Étude Topographique

Interpolation Linéaire d’Altitude

Exercice : Interpolation Linéaire d'Altitude

Interpolation Linéaire d’Altitude en Topographie

Contexte : L' interpolation linéaireMéthode de calcul permettant d'estimer une valeur inconnue située entre deux valeurs connues, en supposant une progression constante (linéaire) entre elles. en topographie.

En topographie et en systèmes d'information géographique (SIG), il est courant d'avoir des points dont l'altitude est connue (par exemple, des sommets de levé ou des points issus d'un modèle numérique de terrain). Cependant, on a souvent besoin de connaître l'altitude de points situés *entre* ces mesures. L'interpolation linéaire est la méthode la plus simple et la plus fondamentale pour estimer ces altitudes intermédiaires. Elle est cruciale pour des tâches telles que le dessin des courbes de niveauLigne imaginaire sur une carte qui relie tous les points de même altitude. ou la création de profils en long.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer manuellement l'altitude d'un point et la position d'une courbe de niveau entre deux points connus, une compétence de base pour tout technicien ou ingénieur travaillant avec des données géospatiales.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe mathématique de l'interpolation linéaire.
  • Savoir calculer la pente d'un segment à partir des altitudes et de la distance.
  • Appliquer la formule pour calculer l'altitude d'un point intermédiaire.
  • Déterminer la position d'un point d'altitude donnée sur un segment (passage d'une courbe de niveau).

Données de l'étude

Un topographe a effectué un levé et a déterminé avec précision l'altitude de deux points, A et B. Nous cherchons à analyser le profil du terrain entre ces deux points en supposant que la pente est constante.

Modélisation du profil de terrain entre A et B
Distance (m) Altitude (m) 150 160 A 152.35 B 161.80 M (?) D_AB = 85.60 m D_AM = 32.50 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Altitude du point A \(Z_{\text{A}}\) 152.35 m
Altitude du point B \(Z_{\text{B}}\) 161.80 m
Distance horizontale A-B \(D_{\text{AB}}\) 85.60 m

Questions à traiter

  1. Calculer la penteRapport entre la différence d'altitude (dénivelé) et la distance horizontale. Elle est souvent exprimée en pourcentage. du segment [AB] en pourcentage (%).
  2. Un point M est situé sur le segment [AB] à une distance horizontale \(D_{\text{AM}}\) = 32.50 m du point A. Quelle est l'altitude \(Z_{\text{M}}\) de ce point ?
  3. On souhaite implanter les points de passage des courbes de niveau d'altitudes "rondes" 155 m et 160 m sur le segment [AB]. Calculer les distances horizontales depuis le point A pour positionner ces deux points, notés \(P_{155}\) et \(P_{160}\).

Les bases sur l'Interpolation Linéaire

L'interpolation linéaire repose sur l'hypothèse d'une variation constante de l'altitude entre deux points. Mathématiquement, cela revient à utiliser le théorème de Thalès ou les propriétés des triangles semblables. Le rapport entre les dénivelés partiels est égal au rapport entre les distances horizontales partielles.

1. Principe de proportionnalité
La différence d'altitude entre un point intermédiaire M et le point de départ A est proportionnelle à la distance horizontale entre ces deux points. \[ \frac{Z_{\text{M}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} = \frac{D_{\text{AM}}}{D_{\text{AB}}} \]

2. Formules dérivées
À partir du principe de base, on peut isoler la valeur que l'on cherche :
Pour trouver une altitude \(Z_{\text{M}}\) : \[ Z_{\text{M}} = Z_{\text{A}} + (Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}) \times \frac{D_{\text{AM}}}{D_{\text{AB}}} \] Pour trouver une distance \(D_{\text{AP}}\) pour une altitude \(Z_{\text{P}}\) connue : \[ D_{\text{AP}} = D_{\text{AB}} \times \frac{Z_{\text{P}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} \]

Correction : Interpolation Linéaire d’Altitude en Topographie

Question 1 : Calculer la pente du segment [AB] en pourcentage.

Principe

La pente représente l'inclinaison du terrain. Elle est définie par le rapport entre le dénivelé (différence d'altitude verticale) et la distance horizontale. C'est une mesure fondamentale pour comprendre la topographie d'un lieu.

Mini-Cours

La pente peut être exprimée de plusieurs manières : en ratio (m/m), en pourcentage (%), ou en angle (degrés ou radians). Le pourcentage est le plus courant en génie civil et topographie car il est très intuitif : une pente de 10% signifie qu'on s'élève de 10 mètres verticalement pour chaque 100 mètres parcourus horizontalement.

