Étude Topographique

Calcul de la Contenance d’une Parcelle

Calcul de la Contenance d’une Parcelle

Calcul de la Contenance d’une Parcelle

Contexte : Le calcul de contenanceDétermination de la surface (superficie) d'un terrain à partir de mesures topographiques..

Cet exercice est un cas pratique fondamental en topographie. Il consiste à déterminer la surface, ou contenance, d'une parcelle de terrain définie par plusieurs sommets. Nous partirons de mesures brutes de terrain (angles et distances) effectuées avec une station totale, pour calculer les coordonnées de chaque sommet et, enfin, en déduire la surface totale de la parcelle. C'est une compétence essentielle pour les géomètres, les ingénieurs en génie civil et les architectes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le processus complet de traitement des données topographiques : du calcul des gisements et coordonnées à la vérification de la précision des mesures, jusqu'à la production d'un plan et au calcul de la surface finale.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les gisements des côtés d'un polygone à partir d'angles observés.
  • Déterminer les coordonnées rectangulaires (X, Y) des sommets de la parcelle.
  • Vérifier la qualité des mesures en calculant l'erreur de fermeture du polygone.
  • Appliquer la méthode des coordonnées pour calculer la surface d'un polygone.

Données de l'étude

Un géomètre a effectué le levé d'une parcelle polygonale à 5 sommets (A, B, C, D, E). Les données de départ et les mesures brutes de terrain sont consignées ci-dessous.

Données Initiales
Point de départ A \(X_A = 1000.00 \text{ m}, Y_A = 500.00 \text{ m}\)
Gisement de départ \(G_{\text{AB}} = 120.0000 \text{ gon}\)
Schéma de la Parcelle Levé
A B C D E
Mesures de Terrain
Sommet Stationné Angle interne mesuré (gon) Côté Distance mesurée (m)
A 108.7512 AB 55.20
B 110.5025 BC 45.80
C 125.0080 CD 60.10
D 95.7565 DE 35.50
E 159.9828 EA 50.00

Questions à traiter

  1. Vérifier la fermeture angulaire du polygone. Sachant que la somme théorique des angles internes d'un pentagone est 600 gon, calculer l'erreur de fermeture et la compenser.
  2. Calculer les gisements de tous les côtés (BC, CD, DE, EA) en utilisant les angles compensés.
  3. Calculer les coordonnées rectangulaires (X, Y) de tous les sommets (B, C, D, E).
  4. Calculer les erreurs de fermeture linéaire en X (\(f_x\)) et Y (\(f_y\)), puis l'erreur de fermeture totale \(f_T\).
  5. Calculer la contenance (surface) de la parcelle par la méthode des coordonnées.

Bases du Calcul Topographique

1. Fermeture et Compensation Angulaire
Pour un polygone à \(n\) sommets, la somme théorique des angles internes est : \(\sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \text{ gon}\). L'erreur de fermeture angulaire est la différence entre la somme des angles mesurés et la somme théorique : \(f_{\alpha} = \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}}\). On répartit ensuite cette erreur sur chaque angle : \(C_{\alpha} = -f_{\alpha}/n\).

2. Calcul des Gisements
Le gisement d'un côté est l'angle entre l'axe des Y (Nord) et ce côté, dans le sens horaire. On le calcule de proche en proche : \(G_{n, n+1} = G_{n-1, n}^{\text{inverse}} + \alpha'_n\). Le gisement inverse est \(G^{\text{inverse}} = G \pm 200 \text{ gon}\).

3. Calcul des Coordonnées et de la Surface
Les coordonnées d'un point B se calculent à partir d'un point A connu : \[ X_B = X_A + D_{\text{AB}} \cdot \sin(G_{\text{AB}}) \quad ; \quad Y_B = Y_A + D_{\text{AB}} \cdot \cos(G_{\text{AB}}) \] La surface est ensuite calculée avec la formule des coordonnées : \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \quad (\text{avec } (X,Y)_{n+1} = (X,Y)_1) \]

Correction : Calcul de la Contenance d’une Parcelle

Question 1 : Fermeture et Compensation Angulaire

Principe

Le concept physique est que la somme des angles internes d'un polygone fermé est une constante géométrique. Toute déviation par rapport à cette constante représente l'erreur accumulée de nos mesures. La première étape est de quantifier cette erreur pour la corriger.

