Étude Topographique

Implantation d’un point par rayonnement

Topographie : Implantation d'un Point par Rayonnement

Implantation d'un point par rayonnement

Contexte : Du Plan au Terrain, l'Art de l'Implantation

L'implantation est une opération fondamentale en topographie qui consiste à matérialiser sur le terrain la position exacte d'un point défini sur un plan. C'est l'opération inverse du "levé". Pour ce faire, le topographe utilise un appareil (un tachéomètre ou une station totale) positionné sur un point connu appelé stationPoint connu en coordonnées sur lequel l'instrument de mesure (tachéomètre, station totale) est mis en place.. En visant un autre point connu servant de référencePoint connu en coordonnées, visé depuis la station pour orienter l'instrument. La direction Station-Référence sert de 'zéro' pour les mesures d'angles horizontaux., il oriente son instrument. Il peut ensuite déterminer l'angle et la distance pour positionner un nouveau point. Cet exercice a pour but de maîtriser les calculs préparatoires à une telle implantation.

Remarque Pédagogique : La précision de l'implantation est cruciale. Une erreur de quelques millimètres peut avoir des conséquences importantes dans la construction d'un bâtiment, d'une route ou d'un pont. Maîtriser ces calculs de base est la première étape pour garantir la qualité d'un projet.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. Il définit une direction. entre deux points connus.
  • Calculer un angle horizontal à partir de deux gisements.
  • Comprendre la notion de "tour d'horizon" et de référence d'orientation.
  • Calculer les coordonnées rectangulairesSystème de positionnement d'un point sur un plan à l'aide de deux valeurs : une abscisse (X ou Est) et une ordonnée (Y ou Nord). d'un point à partir d'un point connu, d'un gisement et d'une distance.
  • Appliquer les formules fondamentales de la topométrie.

Données de l'étude

Un géomètre doit implanter le point P1. Il met sa station totale au point S1 et utilise le point S2 comme référence d'orientation. Les coordonnées des points connus sont en mètres.

Schéma d'Implantation
Y (Nord) S1 S2 (Réf) P1 G(S1-P1) G(S1-S2) Angle (α)

Coordonnées des points connus :

  • S1 : X = 520.45 m ; Y = 842.60 m
  • S2 : X = 610.80 m ; Y = 890.25 m

Informations pour l'implantation du point P1 depuis S1 :

  • Angle de rayonnement (S2-S1-P1) : 250.25 gon
  • Distance horizontale : 45.18 m

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement de la direction S1-S2.
  2. En déduire le gisement de la direction S1-P1.
  3. Calculer les coordonnées (X, Y) du point P1.

Correction : Implantation d'un point par rayonnement

Question 1 : Calcul du Gisement S1-S2

Principe :
S1 S2 Nord ΔX ΔY G

Le gisement d'une direction (A vers B) se calcule à partir des différences de coordonnées (ΔX et ΔY) entre les deux points. La fonction arc tangente (atan2) est utilisée pour déterminer l'angle dans le bon quadrant.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul de gisement est l'une des briques de base de la topométrie. Il transforme des positions (coordonnées) en directions (angles). Il est essentiel de bien identifier le point de départ et le point d'arrivée pour calculer correctement les ΔX et ΔY.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \]
\[ \Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \]
\[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \quad \text{(avec ajustement de quadrant)} \]
Donnée(s) :
  • S1 : X = 520.45 ; Y = 842.60
  • S2 : X = 610.80 ; Y = 890.25
Calcul(s) :
\[ \Delta X_{\text{S1-S2}} = 610.80 - 520.45 = +90.35 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y_{\text{S1-S2}} = 890.25 - 842.60 = +47.65 \, \text{m} \]

ΔX > 0 et ΔY > 0, le gisement est dans le quadrant 1 (entre 0 et 100 gon).

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-S2}} &= \arctan\left(\frac{90.35}{47.65}\right) \\ &\approx \arctan(1.8961) \\ &\approx 70.0448 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités d'angle : Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" ou "Gons" et non en Degrés ou Radians. C'est une source d'erreur très fréquente. Les topographes utilisent majoritairement le grade (gon), où un cercle complet fait 400 gon.

Le saviez-vous ?

La plupart des calculatrices scientifiques et des logiciels utilisent la fonction `atan2(ΔY, ΔX)` qui donne directement le bon angle dans le bon quadrant, évitant les ajustements manuels (ex: +200 gon, +400 gon).

FAQ en rapport avec la question :
Et si ΔY était nul ?

Si ΔY = 0, la direction est plein Est (gisement = 100 gon) si ΔX > 0, ou plein Ouest (gisement = 300 gon) si ΔX < 0. La formule avec arctan ne fonctionnerait pas (division par zéro), il faut traiter ce cas particulier.

Résultat : Le gisement de la direction S1-S2 est de 70.04 gon.

Question 2 : Calcul du Gisement S1-P1

Principe :
S1 N S2 P1 α

Le gisement de la direction à implanter (S1-P1) s'obtient en ajoutant l'angle de rayonnement (mesuré dans le sens horaire) au gisement de la référence (S1-S2). C'est le principe du tour d'horizon.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Imaginez que vous êtes sur la station S1. Vous visez la référence S2 et mettez le "zéro" de votre cercle gradué dans cette direction. Ensuite, vous tournez votre instrument dans le sens des aiguilles d'une montre jusqu'à lire l'angle `α`. La direction que vous visez alors est celle du point P1. Le calcul de gisement formalise cette action de terrain.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{Implantation}} = G_{\text{Référence}} + \alpha_{\text{Lecture}} \]

Si le résultat est supérieur à 400 gon, on soustrait 400 pour le ramener dans un tour de cercle.

Donnée(s) :
  • Gisement S1-S2 : 70.04 gon
  • Angle lu (S2-S1-P1) : 250.25 gon
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-P1}} &= G_{\text{S1-S2}} + \alpha_{\text{S2-S1-P1}} \\ &= 70.04 + 250.25 \\ &= 320.29 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Sens de l'angle : L'angle de rayonnement est quasiment toujours mesuré dans le sens horaire (sens topographique). Si l'angle était donné dans le sens anti-horaire, il faudrait le soustraire du gisement de référence.

Le saviez-vous ?

Sur le terrain, pour minimiser les erreurs, les géomètres effectuent souvent les mesures d'angles en "double retournement". Ils mesurent une première fois (cercle à gauche), puis retournent la lunette de l'instrument et mesurent à nouveau (cercle à droite). La moyenne des deux lectures permet d'éliminer certains défauts de l'instrument.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si le résultat est supérieur à 400 gon ?

Un angle est toujours ramené à sa valeur dans un cercle de 0 à 400 gon. Si un calcul donne, par exemple, 512 gon, cela signifie que vous avez fait un tour complet plus un reste. On soustrait simplement 400 gon pour obtenir le gisement correct : 512 - 400 = 112 gon.

Résultat : Le gisement de la direction S1-P1 est de 320.29 gon.

Question 3 : Calcul des Coordonnées de P1

Principe :
S1(X,Y) P1 ΔX = D.sin(G) ΔY = D.cos(G)

Les coordonnées d'un point rayonné (P1) se calculent en ajoutant au point de station (S1) les variations de coordonnées (ΔX, ΔY). Ces variations sont calculées à l'aide du gisement et de la distance horizontale, en utilisant les fonctions sinus et cosinus.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul est l'inverse du calcul de gisement. On part d'une direction (gisement) et d'une longueur (distance) pour trouver une position (coordonnées). C'est le cœur du passage du "polaire" (angle, distance) au "rectangulaire" (X, Y).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X = D_{\text{S1-P1}} \times \sin(G_{\text{S1-P1}}) \Rightarrow X_{\text{P1}} = X_{\text{S1}} + \Delta X \]
\[ \Delta Y = D_{\text{S1-P1}} \times \cos(G_{\text{S1-P1}}) \Rightarrow Y_{\text{P1}} = Y_{\text{S1}} + \Delta Y \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées S1 : X = 520.45 ; Y = 842.60
  • Gisement S1-P1 : 320.29 gon
  • Distance S1-P1 : 45.18 m
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 520.45 + 45.18 \times \sin(320.29) \\ &= 520.45 + 45.18 \times (-0.922) \\ &= 520.45 - 41.66 \\ &= 478.79 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 842.60 + 45.18 \times \cos(320.29) \\ &= 842.60 + 45.18 \times (0.387) \\ &= 842.60 + 17.48 \\ &= 860.08 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Signes de Sin/Cos : Faites attention aux signes des sinus et cosinus selon le quadrant du gisement. Pour un gisement entre 300 et 400 gon (Quadrant 4), le sinus est négatif (ΔX est négatif) et le cosinus est positif (ΔY est positif).

Le saviez-vous ?

Les stations totales modernes réalisent tous ces calculs automatiquement. Le géomètre entre les coordonnées de sa station et de sa référence, puis les données du point à implanter. L'appareil affiche alors en temps réel l'angle à tourner et la distance que l'aide-opérateur doit parcourir pour trouver le point.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi sin(G) pour X et cos(G) pour Y ?

Cela vient de la définition du gisement. C'est un angle mesuré depuis l'axe Y (Nord). Dans le cercle trigonométrique "classique" (utilisé en maths), l'angle est mesuré depuis l'axe X. Le cercle topographique est en fait un cercle trigonométrique tourné de 100 gon (90°) et inversé. Cette rotation échange les rôles du sinus et du cosinus par rapport à la convention mathématique standard.

Résultat : Les coordonnées du point P1 sont X = 478.79 m et Y = 860.08 m.

Simulation d'Implantation

Faites varier le gisement et la distance d'implantation. Observez comment les coordonnées du point final évoluent.

Paramètres d'Implantation (depuis S1)
Coordonnée X de P1
Coordonnée Y de P1
Composantes du Vecteur S1-P1

Pour Aller Plus Loin : Le Cas Réel

Les incertitudes du terrain : Dans la pratique, l'implantation parfaite n'existe pas. Le géomètre doit prendre en compte les incertitudes de son matériel (précision angulaire et en distance de la station totale), les conditions atmosphériques (température, pression) qui affectent la mesure de distance, et la qualité de la mise en station de l'appareil. Le résultat final est toujours une position connue avec une certaine tolérance de précision.

Le Saviez-Vous ?

Le système de coordonnées GPS (WGS84) est un système mondial, mais pour les travaux de construction locaux, les pays utilisent des systèmes de projection plane (comme le Lambert 93 en France) pour pouvoir travailler avec des coordonnées rectangulaires (X, Y) et des distances euclidiennes, ce qui simplifie grandement les calculs par rapport à des calculs sur l'ellipsoïde terrestre.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser S2 comme référence si on connaît déjà le Nord ?

Un instrument de topographie ne "connaît" pas le Nord automatiquement. Il faut l'orienter. En visant un point connu (S2), le géomètre peut mesurer l'angle entre cette direction connue et la direction du point à implanter. Connaissant le gisement théorique de la direction Station-Référence, il peut en déduire le gisement de toutes ses autres visées. C'est une étape de "calage" indispensable.

Qu'est-ce que le "tour d'horizon" ?

C'est une méthode de mesure où, depuis une station, l'opérateur vise successivement plusieurs points d'intérêt tout autour de lui, en mesurant à chaque fois l'angle horizontal (et souvent la distance). Cela permet de déterminer la position relative de tous ces points par rapport à la station et de les lier entre eux de manière cohérente.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si ΔX est négatif et ΔY est positif, dans quel quadrant se situe le gisement ?

2. Pour calculer la coordonnée Y d'un point rayonné, on utilise :

Glossaire

Gisement
Angle horizontal d'une direction, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des Y (direction du Nord). Il est généralement exprimé en grades (gon).
Coordonnées Rectangulaires
Système qui définit la position d'un point sur un plan par deux valeurs : une abscisse (X, Est) et une ordonnée (Y, Nord).
Station
Point de coordonnées connues sur lequel le topographe installe son instrument de mesure (tachéomètre).
Référence
Autre point de coordonnées connues que l'on vise depuis la station pour orienter l'instrument et déterminer une direction de base.
Implantation
Opération consistant à matérialiser physiquement sur le terrain (par un piquet, un clou, etc.) un point défini par ses coordonnées sur un plan.
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