Calcul de la contenance d'une parcelle à partir d'un plan
Contexte : La Base du Droit de Propriété
Déterminer la surface exacte d'une parcelle, ou "contenance cadastrale", est l'une des missions les plus fondamentales du géomètre-topographe. Que ce soit pour une vente, un héritage, une déclaration fiscale ou l'obtention d'un permis de construire, la surface est une donnée juridique et technique essentielle. Cet exercice se concentre sur la méthode de calcul la plus fiable et la plus utilisée : le calcul par coordonnées, à partir des points relevés sur le terrain et reportés sur un plan.
Remarque Pédagogique : Contrairement aux mesures sur plan papier avec un planimètre ou à la décomposition en formes simples (triangles, rectangles), la méthode par coordonnées offre une précision mathématique. Elle est la seule reconnue pour les documents officiels car elle est directement issue des mesures de terrain et est parfaitement reproductible.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la formule du géomètre (méthode des lacets) pour calculer une surface.
- Comprendre l'importance de l'ordre séquentiel des sommets dans le calcul.
- Manipuler des coordonnées planimétriques (Est, Nord) dans un contexte de calcul de surface.
- Effectuer un calcul de contrôle (gisement et distance) pour vérifier la cohérence des données.
- Visualiser l'impact de la modification d'un sommet sur la contenance totale.
Données de l'étude
| Point | E (Est) | N (Nord) |
|---|---|---|
| A | 520.50 | 835.70 |
| B | 610.20 | 870.40 |
| C | 655.90 | 810.30 |
| D | 595.10 | 765.80 |
| E | 535.40 | 790.60 |
Schéma de la Parcelle
- Calculer la contenance exacte de la parcelle ABCDE en mètres carrés.
Questions à traiter
- Calculer la surface de la parcelle ABCDE par la méthode des coordonnées.
- À titre de vérification, calculer le gisement et la distance du côté CD.
Correction : Calcul de la Contenance d'une Parcelle
Question 1 : Calcul de la Surface
Principe :
La surface d'un polygone peut être calculée directement à partir des coordonnées de ses sommets en utilisant la méthode des lacets (ou formule du géomètre). On "parcourt" le périmètre du polygone en effectuant une somme de produits en croix des coordonnées.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : L'ordre dans lequel on prend les sommets est crucial. Il faut les parcourir de manière consécutive, dans le sens horaire ou anti-horaire. Un changement d'ordre (par ex. A, C, B, D, E) donnerait un résultat incorrect. Le signe du résultat dépend du sens de parcours, mais la valeur absolue de la surface reste la même.
Formule(s) utilisée(s) :
Avec le dernier point n=5, on a (E6, N6) = (E1, N1).
Donnée(s) :
- A(520.50, 835.70)
- B(610.20, 870.40)
- C(655.90, 810.30)
- D(595.10, 765.80)
- E(535.40, 790.60)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Calculs fastidieux : Cette méthode implique de nombreux produits et additions. Une calculatrice programmable ou un tableur sont fortement recommandés pour éviter les erreurs de frappe et faciliter la vérification.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Gisement et Distance CD
Principe :
Le calcul du gisement et de la distance d'un côté sert de vérification. Il permet de s'assurer que les coordonnées saisies sont cohérentes avec les longueurs et orientations qui pourraient figurer sur un ancien plan ou dans un carnet de terrain. On utilise les mêmes formules que précédemment, en faisant attention au quadrant.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Ici, \( \Delta E \) et \( \Delta N \) sont tous les deux négatifs. Cela signifie que l'on se déplace vers le Sud-Ouest. Le gisement se trouvera donc dans le 3ème quadrant (entre 200 et 300 gon). Il faudra ajouter 200 gon à l'angle calculé par la fonction `arctan`.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- C(655.90, 810.30)
- D(595.10, 765.80)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Gisement inverse : Le gisement de D vers C (\(G_{DC}\)) n'est pas le même que de C vers D (\(G_{CD}\)). Il faut ajouter ou soustraire 200 gon. \(G_{DC} = G_{CD} - 200 = 61.56\) gon. Il est essentiel de bien définir le sens du segment pour le calcul.
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive de la Contenance
Faites varier les coordonnées du point C et observez en temps réel l'impact sur la forme et la surface de la parcelle.
Paramètres du Point C
Visualisation de la Parcelle
Pour Aller Plus Loin : Cas Complexes
Au-delà des polygones simples : Le calcul de contenance peut se complexifier :
- Limites courbes : Si une limite de parcelle est un arc de cercle (fréquent dans les lotissements), il faut calculer la surface du segment circulaire et l'ajouter ou la soustraire à la surface polygonale.
- Parcelles avec des "trous" : Si la parcelle contient une enclave (par exemple, un bâtiment qui ne fait pas partie de la propriété), on calcule la surface du polygone extérieur, puis la surface du polygone intérieur (l'enclave), et on soustrait la seconde de la première.
- Calcul à partir de mesures polaires : Souvent, le géomètre mesure des angles et des distances depuis un point de station. Il faut d'abord transformer ces mesures polaires en coordonnées rectangulaires avant de pouvoir calculer la surface.
Le Saviez-Vous ?
La contenance d'une parcelle est souvent exprimée en hectares (ha), ares (a) et centiares (ca). Un centiare correspond à 1 m². Un are vaut 100 m² et un hectare vaut 10 000 m². Notre parcelle de 5839 m² aurait donc une contenance de 0 ha 58 a 39 ca.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la tolérance pour une surface cadastrale ?
La tolérance dépend de la nature de la zone (urbaine, rurale) et de la précision des documents d'origine. La loi française (notamment la loi SRU) impose des règles strictes sur la mention de la surface dans les actes de vente, mais des écarts entre la surface mesurée et la surface "théorique" du cadastre sont fréquents, d'où l'importance du bornage par un géomètre-expert.
Pourquoi les coordonnées ont-elles des valeurs si grandes ?
Les coordonnées topographiques sont généralement rattachées à un système de projection national (comme le RGF93 en France). Pour éviter les coordonnées négatives sur l'ensemble du territoire, on applique de grandes translations aux origines, ce qui explique que les coordonnées E et N aient souvent 6 ou 7 chiffres.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on intervertit les points D et E dans le calcul de surface, le résultat sera :
2. Pour calculer la surface d'un polygone de 10 sommets, combien de produits de coordonnées (type E_i * N_{i+1}) doit-on faire ?
Glossaire
- Contenance
- Terme technique et juridique désignant la surface d'une parcelle de terrain.
- Coordonnées Planimétriques
- Système de coordonnées à deux dimensions (Est, Nord ou X, Y) utilisé pour représenter la position des points sur une surface plane (une carte ou un plan).
- Formule du Géomètre
- Aussi appelée méthode des lacets, c'est une technique pour calculer l'aire d'un polygone simple à partir des coordonnées cartésiennes de ses sommets.
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction de référence Nord. Il est généralement exprimé en grades (gon) en France (un cercle complet = 400 gon).
D’autres exercices de traitement des données topographique:
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