Étude Topographique

Dessiner un profil en long à partir d’un tableau de points

Exercice : Dessiner un profil en long à partir d’un tableau de points

Dessiner un profil en long à partir d’un tableau de points

Contexte : Le profil en longReprésentation graphique de l'intersection d'un terrain avec un plan vertical suivant l'axe d'un projet (route, canal, etc.). en topographie.

Le profil en long est un outil indispensable dans les projets d'aménagement linéaire comme les routes, les voies ferrées ou les réseaux d'assainissement. Il permet de visualiser l'altitude du terrain naturel (TN) tout au long d'un axe et de définir la ligne du projet (la future route, par exemple). La comparaison entre le terrain et le projet permet de quantifier les volumes de terre à déplacer : les zones de déblaiPartie du terrain située au-dessus de la ligne du projet, qu'il faut excaver. et de remblaiPartie située sous la ligne du projet, qu'il faut combler avec des matériaux..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à traiter des données brutes de levé topographique pour calculer et dessiner un profil en long complet, étape essentielle avant toute étude de terrassement.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la structure et les composantes d'un tableau de profil en long.
  • Calculer les altitudes d'une ligne projet en fonction d'une pente.
  • Déterminer les hauteurs de déblai et de remblai pour chaque point.
  • Représenter graphiquement le terrain naturel et la ligne projet.

Données de l'étude

On dispose d'un carnet de nivellement pour l'axe d'un projet routier. Les distances sont mesurées depuis l'origine du projet (PK 0). Le projet est une ligne droite qui commence au point P1 à une altitude de 105.00 m et suit une pente constante de -1.5%.

Carnet de Nivellement
Point N° Distance Cumulée (m) Altitude TN (m)
P1 0.00 105.45
P2 25.50 104.90
P3 51.20 104.85
P4 78.90 103.60
P5 100.30 102.95
P6 125.00 102.80

Questions à traiter

  1. Calculer l'altitude de la ligne projet pour chaque point du tableau.
  2. Déterminer les hauteurs de projet (déblais et remblais) pour chaque point.
  3. Calculer par interpolation linéaire la distance exacte du point de passage de déblai en remblai entre P3 et P4.
  4. Dessiner le profil en long complet, en représentant le terrain naturel et la ligne projet sur un même graphique.

Les bases du Profil en Long

Pour aborder cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts et formules de base en topographie.

1. Altitude de la Ligne Projet
L'altitude d'un point sur une ligne projet droite se calcule à partir d'un point d'origine connu (altitude et distance) et d'une pente. La pente est le rapport de la dénivelée sur la distance horizontale, souvent exprimée en pourcentage (%). Une pente de -1.5% signifie que l'altitude baisse de 1.5 m pour 100 m de distance horizontale.

\[ \text{Altitude}_{\text{Projet}}(x) = \text{Altitude}_{\text{Origine}} + (\text{Pente} \times (\text{Dist}_x - \text{Dist}_{\text{Origine}})) \]

2. Hauteur de Projet (Déblai / Remblai)
C'est la différence d'altitude verticale entre la ligne projet et le terrain naturel en un point donné.

\[ H_{\text{projet}} = \text{Altitude}_{\text{Projet}} - \text{Altitude}_{\text{TN}} \]
  • Si \(H_{\text{projet}} < 0\) : Le projet est sous le terrain, c'est un déblai.
  • Si \(H_{\text{projet}} > 0\) : Le projet est au-dessus du terrain, c'est un remblai.

Correction : Dessiner un profil en long à partir d’un tableau de points

Question 1 : Calculer l'altitude de la ligne projet pour chaque point.

Principe

Le concept physique est celui d'un déplacement le long d'une droite dans un plan vertical. En connaissant un point de départ et une direction (la pente), on peut déterminer la position de n'importe quel autre point sur cette droite.

Mini-Cours

Une pente est un rapport qui exprime une variation de hauteur (dénivelée) pour une certaine distance horizontale. Une pente de -1.5% signifie que pour chaque 100 mètres parcourus horizontalement, l'altitude diminue de 1.5 mètre. Pour les calculs, on la convertit en valeur décimale : \(\text{Pente} = -1.5 / 100 = -0.015\). L'altitude varie donc linéairement avec la distance.

