Étude Topographique

Interpolation Linéaire d’Altitude

Topographie : Interpolation Linéaire pour Trouver l'Altitude d'un Point

Interpolation linéaire pour trouver l'altitude d'un point

Contexte : Modéliser le Relief du Terrain

En topographie, il est impossible de mesurer l'altitude de chaque point du terrain. Le géomètre effectue donc un "semis de points" en relevant l'altitude de points caractéristiques. Pour connaître l'altitude d'un point situé entre deux points mesurés, on utilise une méthode d'estimation appelée interpolationEnsemble de techniques mathématiques permettant de construire une courbe ou de définir des valeurs intermédiaires à partir d'un nombre fini de points connus.. La plus simple et la plus courante est l'interpolation linéaire, qui suppose que la pente du terrain est constante entre les deux points connus.

Remarque Pédagogique : L'interpolation linéaire est un outil fondamental pour la création de Modèles Numériques de Terrain (MNT)Représentation informatique de la topographie (altimétrie) d'une zone terrestre sous la forme d'une grille de points ou d'un réseau de triangles. et le dessin des courbes de niveau sur les cartes. Maîtriser ce calcul simple est la première étape pour comprendre des méthodes d'interpolation plus complexes (bilinéaire, krigeage, etc.).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe de l'interpolation linéaire.
  • Appliquer le théorème de Thalès dans un contexte topographique.
  • Calculer la distance horizontale entre des points à partir de leurs coordonnées.
  • Calculer une dénivelée et une pente.
  • Déterminer l'altitude d'un point inconnu situé sur un segment par interpolation.

Données de l'étude

Lors d'un levé, un géomètre a mesuré les coordonnées et l'altitude de deux points A et B. Un point M est situé sur l'alignement AB.

Point E (Est) N (Nord) Z (Altitude)
A 125.30 450.60 85.45 m
B 210.80 380.20 92.17 m
M 158.50 421.70 ?
Schéma de la Situation (Vue en Plan)
A B M

Objectif :

  • Calculer l'altitude du point M (\(Z_M\)).

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale totale \(D_{AB}\) entre A et B.
  2. Calculer la distance horizontale partielle \(D_{AM}\) entre A et M.
  3. En déduire l'altitude \(Z_M\) du point M par interpolation linéaire.

Correction : Interpolation Linéaire d'Altitude

Question 1 : Calcul de la Distance Horizontale AB

Principe :
A B ΔE ΔN DAB

La distance horizontale entre deux points se calcule à partir de leurs coordonnées planimétriques (E, N) en utilisant le théorème de Pythagore. C'est la distance "à vol d'oiseau" si le terrain était plat.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il ne faut pas confondre la distance horizontale (calculée en 2D avec E et N) et la distance suivant la pente (en 3D, qui inclut la différence d'altitude Z). Pour l'interpolation, on travaille toujours avec les distances horizontales.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D = \sqrt{(E_B - E_A)^2 + (N_B - N_A)^2} = \sqrt{\Delta E^2 + \Delta N^2} \]
Donnée(s) :
  • A(125.30, 450.60)
  • B(210.80, 380.20)
Calcul(s) :
\[ \Delta E_{AB} = 210.80 - 125.30 = 85.50 \, \text{m} \]
\[ \Delta N_{AB} = 380.20 - 450.60 = -70.40 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{AB} &= \sqrt{(85.50)^2 + (-70.40)^2} \\ &= \sqrt{7310.25 + 4956.16} \\ &= \sqrt{12266.41} \\ &\approx 110.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le signe du Delta : Même si le signe de \( \Delta E \) ou \( \Delta N \) n'a pas d'importance pour le calcul de distance (car ils sont élevés au carré), il est primordial pour le calcul du gisement. Prendre l'habitude de calculer \( \text{Point Final} - \text{Point Initial} \) est une bonne pratique.

Le saviez-vous ?

Cette distance horizontale est celle que l'on mesure sur une carte ou un plan. C'est la base de tous les calculs de projet (routes, bâtiments, réseaux) car ils sont d'abord conçus en 2D avant d'intégrer l'altimétrie.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas utiliser l'altitude dans ce calcul ?

