Étude Topographique

Dessin d’une Courbe de Niveau

Dessin d’une Courbe de Niveau

Dessin d’une Courbe de Niveau

Contexte : La Courbe de niveauLigne imaginaire qui relie tous les points du terrain situés à la même altitude..

Les courbes de niveau sont l'outil fondamental du topographe pour représenter le relief sur un plan. Elles permettent de visualiser les pentes, les vallées et les sommets. Cet exercice a pour but de vous guider dans le calcul manuel et le dessin d'un segment de courbe de niveau par la méthode de l'interpolation linéaireMéthode mathématique qui consiste à estimer une valeur inconnue située entre deux valeurs connues, en supposant que la variation entre ces deux points est linéaire (pente constante)., une compétence essentielle en traitement des données topographiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous aidera à visualiser concrètement ce que représente une courbe de niveau et à maîtriser l'interpolation linéaire, une technique de base utilisée par tous les logiciels de topographie pour créer des Modèles Numériques de Terrain (MNT).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe de l’interpolation linéaire pour déterminer la position d'un point à une altitude donnée.
  • Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) de points appartenant à une courbe de niveau spécifique.
  • Savoir représenter graphiquement un segment de courbe de niveau à partir de points calculés à une échelle donnée.

Données de l'étude

Un topographe a effectué un levé de quatre points (A, B, C, D) sur un terrain. Nous cherchons à tracer le passage de la courbe de niveau d'altitude 85.00 mètres à travers ce petit carroyage.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Système de coordonnées RGF93 - CC49
Altitude de la courbe de niveau 85.00 m
Échelle du plan 1/500
Schéma du Levé Topographique
Axe X Axe Y 100 150 100 150 A (Z=84.20) B (Z=85.80) C (Z=84.70) D (Z=86.20)
Point X (m) Y (m) Z (Altitude en m)
A 100.00 100.00 84.20
B 150.00 100.00 85.80
C 100.00 150.00 84.70
D 150.00 150.00 86.20

Questions à traiter

  1. Identifier les segments du carroyage (AB, CD, AC, BD) traversés par la courbe de niveau Z = 85.00 m.
  2. Calculer par interpolation linéaire la distance du point A au point P1 (intersection de la courbe 85m avec le segment [AB]).
  3. Calculer les coordonnées complètes (X, Y) du point P1.
  4. Calculer les coordonnées complètes (X, Y) du point P2, intersection de la courbe 85m avec le segment [CD].
  5. Calculer la distance graphique entre P1 et P2 sur un plan à l'échelle 1/500 et représenter le segment [P1P2].

Les bases sur l'Interpolation Linéaire

En topographie, le terrain est modélisé par un ensemble de points discrets dont on connaît les coordonnées (X, Y, Z). Pour dessiner une courbe de niveau, qui est une ligne continue, il faut estimer la position des points qui se trouvent exactement à l'altitude de la courbe. L'interpolation linéaire est la méthode la plus simple pour cela : elle suppose que la pente du terrain est constante entre deux points levés.

Principe de l'Interpolation Linéaire
Imaginez une rampe droite entre deux points A et B d'altitudes différentes. Si vous voulez trouver à quelle distance de A vous atteignez une altitude intermédiaire, vous pouvez utiliser une simple proportion. Cette proportion est basée sur le théorème de Thalès appliqué aux triangles formés par les différences de distance et d'altitude.

La Formule de l'Interpolation Linéaire
Pour trouver la distance horizontale `d_AP` entre le point A et un point P d'altitude `Z_P` situé sur le segment [AB], on utilise la formule :

\[ \frac{d_{\text{AP}}}{d_{\text{AB}}} = \frac{Z_{\text{P}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} \Rightarrow d_{\text{AP}} = d_{\text{AB}} \times \frac{Z_{\text{P}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} \]

Correction : Dessin d'une Courbe de Niveau

Question 1 : Identification des segments traversés

Principe

Le concept fondamental est celui de la continuité. Une courbe de niveau à une altitude Z donnée, qui est une ligne continue, ne peut passer entre deux points A et B que si l'altitude Z se trouve entre les altitudes de ces deux points. Autrement dit, l'un des points doit être plus bas que la courbe (\(Z < Z_{courbe}\)) et l'autre plus haut (\(Z > Z_{courbe}\)).