Remarque Pédagogique

La clé est d'être méthodique. Toujours partir du point d'origine connu (P1 ici) pour calculer les autres points. N'essayez pas de calculer l'altitude de P3 à partir de P2 ; revenez toujours à l'origine pour minimiser les erreurs d'arrondi et de calcul.

Normes

Cet exercice est une application de base. Dans un projet routier réel en France, la conception des profils en long est régie par des normes comme l'ICTAAL (Instruction sur les Conditions Techniques d'Aménagement des Autoroutes de Liaison), qui impose des règles sur les pentes maximales, les raccordements, la visibilité, etc.

Formule(s)

Équation de la ligne projet

\[ \text{Altitude}_{\text{Projet}}(P_i) = \text{Altitude}_{\text{Projet}}(P_1) + (\text{Pente} \times \text{Distance}_{\text{Cumulée}}(P_i)) \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • La ligne projet est une droite parfaite (pas de courbe verticale).
  • La pente est constante sur toute la longueur du profil.
  • Les distances sont mesurées perfectly à l'horizontale.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude projet à l'origine (P1)\(Z_{P1}\)105.00\(\text{m}\)
Pente du projet\(p\)-1.5\(\%\)
Tableau des distances cumuléesDistancesVoir énoncé\(\text{m}\)
Astuces

Pour aller plus vite et éviter les erreurs, utilisez une calculatrice avec une fonction de mémoire ou un tableur (Excel, Google Sheets). Vous pouvez entrer la formule une seule fois et l'appliquer à toutes les distances pour remplir automatiquement votre colonne "Altitude Projet".

Schéma (Avant les calculs)
Modélisation de la Ligne Projet
Dist.Alt.P1 (105.00)Pente = -1.5%
Calcul(s)

Altitude projet au Point P2

\[ \begin{aligned} \text{Alt}_{\text{P2}} &= 105.00 + (-0.015 \times 25.50) \\ &= 105.00 - 0.3825 \\ &= 104.6175 \\ &\approx 104.62 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude projet au Point P3

\[ \begin{aligned} \text{Alt}_{\text{P3}} &= 105.00 + (-0.015 \times 51.20) \\ &= 105.00 - 0.768 \\ &= 104.232 \\ &\approx 104.23 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude projet au Point P4

\[ \begin{aligned} \text{Alt}_{\text{P4}} &= 105.00 + (-0.015 \times 78.90) \\ &= 105.00 - 1.1835 \\ &= 103.8165 \\ &\approx 103.82 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude projet au Point P5

\[ \begin{aligned} \text{Alt}_{\text{P5}} &= 105.00 + (-0.015 \times 100.30) \\ &= 105.00 - 1.5045 \\ &= 103.4955 \\ &\approx 103.50 \text{ m} \end{aligned} \]

Altitude projet au Point P6

\[ \begin{aligned} \text{Alt}_{\text{P6}} &= 105.00 + (-0.015 \times 125.00) \\ &= 105.00 - 1.875 \\ &= 103.125 \\ &\approx 103.13 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation du Terrain Naturel et de la Ligne Projet
106m102m0m125mTNProjet
Réflexions

L'interprétation du résultat est simple : nous avons maintenant une liste de coordonnées (distance, altitude) qui définissent la position exacte de notre projet dans l'espace. Nous pouvons voir que l'altitude du projet diminue constamment, ce qui est logique avec une pente négative.

Points de vigilance

Attention à deux erreurs classiques : 1. L'oubli du signe : une pente descendante est négative. 2. L'erreur de conversion : n'oubliez pas de diviser le pourcentage par 100 avant de l'utiliser dans la formule (multiplier par -1.5 au lieu de -0.015 est une erreur fréquente).

Points à retenir

L'essentiel à maîtriser ici est la relation linéaire entre l'altitude, la pente et la distance. Si vous comprenez que \(\Delta \text{Altitude} = \text{Pente} \times \Delta \text{Distance}\), vous avez compris le cœur de cette question.

