Étude Topographique

Division d’une parcelle par une droite parallèle à un côté

Topographie : Division d'une Parcelle par une Parallèle

Division d'une parcelle par une droite parallèle à un côté

Contexte : Une Opération Fondamentale en Aménagement Foncier

La division de parcelles est une tâche courante en topographie, essentielle pour les transactions immobilières, les partages successoraux ou les projets d'aménagement. L'un des cas les plus fréquents est la division d'un terrain en deux lots de surfaces définies par une nouvelle limite parallèle à un côté existant. Cet exercice a pour but de maîtriser la méthode de calcul permettant de déterminer précisément la position de cette nouvelle limite en utilisant les coordonnées des sommets de la parcelle.

Remarque Pédagogique : Ce problème combine la géométrie analytique (calculs à partir de coordonnées) et la résolution d'équations. Il illustre parfaitement comment les outils mathématiques sont appliqués pour résoudre des problèmes concrets sur le terrain. La rigueur dans les calculs est primordiale pour garantir l'exactitude des surfaces.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.
  • Calculer le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction de référence Nord. Exprimé en grades (gon). et la distance entre deux points.
  • Poser et résoudre l'équation de la surface d'un trapèze pour trouver la position d'une ligne de partage.
  • Calculer les coordonnées de nouveaux points sur une droite à partir d'un point, d'un gisement et d'une distance.
  • Vérifier la validité des calculs en re-calculant les surfaces des lots créés.

Données de l'étude

On dispose d'une parcelle de terrain définie par les quatre sommets A, B, C, D, dont les coordonnées planimétriques (en mètres) sont les suivantes :

Point E (Est) N (Nord)
A 100.00 200.00
B 250.00 250.00
C 300.00 150.00
D 150.00 50.00
Schéma de la Parcelle
A B C D M N

Objectif :

  • On souhaite diviser cette parcelle en deux lots par une ligne de partage MN, avec M sur le côté AD et N sur le côté BC.
  • La ligne MN doit être parallèle au côté AB.
  • Le lot 1 (ABNM) doit avoir une surface \(S_1 = 15 000 \, \text{m}^2\).

Questions à traiter

  1. Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.
  2. Calculer le gisement \(G_{AB}\) et la distance \(D_{AB}\).
  3. Déterminer la distance AM pour que la surface du lot ABNM soit de \(15 000 \, \text{m}^2\).
  4. Calculer les coordonnées des points M et N.

Correction : Division d'une parcelle par une droite parallèle à un côté

Question 1 : Calcul de la Surface Totale

Principe :
A B C D

La surface d'un polygone peut être calculée directement à partir des coordonnées de ses sommets en utilisant la méthode des lacets (ou formule du géomètre). On "parcourt" le périmètre du polygone en effectuant une somme de produits en croix des coordonnées.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'ordre dans lequel on prend les sommets est crucial. Il faut les parcourir de manière consécutive, dans le sens horaire ou anti-horaire. Un changement d'ordre (par ex. A, C, B, D) donnerait un résultat incorrect. Le signe du résultat dépend du sens de parcours, mais la valeur absolue de la surface reste la même.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ 2S = \sum E_i(N_{i+1} - N_{i-1}) \]
Donnée(s) :
  • A(100.00, 200.00)
  • B(250.00, 250.00)
  • C(300.00, 150.00)
  • D(150.00, 50.00)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} 2S_{ABCD} &= E_A(N_B - N_D) + E_B(N_C - N_A) + E_C(N_D - N_B) + E_D(N_A - N_C) \\ &= 100.00(250.00 - 50.00) + 250.00(150.00 - 200.00) \\ & \quad + 300.00(50.00 - 250.00) + 150.00(200.00 - 150.00) \\ &= 100.00(200.00) + 250.00(-50.00) + 300.00(-200.00) + 150.00(50.00) \\ &= 20000 - 12500 - 60000 + 7500 \\ &= -45000 \, \text{m}^2 \\ S_{ABCD} &= \frac{|-45000|}{2} = 22500 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Attention aux signes : Une simple erreur de signe dans les différences de coordonnées peut fausser entièrement le résultat. Il est conseillé de bien poser le calcul et de le vérifier.

Le saviez-vous ?

