Division d’une parcelle par une droite parallèle aux bases
Contexte : La division parcellaire en topographieLa science qui permet la mesure puis la représentation sur un plan ou une carte des formes et détails visibles sur le terrain..
En aménagement foncier, il est courant de devoir diviser une parcelle existante en plusieurs lots, que ce soit pour une vente, une succession ou un projet de construction. Une des méthodes consiste à créer une nouvelle limite parallèle à un des côtés existants. Cet exercice se concentre sur le cas d'une parcelle de forme trapézoïdale que l'on souhaite diviser en deux lots de surface égale par une droite parallèle à ses bases.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à mobiliser des connaissances géométriques sur les trapèzes et à les appliquer à un problème topographique concret, incluant le calcul de surface, la résolution d'équation et le calcul de coordonnéesEnsemble de valeurs (X, Y, Z) qui permettent de définir la position d'un point dans un système de référence donné. par interpolation.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la surface d'un polygone (trapèze) à partir des coordonnées de ses sommets.
- Déterminer la position d'une ligne de division parallèle pour obtenir une surface imposée.
- Résoudre l'équation du second degré associée à ce type de problème.
- Calculer les coordonnées des nouveaux points définissant la limite par interpolation linéaireMéthode de calcul qui permet de déterminer une valeur intermédiaire à partir de deux valeurs connues qui l'encadrent..
Données de l'étude
Coordonnées des sommets
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 100.00 | 200.00 |
| B | 250.00 | 200.00 |
| C | 280.00 | 100.00 |
| D | 70.00 | 100.00 |
Plan de la parcelle ABCD
On constate que les côtés AB et DC sont parallèles (même ordonnée Y pour leurs points respectifs). La parcelle est donc un trapèze.
Questions à traiter
- Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.
- On souhaite diviser cette parcelle en deux lots de surfaces égales (Lot 1 et Lot 2) par une droite MN parallèle aux bases AB et DC. Le point M appartiendra au côté AD et le point N au côté BC. Quelle devra être la surface de chaque lot ?
- Déterminer la hauteur \(h_1\) (mesurée perpendiculairement aux bases, à partir de la base DC) à laquelle doit se situer la ligne de division MN.
- Calculer la longueur de la nouvelle limite MN.
- Calculer les coordonnées des nouveaux points M et N.
Les bases sur la division de trapèze
Pour résoudre cet exercice, deux formules principales sont nécessaires : le calcul de la surface par coordonnées et la relation liant la position d'une sécante parallèle aux bases et la surface qu'elle découpe.
1. Surface par Coordonnées (Méthode du Laçage)
La surface d'un polygone dont les sommets \( (X_i, Y_i) \) sont connus est donnée par :
\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \]
Avec \( (X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1) \).
2. Division d'un trapèze
Pour un trapèze de grande base B, de petite base b et de hauteur H, la longueur m d'une sécante parallèle aux bases, située à une hauteur h depuis la grande base B, est donnée par la relation d'interpolation :
\[ m = B - (B-b) \frac{h}{H} \]
La surface du nouveau trapèze ainsi formé est \( S' = \frac{B+m}{2} \times h \). En substituant m, on obtient une équation du second degré en h.
Correction : Division d’une parcelle par une droite parallèle aux bases
Question 1 : Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.
Principe
Le concept physique ici est la mesure d'une étendue bidimensionnelle. En identifiant la forme géométrique simple (un trapèze), on peut appliquer une formule directe pour trouver sa surface, ce qui est beaucoup plus efficace que des méthodes d'intégration plus complexes.
Mini-Cours
Un trapèze est un quadrilatère avec deux côtés parallèles appelés bases. Sa surface est la moyenne des longueurs de ses bases multipliée par sa hauteur. La hauteur est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Dans un système de coordonnées cartésien, si les bases sont horizontales, la hauteur est simplement la différence des ordonnées (Y).
Remarque Pédagogique
Avant de vous lancer dans des calculs complexes, prenez toujours un moment pour analyser la géométrie du problème. Reconnaître une forme simple comme un carré, un rectangle ou un trapèze peut vous faire gagner un temps précieux et réduire les risques d'erreur.