Le saviez-vous ?

Autrefois, les profils en long étaient dessinés à la main sur du papier millimétré spécial, avec une échelle des altitudes 5 à 10 fois plus grande que celle des distances. Cette "exagération" des hauteurs permet de mieux visualiser les reliefs et les pentes qui, à l'échelle 1/1, sembleraient presque plats.

FAQ
Pourquoi l'altitude de départ du projet (105.00 m) est-elle différente de l'altitude TN (105.45 m) ?

C'est très courant. Le projet ne commence pas forcément "collé" au terrain naturel. Ici, le projet démarre 45 cm en dessous du sol existant, ce qui signifie qu'il y aura un déblai dès le premier mètre.

Résultat Final
Le tableau des altitudes projet est le suivant : P1=105.00m, P2=104.62m, P3=104.23m, P4=103.82m, P5=103.50m, P6=103.13m.
A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, quelle serait l'altitude projet au point P4 si la pente était de +0.8% ?

Question 2 : Déterminer les hauteurs de projet (déblais et remblais).

Principe

Le concept physique est une simple soustraction de deux altitudes en un même point sur le plan horizontal. On mesure la distance verticale qui sépare le sol (TN) de l'endroit où l'on veut construire (Projet).

Mini-Cours

La hauteur de projet, souvent appelée "Hauteur de Terrassement", est la clé pour le calcul des volumes. Par convention en topographie et en génie civil, le calcul est toujours \(H = Z_{\text{Projet}} - Z_{\text{TN}}\). Le signe du résultat est donc crucial : un signe négatif (-) indique qu'il faut enlever de la matière (Déblai), un signe positif (+) indique qu'il faut en rajouter (Remblai).

Remarque Pédagogique

Le conseil du professeur : soyez rigoureux sur le sens de la soustraction. Inverser \(Z_{\text{TN}}\) et \(Z_{\text{Projet}}\) inversera tous vos signes, et donc vous confondrez les zones à creuser et les zones à remblayer, ce qui est la pire erreur possible sur un chantier !

Formule(s)

Calcul de la hauteur de projet

\[ H_{\text{projet}} = \text{Altitude}_{\text{Projet}} - \text{Altitude}_{\text{TN}} \]
Donnée(s)
PointAltitude Projet (m)Altitude TN (m)
P1105.00105.45
P2104.62104.90
P3104.23104.85
P4103.82103.60
P5103.50102.95
P6103.13102.80
Schéma (Avant les calculs)
Principe du Déblai et du Remblai
TNProjetH < 0 (Déblai)TNProjetH > 0 (Remblai)
Calcul(s)

Hauteur de projet au Point P1

\[ \begin{aligned} H_1 &= 105.00 - 105.45 \\ &= -0.45 \text{ m} \Rightarrow \text{Déblai} \end{aligned} \]

Hauteur de projet au Point P2

\[ \begin{aligned} H_2 &= 104.62 - 104.90 \\ &= -0.28 \text{ m} \Rightarrow \text{Déblai} \end{aligned} \]

Hauteur de projet au Point P3

\[ \begin{aligned} H_3 &= 104.23 - 104.85 \\ &= -0.62 \text{ m} \Rightarrow \text{Déblai} \end{aligned} \]

Hauteur de projet au Point P4

\[ \begin{aligned} H_4 &= 103.82 - 103.60 \\ &= +0.22 \text{ m} \Rightarrow \text{Remblai} \end{aligned} \]

Hauteur de projet au Point P5

\[ \begin{aligned} H_5 &= 103.50 - 102.95 \\ &= +0.55 \text{ m} \Rightarrow \text{Remblai} \end{aligned} \]

Hauteur de projet au Point P6

\[ \begin{aligned} H_6 &= 103.13 - 102.80 \\ &= +0.33 \text{ m} \Rightarrow \text{Remblai} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Déblais et Remblais
106m102m0m125mDéblaiRemblai
Réflexions

En regardant la colonne des résultats, on observe une transition. On commence en déblai (P1, P2, P3) puis on passe en remblai (P4, P5, P6). Cela signifie que la ligne projet, qui était sous le terrain au début, croise le terrain naturel et passe au-dessus. C'est une information capitale pour l'organisation du chantier (où stocker les déblais pour les réutiliser en remblais ?).