Mini-Cours

Ce principe découle du théorème des valeurs intermédiaires en mathématiques. Si l'on considère l'altitude comme une fonction continue le long du segment [AB], alors pour toute altitude intermédiaire entre \(Z_A\) et \(Z_B\), il existe au moins un point sur le segment qui a cette altitude. En topographie, on suppose cette continuité le long des segments levés.

Remarque Pédagogique

La méthode la plus simple et la plus sûre est de tester chaque segment du carroyage un par un, de manière systématique. Prenez l'altitude de la courbe (85.00 m) et comparez-la aux deux altitudes de chaque extrémité du segment. Cela évite les oublis.

Normes

Ce principe ne dépend pas d'une norme de construction, mais des fondements logiques et mathématiques de la topographie et de la représentation du relief.

Formule(s)

Condition de traversée pour un segment [P1, P2]

\[ (\min(Z_{\text{P1}}, Z_{\text{P2}}) < Z_{\text{courbe}}) \text{ ET } (\max(Z_{\text{P1}}, Z_{\text{P2}}) > Z_{\text{courbe}}) \]
Hypothèses

On suppose que le levé topographique est correct et que les altitudes des points A, B, C et D sont exactes. On suppose également que le terrain varie de manière continue entre ces points.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude Point A\(Z_A\)84.20m
Altitude Point B\(Z_B\)85.80m
Altitude Point C\(Z_C\)84.70m
Altitude Point D\(Z_D\)86.20m
Altitude Cible\(Z_{\text{courbe}}\)85.00m
Astuces

Pour un contrôle visuel rapide, vous pouvez mentalement "colorier" les points en dessous de 85m d'une couleur (ex: bleu) et ceux au-dessus d'une autre (ex: rouge). Un segment est traversé s'il relie deux points de couleurs différentes.

Schéma (Avant les calculs)
Analyse du carroyage par rapport à l'altitude 85.00 m
A (84.20) B (85.80) C (84.70) D (86.20) Bleu: Altitude < 85m | Rouge: Altitude > 85m
Calcul(s)

Nous testons chaque segment en comparant l'altitude de la courbe (85.00 m) aux altitudes des points qui définissent le segment.

  • Segment [AB] : \(Z_A = 84.20\) m et \(Z_B = 85.80\) m. Comme \(84.20 < 85.00 < 85.80\), la courbe traverse ce segment.
  • Segment [CD] : \(Z_C = 84.70\) m et \(Z_D = 86.20\) m. Comme \(84.70 < 85.00 < 86.20\), la courbe traverse ce segment.
  • Segment [AC] : \(Z_A = 84.20\) m et \(Z_C = 84.70\) m. Les deux points sont sous 85.00 m, la courbe ne traverse pas ce segment.
  • Segment [BD] : \(Z_B = 85.80\) m et \(Z_D = 86.20\) m. Les deux points sont au-dessus de 85.00 m, la courbe ne traverse pas ce segment.
Schéma (Après les calculs)
Identification des segments traversés
A (84.20) B (85.80) C (84.70) D (86.20) Les segments en vert sont traversés par la courbe Z=85m
Réflexions

La courbe de niveau 85.00 m doit "entrer" dans le carroyage par un côté et en "sortir" par un autre. Le fait de trouver deux segments traversés ([AB] et [CD]) est logique. S'il n'y en avait eu qu'un seul, ou un nombre impair, cela aurait indiqué une erreur ou une configuration de terrain plus complexe (sommet, cuvette) non décrite par ces 4 points seuls.

Points de vigilance

L'erreur la plus simple à commettre est une erreur de lecture ou de comparaison. Vérifiez bien les signes "<" (inférieur) et ">" (supérieur). Il faut que l'altitude de la courbe soit strictement comprise entre les deux altitudes des points.