Mini-Cours

La somme théorique des angles internes d'un polygone à 'n' côtés est donnée par la formule \(\sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200\) en grades (gon). L'erreur de fermeture angulaire, notée \(f_{\alpha}\), est la différence entre la somme des angles que nous avons mesurés sur le terrain (\(\sum \alpha_{\text{mes}}\)) et cette valeur théorique. Une fois l'erreur trouvée, on la répartit uniformément sur chaque angle pour que la somme corrigée soit géométriquement juste.

Remarque Pédagogique

Considérez cette étape comme la fondation de votre calcul. Si la fondation n'est pas droite (si les angles ne sont pas corrigés), tout le reste de la structure (les coordonnées, la surface) sera faussé. C'est un contrôle qualité indispensable à réaliser en premier.

Normes

Les réglementations de la topographie (variables selon les pays) fixent des tolérances pour l'erreur de fermeture angulaire, souvent exprimées en fonction de la précision de l'instrument et du nombre de sommets. Par exemple, une tolérance commune pourrait être \(T_\alpha = k \cdot \sqrt{n}\), où 'k' est une constante. Pour cet exercice, nous supposerons que notre erreur est acceptable.

Formule(s)

Formule de la somme théorique

\[ \sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \text{ gon} \]

Formule de l'erreur de fermeture

\[ f_\alpha = \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}} \]

Formule de la compensation par angle

\[ C = - \frac{f_\alpha}{n} \]
Hypothèses
  • Le polygone est bien fermé (le dernier point rejoint le premier).
  • Les angles ont tous été mesurés dans le même sens (interne).
  • L'erreur de mesure est accidentelle et peut être répartie uniformément.
Donnée(s)

Les données d'entrée pour cette question sont les cinq angles internes mesurés sur le terrain.

SommetAngle Mesuré (gon)
A108.7512
B110.5025
C125.0080
D95.7565
E159.9828
Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, faites la somme des angles une première fois, puis une seconde fois en partant du bas vers le haut pour vérifier votre addition.

Schéma (Avant les calculs)

Le polygone avec ses angles internes tels que mesurés sur le terrain. La somme de ces angles ne correspond pas exactement à la théorie.

Angles Internes Mesurés
ABCDEα_Aα_Bα_Cα_Dα_E
Calcul(s)

Somme des angles mesurés

\[ \sum \alpha_{\text{mes}} = 108.7512 + 110.5025 + 125.0080 + 95.7565 + 159.9828 = 600.0010 \text{ gon} \]

Erreur de fermeture angulaire (\(f_\alpha\))

\[ \begin{aligned} f_\alpha &= \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}} \\ &= 600.0010 - (5-2) \times 200 \\ &= 600.0010 - 600 \\ &= +0.0010 \text{ gon} \end{aligned} \]

Compensation par angle

\[ C = - \frac{0.0010}{5} = -0.0002 \text{ gon} \]
Schéma (Après les calculs)

L'erreur totale (\(f_\alpha\)) est répartie en petites corrections (C) sur chaque angle pour obtenir des angles corrigés (\(\alpha'\)) dont la somme est théoriquement juste.

Compensation des Angles
Σα_mes = 600.0010Erreur f_α = +0.0010α_Aα_Bα_Cα_D...etc-C-C-C
Réflexions

Une erreur de 0.0010 gon (soit 10 milligrades) pour un polygone de 5 sommets est une très bonne précision, tout à fait acceptable. Elle justifie une compensation uniforme, car aucune mesure ne semble particulièrement fausse par rapport aux autres.

Points de vigilance

Attention au signe de la compensation : elle est toujours opposée au signe de l'erreur. Si l'erreur est positive, la compensation est négative (on retire un peu à chaque angle).

Points à retenir
  • La somme théorique des angles internes d'un polygone est \((n-2) \times 200 \text{ gon}\).
  • On doit toujours calculer et compenser l'erreur angulaire avant de poursuivre les calculs.
Le saviez-vous ?

L'unité "gon" ou "grade" a été créée en France après la Révolution pour décimaliser les angles, avec 100 gon pour un angle droit et 400 gon pour un cercle complet, afin de simplifier les calculs par rapport au système sexagésimal (degrés, minutes, secondes).

FAQ
Pourquoi répartir l'erreur de manière égale ?

En l'absence d'information indiquant qu'une mesure est moins fiable qu'une autre (par exemple, une visée difficile à cause de la végétation), on suppose que chaque mesure d'angle a contribué de manière égale à l'erreur globale. C'est le principe de la compensation par moindres carrés dans sa forme la plus simple.

Résultat Final
L'erreur angulaire de +0.0010 gon est compensée en appliquant une correction de -0.0002 gon à chaque angle.
A vous de jouer

Si pour un carré (4 côtés), la somme des angles mesurés était de 399.9980 gon, quelle serait la correction à appliquer sur chaque angle ?

Question 2 : Calcul des Gisements

Principe

Le principe est de propager une orientation de proche en proche. En partant d'une direction connue (le gisement du premier côté), et en utilisant les angles (corrigés) que font les côtés entre eux, on peut déduire l'orientation de tous les autres côtés par rapport à la même référence (le Nord).

Mini-Cours

Le gisement d'une ligne AB (\(G_{\text{AB}}\)) est son angle avec le Nord. Pour calculer le gisement de la ligne suivante BC (\(G_{\text{BC}}\)), on part du gisement de la ligne précédente en sens inverse (\(G_{\text{BA}}\)), et on y ajoute l'angle interne corrigé en B (\(\alpha'_{\text{B}}\)). Le gisement inverse \(G_{\text{BA}}\) se calcule simplement : \(G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} \pm 200 \text{ gon}\). La formule générale est donc : \(G_{\text{BC}} = (G_{\text{AB}} \pm 200) + \alpha'_{\text{B}}\). On ajuste le résultat final en ajoutant ou retirant 200 ou 400 pour le ramener dans l'intervalle [0, 400[.

Remarque Pédagogique

Imaginez-vous au sommet B, regardant en arrière vers A. Votre boussole indique \(G_{\text{BA}}\). Pour connaître la direction de C, vous pivotez de l'angle \(\alpha'_{\text{B}}\). C'est l'essence du calcul de transmission des gisements.

Formule(s)

Formule de transmission de gisement

\[ G_{\text{suivant}} = (G_{\text{précédent}} \pm 200 \text{ gon}) + \alpha'_{\text{interne}} \]
Hypothèses
  • Le gisement de départ \(G_{\text{AB}}\) est considéré comme exact.
  • Les angles utilisés sont les angles compensés de la question précédente.
Donnée(s)

Gisement de départ et angles internes compensés à la question précédente.

Gisement de départ \(G_{\text{AB}}\)120.0000 gon
Angle corrigé en B (\(\alpha'_{\text{B}}\))110.5023 gon
Angle corrigé en C (\(\alpha'_{\text{C}}\))125.0078 gon
Angle corrigé en D (\(\alpha'_{\text{D}}\))95.7563 gon
Angle corrigé en E (\(\alpha'_{\text{E}}\))159.9826 gon
Astuces

Le test ultime de vos calculs est la fermeture : en calculant le gisement du dernier côté (EA), puis en lui appliquant la même méthode avec l'angle en A, vous devez retomber exactement sur votre gisement de départ (\(G_{\text{AB}}\)). Si ce n'est pas le cas, une erreur de calcul s'est glissée quelque part.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du gisement connu \(G_{\text{AB}}\) et de l'angle interne \(\alpha'_{\text{B}}\) utilisé pour calculer le gisement suivant.

Transmission du gisement en B
NABCDir. ABDir. BAG_ABα'_B
Calcul(s)

Calcul du gisement \(G_{\text{BC}}\)

\[ \begin{aligned} G_{\text{BC}} &= (G_{\text{AB}} + 200) + \alpha'_{\text{B}} \\ &= (120.0000 + 200) + 110.5023 \\ &= 430.5023 \text{ gon} \\ &\Rightarrow \mathbf{30.5023 \text{ gon}} \end{aligned} \]

Calcul du gisement \(G_{\text{CD}}\)

\[ \begin{aligned} G_{\text{CD}} &= (G_{\text{BC}} + 200) + \alpha'_{\text{C}} \\ &= (30.5023 + 200) + 125.0078 \\ &= \mathbf{355.5101 \text{ gon}} \end{aligned} \]

Calcul du gisement \(G_{\text{DE}}\)

\[ \begin{aligned} G_{\text{DE}} &= (G_{\text{CD}} - 200) + \alpha'_{\text{D}} \\ &= (355.5101 - 200) + 95.7563 \\ &= \mathbf{251.2664 \text{ gon}} \end{aligned} \]

Calcul du gisement \(G_{\text{EA}}\)

\[ \begin{aligned} G_{\text{EA}} &= (G_{\text{DE}} - 200) + \alpha'_{\text{E}} \\ &= (251.2664 - 200) + 159.9826 \\ &= \mathbf{211.2490 \text{ gon}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Visualisation de tous les gisements calculés pour le polygone, montrant l'orientation de chaque côté par rapport au Nord.

Gisements du Polygone
NABBCCDDEEA
Réflexions

Vérification de fermeture

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB}} (\text{recalculé}) &= (G_{\text{AE}}) + \alpha'_{\text{A}} \\ &= (211.2490 - 200) + 108.7510 \\ &= 120.0000 \text{ gon} \end{aligned} \]

Le gisement de départ est retrouvé à l'identique. Cela confirme que nos calculs de transmission sont corrects et que la compensation angulaire a été bien menée. Nous pouvons passer au calcul des coordonnées en toute confiance.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de prendre le gisement inverse (\(G \pm 200\)) avant d'ajouter l'angle interne. Une autre erreur commune est de se tromper dans la normalisation du résultat final (le ramener entre 0 et 400 gon).

Points à retenir
  • Le calcul des gisements est une chaîne : chaque calcul dépend du précédent.
  • La vérification finale en retombant sur le gisement de départ est une étape non négociable.
Résultat Final
Les gisements calculés sont : \(G_{\text{BC}}=30.5023 \text{ gon}\), \(G_{\text{CD}}=355.5101 \text{ gon}\), \(G_{\text{DE}}=251.2664 \text{ gon}\), \(G_{\text{EA}}=211.2490 \text{ gon}\).
A vous de jouer

Si le gisement \(G_{\text{XY}}\) est de 85.0000 gon et l'angle interne corrigé en Y est de 150.0000 gon, quel est le gisement \(G_{\text{YZ}}\) ?

Question 3 : Calcul des Coordonnées des Sommets

Principe

Le principe est de transformer des mesures polaires (distance + angle/gisement) en coordonnées cartésiennes (\(\Delta X, \Delta Y\)). En connaissant la position d'un point de départ et le "déplacement" pour aller au point suivant, on peut calculer les coordonnées de ce nouveau point, et ainsi de suite pour toute la parcelle.

Mini-Cours

À partir d'un point A (\(X_A, Y_A\)), les coordonnées d'un point B s'obtiennent en ajoutant les variations de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Ces variations sont calculées par trigonométrie dans un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la distance \(D_{\text{AB}}\) et l'angle est le gisement \(G_{\text{AB}}\). On a : \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\). Il suffit ensuite d'ajouter ces variations aux coordonnées du point de départ : \(X_B = X_A + \Delta X_{\text{AB}}\) et \(Y_B = Y_A + \Delta Y_{\text{AB}}\).

