser la méthode du 3-4-5. Si on mesure 6m sur un mur et 8m sur le mur adjacent, quelle doit être la longueur de la diagonale ?

Glossaire

Implantation
Action de matérialiser sur le terrain les points et les lignes d'un projet défini sur un plan.
Gisement
Angle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des Y (direction du Nord).
Calcul de Fermeture
Vérification mathématique consistant à recalculer les coordonnées du point de départ après avoir calculé tous les points d'un polygone. Les coordonnées de départ et de fin doivent être identiques.
Station
Point de coordonnées connues sur lequel le topographe installe son instrument de mesure (tachéomètre).
Référence
Autre point de coordonnées connues que l'on vise depuis la station pour orienter l'instrument et déterminer une direction de base.
Topographie : Implantation d'un bâtiment rectangulaire

D’autres exercices de Topographie:

Implantation d’une canalisation
Implantation d’une canalisation

Topographie : Implantation d'une Canalisation avec Pente Implantation d'une canalisation avec une pente de 2.5% Contexte : L'Écoulement par Gravité L'implantation d'une canalisation (eaux usées, eaux pluviales) est un travail de précision qui combine la planimétrie...

Piquetage d’une courbe
Piquetage d’une courbe

Topographie : Calcul de Piquetage d'une Courbe (Raccordement Circulaire) Calcul de piquetage d'une courbe (raccordement circulaire) Contexte : Raccorder deux Lignes Droites En conception routière, il est rare que deux routes se croisent à angle vif. On utilise des...

Implantation d’un axe de route
Implantation d’un axe de route

Topographie : Implantation d'un Axe de Route (Droite et Courbe) Implantation d'un axe de route (droite et courbe simple) Contexte : Le Tracé des Voies de Communication L'implantation d'un axe en plan est l'opération de base de tous les projets linéaires (routes,...

Implantation d’un cercle
Implantation d’un cercle

Topographie : Implantation d'un Cercle (Rond-Point) Implantation d'un cercle (ex: rond-point) Contexte : Dessiner des Courbes sur le Terrain L'implantation de formes courbes, comme des cercles ou des arcs de cercle, est fondamentale pour de nombreux projets...

Vérification d’un point implanté
Vérification d’un point implanté

Topographie : Vérification (Contrôle) d'un Point Implanté Vérification (contrôle) d'un point implanté Contexte : La Précision n'est pas une Option, c'est une Obligation Après avoir implanté un point critique sur un chantier (comme le coin d'un bâtiment ou l'axe d'un...

Implantation par Relèvement
Implantation par Relèvement

Topographie : Calcul des Éléments d'Implantation par Relèvement Calcul des éléments d'implantation par relèvement Contexte : Se Positionner en Observant des Points Connus Le relèvement, aussi connu sous le nom de "problème de Pothenot-Snellius", est une méthode...

Implantation par Intersection
Implantation par Intersection

Topographie : Calcul des Éléments d'Implantation par Intersection Calcul des éléments d'implantation par intersection Contexte : Déterminer un Point par Double Visée L'intersection est une méthode de détermination de la position d'un point inconnu (P) en le visant...

Implantation d’un alignement
Implantation d’un alignement

Topographie : Implantation d'un Alignement Implantation d'un alignement de 3 piquets Contexte : Matérialiser une Ligne Droite sur le Terrain L'implantation d'un alignement est une tâche courante en topographie, essentielle pour la construction de routes, de clôtures,...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *