Implantation d'un alignement - Exercice corrigé

Contexte : Matérialiser une Ligne Droite sur le Terrain

L'implantation d'un alignement est une tâche courante en topographie, essentielle pour la construction de routes, de clôtures, de façades de bâtiments ou de canalisations. Elle consiste à placer une série de points (piquets) sur une ligne droite définie par deux points de base. Le calcul préalable des coordonnées de chaque piquet et de leurs données d'implantation (angle et distance depuis une station) est une étape indispensable pour garantir la précision et la rectitude de l'ouvrage final.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine plusieurs calculs fondamentaux. Il montre comment, à partir de quelques points connus, on peut définir une géométrie complexe (ici, une ligne avec des points intermédiaires) et la transposer sur le terrain avec précision, en calculant les éléments nécessaires pour l'opérateur de la station totale.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le gisement et la distance d'un axe défini par deux points.
Déterminer les coordonnées de points intermédiaires sur un alignement à intervalles réguliers.
Calculer par rayonnement les données d'implantation (angle, distance) de plusieurs points à partir d'une station excentrée.
Enchaîner logiquement les calculs topométriques pour résoudre un problème pratique.

Données de l'étude

Un géomètre doit implanter 3 piquets (P1, P2, P3) équidistants sur l'alignement défini par les points A et B. Le premier piquet est le point A. Il utilise la station S1 et la référence S2 pour ses travaux. Les coordonnées sont en mètres.

Schéma d'Implantation d'Alignement

Coordonnées des points connus :

Station S1 : X = 125.40 m ; Y = 450.80 m
Référence S2 : X = 210.10 m ; Y = 435.20 m
Axe A : X = 150.20 m ; Y = 610.50 m
Axe B : X = 280.60 m ; Y = 565.30 m

Questions à traiter

Calculer le gisement et la distance de l'alignement A-B.
Calculer les coordonnées des 3 piquets (P1, P2, P3) à implanter.
Pour chaque piquet, calculer ses données d'implantation (angle et distance) depuis la station S1.

Correction : Implantation d'un alignement

Question 1 : Gisement et Distance de l'Axe A-B

Principe :

Pour définir l'alignement, on calcule d'abord sa direction (gisement) et sa longueur totale (distance) à partir des coordonnées de ses points de départ (A) et de fin (B).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'axe A-B est notre "ligne de base". Son gisement sera le même pour tous les segments de la ligne (A-P2, P2-P3, etc.). Sa distance totale nous permettra de calculer les espacements.

Formule(s) utilisée(s) :

G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}\right)

D_{\text{AB}} = \sqrt{(X_{\text{B}} - X_{\text{A}})^2 + (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}})^2}

Donnée(s) :

A : X = 150.20 m ; Y = 610.50 m
B : X = 280.60 m ; Y = 565.30 m

Calcul(s) :

\Delta X_{\text{A-B}} = 280.60 - 150.20 = +130.40 \, \text{m}

\Delta Y_{\text{A-B}} = 565.30 - 610.50 = -45.20 \, \text{m}

ΔX > 0 et ΔY < 0, le gisement est dans le quadrant 2 (entre 100 et 200 gon). Il faut ajouter 200 gon au résultat de l'arctangente.

\begin{aligned} G_{\text{A-B}} &= \arctan\left(\frac{130.40}{-45.20}\right) + 200 \\ &\approx \arctan(-2.8849) + 200 \\ &\approx -80.01 + 200 \\ &= 119.99 \, \text{gon} \end{aligned}

\begin{aligned} D_{\text{A-B}} &= \sqrt{(130.40)^2 + (-45.20)^2} \\ &= \sqrt{17004.16 + 2043.04} \\ &= \sqrt{19047.20} \\ &= 138.01 \, \text{m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Ajustement de quadrant : L'erreur la plus commune est d'oublier d'ajuster le résultat de l'arctangente. Une analyse des signes de ΔX et ΔY est indispensable pour situer la direction dans le bon quadrant et appliquer la bonne correction (+200 ou +400 gon).

Le saviez-vous ?

Résultat : L'axe A-B a un gisement de 119.99 gon et une longueur de 138.01 m.