Points à retenir

Pour qu'une courbe de niveau Z traverse un segment [P1, P2], la condition est que Z soit entre \(Z_{P1}\) et \(Z_{P2}\). C'est le test fondamental à réaliser avant toute interpolation.

Le saviez-vous ?

Les logiciels de topographie réalisent cette vérification des millions de fois pour générer les courbes de niveau d'un projet entier. Ils créent un réseau de triangles (une "TIN" : Triangulated Irregular Network) à partir des points levés, puis testent chaque arête de chaque triangle pour trouver par où passent les courbes.

FAQ
Que se passe-t-il si un point est exactement à 85.00 m ?

Si un point (par exemple A) avait une altitude de 85.00 m, la courbe de niveau passerait exactement par ce point. Elle ne "traverserait" plus les segments [AB] ou [AC] au sens strict de l'interpolation, car on connaît déjà sa position.

Résultat Final
La courbe de niveau Z = 85.00 m traverse les segments [AB] et [CD].
A vous de jouer

Avec les mêmes points, quels segments seraient traversés par la courbe de niveau Z = 86.00 m ?

Question 2 : Calcul de la distance AP1

Principe

Le concept physique est celui de la proportionnalité. En supposant une pente constante entre A et B, la variation d'altitude est directement proportionnelle à la distance parcourue. Nous cherchons simplement à quelle fraction de la distance totale correspond la fraction de dénivelé à atteindre.

Mini-Cours

Ce calcul est une application directe du théorème de Thalès. Imaginez deux lignes parallèles horizontales aux altitudes \(Z_A\) et \(Z_B\). La ligne du segment [AB] est une sécante. Toute ligne horizontale intermédiaire (à l'altitude \(Z_{P1}\)) coupera le segment [AB] en un point P1 en respectant les mêmes proportions de distances que les proportions d'altitudes.

Remarque Pédagogique

Avant de calculer, visualisez le problème : A est en dessous de 85m, B est au-dessus. Le point P1 sera donc bien entre A et B. Le dénivelé à combler (de A à P1) est de 0.80m, sur un dénivelé total (de A à B) de 1.60m. Le point P1 doit donc se trouver exactement à la moitié du chemin !

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction complexe, mais aux principes fondamentaux de la géométrie euclidienne et de la trigonométrie, qui sont la base de toute la topographie.

Formule(s)

Formule de l'interpolation linéaire

\[ d_{\text{AP1}} = d_{\text{AB}} \times \frac{Z_{\text{P1}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que la pente du terrain entre les points A et B est constante et uniforme. C'est le principe même de l'interpolation "linéaire".

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude Point A\(Z_A\)84.20m
Altitude Point B\(Z_B\)85.80m
Altitude Cible\(Z_{P1}\)85.00m
Distance AB (calculée depuis les coords: 150-100)\(d_{AB}\)50.00m
Astuces

Pour aller plus vite, on peut calculer mentalement le ratio des dénivelés. Le dénivelé partiel est \(85.00 - 84.20 = 0.8\). Le dénivelé total est \(85.80 - 84.20 = 1.6\). Le ratio est \(0.8 / 1.6 = 1/2\). La distance est donc la moitié de 50m, soit 25m.

Schéma (Avant les calculs)
Profil en long du segment [AB] et interpolation du point P1
Distance depuis A (m) Altitude (m) A B 0 50 84.20 85.80 Z = 85.00 m P1 25.00
Calcul(s)

Calcul de la distance AP1

\[ \begin{aligned} d_{\text{AP1}} &= 50.00 \, \text{m} \times \frac{85.00 \, \text{m} - 84.20 \, \text{m}}{85.80 \, \text{m} - 84.20 \, \text{m}} \\ &= 50.00 \, \text{m} \times \frac{0.80 \, \text{m}}{1.60 \, \text{m}} \\ &= 50.00 \, \text{m} \times 0.5 \\ &= 25.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position du point P1 sur le profil
Distance depuis A (m) A B 0 50 P1 25.00 25.00 m
Réflexions

Le résultat de 25.00 m est parfaitement logique. L'altitude cible de 85.00 m est exactement à mi-chemin entre l'altitude de A (84.20 m) et celle de B (85.80 m). Il est donc normal que le point P1 se trouve au milieu du segment [AB].