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul, prenez l'habitude de vérifier le sens de la pente. Ici, l'altitude de B (161.80 m) est supérieure à celle de A (152.35 m), donc on s'attend à une pente positive (une montée de A vers B). Cette simple vérification permet d'éviter des erreurs de signe.

Normes

Pour cet exercice académique, aucun règlement spécifique n'est imposé. Dans un contexte professionnel (projets routiers, terrassements), les pentes admissibles sont définies par des normes et des guides techniques (par exemple, les guides du CEREMA en France pour l'accessibilité des personnes à mobilité réduite).

Formule(s)

Formule de la pente :

\[ p = \frac{\Delta Z}{D_{\text{horizontale}}} = \frac{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}}{D_{\text{AB}}} \]

Formule de la pente en pourcentage :

\[ p_{\%} = p \times 100 \]
Donnée(s)

Nous utilisons les données initiales de l'exercice.

ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du point A\(Z_{\text{A}}\)152.35m
Altitude du point B\(Z_{\text{B}}\)161.80m
Distance horizontale A-B\(D_{\text{AB}}\)85.60m
Astuces

Pour une estimation rapide, vous pouvez arrondir les valeurs : un dénivelé d'environ 9.5 m sur une distance d'environ 85 m, c'est un peu plus de 1/10, donc on s'attend à une pente légèrement supérieure à 10%. Cela permet de valider l'ordre de grandeur du résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation du dénivelé et de la distance
ABDistance Horizontale D_ABDénivelé ΔZ = ZB - ZA
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du dénivelé \( \Delta Z \)

Formule du dénivelé :

\[\Delta Z = Z_B - Z_A\]

Application numérique :

\[\begin{aligned} \Delta Z &= 161.80 \text{ m} - 152.35 \text{ m} \\ &= 9.45 \text{ m} \end{aligned}\]

Étape 2 : Calcul de la pente

Formule de la pente :

\[p = \frac{\Delta Z}{D_{\text{AB}}}\]

Application numérique :

\[\begin{aligned} p &= \frac{9.45 \text{ m}}{85.60 \text{ m}} \\ &\approx 0.1104 \end{aligned}\]

Étape 3 : Conversion en pourcentage

Formule de conversion :

\[p_{\%} = p \times 100\]

Application numérique :

\[\begin{aligned} p_{\%} &= 0.1104 \times 100 \\ &\approx 11.04\ \% \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Illustration de la pente calculée
Point de départPour une avancée de 100 mMontée de ≈ 11.04 m
Réflexions

Une pente de 11.04 % signifie que pour chaque avancée de 100 mètres à l'horizontale, le terrain s'élève de 11.04 mètres. C'est une pente modérée, typique d'un terrain en colline, praticable à pied mais déjà significative pour un véhicule.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de diviser la distance par le dénivelé au lieu de l'inverse. Assurez-vous de toujours diviser la variation verticale par la distance horizontale. De plus, ne confondez pas la pente (rapport) et l'angle (en degrés), qui se calcule avec l'arc tangente de la pente.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : La pente est le rapport du dénivelé sur la distance horizontale.
  • Formule Essentielle : \( p_{\%} = ( (Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}) / D_{\text{AB}} ) \times 100 \).
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours utiliser la distance horizontale, pas la distance le long de la pente.
Le saviez-vous ?

En conception routière, on utilise la notion de "dévers" pour les virages, qui est une pente transversale volontairement créée pour contrer la force centrifuge. La signalisation routière indique les pentes en pourcentage pour avertir les conducteurs, notamment les poids lourds.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi ne pas utiliser la distance réelle le long de la pente ?

En topographie et en cartographie, toutes les représentations se font sur un plan horizontal (projection). Utiliser la distance horizontale garantit la cohérence des calculs et des plans, quelle que soit l'inclinaison du terrain.

Résultat Final
La pente du segment [AB] est d'environ 11.04 %.
A vous de jouer

Si la distance horizontale était de 100 m avec le même dénivelé, quelle serait la pente en % ?

Question 2 : Calculer l'altitude \(Z_{\text{M}}\) du point M.

Principe

En supposant une pente constante, le gain d'altitude entre A et M est proportionnel à la distance horizontale parcourue. Nous pouvons calculer ce gain d'altitude en multipliant la distance \(D_{\text{AM}}\) par la pente (non pourcentuelle) du segment [AB], puis l'ajouter à l'altitude de départ \(Z_{\text{A}}\).