L'interpolation se base sur l'hypothèse que la variation d'altitude est proportionnelle à la distance parcourue à l'horizontale. On sépare donc le problème en deux : d'abord le calcul des distances en planimétrie (2D), puis l'application de cette proportion sur la différence d'altitude (la 3ème dimension).

Résultat : La distance horizontale entre A et B est d'environ 110.75 m.

Question 2 : Calcul de la Distance Horizontale AM

Principe :

Le calcul est identique au précédent, mais en utilisant les coordonnées du point M. Comme M est sur le segment AB, cette distance sera nécessairement plus petite que la distance totale AB. C'est une étape intermédiaire indispensable pour établir la proportion.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette étape permet de "positionner" M le long du segment AB en termes de distance. On saura quel pourcentage du chemin entre A et B a été parcouru horizontalement. C'est ce même pourcentage que l'on appliquera à la dénivelée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{AM} = \sqrt{(E_M - E_A)^2 + (N_M - N_A)^2} \]
Donnée(s) :
  • A(125.30, 450.60)
  • M(158.50, 421.70)
Calcul(s) :
\[ \Delta E_{AM} = 158.50 - 125.30 = 33.20 \, \text{m} \]
\[ \Delta N_{AM} = 421.70 - 450.60 = -28.90 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{AM} &= \sqrt{(33.20)^2 + (-28.90)^2} \\ &= \sqrt{1102.24 + 835.21} \\ &= \sqrt{1937.45} \\ &\approx 44.02 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Vérification de cohérence : Toujours vérifier que la distance partielle (\(D_{AM}\)) est bien inférieure à la distance totale (\(D_{AB}\)). Si ce n'est pas le cas, c'est qu'il y a une erreur de saisie ou de calcul, ou que le point M n'est en réalité pas situé entre A et B.

Le saviez-vous ?

Pour vérifier que M est bien sur l'alignement AB, on peut calculer les gisements \(G_{AB}\) et \(G_{AM}\). Ils doivent être identiques (ou opposés de 200 gon si M était de l'autre côté de A). C'est une vérification essentielle sur le terrain.

FAQ en rapport avec la question :
Et si M n'était pas exactement sur la droite AB ?

Si M n'est pas sur la droite, l'interpolation linéaire n'est plus directement applicable. Il faudrait utiliser des méthodes d'interpolation surfaciques (comme l'interpolation bilinéaire) qui se basent sur au moins 3 points connus formant un triangle autour de M.

Résultat : La distance horizontale entre A et M est d'environ 44.02 m.

Question 3 : Calcul de l'Altitude de M

Principe :
A B M Zₐ Zₑ Zₘ=? Pente constante

L'interpolation linéaire repose sur le théorème de Thalès. On considère que la pente est constante entre A et B. La différence d'altitude entre A et M est donc proportionnelle à la différence d'altitude totale entre A et B, dans le même rapport que les distances horizontales.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On peut voir ce calcul comme un "produit en croix". On calcule la pente totale du segment AB (\( \text{pente} = \frac{\Delta Z_{AB}}{D_{AB}} \)). Ensuite, on applique cette pente à la distance partielle \(D_{AM}\) pour trouver la dénivelée partielle \( \Delta Z_{AM} = \text{pente} \times D_{AM} \). L'altitude finale est \( Z_M = Z_A + \Delta Z_{AM} \).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{Z_M - Z_A}{Z_B - Z_A} = \frac{D_{AM}}{D_{AB}} \]
\[ \Rightarrow Z_M = Z_A + (Z_B - Z_A) \times \frac{D_{AM}}{D_{AB}} \]
Donnée(s) :
  • \(Z_A = 85.45\) m
  • \(Z_B = 92.17\) m
  • \(D_{AM} \approx 44.02\) m
  • \(D_{AB} \approx 110.75\) m
Calcul(s) :
\[ \Delta Z_{AB} = Z_B - Z_A = 92.17 - 85.45 = 6.72 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} Z_M &= Z_A + \Delta Z_{AB} \times \frac{D_{AM}}{D_{AB}} \\ &= 85.45 + 6.72 \times \frac{44.02}{110.75} \\ &= 85.45 + 6.72 \times 0.39747 \\ &= 85.45 + 2.67 \\ &= 88.12 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le point de départ : Il est crucial d'être cohérent. Si on calcule la dénivelée à partir de A (\(Z_B - Z_A\)), il faut bien ajouter cette correction à l'altitude de départ \(Z_A\). Une erreur fréquente est d'ajouter la correction à la mauvaise altitude de base.