Normes
Les calculs de surface en topographie sont encadrés par des règles de l'art et des tolérances définies par les ordres professionnels (comme l'Ordre des Géomètres-Experts en France). Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour la formule du trapèze elle-même, la précision des coordonnées initiales et des calculs doit respecter ces standards professionnels.
Formule(s)
Formule de l'aire du trapèze
Hypothèses
Le cadre du calcul repose sur l'hypothèse que les points fournis sont parfaitement coplanaires et que les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé, ce qui garantit la validité des calculs de distance euclidienne.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont les coordonnées des points A(100, 200), B(250, 200), C(280, 100), D(70, 100). À partir d'elles, nous dérivons les dimensions nécessaires :
| Paramètre | Calcul | Valeur |
|---|---|---|
| Grande base (B) | \(X_C - X_D\) | 210.00 m |
| Petite base (b) | \(X_B - X_A\) | 150.00 m |
| Hauteur (H) | \(Y_A - Y_D\) | 100.00 m |
Astuces
Pour une vérification rapide, faites une estimation mentale : la largeur moyenne est d'environ 180 m ( (210+150)/2 ), multipliée par une hauteur de 100 m, on s'attend à un résultat autour de 18 000 m². Si votre calcul est très différent, il y a probablement une erreur.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation de la parcelle et de ses dimensions
Calcul(s)
Calcul de la surface
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la surface totale
Réflexions
L'interprétation du résultat est que la parcelle a une superficie de 18 000 mètres carrés, soit 1.8 hectares. Cette valeur est fondamentale pour toute transaction foncière, calcul de taxes ou planification de projet. Elle constitue la base de tout le travail de division qui va suivre.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser la grande et la petite base, bien que cela ne change rien au résultat final de la surface. Une autre erreur serait de mal calculer la hauteur, par exemple en prenant la longueur d'un des côtés non parallèles (AD ou BC) au lieu de la distance perpendiculaire.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez la méthode : 1. Identifier la forme géométrique. 2. Extraire les dimensions (bases, hauteur) à partir des coordonnées. 3. Appliquer la formule de surface correspondante.
Le saviez-vous ?
Le cadastre français, qui cartographie toutes les parcelles du territoire, a été initié sous Napoléon Ier en 1807. C'était un projet monumental pour l'époque, visant à établir une base juste pour l'impôt foncier. Les méthodes de calcul de surface étaient déjà au cœur de ce travail.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le point C avait pour coordonnées (300, 100), quelle serait la nouvelle surface de la parcelle ABCD ?
Question 2 : Quelle devra être la surface de chaque lot ?
Principe
Le concept est celui de la division équitable. L'énoncé impose une contrainte de "surfaces égales", ce qui se traduit par une simple division arithmétique de la surface totale.
Mini-Cours
En droit foncier, la division d'une parcelle crée de nouvelles entités juridiques. Chaque nouveau lot (ou parcelle cadastrale) doit avoir une contenance (surface) précisément définie dans les documents d'arpentage qui seront enregistrés au service de la publicité foncière.
Remarque Pédagogique
Cette question, bien que simple, est cruciale. C'est la définition de l'objectif à atteindre. Une erreur à ce stade invaliderait tous les calculs suivants. Lisez toujours attentivement les conditions de la division (parts égales, proportionnelles, surface fixe, etc.).
Normes
La loi (notamment le Code de l'urbanisme en France) impose que toute division de terrain soit déclarée et documentée. Le document d'arpentage, produit par un géomètre-expert, doit mentionner sans ambiguïté la surface de chaque lot créé.
Formule(s)
Formule de division de surface
Où N est le nombre de lots (ici, N=2).
Hypothèses
L'hypothèse est que la division est strictement basée sur l'égalité des surfaces, sans autre considération (par exemple, la valeur ou l'accès).
Donnée(s)
Les données d'entrée sont la surface totale et le nombre de lots.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Surface totale \(S_{\text{ABCD}}\) | 18 000 m² |
| Nombre de lots | 2 |
Astuces
Pas d'astuce particulière pour un calcul aussi simple, si ce n'est de s'assurer de ne pas faire d'erreur de calcul mental ou de frappe sur la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de principe de la division
Calcul(s)
Calcul de la surface d'un lot
Schéma (Après les calculs)
Surfaces des lots définis
Réflexions
Le résultat de 9000 m² (0.9 hectare) fixe la cible pour la suite des calculs. C'est la contrainte de surface que notre ligne de division MN devra satisfaire.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien comprendre la question. Si l'énoncé avait demandé de diviser en lots de 1/3 et 2/3, le calcul aurait été différent. La lecture attentive de la consigne est la première étape de la résolution.