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser les termes dans la fraction. Assurez-vous de toujours soustraire l'altitude du point de départ (ici \(Z_A\)) au numérateur et au dénominateur pour maintenir la cohérence.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez la logique : (Distance cherchée) = (Distance totale) × (Dénivelé partiel) / (Dénivelé total). Cette formule est universelle pour l'interpolation linéaire.

Le saviez-vous ?

Les logiciels de topographie n'utilisent pas seulement l'interpolation linéaire. Pour un rendu plus réaliste, ils emploient des méthodes plus complexes comme l'interpolation par voisins naturels ou le krigeage, qui prennent en compte l'influence de plusieurs points voisins pour estimer l'altitude.

FAQ
Et si la pente n'était pas constante ?

Dans la réalité, la pente n'est jamais parfaitement constante. C'est pourquoi les topographes lèvent plus de points dans les zones où le terrain change rapidement. L'interpolation linéaire reste une approximation fiable sur de courtes distances.

Résultat Final
Le point P1 se trouve à 25.00 mètres du point A sur le segment [AB].
A vous de jouer

Si l'altitude du point B était de 86.20 m, à quelle distance de A se trouverait le point P1 (Z=85.00m) ?

Question 3 : Calcul des coordonnées de P1

Principe

Le concept est celui de la géométrie vectorielle. La position du point P1 est égale à la position du point A, à laquelle on ajoute un déplacement (un vecteur) dans la direction de B, dont la longueur est la distance \(d_{AP1}\) que nous venons de calculer.

Mini-Cours

En coordonnées cartésiennes, le vecteur déplacement \(\vec{AP1}\) est proportionnel au vecteur \(\vec{AB}\). Le facteur de proportionnalité est le ratio des distances \(k = d_{AP1} / d_{AB}\). Ainsi :
\(X_{P1} = X_A + k \times (X_B - X_A)\)
\(Y_{P1} = Y_A + k \times (Y_B - Y_A)\)

Remarque Pédagogique

Observez les données : le segment [AB] est parfaitement aligné sur l'axe des abscisses (Y est constant). C'est un cas simple ! Le calcul ne concernera donc que la coordonnée X. L'ordonnée Y de P1 sera la même que celle de A et B.

Normes

Les calculs de coordonnées se basent sur les règles de la géométrie analytique, fondamentales dans tous les systèmes de projection cartographique comme le RGF93 mentionné ici.

Formule(s)

Formule générale

\[ X_{\text{P1}} = X_{\text{A}} + \frac{d_{\text{AP1}}}{d_{\text{AB}}} \times (X_{\text{B}} - X_{\text{A}}) \] \[ Y_{\text{P1}} = Y_{\text{A}} + \frac{d_{\text{AP1}}}{d_{\text{AB}}} \times (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}) \]

Formule simplifiée pour un segment horizontal

\[ X_{\text{P1}} = X_{\text{A}} + d_{\text{AP1}} \] \[ Y_{\text{P1}} = Y_{\text{A}} \]
Hypothèses

Nous travaillons dans un plan euclidien où la distance et les directions sont constantes, ce qui est une approximation valide pour des levés topographiques locaux.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées de A\((X_A, Y_A)\)(100.00, 100.00)m
Distance calculée\(d_{AP1}\)25.00m
Astuces

Puisque nous savons que P1 est au milieu du segment (ratio 0.5), on peut aussi calculer ses coordonnées comme la moyenne des coordonnées de A et B :
\(X_{P1} = (X_A + X_B)/2 = (100+150)/2 = 125\). C'est un excellent moyen de vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation de P1 dans le plan X,Y
X 100 150 (Ordonnée Y = 100.00) A B P1 ? d_AP1 = 25.00 m
Calcul(s)