La formule du géomètre est une application du théorème de Green, un résultat d'analyse vectorielle qui relie une intégrale de ligne sur une courbe fermée à une intégrale de surface sur la région qu'elle délimite. En topographie, on utilise sa version discrète.

FAQ en rapport avec la question :
Peut-on utiliser une autre formule pour la surface ?

Oui. Une autre méthode courante est de décomposer le polygone en triangles (par exemple, ABC et ADC) et de calculer la surface de chaque triangle (par exemple avec la formule de Héron si on connaît les longueurs des côtés, ou avec une formule à base de déterminant si on a les coordonnées). On additionne ensuite les surfaces. Cependant, la méthode des lacets est souvent plus rapide et moins sujette à des erreurs d'arrondi intermédiaires.

Résultat : La surface totale de la parcelle ABCD est de 22 500 m².

Question 2 : Gisement et Distance AB

Principe :
A B ΔE = 150 ΔN = 50 DAB GAB Nord

Le gisement et la distance entre deux points A et B se calculent en formant un triangle rectangle avec les différences de coordonnées \( \Delta E = E_B - E_A \) et \( \Delta N = N_B - N_A \). La distance est l'hypoténuse (Pythagore) et le gisement est l'angle calculé avec l'arc tangente, ajusté au bon quadrant.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La fonction `arctan` sur une calculatrice donne un résultat entre -100 gon et +100 gon. Il est impératif de regarder les signes de \( \Delta E \) et \( \Delta N \) pour savoir dans quel quadrant on se situe et appliquer la bonne correction (+200 ou +400 gon) pour obtenir un gisement correct entre 0 et 400 gon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D = \sqrt{\Delta E^2 + \Delta N^2} \]
\[ G = \arctan\left(\frac{\Delta E}{\Delta N}\right) \quad \text{(avec ajustement de quadrant)} \]
Donnée(s) :
  • A(100.00, 200.00)
  • B(250.00, 250.00)
Calcul(s) :
\[ \Delta E_{AB} = 250.00 - 100.00 = 150.00 \, \text{m} \]
\[ \Delta N_{AB} = 250.00 - 200.00 = 50.00 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} D_{AB} &= \sqrt{150.00^2 + 50.00^2} \\ &= \sqrt{22500 + 2500} \\ &= \sqrt{25000} \approx 158.11 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{150.00}{50.00}\right) = \arctan(3) \approx 79.517 \, \text{gon} \]

Comme \( \Delta E > 0 \) et \( \Delta N > 0 \), nous sommes dans le premier quadrant, donc le gisement est direct.

Points de vigilance :

Unités d'angle : Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode degrés ou grades (gon) selon l'unité que vous utilisez. Les calculs en topographie française utilisent quasi exclusivement les grades (gon).

Le saviez-vous ?

Le gisement est un angle "absolu" par rapport à une direction fixe (le Nord). L'angle entre deux droites qui se coupent, appelé "angle interne", peut être déduit par différence de leurs gisements. Par exemple, l'angle en A du polygone (DAB) est \( G_{AB} - G_{AD} \).

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si \( \Delta N \) est nul ?

Si \( \Delta N = 0 \), la division par zéro est impossible. Cela correspond à une droite parfaitement orientée Est-Ouest. Si \( \Delta E > 0 \), le gisement est de 100 gon (Est). Si \( \Delta E < 0 \), le gisement est de 300 gon (Ouest).

Résultat : Le gisement \(G_{AB} \approx 79.52\) gon et la distance \(D_{AB} \approx 158.11\) m.