Formule(s)

Formules des variations de coordonnées

\[ \Delta X = D \cdot \sin(G) \quad ; \quad \Delta Y = D \cdot \cos(G) \]

Formules de calcul des coordonnées

\[ X_{\text{arrivée}} = X_{\text{départ}} + \Delta X \quad ; \quad Y_{\text{arrivée}} = Y_{\text{départ}} + \Delta Y \]
Donnée(s)

Coordonnées du point de départ A, et la liste des distances (énoncé) et des gisements calculés à la question 2.

Point AX: 1000.00, Y: 500.00
Côté ABD: 55.20, G: 120.0000
Côté BCD: 45.80, G: 30.5023
Côté CDD: 60.10, G: 355.5101
Côté DED: 35.50, G: 251.2664
Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du calcul des coordonnées du point B à partir du point A.

Calcul des coordonnées de B
A(X_A, Y_A)B(X_B, Y_B)ΔX = D.sin(G)ΔY = D.cos(G)D_ABG_AB
Calcul(s)

Coordonnées du point B

\[ \Delta X_{\text{AB}} = 55.20 \cdot \sin(120.0000) = +52.50 \text{ m} \]
\[ \Delta Y_{\text{AB}} = 55.20 \cdot \cos(120.0000) = -17.06 \text{ m} \]
\[ X_B = 1000.00 + 52.50 = 1052.50 \text{ m} \]
\[ Y_B = 500.00 - 17.06 = 482.94 \text{ m} \]

Coordonnées du point C

\[ \Delta X_{\text{BC}} = 45.80 \cdot \sin(30.5023) = +21.47 \text{ m} \]
\[ \Delta Y_{\text{BC}} = 45.80 \cdot \cos(30.5023) = +40.45 \text{ m} \]
\[ X_C = 1052.50 + 21.47 = 1073.97 \text{ m} \]
\[ Y_C = 482.94 + 40.45 = 523.39 \text{ m} \]

Coordonnées du point D

\[ \Delta X_{\text{CD}} = 60.10 \cdot \sin(355.5101) = -13.21 \text{ m} \]
\[ \Delta Y_{\text{CD}} = 60.10 \cdot \cos(355.5101) = +58.63 \text{ m} \]
\[ X_D = 1073.97 - 13.21 = 1060.76 \text{ m} \]
\[ Y_D = 523.39 + 58.63 = 582.02 \text{ m} \]

Coordonnées du point E

\[ \Delta X_{\text{DE}} = 35.50 \cdot \sin(251.2664) = -25.81 \text{ m} \]
\[ \Delta Y_{\text{DE}} = 35.50 \cdot \cos(251.2664) = -24.38 \text{ m} \]
\[ X_E = 1060.76 - 25.81 = 1034.95 \text{ m} \]
\[ Y_E = 582.02 - 24.38 = 557.64 \text{ m} \]
Schéma (Après les calculs)

Représentation graphique de la parcelle dans un repère, avec les coordonnées calculées de chaque sommet.

Plan de la Parcelle
ABCDE
Réflexions

Le tableau et le schéma montrent la progression logique du calcul. Chaque nouvelle coordonnée est la somme de la précédente et du déplacement calculé. Il est essentiel d'être méthodique et de bien reporter les valeurs pour ne pas propager d'erreur.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (ou "Grad" ou "Gon") et non en "Degrés" ou "Radians" ! C'est la source d'erreur la plus fréquente à ce stade. Vérifiez également les signes des sinus et cosinus selon le quadrant du gisement.

Résultat Final
Les coordonnées calculées sont B(1052.50, 482.94), C(1073.97, 523.39), D(1060.76, 582.02), et E(1034.95, 557.64).

Question 4 : Calcul de la Fermeture Linéaire

Principe

Comme pour les angles, on boucle la boucle. On calcule les coordonnées du point de départ A à partir du dernier point connu (E). L'écart entre les coordonnées initiales de A et ces nouvelles coordonnées recalculées est l'erreur de fermeture linéaire. Elle quantifie la précision combinée des mesures d'angles ET de distances.