Calcul de l'abscisse X de P1

\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 100.00 \, \text{m} + 25.00 \, \text{m} \\ &= 125.00 \, \text{m} \end{aligned} \]

Détermination de l'ordonnée Y de P1

\[ Y_{\text{P1}} = Y_{\text{A}} = 100.00 \, \text{m} \]
Schéma (Après les calculs)
Coordonnées du point P1
X 100 150 (Ordonnée Y = 100.00) A B P1 125.00
Réflexions

Le point P1 se situe bien entre A (X=100) et B (X=150), avec la même ordonnée Y=100. Le résultat est cohérent avec la géométrie du problème.

Points de vigilance

Faites attention aux segments non alignés avec les axes ! Dans un cas général, il ne faut pas oublier de calculer le déplacement sur Y également. Omettre le calcul sur l'un des axes est une erreur fréquente.

Points à retenir

La position d'un point sur un segment est une "somme pondérée" des extrémités. Pour P1, on a fait \(0.5 \times A + 0.5 \times B\). Retenir cette vision vectorielle est très puissant.

Le saviez-vous ?

Les récepteurs GNSS (comme le GPS) ne mesurent pas directement des coordonnées planes (X, Y). Ils calculent d'abord une position en 3D dans un système géocentrique (avec la Terre au centre), qui est ensuite transformée mathématiquement dans un système de projection local comme le RGF93 pour obtenir des coordonnées X, Y, Z utilisables sur une carte.

FAQ
Pourquoi ne calcule-t-on pas le déplacement sur Y ?

Parce que les points A et B ont la même ordonnée Y (100.00). Le segment [AB] est donc parallèle à l'axe des X. Tout point situé sur ce segment, y compris P1, aura forcément la même ordonnée Y.

Résultat Final
Les coordonnées du point P1 sont (X = 125.00 ; Y = 100.00 ; Z = 85.00).
A vous de jouer

Si le point A avait les coordonnées (50, 50) et B (100, 50), quelles seraient les coordonnées de P1 (toujours à 25m de A) ?

Question 4 : Calcul des coordonnées de P2

Principe

Le processus est identique à celui des questions 2 et 3, mais appliqué au segment [CD]. Nous allons d'abord interpoler la distance de C à P2, puis calculer les coordonnées de P2 à partir de C.

Mini-Cours

La méthode reste la même : l'interpolation linéaire pour trouver la position relative sur le segment, suivie d'un calcul de coordonnées basé sur cette position. C'est la répétition d'une procédure fondamentale en DAO/topographie.

Remarque Pédagogique

Comme pour [AB], le segment [CD] est horizontal (Y constant à 150.00m). Cela simplifie à nouveau le calcul des coordonnées, qui ne concernera que l'abscisse X.

Formule(s)

Formule d'interpolation

\[ d_{\text{CP2}} = d_{\text{CD}} \times \frac{Z_{\text{P2}} - Z_{\text{C}}}{Z_{\text{D}} - Z_{\text{C}}} \]

Formule de coordonnées

\[ X_{\text{P2}} = X_{\text{C}} + d_{\text{CP2}} \quad | \quad Y_{\text{P2}} = Y_{\text{C}} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées de C\((X_C, Y_C, Z_C)\)(100.00, 150.00, 84.70)m
Coordonnées de D\((X_D, Y_D, Z_D)\)(150.00, 150.00, 86.20)m
Altitude Cible\(Z_{P2}\)85.00m
Distance CD\(d_{CD}\)50.00m
Schéma (Avant les calculs)
Profil en long du segment [CD] et interpolation du point P2
Distance depuis C (m) Altitude (m) C D 0 50 84.70 86.20 Z = 85.00 m P2 ?
Calcul(s)