Question 2 : Coordonnées des Piquets

Principe :

Les 3 piquets sont équidistants sur l'axe A-B. L'espacement entre piquets est la distance totale divisée par le nombre d'intervalles (2 intervalles pour 3 piquets). On calcule ensuite les coordonnées de chaque piquet par rayonnement depuis le point A, en utilisant le gisement de l'axe et la distance cumulée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On ne calcule pas les coordonnées de P3 depuis P2. On calcule toujours depuis un point de départ bien connu (ici A) pour éviter de cumuler les erreurs d'arrondi d'un calcul à l'autre.

Formule(s) utilisée(s) :

d_{\text{intervalle}} = \frac{D_{\text{Total}}}{N_{\text{piquets}} - 1}

X_{\text{P}} = X_{\text{A}} + D_{\text{A-P}} \times \sin(G_{\text{A-B}})

Y_{\text{P}} = Y_{\text{A}} + D_{\text{A-P}} \times \cos(G_{\text{A-B}})

Donnée(s) :

Coordonnées A : X = 150.20 m ; Y = 610.50 m
Gisement A-B : 119.99 gon
Distance A-B : 138.01 m
Nombre de piquets : 3

Calcul(s) :

d_{\text{intervalle}} = \frac{138.01}{3 - 1} = 69.005 \, \text{m}

Piquet P1 : P1 est confondu avec A.
\(X_{\text{P1}} = 150.20 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P1}} = 610.50 \, \text{m}\)

Piquet P2 : Distance depuis A = 69.005 m

\begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 150.20 + 69.005 \times \sin(119.99) \\ &= 150.20 + 69.005 \times (0.991) \\ &= 215.40 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 610.50 + 69.005 \times \cos(119.99) \\ &= 610.50 + 69.005 \times (-0.131) \\ &= 587.90 \, \text{m} \end{aligned}

Piquet P3 : Distance depuis A = 2 * 69.005 = 138.01 m (Point B)

\begin{aligned} X_{\text{P3}} &= 150.20 + 138.01 \times \sin(119.99) \\ &= 280.60 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_{\text{P3}} &= 610.50 + 138.01 \times \cos(119.99) \\ &= 565.30 \, \text{m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Nombre d'intervalles : Une erreur fréquente est de diviser la distance totale par le nombre de piquets au lieu du nombre d'intervalles. Pour N piquets, il y a toujours N-1 intervalles.

Le saviez-vous ?

Résultat : P1(150.20, 610.50), P2(215.40, 587.90), P3(280.60, 565.30).

Question 3 : Données d'Implantation depuis S1

Principe :

Pour implanter chaque piquet (P1, P2, P3) depuis la station S1, le géomètre a besoin de l'angle et de la distance pour chaque point. Il faut donc calculer le gisement et la distance de S1 vers P1, de S1 vers P2, et de S1 vers P3. On calcule ensuite les angles à implanter par rapport à la référence S2.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la phase finale de la préparation. Le résultat est une "fiche d'implantation" que le géomètre utilisera sur le terrain. Il visera S2, mettra son appareil à zéro, puis tournera de l'angle calculé et guidera son aide pour placer le prisme à la bonne distance.

Formule(s) utilisée(s) :

G_{\text{S1-P}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{P}} - X_{\text{S1}}}{Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}}}\right)

D_{\text{S1-P}} = \sqrt{(X_{\text{P}} - X_{\text{S1}})^2 + (Y_{\text{P}} - Y_{\text{S1}})^2}

\alpha_{\text{S2-S1-P}} = G_{\text{S1-P}} - G_{\text{S1-S2}}

Calcul(s) :

1. Gisement de référence S1-S2 :

\begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= \arctan\left(\frac{210.10 - 125.40}{435.20 - 450.80}\right) + 200 \\ &= 165.25 \, \text{gon} \end{aligned}

2. Données pour P1 (150.20, 610.50) :

\begin{aligned} G_{\text{S1-P1}} &= \arctan\left(\frac{150.20 - 125.40}{610.50 - 450.80}\right) = 10.02 \, \text{gon} \\ D_{\text{S1-P1}} &= \sqrt{(24.80)^2 + (159.70)^2} = 161.62 \, \text{m} \\ \alpha_1 &= 10.02 - 165.25 + 400 = 244.77 \, \text{gon} \end{aligned}