Formule(s)

Formules des erreurs de fermeture en X et Y

\[ f_x = X_{\text{recalculé}} - X_{\text{initial}} \quad ; \quad f_y = Y_{\text{recalculé}} - Y_{\text{initial}} \]

Formule de l'erreur de fermeture totale

\[ f_T = \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \]
Donnée(s)

Coordonnées initiales du point A, coordonnées calculées du point E, distance et gisement du dernier côté EA.

Point A (Initial)X: 1000.00, Y: 500.00
Point E (Calculé)X: 1034.95, Y: 557.64
Côté EAD: 50.00, G: 211.2490
Schéma (Avant les calculs)

Le polygone est presque complet. On va calculer le dernier segment EA pour revenir au point de départ A.

Fermeture du polygone
ABCDEVecteur de fermeture EA à calculer
Calcul(s)

Calcul des variations pour le côté EA

\[ \Delta X_{\text{EA}} = 50.00 \cdot \sin(211.2490) = -8.80 \text{ m} \]
\[ \Delta Y_{\text{EA}} = 50.00 \cdot \cos(211.2490) = -49.22 \text{ m} \]

Calcul des coordonnées recalculées de A (noté A')

\[ X_{A'} = X_E + \Delta X_{\text{EA}} = 1034.95 - 8.80 = 1026.15 \text{ m} \]
\[ Y_{A'} = Y_E + \Delta Y_{\text{EA}} = 557.64 - 49.22 = 508.42 \text{ m} \]

Calcul des erreurs de fermeture

\[ f_x = X_{A'} - X_A = 1026.15 - 1000.00 = +26.15 \text{ m} \]
\[ f_y = Y_{A'} - Y_A = 508.42 - 500.00 = +8.42 \text{ m} \]

Calcul de l'erreur totale

\[ \begin{aligned} f_T &= \sqrt{f_x^2 + f_y^2} \\ &= \sqrt{26.15^2 + 8.42^2} \\ &= \sqrt{683.8225 + 70.8964} \\ &= \sqrt{754.7189} \\ &\approx 27.47 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'erreur de fermeture. Le point A' est l'endroit où le calcul nous amène, et le vecteur rouge \(f_T\) représente l'écart par rapport à la position de départ réelle A.

Vecteur de Fermeture
A (Départ)A' (Arrivée)f_Tf_xf_y
Réflexions

Une erreur de fermeture de plus de 27 mètres est extraordinairement grande et inacceptable en pratique. Elle signale une faute majeure dans les données de l'énoncé (probablement une ou plusieurs distances sont fausses). Dans un cas réel, un géomètre retournerait sur le terrain. L'exercice a une valeur pédagogique pour montrer comment détecter une telle anomalie.

Points de vigilance

Une grande erreur de fermeture n'est pas à "compenser" aveuglément. La compensation n'a de sens que pour de petites erreurs accidentelles. Une faute doit être trouvée et corrigée à la source.

Résultat Final
L'erreur de fermeture linéaire est de \(f_x = +26.15 \text{ m}\), \(f_y = +8.42 \text{ m}\), soit une erreur totale de 27.47 m.

Question 5 : Calcul de la Contenance de la Parcelle

Principe

La surface d'un polygone peut être calculée directement à partir des coordonnées de ses sommets. La méthode, parfois appelée "formule du lacet", consiste à faire une série de produits en croix qui, additionnés, donnent le double de la surface.

Mini-Cours

La formule \(S = \frac{1}{2} | \sum (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) |\) est la méthode la plus robuste. On parcourt les sommets dans l'ordre (A, B, C, D, E), et pour le dernier segment, on revient au premier point (E vers A). La valeur absolue à la fin garantit que la surface est toujours positive, quel que soit le sens de parcours (horaire ou anti-horaire).

Donnée(s)

Nous utilisons les coordonnées calculées (non compensées, car l'erreur linéaire est trop grande pour une compensation simple).