Mini-Cours

Ce calcul est une application directe d'une fonction affine de type \(y = ax + b\), où \(y\) est l'altitude, \(x\) est la distance depuis l'origine, \(a\) est la pente, et \(b\) est l'altitude à l'origine. Ici, \(Z_{\text{M}} = p \times D_{\text{AM}} + Z_{\text{A}}\). C'est le fondement de la modélisation de terrain simple.

Remarque Pédagogique

La méthode la plus robuste est d'utiliser les rapports (produit en croix), car elle ne nécessite pas de calculer la pente au préalable. Elle lie directement les grandeurs connues (\(\Delta Z_{\text{AB}}, D_{\text{AB}}, D_{\text{AM}}\)) à la grandeur inconnue (\(\Delta Z_{\text{AM}}\)).

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour le calcul lui-même, mais la précision du résultat dépend de la précision des mesures initiales, qui sont elles-mêmes encadrées par des tolérances définies dans les cahiers des charges des projets topographiques.

Formule(s)

Formule générale de l'interpolation pour trouver l'altitude :

\[ Z_{\text{M}} = Z_{\text{A}} + (Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}) \times \frac{D_{\text{AM}}}{D_{\text{AB}}} \]
Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que le point M se trouve exactement sur le segment de droite reliant A et B dans un plan vertical. Le profil du terrain est donc considéré comme parfaitement linéaire entre A et B.

Donnée(s)

On ajoute la distance du point M aux données connues.

ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du point A\(Z_{\text{A}}\)152.35m
Altitude du point B\(Z_{\text{B}}\)161.80m
Distance horizontale A-M\(D_{\text{AM}}\)32.50m
Distance horizontale totale A-B\(D_{\text{AB}}\)85.60m
Astuces

Le point M est situé à environ un tiers du chemin de A vers B (\(32.50 / 85.60 \approx 0.38\)). Le dénivelé total est d'environ 9.5 m. On s'attend donc à un gain d'altitude d'environ \(0.38 \times 9.5 \approx 3.6\) m. L'altitude de M devrait être autour de \(152.35 + 3.6 \approx 155.95\) m.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation du point M à interpoler
ABMZM = ?D_ABD_AM
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du gain d'altitude de A à M (\(\Delta Z_{\text{AM}}\))

Formule du gain d'altitude par proportionnalité :

\[\Delta Z_{\text{AM}} = (Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}) \times \frac{D_{\text{AM}}}{D_{\text{AB}}}\]

Application numérique :

\[\begin{aligned} \Delta Z_{\text{AM}} &= (161.80 \text{ m} - 152.35 \text{ m}) \times \frac{32.50 \text{ m}}{85.60 \text{ m}} \\ &= 9.45 \text{ m} \times 0.37967... \\ &\approx 3.588 \text{ m} \end{aligned}\]

Étape 2 : Calcul de l'altitude finale \(Z_{\text{M}}\)

Formule de l'altitude du point M :

\[Z_{\text{M}} = Z_{\text{A}} + \Delta Z_{\text{AM}}\]

Application numérique :

\[\begin{aligned} Z_{\text{M}} &= 152.35 \text{ m} + 3.588 \text{ m} \\ &= 155.938 \text{ m} \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Altitude du point M
AltitudeA (152.35)B (161.80)ZM ≈ 155.94
Réflexions

L'altitude calculée \(Z_{\text{M}}\) (155.94 m) est bien comprise entre \(Z_{\text{A}}\) (152.35 m) et \(Z_{\text{B}}\) (161.80 m), ce qui est cohérent. La position de M étant plus proche de A que de B, son altitude est logiquement plus proche de celle de A.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser les bonnes grandeurs dans la fraction : c'est le rapport des distances partielles sur la distance totale (\(D_{\text{AM}}/D_{\text{AB}}\)) qui est appliqué au dénivelé total, et non l'inverse. Une erreur ici conduirait à un résultat incohérent.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Le gain d'altitude est proportionnel à la distance parcourue.
  • Formule Essentielle : \( Z_{\text{M}} = Z_{\text{A}} + \text{Dénivelé}_{\text{AB}} \times (D_{\text{AM}}/D_{\text{AB}}) \).
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier que le résultat final se situe bien entre les altitudes de départ et d'arrivée.
Le saviez-vous ?