Calcul de la distance CP2

\[ \begin{aligned} d_{\text{CP2}} &= 50.00 \, \text{m} \times \frac{85.00 \, \text{m} - 84.70 \, \text{m}}{86.20 \, \text{m} - 84.70 \, \text{m}} \\ &= 50.00 \, \text{m} \times \frac{0.30 \, \text{m}}{1.50 \, \text{m}} \\ &= 50.00 \, \text{m} \times 0.2 \\ &= 10.00 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul des coordonnées de P2

\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= X_{\text{C}} + d_{\text{CP2}} \\ &= 100.00 \, \text{m} + 10.00 \, \text{m} \\ &= 110.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ Y_{\text{P2}} = Y_{\text{C}} = 150.00 \, \text{m} \]
Schéma (Après les calculs)
Localisation de P2 dans le plan X,Y
X 100 150 (Ordonnée Y = 150.00) C D P2 d_CP2 = 10.00 m 110.00
Réflexions

Le point P2 est situé à 10m de C sur un segment de 50m. Il est donc au 1/5ème du segment. Cela correspond bien au ratio des altitudes : \((85-84.7)/(86.2-84.7) = 0.3/1.5 = 1/5\). Le calcul est cohérent.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser les points de départ et d'arrivée corrects pour chaque segment (ici C et D) et ne pas mélanger avec les données du segment précédent (A et B).

Points à retenir

La méthode d'interpolation est systématique. Une fois comprise pour un segment, elle peut être appliquée à n'importe quel autre, peu importe ses caractéristiques.

Résultat Final
Les coordonnées du point P2 sont (X = 110.00 ; Y = 150.00 ; Z = 85.00).
A vous de jouer

Si l'altitude de D était de 85.70m, quelles seraient les coordonnées de P2 ? (Indice : calculez d'abord d_CP2)

Question 5 : Distance graphique et représentation

Principe

Le concept est double : d'abord, on utilise le théorème de Pythagore dans le plan (X,Y) pour trouver la distance réelle entre P1 et P2. Ensuite, on applique un facteur d'échelle pour convertir cette distance réelle en une distance mesurable sur le papier.

Mini-Cours

La distance euclidienne entre deux points dans un plan cartésien est la racine carrée de la somme des carrés des différences de leurs coordonnées. C'est une formule de base de la géométrie analytique. L'échelle d'une carte est le rapport constant entre une distance sur la carte et la distance correspondante sur le terrain.

Remarque Pédagogique

Attention, l'échelle 1/500 signifie que 1 unité sur le plan représente 500 unités sur le terrain. Pour passer du terrain au plan, on doit donc DIVISER par 500. C'est l'opération inverse qui est une multiplication.

Normes

La représentation cartographique est régie par des normes de sémiologie graphique pour assurer la lisibilité. Le calcul d'échelle est un principe mathématique universel.

Formule(s)

Formule de la distance euclidienne

\[ d_{\text{P1P2}} = \sqrt{(X_{\text{P2}} - X_{\text{P1}})^2 + (Y_{\text{P2}} - Y_{\text{P1}})^2} \]

Formule de mise à l'échelle

\[ \text{Dist. graph.} = \frac{\text{Dist. réelle}}{\text{Dénominateur de l'échelle}} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées de P1\((X_{P1}, Y_{P1})\)(125.00, 100.00)m
Coordonnées de P2\((X_{P2}, Y_{P2})\)(110.00, 150.00)m
ÉchelleE1/500-
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la distance P1P2 par le théorème de Pythagore
P1 (125, 100) P2 (110, 150) ΔX = |110 - 125| = 15.00 m ΔY = |150 - 100| = 50.00 m d_P1P2 = ?
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la distance réelle P1P2

\[ \begin{aligned} d_{\text{P1P2}} &= \sqrt{(110.00 \, \text{m} - 125.00 \, \text{m})^2 + (150.00 \, \text{m} - 100.00 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{(-15.00 \, \text{m})^2 + (50.00 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{225 \, \text{m}^2 + 2500 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{2725 \, \text{m}^2} \\ &\approx 52.20 \, \text{m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la distance graphique

\[ \begin{aligned} \text{Dist. graph.} &= \frac{52.20 \, \text{m}}{500} \\ &= 0.1044 \, \text{m} \\ &= 10.44 \, \text{cm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Représentation finale de la courbe de niveau Z=85.00m
X=100 X=150 Y=100 Y=150 A B C D P1 P2 Z = 85.00 m
Réflexions