Points de vigilance

L'erreur à éviter est de faire le calcul \(Z_{\text{TN}} - Z_{\text{Projet}}\) et de dire "si c'est positif c'est un déblai". C'est l'inverse de la convention ! Respectez toujours la formule \(Z_{\text{Projet}} - Z_{\text{TN}}\) pour que le signe ait la bonne signification.

Points à retenir

Retenez la convention : \(H = \text{Projet} - \text{TN}\). Négatif = Déblai (on creuse), Positif = Remblai (on comble). C'est un standard universel dans le métier.

FAQ
Peut-on avoir une hauteur de projet égale à zéro ?

Oui, absolument. C'est ce qu'on appelle un "point de passage" ou "point de zéro". C'est l'endroit exact où la ligne projet coupe le terrain naturel. C'est l'objet de la question suivante.

Résultat Final
Les hauteurs sont : P1=-0.45m, P2=-0.28m, P3=-0.62m (Déblais), et P4=+0.22m, P5=+0.55m, P6=+0.33m (Remblais).
A vous de jouer

Si, au point P5, l'altitude du terrain naturel avait été de 103.70 m (au lieu de 102.95), quelle aurait été la hauteur de projet ? (Utilisez l'altitude projet de 103.50 m).

Question 3 : Calculer la distance du point de passage déblai/remblai.

Principe

Le concept physique est celui de la continuité. Si une ligne (le projet) passe d'une position "en dessous" d'une autre ligne (le terrain) à une position "au-dessus", elle doit obligatoirement la croiser à un point. Trouver ce point est un problème classique d'interpolation.

Mini-Cours

L'interpolation linéaire consiste à approximer une courbe entre deux points connus par une simple ligne droite. Dans notre cas, on suppose que le terrain naturel et la ligne projet sont des droites entre P3 et P4. On peut alors utiliser le théorème de Thalès sur les triangles formés par les hauteurs et les distances pour trouver la position du point d'intersection.

Remarque Pédagogique

Visualisez le problème ! Dessinez un axe horizontal, placez P3 et P4. Mettez un point en dessous pour H3 (-0.62) et un point au-dessus pour H4 (+0.22). Tracez la droite qui relie ces deux points. L'endroit où elle coupe l'axe horizontal est le point que vous cherchez. Ce schéma mental rend la formule de Thalès évidente.

Formule(s)

Distance partielle depuis P3

\[ d_p = (\text{Dist}_{\text{P4}} - \text{Dist}_{\text{P3}}) \times \frac{|H_3|}{|H_3| + |H_4|} \]

Distance cumulée du point de passage

\[ \text{Dist}_{\text{passage}} = \text{Dist}_{\text{P3}} + d_p \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale ici est que l'évolution des altitudes (TN et Projet) est linéaire entre les points P3 et P4. Dans la réalité, le terrain peut avoir une courbure, mais pour un intervalle court, cette approximation est jugée acceptable.

Donnée(s)
  • P3 : \(\text{Dist} = 51.20 \text{ m}\), \(H = -0.62 \text{ m}\)
  • P4 : \(\text{Dist} = 78.90 \text{ m}\), \(H = +0.22 \text{ m}\)
Astuces

Une astuce pour vérifier : la distance \(d_p\) doit être proportionnelle aux hauteurs. Ici, la hauteur de déblai à P3 (0.62) est presque 3 fois plus grande que la hauteur de remblai à P4 (0.22). Le point de passage doit donc être beaucoup plus proche de P4 que de P3, ce qui est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Interpolation Linéaire entre P3 et P4
Ligne de référence (H=0)P3(H=-0.62)P4(H=+0.22)Point de Passagedp
Calcul(s)

Écart de distance entre P3 et P4

\[ \begin{aligned} \Delta \text{Dist} &= 78.90 - 51.20 \\ &= 27.70 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des valeurs absolues des hauteurs