Les logiciels de SIG et de CAO/DAO utilisent des algorithmes d'interpolation bien plus complexes (comme l'interpolation bicubique ou le krigeage) pour créer des modèles numériques de terrain (MNT) fluides et réalistes à partir de milliers de points levés, mais le principe de base reste l'estimation de valeurs inconnues à partir de valeurs connues.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Et si le terrain n'est pas une ligne droite ?

L'interpolation linéaire est une approximation. Plus les points A et B sont éloignés, plus il est probable que le terrain réel s'écarte de la ligne droite. Pour plus de précision, les topographes mesurent des points intermédiaires pour mieux "casser" la ligne et suivre le relief naturel.

Résultat Final
L'altitude du point M est d'environ 155.94 m.
A vous de jouer

Quelle serait l'altitude si le point M était situé à 50 m du point A ?

Question 3 : Calculer les distances pour les courbes de niveau 155 m et 160 m.

Principe

Cette fois, la démarche est inversée. Nous connaissons l'altitude cible \(Z_{\text{P}}\) (155 m ou 160 m) et nous cherchons la distance horizontale \(D_{\text{AP}}\) correspondante. Le principe de proportionnalité s'applique de la même manière : le rapport des distances (\(D_{\text{AP}}/D_{\text{AB}}\)) est égal au rapport des dénivelés (\(\Delta Z_{\text{AP}}/\Delta Z_{\text{AB}}\)).

Mini-Cours

Cette opération est fondamentale pour le dessin cartographique. Pour tracer une courbe de niveau sur une carte, on calcule sa position sur chaque segment de droite d'un "canevas" de points (souvent une grille ou un réseau de triangles), puis on relie ces positions par une ligne lisse. Ce que nous faisons ici est une seule de ces opérations élémentaires.

Remarque Pédagogique

Pensez-y comme à une "règle de trois". Si pour un dénivelé total de 9.45 m il faut parcourir 85.60 m, alors pour atteindre un dénivelé de \(Z_P - Z_A\), quelle distance faudra-t-il parcourir ? Cette logique simple est le cœur du calcul.

Normes

Les normes cartographiques (comme celles de l'IGN en France) définissent l'équidistance des courbes de niveau (par exemple, tous les 5, 10 ou 20 mètres) en fonction de l'échelle de la carte et du relief de la zone, afin d'assurer une lisibilité optimale.

Formule(s)

Formule de l'interpolation pour trouver la distance :

\[ D_{\text{AP}} = D_{\text{AB}} \times \frac{Z_{\text{P}} - Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} \]
Hypothèses

L'hypothèse reste la même : la pente du terrain est parfaitement constante et linéaire entre les points A et B. On suppose aussi que les altitudes des courbes de niveau (155 m et 160 m) sont bien comprises entre les altitudes de A et B.

Donnée(s)

On utilise les données de base et les altitudes cibles.

  • \(Z_{\text{A}} = 152.35\) m
  • \(Z_{\text{B}} = 161.80\) m
  • \(D_{\text{AB}} = 85.60\) m
  • Altitudes cibles : \(Z_{\text{P1}} = 155.00\) m, \(Z_{\text{P2}} = 160.00\) m
Astuces

Le dénivelé total est de 9.45 m. Pour passer de 152.35 m à 155 m, il faut "monter" de 2.65 m, ce qui représente environ 28% du dénivelé total (\(2.65/9.45\)). La distance devrait donc être d'environ 28% de 85.60 m, soit environ 24 m. Cela permet de vérifier le premier calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Recherche des positions des courbes de niveau
ABZ=155mZ=160mP155P160D_AP155 = ?D_P155_P160 = ?
Calcul(s)

Pour la courbe de niveau 155 m (Point \(P_{155}\))

Étape 1 : Calcul du dénivelé partiel \( \Delta Z_{\text{AP}_{155}} \)

\[\begin{aligned} \Delta Z_{\text{AP}_{155}} &= Z_{P_{155}} - Z_A \\ &= 155.00 \text{ m} - 152.35 \text{ m} \\ &= 2.65 \text{ m} \end{aligned}\]

Étape 2 : Calcul de la distance horizontale \( D_{\text{AP}_{155}} \)

\[\begin{aligned} D_{\text{AP}_{155}} &= D_{\text{AB}} \times \frac{\Delta Z_{\text{AP}_{155}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} \\ &= 85.60 \text{ m} \times \frac{2.65 \text{ m}}{9.45 \text{ m}} \\ &\approx 23.99 \text{ m} \end{aligned}\]

Pour la courbe de niveau 160 m (Point \(P_{160}\))