Points à retenir
La maîtrise de cette question passe par la bonne interprétation des conditions de division spécifiées dans l'énoncé pour définir la ou les surfaces cibles.
Le saviez-vous ?
Lorsqu'un terrain est divisé pour construire, la surface des lots est souvent contrainte par le Plan Local d'Urbanisme (PLU) de la commune, qui peut imposer une surface minimale pour chaque parcelle constructible.
FAQ
Non pertinent pour cette question simple.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la parcelle de 18000 m² devait être divisée en 3 lots de surfaces égales, quelle serait la surface de chaque lot ?
Question 3 : Déterminer la hauteur \(h_1\) de la ligne de division MN.
Principe
Le concept est de trouver une position pour la ligne MN qui découpe un trapèze DCMN d'une surface precise (9000 m²). Comme la largeur de ce trapèze (la longueur MN) varie avec sa hauteur \(h_1\), la relation entre la surface et la hauteur n'est pas linéaire. Elle est quadratique.
Mini-Cours
La surface d'un trapèze (DCMN) est \( S' = \frac{DC+MN}{2} \times h_1 \). La longueur de la sécante MN varie linéairement avec \(h_1\) selon \( MN = DC - (DC-AB)\frac{h_1}{H} \). En combinant ces deux équations, on obtient une équation de la surface en fonction de \(h_1\) qui contient un terme en \(h_1²\), c'est-à-dire une équation du second degré.
Remarque Pédagogique
C'est le cœur du problème. La clé est de poser correctement l'équation en exprimant la surface souhaitée en fonction de l'inconnue que l'on cherche (\(h_1\)). Ne vous laissez pas intimider par l'équation du second degré ; c'est un outil standard pour ce type de problème géométrique.
Normes
La rigueur mathématique est une exigence fondamentale dans le métier de géomètre. La capacité à modéliser un problème physique (la division d'un terrain) par une équation mathématique correcte et à la résoudre sans erreur est une compétence de base.
Formule(s)
Mise en équation de la surface
Solution de l'équation quadratique
Hypothèses
On suppose que les côtés AD et BC sont des segments de droite, ce qui justifie l'utilisation de l'interpolation linéaire pour la longueur de MN.
Donnée(s)
Nous utilisons les dimensions du grand trapèze et la surface cible :
- Surface cible \(S_{\text{DCMN}}\) = 9000 m²
- Grande base DC = 210 m
- Petite base AB = 150 m
- Hauteur totale H = 100 m
Astuces
Puisque le trapèze est plus large en bas, pour obtenir la moitié de la surface (9000 m²), la hauteur \(h_1\) devra être inférieure à la moitié de la hauteur totale (50 m). Cela permet d'éliminer immédiatement l'une des deux solutions de l'équation du second degré.
Schéma (Avant les calculs)
Inconnue \(h_1\) à déterminer
Calcul(s)
Établissement de l'équation
Simplification en équation du second degré
Calcul du discriminant
Calcul des racines
On obtient \( h_{1a} \approx 654.14 \text{ m} \) et \( h_{1b} \approx 45.86 \text{ m} \). Comme \(h_1\) doit être inférieur à H (100 m), on rejette la première solution.
Schéma (Après les calculs)
Position de la ligne de division
Réflexions
Le résultat de 45.86 m confirme notre intuition : la ligne de division est bien dans la moitié inférieure de la parcelle. Ce calcul prouve qu'il existe une position unique pour la parallèle MN qui satisfait la condition de surface.
Points de vigilance
La principale difficulté est la mise en équation correcte. Une erreur de signe ou un oubli dans la formule de la surface du trapèze mènera à une équation fausse. Soyez aussi très attentif en calculant le discriminant et les racines.
Points à retenir
Retenez la méthode : exprimer la surface d'une partie de la figure en fonction de la dimension inconnue, poser l'égalité avec la surface cible, et résoudre l'équation polynomiale qui en résulte. N'oubliez pas de vérifier la pertinence physique des solutions mathématiques.