PointX (m)Y (m)
A1000.00500.00
B1052.50482.94
C1073.97523.39
D1060.76582.02
E1034.95557.64
Schéma (Avant les calculs)

Le polygone est défini par les coordonnées de ses sommets. Nous allons maintenant en calculer la surface.

Polygone final pour calcul de surface
ABCDESurface ?
Calcul(s)

Application de la formule

\[ \begin{aligned} 2S = & |(1000.00 \times 482.94 - 1052.50 \times 500.00) \\ &+ (1052.50 \times 523.39 - 1073.97 \times 482.94) \\ &+ (1073.97 \times 582.02 - 1060.76 \times 523.39) \\ &+ (1060.76 \times 557.64 - 1034.95 \times 582.02) \\ &+ (1034.95 \times 500.00 - 1000.00 \times 557.64)| \end{aligned} \]

Résultats intermédiaires

\[ \begin{aligned} 2S &= |-43310.0 + 32148.3 + 69856.7 - 10896.0 - 40165.0| \\ &= |7634.0| \end{aligned} \]

Calcul final

\[ S = \frac{7634.0}{2} = 3817.0 \text{ m}^2 \]
Schéma (Après les calculs)

La surface du polygone a été calculée.

Résultat de la surface
ABCDES = 3817.0 m²
Réflexions

Le résultat est une valeur numérique précise, mais il faut garder à l'esprit qu'elle est basée sur des données qui ont une grande erreur de fermeture. La vraie surface pourrait donc être différente. Le calcul est mathématiquement juste, mais la donnée d'entrée est physiquement imprécise.

Points de vigilance

Veillez à bien boucler le polygone dans le calcul : le dernier terme doit connecter le dernier point (E) au premier point (A). Une omission de ce terme fausserait complètement le résultat.

Points à retenir

La méthode des coordonnées est une méthode de calcul de surface universelle pour tout polygone, à condition que les coordonnées des sommets soient connues et fiables.

Le saviez-vous ?

Cette méthode a été décrite par Carl Friedrich Gauss. Elle est à la base de la plupart des logiciels de Dessin Assisté par Ordinateur (DAO) et de Système d'Information Géographique (SIG) pour calculer automatiquement l'aire des formes complexes.

Résultat Final
La contenance de la parcelle, basée sur les coordonnées calculées, est de 3 817.0 m².
A vous de jouer

Calculez la surface d'un triangle simple avec les sommets A(0,0), B(10,0), C(5,10).

Outil Interactif : Plan de la Parcelle

Utilisez cet outil pour visualiser la parcelle. Les coordonnées ont été mises à jour avec les valeurs corrigées. Vous pouvez modifier les valeurs et cliquer sur "Dessiner" pour voir l'impact sur la forme et la surface.

Données des Sommets
Informations
Surface Calculée (m²) -
Périmètre (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. En topographie, qu'est-ce qu'un "gisement" ?

2. Si la somme des angles internes mesurés d'un polygone à 6 côtés est de 799.9950 gon, quelle est l'erreur de fermeture angulaire ? (Somme th. = 800 gon)

3. La formule \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\) permet de calculer :

4. Une grande erreur de fermeture linéaire (plusieurs mètres) indique probablement :

Glossaire

Contenance
Terme officiel désignant la superficie ou l'aire d'une parcelle de terrain.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à une direction donnée.
Polygone Topographique (ou Cheminement)
Ensemble de lignes droites consécutives (côtés) dont les longueurs et les angles ont été mesurés pour déterminer les positions des sommets.
Fermeture (Angulaire ou Linéaire)
Ensemble des vérifications permettant de contrôler la cohérence et la précision des mesures d'un polygone. L'erreur de fermeture est l'écart entre la valeur mesurée/calculée et la valeur théorique.
Station Totale
Instrument de topographie électronique qui mesure à la fois les angles horizontaux/verticaux et les distances.
Calcul de la Contenance d’une Parcelle

D’autres exercices de traitement des données topographique:

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