Étape 1 : Calcul du dénivelé partiel \( \Delta Z_{\text{AP}_{160}} \)

\[\begin{aligned} \Delta Z_{\text{AP}_{160}} &= Z_{P_{160}} - Z_A \\ &= 160.00 \text{ m} - 152.35 \text{ m} \\ &= 7.65 \text{ m} \end{aligned}\]

Étape 2 : Calcul de la distance horizontale \( D_{\text{AP}_{160}} \)

\[\begin{aligned} D_{\text{AP}_{160}} &= D_{\text{AB}} \times \frac{\Delta Z_{\text{AP}_{160}}}{Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}} \\ &= 85.60 \text{ m} \times \frac{7.65 \text{ m}}{9.45 \text{ m}} \\ &\approx 69.21 \text{ m} \end{aligned}\]
Schéma (Après les calculs)
Position des courbes de niveau
A (0 m)B (85.60 m)P15523.99 mP16069.21 mProfil du terrain
Réflexions

Les deux distances calculées sont bien inférieures à la distance totale de 85.60 m. La distance entre les deux courbes de niveau sur ce segment est de \(69.21 - 23.99 = 45.22\) m. Plus la pente est forte, plus cette distance (l'espacement des courbes de niveau) est faible.

Points de vigilance

Assurez-vous toujours que l'altitude cible est bien comprise entre les altitudes des deux points de référence. Si vous essayez de calculer la position pour une altitude de 170 m, la formule donnera une distance supérieure à \(D_{\text{AB}}\), ce qui indique une extrapolation et non une interpolation, et sort du cadre de l'exercice.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : On peut inverser la formule d'interpolation pour trouver une position à partir d'une altitude.
  • Formule Essentielle : \( D_{\text{AP}} = D_{\text{AB}} \times (\Delta Z_{\text{AP}} / \Delta Z_{\text{AB}}) \).
  • Point de Vigilance Majeur : Le dénivelé partiel (\(Z_{\text{P}} - Z_{\text{A}}\)) doit toujours être calculé par rapport au point d'origine de la distance (\(Z_{\text{A}}\)).
Le saviez-vous ?

Le premier usage systématique des courbes de niveau pour représenter le relief terrestre est attribué à l'ingénieur français Jean-Louis Dupain-Triel en 1791 pour une carte de France. Cette innovation a révolutionné la cartographie et la planification militaire et civile.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Comment fait-on sur le terrain pour trouver le point à 23.99 m ?

Un topographe utiliserait un tachéomètre (ou un GPS de précision) et un ruban. En se plaçant au point A, il viserait la direction du point B et mesurerait une distance horizontale de 23.99 m pour planter un piquet marquant l'emplacement exact de la courbe de niveau.

Résultat Final
La courbe de niveau 155 m passe à 23.99 m du point A.
La courbe de niveau 160 m passe à 69.21 m du point A.
A vous de jouer

À quelle distance de A passe la courbe de niveau à 158 m ?

Outil Interactif : Simulateur de Profil

Utilisez les curseurs pour modifier les altitudes des points A et B et observez en temps réel comment la pente et le profil du terrain changent.

Paramètres du Profil
152.5 m
161.5 m
Résultats Clés
Dénivelé A-B (m) -
Pente (%) -
Altitude au milieu (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Sur quel principe mathématique repose l'interpolation linéaire ?

2. Si Z_A = 50m, Z_B = 60m, et D_AB = 100m, quelle est l'altitude du point situé au milieu du segment [AB] ?

3. Un dénivelé de 5 m sur une distance horizontale de 50 m correspond à une pente de :

4. L'hypothèse principale de l'interpolation linéaire est que...

5. Si on interpole une altitude et que le résultat est plus élevé que les deux points connus, que s'est-il probablement passé ?

Altitude
Élévation verticale d'un point par rapport à un niveau de référence, généralement le niveau moyen de la mer (géoïde).
Courbe de niveau
Ligne sur une carte reliant les points de même altitude. L'ensemble des courbes de niveau représente le relief du terrain.
Dénivelé
Différence d'altitude entre deux points. Il peut être positif (montée) ou négatif (descente).
Interpolation Linéaire
Méthode d'estimation d'une valeur inconnue se trouvant entre deux valeurs connues, en supposant une progression constante et directe (linéaire) entre elles.
Pente
Rapport entre le dénivelé et la distance horizontale. Elle mesure l'inclinaison d'un terrain et est souvent exprimée en pourcentage (%) ou en degrés (°).
Exercice : Interpolation Linéaire d'Altitude

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