Question 3 : Détermination de la Distance AM

Principe :
P A B

On utilise la méthode de la "figure de pointe" en prolongeant les côtés non parallèles AD et BC jusqu'à leur point d'intersection P. On se retrouve avec deux triangles semblables : PAB (le grand) et PMN (le petit). Le rapport de leurs surfaces est égal au carré du rapport de leurs côtés homologues (comme PA et PM).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette méthode est élégante car elle évite de devoir calculer la hauteur du trapèze ABNM, qui n'est pas directement connue. En passant par les surfaces des triangles, on peut trouver le rapport de similitude \( k \), qui nous donnera ensuite la proportion des longueurs des côtés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_{PMN} = S_{PAB} - S_{ABNM} \]
\[ k = \sqrt{\frac{S_{PMN}}{S_{PAB}}} \]
\[ D_{AM} = D_{PA} (1 - k) \]
Donnée(s) :
  • Surface du lot 1 (ABNM) : \(S_1 = 15 000 \, \text{m}^2\)
  • \(S_{PAB} \approx 37500 \, \text{m}^2\) (calculé)
  • \(D_{PA} \approx 707.11 \, \text{m}\) (calculé)
Calcul(s) :
\[ S_{PMN} = 37500 - 15000 = 22500 \, \text{m}^2 \]
\[ \begin{aligned} k &= \sqrt{\frac{S_{PMN}}{S_{PAB}}} \\ &= \sqrt{\frac{22500}{37500}} \\ &= \sqrt{0.6} \approx 0.7746 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{AM} &= D_{PA} (1 - k) \\ &= 707.11 \times (1 - 0.7746) \\ &\approx 159.50 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision des calculs : La méthode de la figure de pointe implique de nombreuses étapes. Il est crucial de conserver un maximum de décimales dans les calculs intermédiaires (coordonnées de P, distances PA, surface PAB) pour ne pas propager d'erreurs d'arrondi qui affecteraient significativement le résultat final.

Le saviez-vous ?

Le point de concours P peut se trouver très loin des coordonnées de la parcelle, voire à des coordonnées négatives, comme c'est le cas ici. Cela n'a aucune importance pour la validité des calculs, c'est un point de construction purement mathématique.

FAQ en rapport avec la question :
Existe-t-il une méthode sans figure de pointe ?

Oui, il existe une méthode directe qui consiste à poser l'équation de la surface du trapèze ABNM en fonction d'une seule inconnue (par exemple, la distance AM). Cela mène à une équation du second degré, souvent plus complexe à poser correctement mais qui évite le calcul du point de concours P.

Résultat : La distance AM est d'environ 159.50 m.

Question 4 : Coordonnées de M et N

Principe :
A D M DAM

Les coordonnées d'un point (M) se calculent par "rayonnement" à partir d'un point connu (A), en utilisant le gisement de la direction (AD) et la distance à parcourir (AM). On projette cette distance sur les axes Est et Nord.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul est le cœur du métier de topographe : implanter un point sur le terrain. Après avoir calculé les coordonnées du point M, le topographe utilise un tachéomètre pour viser le point A, pivoter de l'angle correct (gisement) et indiquer à un porte-prisme où se placer à la bonne distance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_M = E_A + D_{AM} \times \sin(G_{AD}) \]
\[ N_M = N_A + D_{AM} \times \cos(G_{AD}) \]
Donnée(s) :
  • A(100.00, 200.00), B(250.00, 250.00)
  • \(G_{AD} \approx 171.00\) gon, \(G_{BC} \approx 175.24\) gon
  • \(D_{AM} \approx 159.50\) m
  • \(D_{BN} \approx 86.59 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

Pour le point M (sur AD) :

\[ \begin{aligned} E_M &= E_A + D_{AM} \times \sin(G_{AD}) \\ &= 100.00 + 159.50 \times \sin(171.00) \\ &\approx 100.00 + 50.62 = 150.62 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} N_M &= N_A + D_{AM} \times \cos(G_{AD}) \\ &= 200.00 + 159.50 \times \cos(171.00) \\ &\approx 200.00 - 151.43 = 48.57 \, \text{m} \end{aligned} \]

Pour le point N (sur BC) :

\[ \begin{aligned} E_N &= E_B + D_{BN} \times \sin(G_{BC}) \\ &= 250.00 + 86.59 \times \sin(175.24) \\ &\approx 250.00 + 38.96 = 288.96 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} N_N &= N_B + D_{BN} \times \cos(G_{BC}) \\ &= 250.00 + 86.59 \times \cos(175.24) \\ &\approx 250.00 - 77.92 = 172.08 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Vérification finale : Une fois M et N calculés, il est indispensable de faire une contre-vérification. On peut calculer le gisement MN et vérifier qu'il est bien égal au gisement AB. On peut aussi calculer la surface du polygone ABNM avec ses nouvelles coordonnées et vérifier qu'on obtient bien la surface désirée de 15 000 m².