Le segment de la courbe de niveau relie les deux points d'altitude 85.00m que nous avons calculés. Sur le plan, il suffit de tracer un trait de 10.44 cm entre les positions de P1 et P2 pour représenter fidèlement le passage de cette courbe de niveau.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur ici est la conversion d'unités. La distance réelle est en mètres, la distance graphique est souvent voulue en centimètres ou millimètres. N'oubliez pas de convertir le résultat final (0.1044 m = 10.44 cm).

Points à retenir

Maîtrisez la formule de distance et la conversion d'échelle. C'est la base de la lecture et de la production de n'importe quel plan technique.

Le saviez-vous ?

Il existe deux types d'échelles : numérique (ex: 1/500) et graphique (une ligne graduée dessinée sur le plan). L'échelle graphique a l'avantage de rester juste même si le plan est agrandi ou réduit lors d'une photocopie, car elle subit la même déformation que le reste du dessin !

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser la différence d'altitude dans le calcul de la distance P1P2 ?

Parce qu'un plan topographique est une projection horizontale. On ne représente que les distances "vues de dessus". La distance calculée est la distance planimétrique, pas la distance réelle 3D qui suit la pente du terrain.

Résultat Final
La distance graphique entre P1 et P2 est de 10.44 cm.
A vous de jouer

Si l'échelle du plan était de 1/200, quelle serait la distance graphique en cm pour la même distance terrain de 52.20 m ?

Représentation Finale : Dessin d’une Courbe de Niveau

Le schéma ci-dessous synthétise tous les résultats de l'exercice. Il représente le carroyage initial (points A, B, C, D), les points P1 et P2 calculés par interpolation sur les segments [AB] et [CD], et enfin le segment de la courbe de niveau Z=85.00m qui les relie. Chaque élément est positionné précisément selon ses coordonnées calculées, illustrant le résultat final tel qu'il apparaîtrait sur un plan topographique.

Plan Final avec Tracé de la Courbe de Niveau à l'Échelle
X=100 X=150 Y=100 Y=150 A B C D P1 (125.00, 100.00) P2 (110.00, 150.00) Z = 85.00 m 52.20 m (10.44 cm à 1/500)

Outil Interactif : Calculateur d'Interpolation

Utilisez cet outil pour visualiser l'effet de la variation des altitudes sur la position d'un point interpolé. La distance entre le Point 1 et le Point 2 est fixée à 50 mètres pour la simulation.

Paramètres d'Entrée
84.20 m
85.80 m
Résultats Clés
Distance depuis Point 1 (m) -
Pente (%) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'une courbe de niveau ?

2. Pour qu'une courbe de niveau Z=100m passe entre un point A et un point B, il faut que :

3. La méthode de calcul de la position d'une courbe de niveau entre deux points s'appelle :

4. Des courbes de niveau très espacées sur une carte indiquent :

5. Sur un plan au 1/200, une distance de 5 cm sur le papier représente quelle distance sur le terrain ?

Glossaire

Courbe de niveau
Ligne imaginaire (sur une carte) qui relie tous les points du terrain situés à la même altitude par rapport à un niveau de référence.
Interpolation linéaire
Méthode de calcul qui permet d'estimer une valeur inconnue située entre deux valeurs connues, en supposant une progression constante (linéaire) entre elles.
Altitude
Élévation verticale d'un point ou d'un lieu par rapport à un niveau de référence (souvent le niveau moyen de la mer).
Planimétrie
Représentation sur un plan des éléments du terrain projetés horizontalement, en utilisant un système de coordonnées (X, Y).
Dessin d’une Courbe de Niveau

D’autres exercices de Traitement des données topographique:

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