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{total}} &= |H_3| + |H_4| \\ &= |-0.62| + |0.22| \\ &= 0.84 \text{ m} \end{aligned} \]

Distance partielle depuis P3

\[ \begin{aligned} d_p &= 27.70 \times \frac{0.62}{0.84} \\ &= 27.70 \times 0.738 \\ &= 20.44 \text{ m} \end{aligned} \]

Distance cumulée du point de passage

\[ \begin{aligned} \text{Dist}_{\text{passage}} &= \text{Dist}_{\text{P3}} + d_p \\ &= 51.20 + 20.44 \\ &= 71.64 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du Point de Passage Calculé
P3 (51.20m)P4 (78.90m)71.64 m
Réflexions

Ce point est crucial car il délimite les zones de travail. Avant 71.64 m, les engins devront creuser. Après 71.64 m, ils devront apporter des matériaux. La précision de ce point impacte directement les métrés et donc le coût du projet.

Points de vigilance

L'erreur commune est dans la formule de proportionnalité. Assurez-vous d'utiliser la valeur absolue des hauteurs au dénominateur (on additionne les "longueurs" des segments verticaux, qui sont toujours positives). Une erreur de signe ici donnerait un résultat complètement faux.

Points à retenir

Maîtrisez l'interpolation linéaire (ou "règle de trois", ou Thalès). C'est une technique que vous utiliserez constamment en topographie et en V.R.D. (Voiries et Réseaux Divers) pour trouver des points intermédiaires.

Le saviez-vous ?

Les logiciels modernes de conception routière (comme AutoCAD Civil 3D ou Mensura) calculent ces points de passage automatiquement avec une grande précision, en tenant compte des vraies courbes du terrain et du projet, et non de simples segments de droite.

FAQ
Cette méthode est-elle toujours précise ?

C'est une approximation qui est d'autant plus précise que les points (P3 et P4) sont proches. Si le terrain naturel a une forte courbure entre les deux points, le point de passage réel peut être légèrement différent de celui calculé.

Résultat Final
Le point de passage de la zone de déblai à la zone de remblai se situe à la distance cumulée de 71.64 m.
A vous de jouer

Imaginons que la hauteur de projet à P3 soit de -0.50 m et à P4 de +0.50 m. À quelle distance de P3 se trouverait le point de passage ? (La distance entre P3 et P4 est toujours 27.70 m).

Question 4 : Dessiner le profil en long complet.

Principe

Le dessin du profil en long est la traduction visuelle de toutes les données calculées. Il s'agit de créer un graphique en deux dimensions où l'axe des abscisses (X) représente les distances cumulées et l'axe des ordonnées (Y) représente les altitudes.

Mini-Cours

Un profil en long professionnel inclut plusieurs informations. Les lignes principales sont le Terrain Naturel (TN) et la Ligne Projet. En dessous du graphique, on trouve un "cartouche" qui liste pour chaque point la distance, l'altitude TN, l'altitude Projet, et les hauteurs de déblai/remblai. Une pratique courante est d'utiliser des échelles différentes pour les distances et les altitudes (par exemple, 1/1000 pour les distances et 1/100 pour les altitudes) afin d'exagérer le relief et de mieux voir les pentes.

Remarque Pédagogique

Avant de dessiner, définissez votre "plan de comparaison". C'est une altitude de référence, inférieure à la plus basse altitude de votre projet, qui servira de "zéro" pour votre axe vertical. Cela évite de commencer le dessin à l'altitude 0 et d'avoir un graphique immense et vide en bas. Ici, la plus basse altitude est 102.80 m, on peut donc choisir un plan de comparaison à 100.00 m.

Donnée(s)

Nous utilisons le tableau de données final, qui contient toutes les informations calculées dans les questions précédentes.