Le saviez-vous ?

Les logiciels de DAO (Dessin Assisté par Ordinateur) et de SIG (Système d'Information Géographique) utilisés par les topographes, comme AutoCAD ou QGIS, intègrent des fonctions qui réalisent ces calculs de division de manière quasi-instantanée. Cependant, comprendre la théorie mathématique sous-jacente reste essentiel pour contrôler les résultats et résoudre les cas complexes.

FAQ en rapport avec la question :
Comment calculer D_BN ?

Puisque les triangles PAB et PMN sont semblables avec un rapport k, tous leurs côtés homologues respectent ce rapport. Ainsi, \( \frac{D_{PN}}{D_{PB}} = k \). On calcule la distance PB, puis on en déduit PN (\(D_{PN} = k \times D_{PB}\)). Enfin, la distance cherchée est \( D_{BN} = D_{PB} - D_{PN} = D_{PB}(1-k) \). C'est la même logique que pour le côté AM.

Résultat : Les coordonnées sont M(\( \approx 150.62, \approx 48.57 \)) et N(\( \approx 288.96, \approx 172.08 \)).

Simulation Interactive de la Division

Faites varier la surface souhaitée pour le lot 1 (ABNM) et observez comment la ligne de partage se déplace.

Paramètres de la Division
Distance AM
Coordonnées de M
Coordonnées de N
Répartition des Surfaces

Pour Aller Plus Loin : Autres Types de Division

Variations courantes : Outre la division par une parallèle, les géomètres sont souvent confrontés à d'autres cas :

  • Division par une droite issue d'un sommet : La ligne de partage part d'un point connu (ex: A) et coupe un côté opposé (ex: CD). Le calcul est plus simple et se résume à résoudre une surface de triangle.
  • Division par une droite de gisement imposé : La nouvelle limite doit avoir une orientation spécifique (par exemple, être orientée Nord-Sud). La résolution est similaire au cas de la parallèle.
  • Division coupant deux côtés adjacents : La ligne de partage coupe par exemple les côtés BC et CD. Le problème se résout en calculant la surface d'un triangle (ex: MCN).

Le Saviez-Vous ?

Les calculs de surface et de division sont à la base du cadastre, le registre public qui recense et décrit les propriétés foncières. En France, le système de coordonnées national est le RGF93, mais de nombreux plans anciens sont encore en coordonnées Lambert, un système de projection conique conforme qui a été utilisé pendant des décennies.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi utiliser la méthode de la "figure de pointe" ?

La méthode de la figure de pointe (trouver le point de concours P) est très puissante car elle transforme un problème de trapèze en un problème de triangles semblables. Les relations de proportionnalité dans les triangles semblables (Thalès) sont plus simples à manipuler que les équations directes de la surface d'un trapèze dont la hauteur et une des bases sont inconnues.

Que se passe-t-il si les côtés AD et BC sont parallèles ?

Si AD et BC étaient parallèles, la parcelle ABCD serait elle-même un trapèze. La ligne de partage MN serait alors parallèle aux trois côtés (AD, BC, et AB). Le calcul deviendrait beaucoup plus direct, car la hauteur du trapèze ABNM serait simplement une fraction de la hauteur totale de la parcelle ABCD, et cette fraction pourrait être trouvée en résolvant une équation du second degré plus simple.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on veut que le lot 1 (ABNM) soit plus petit, la distance AM va :

2. Le gisement de la ligne de partage MN est :

Glossaire

Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction de référence Nord. Il est généralement exprimé en grades (gon) en France (un cercle complet = 400 gon).
Coordonnées Planimétriques
Système de coordonnées à deux dimensions (Est, Nord ou X, Y) utilisé pour représenter la position des points sur une surface plane (une carte ou un plan).
Figure de pointe
Méthode de calcul consistant à prolonger deux côtés non parallèles d'un polygone jusqu'à leur point d'intersection (la "pointe") afin de travailler avec des triangles semblables.
Formule du Géomètre
Aussi appelée méthode des lacets, c'est une technique pour calculer l'aire d'un polygone simple à partir des coordonnées cartésiennes de ses sommets.
Topographie : Division d'une parcelle par une droite parallèle à un côté

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