3. Données pour P2 (215.40, 587.90) :

\begin{aligned} G_{\text{S1-P2}} &= \arctan\left(\frac{215.40 - 125.40}{587.90 - 450.80}\right) = 37.07 \, \text{gon} \\ D_{\text{S1-P2}} &= \sqrt{(90.00)^2 + (137.10)^2} = 163.99 \, \text{m} \\ \alpha_2 &= 37.07 - 165.25 + 400 = 271.82 \, \text{gon} \end{aligned}

4. Données pour P3 (280.60, 565.30) :

\begin{aligned} G_{\text{S1-P3}} &= \arctan\left(\frac{280.60 - 125.40}{565.30 - 450.80}\right) = 56.49 \, \text{gon} \\ D_{\text{S1-P3}} &= \sqrt{(155.20)^2 + (114.50)^2} = 192.86 \, \text{m} \\ \alpha_3 &= 56.49 - 165.25 + 400 = 291.24 \, \text{gon} \end{aligned}

Points de vigilance :

Calcul de l'angle : L'angle à implanter est toujours calculé par `Gisement du Point - Gisement de la Référence`. Si le résultat est négatif, on ajoute 400 gon pour avoir un angle positif à tourner dans le sens horaire.

Le saviez-vous ?

Fiche d'implantation :
P1 : Angle = 244.77 gon, Distance = 161.62 m
P2 : Angle = 271.82 gon, Distance = 163.99 m
P3 : Angle = 291.24 gon, Distance = 192.86 m

Simulation d'Alignement

Faites varier l'intervalle entre les piquets et observez comment les coordonnées du dernier piquet (P3) évoluent.

Paramètres de l'Alignement

Intervalle entre piquets (69.0 m)

Coordonnée X de P3

Coordonnée Y de P3

Position de P3

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Contrôle de l'alignement : Une fois les piquets implantés, une bonne pratique consiste à vérifier leur alignement. Le géomètre peut se placer derrière le piquet A, viser le piquet B et vérifier que tous les piquets intermédiaires (P2, P3) apparaissent parfaitement superposés dans la lunette de son instrument. C'est un contrôle visuel simple et efficace.

Le Saviez-Vous ?

Pour des alignements de très haute précision, comme les rails de guidage du CERN ou les voies de TGV, les géomètres utilisent des techniques de micro-géodésie et des instruments spécialisés (lasers, niveaux de précision) pour atteindre des tolérances de l'ordre du dixième de millimètre sur des centaines de mètres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que faire si un obstacle empêche de voir un piquet depuis la station ?

C'est un problème fréquent. Le géomètre doit alors créer une "station de relèvement". Il implante un point auxiliaire visible depuis la station principale, puis déplace son instrument sur ce nouveau point. Il se réoriente sur la station principale (ou un autre point connu) et peut ensuite implanter le piquet qui était masqué. Cela s'appelle un "cheminement".

Comment choisir l'emplacement de la station S1 ?

Idéalement, la station doit être placée à un endroit stable, sécurisé, et d'où l'on peut voir à la fois la référence (S2) et tous les points à implanter (P1, P2, P3). On essaie aussi d'éviter les visées trop "rasantes" au sol, qui peuvent être perturbées par la réfraction atmosphérique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour implanter 5 piquets équidistants sur un axe A-B, par combien faut-il diviser la distance totale D(A-B) pour avoir l'intervalle ?

2. Si le gisement de l'axe A-B est de 150 gon, le gisement de l'axe B-A est de :

350 gon (150 + 200)
-50 gon (150 - 200)
150 gon

Glossaire

Alignement: Ligne droite matérialisée sur le terrain par une série de points (piquets, bornes).
Gisement: Angle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des Y (direction du Nord). Il est généralement exprimé en grades (gon).
Implantation par Rayonnement: Technique consistant à matérialiser un point sur le terrain en mesurant un angle et une distance depuis une station connue.
Station: Point de coordonnées connues sur lequel le topographe installe son instrument de mesure (tachéomètre).
Référence: Autre point de coordonnées connues que l'on vise depuis la station pour orienter l'instrument et déterminer une direction de base.

Implantation d’un alignement

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma d'Implantation d'Alignement

Questions à traiter

Correction : Implantation d'un alignement

Question 1 : Gisement et Distance de l'Axe A-B

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Coordonnées des Piquets

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Données d'Implantation depuis S1

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation d'Alignement

Paramètres de l'Alignement

Position de P3

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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