PointDist. (m)Alt. TN (m)Alt. Projet (m)Hauteur (m)
P10.00105.45105.00-0.45
P225.50104.90104.62-0.28
P351.20104.85104.23-0.62
Passage71.64(104.03)(104.03)0.00
P478.90103.60103.82+0.22
P5100.30102.95103.50+0.55
P6125.00102.80103.13+0.33
Schéma (Avant les calculs)
Structure d'un Dessin de Profil en Long
Zone de DessinDistancesAlt. TNAlt. ProjetHauteursPROFIL EN LONGCartouche de Données
Calcul(s)

Le "calcul" ici est le report des points. Pour chaque ligne du tableau : 1. Trouver la position sur l'axe horizontal (distance). 2. Depuis ce point, monter verticalement jusqu'à l'altitude TN et marquer un point. 3. Faire de même pour l'altitude Projet. 4. Une fois tous les points placés, relier les points TN entre eux et les points Projet entre eux.

Schéma (Après les calculs)
Profil en Long Détaillé
Dist (m)Alt. TN (m)Projet (m)H (m)102103104105106P1P2P3PassageP4P5P60.00105.45105.00-0.4525.50104.90104.62-0.2851.20104.85104.23-0.6271.64104.03104.030.0078.90103.60103.82+0.22100.30102.95103.50+0.55125.00102.80103.13+0.33Plan de Comp. = 100.00
Réflexions

Le dessin est l'outil de synthèse ultime. Il permet de visualiser immédiatement l'allure du projet, l'importance des terrassements, et les zones critiques. On voit clairement que la première partie du tracé est en déblai, avant de croiser le terrain naturel et de passer en remblai pour la seconde moitié.

Points de vigilance

La principale erreur est le manque de soin. Un profil en long doit être précis et lisible. Vérifiez vos échelles, assurez-vous que les points sont correctement reportés et que les lignes sont bien tracées. N'oubliez pas la légende et le titre pour que le plan soit compréhensible par n'importe quel intervenant du projet.

Points à retenir

Un profil en long n'est pas juste un dessin, c'est un outil de communication et de décision. Il doit être clair, complet et juste. Retenez la structure : le graphique en haut, le cartouche de données en bas, et des échelles clairement indiquées.

Le saviez-vous ?

Aujourd'hui, les profils en long sont générés automatiquement par des logiciels de CAO/DAO à partir de Modèles Numériques de Terrain (MNT) créés par des drones, des scanners laser ou des relevés GPS. L'ingénieur peut alors modifier la ligne projet interactivement et voir les volumes de déblai/remblai se recalculer en temps réel.

FAQ
Pourquoi exagérer l'échelle des altitudes ?

Sur de longues distances, les pentes naturelles et celles des projets sont souvent très faibles (quelques pourcents). Si on utilisait la même échelle pour les longueurs et les hauteurs, le profil apparaîtrait quasiment plat et il serait impossible de distinguer le terrain du projet ou d'apprécier les pentes. L'exagération (typiquement 10 fois) rend le relief lisible.

Résultat Final
Le résultat est le profil en long graphique complet, incluant le tracé des lignes, le cartouche de données et les légendes.
A vous de jouer

Sans faire de calcul, comment le dessin changerait-il si la pente du projet était de +1.5% au lieu de -1.5% ?

Outil Interactif : Simulateur de Profil

Utilisez les curseurs pour modifier l'altitude de départ et la pente de la ligne projet. Observez en temps réel l'impact sur le profil en long et les hauteurs de déblai/remblai.

Paramètres du Projet
105.0 m
-1.5 %
Hauteurs aux points clés (m)
Hauteur à P1 -
Hauteur à P3 -
Hauteur à P6 -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un profil en long représente ?

2. Si la hauteur de projet est de -1.20 m, cela signifie que :

3. Une pente de +2% signifie que pour 50 mètres de distance horizontale, l'altitude du projet :

4. Le point de passage Déblai/Remblai est l'endroit où :

Profil en long
Représentation graphique de l'intersection d'un terrain avec un plan vertical suivant l'axe d'un projet (route, canal, etc.).
Déblai
Partie du terrain située au-dessus de la ligne du projet, qu'il faut excaver.
Remblai
Partie située sous la ligne du projet, qu'il faut combler avec des matériaux.
Pente
Inclinaison d'une ligne par rapport à l'horizontale, exprimée en pourcentage. C'est le rapport entre la dénivelée et la distance horizontale.
Dessiner un profil en long à partir d’un tableau de points

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