Le saviez-vous ?

Les courbes de niveau sur une carte sont des lignes où tous les points sont à la même altitude. Elles sont générées en appliquant des milliers d'interpolations linéaires entre les points d'un levé topographique pour trouver où se situent les altitudes "rondes" (90m, 91m, 92m, etc.).

FAQ en rapport avec la question :
Cette méthode est-elle toujours précise ?

Non. L'interpolation linéaire suppose une pente parfaitement régulière, ce qui est rare dans la nature. Si le terrain entre A et B présente une rupture de pente (un creux ou une bosse), l'altitude interpolée sera fausse. C'est pourquoi un bon levé topographique doit inclure des points sur toutes les ruptures de pente pour minimiser cette erreur.

Résultat : L'altitude du point M est d'environ 88.12 m.

Simulation Interactive de l'Interpolation

Utilisez le curseur pour déplacer le point M le long du segment AB et observez comment son altitude est interpolée en temps réel sur le profil en long.

Position du Point M
Altitude de M
Pente du segment AB
Profil en Long

Pour Aller Plus Loin : Interpolation sur une Grille

Le Modèle Numérique de Terrain (MNT) : En pratique, le terrain est modélisé par un réseau de points formant une grille ou un réseau de triangles (TIN - Triangulated Irregular Network). Pour trouver l'altitude d'un point M quelconque, on identifie d'abord la maille ou le triangle dans lequel il se trouve.

  • Sur une grille : On utilise une "interpolation bilinéaire", qui est une double interpolation linéaire, d'abord le long des deux côtés de la maille, puis une seconde fois entre les deux points interpolés.
  • Sur un TIN : On considère que le point M est sur le plan défini par les 3 sommets du triangle. Son altitude est calculée en résolvant l'équation de ce plan.

Le Saviez-Vous ?

La technologie LiDAR (Light Detection and Ranging), souvent embarquée sur des drones ou des avions, permet d'acquérir des millions de points altimétriques en quelques minutes, créant des MNT d'une très haute densité et précision. L'interpolation reste cependant l'outil mathématique qui permet de "donner vie" à ce nuage de points pour en faire une surface continue.

Foire Aux Questions (FAQ)

Peut-on interpoler à l'extérieur du segment AB (extrapolation) ?

Mathématiquement, oui. On peut appliquer la même formule pour un point situé dans le prolongement de AB. Cependant, c'est une pratique très risquée en topographie. L'extrapolation suppose que la tendance de la pente se poursuit au-delà des points mesurés, ce qui est rarement vérifiable et peut conduire à des erreurs très importantes.

Comment choisir les points A et B pour l'interpolation ?

Pour interpoler l'altitude d'un point M, il faut choisir les deux points connus les plus proches qui encadrent M. Idéalement, M doit être le plus près possible du milieu du segment AB pour que l'estimation soit la plus fiable possible.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le point M est exactement au milieu du segment AB (en distance horizontale), son altitude Z_M sera :

2. La pente entre A et B est de 6.07%. Si on interpole un point M situé à 10m (distance horizontale) de A, de combien son altitude augmentera-t-elle par rapport à A ?

Glossaire

Altimétrie
Partie de la topographie qui traite de la mesure des altitudes et de la représentation du relief du sol.
Courbe de niveau
Ligne imaginaire joignant tous les points du terrain situés à la même altitude. La différence d'altitude entre deux courbes successives est appelée "équidistance".
Dénivelée
Différence d'altitude entre deux points. Elle peut être positive (montée) ou négative (descente).
Interpolation Linéaire
Méthode de calcul qui estime une valeur inconnue en supposant une progression constante et linéaire entre deux valeurs connues.
Modèle Numérique de Terrain (MNT)
Représentation numérique et informatique de la surface d'un terrain, généralement sous forme d'une grille de points d'altitude.
Topographie : Interpolation Linéaire pour Trouver l'Altitude d'un Point

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