Le saviez-vous ?
La résolution d'équations quadratiques est une des plus anciennes branches de l'algèbre. Les Babyloniens, il y a près de 4000 ans, savaient déjà résoudre des problèmes qui se ramenaient à de telles équations, en utilisant des méthodes géométriques de complétion du carré.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la hauteur \(h_1\) si on voulait que le lot DCMN ait une surface de 4500 m² (un quart de la surface totale) ?
Question 4 : Calculer la longueur de la nouvelle limite MN.
Principe
Le concept est celui de l'interpolation linéaire. Puisque la largeur du trapèze diminue de façon constante avec la hauteur (les côtés AD et BC sont des droites), la longueur de MN est une valeur intermédiaire entre DC et AB, proportionnelle à sa position en hauteur.
Mini-Cours
Le théorème de Thalès, appliqué aux triangles formés en prolongeant les côtés non parallèles du trapèze jusqu'à leur intersection, est le fondement théorique de cette relation linéaire. Il garantit que le ratio des distances est conservé, ce qui nous permet d'établir la formule d'interpolation.
Remarque Pédagogique
Une fois qu'une inconnue clé (ici \(h_1\)) est déterminée, il faut penser à l'utiliser pour déduire les autres grandeurs dépendantes. C'est une démarche logique et séquentielle : chaque résultat débloque l'étape suivante.
Normes
La longueur d'une nouvelle limite est une information essentielle qui doit figurer sur le document d'arpentage et le plan de division. Elle sert à la matérialisation sur le terrain (bornage) et à la description littérale du bien dans les actes notariés.
Formule(s)
Formule d'interpolation de la longueur
Hypothèses
On maintient l'hypothèse que les côtés AD et BC sont des segments de droite, ce qui valide l'application d'une relation de proportionnalité simple.
Donnée(s)
On utilise les longueurs des bases et la hauteur \(h_1\) fraîchement calculée :
- Grande base DC = 210 m
- Petite base AB = 150 m
- Hauteur totale H = 100 m
- Hauteur de division \(h_1\) = 45.86 m
Astuces
Vérifiez que le résultat obtenu est bien compris entre la longueur de la petite base (150 m) et celle de la grande base (210 m). Si ce n'est pas le cas, votre calcul est certainement erroné.
Schéma (Avant les calculs)
Longueur MN à déterminer
Calcul(s)
Calcul de la longueur MN
Schéma (Après les calculs)
Longueur de la nouvelle limite
Réflexions
La longueur de 182.48 m est bien intermédiaire entre 150 m et 210 m. Elle est plus proche de 210 m que de 150 m, ce qui est logique car la ligne de division est située dans la moitié inférieure (la plus large) du trapèze.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'utiliser le mauvais ratio. Assurez-vous que la hauteur \(h_1\) est divisée par la hauteur totale `H`. Une inversion ou une mauvaise utilisation des termes peut fausser le calcul de la proportion.
Points à retenir
La longueur d'une sécante parallèle aux bases d'un trapèze varie linéairement avec sa position en hauteur. Retenez la formule d'interpolation, qui est une application directe du théorème de Thalès.
Le saviez-vous ?
Le principe d'interpolation est fondamental en ingénierie et en informatique. En cartographie, il est utilisé pour générer des courbes de niveau sur un Modèle Numérique de Terrain (MNT) en interpolant l'altitude entre des points connus.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la longueur de la ligne de division si elle était placée exactement à mi-hauteur (\(h_1\) = 50 m) ?
Question 5 : Calculer les coordonnées des nouveaux points M et N.
Principe
Le concept est de matérialiser la position des points M et N dans le système de coordonnées du plan. Puisque M se trouve sur le segment AD et N sur BC à une proportion de distance connue (le ratio \(k = h_1/H\)), on peut calculer leurs coordonnées par interpolation linéaire appliquée aux coordonnées des points existants.
Mini-Cours
En géométrie vectorielle, le vecteur position d'un point M divisant un segment DA dans un ratio `k` est donné par \(\vec{OM} = \vec{OD} + k \cdot \vec{DA}\). En décomposant cette équation sur les axes X et Y, on obtient les formules d'interpolation pour chaque coordonnée : \(X_M = X_D + k \cdot (X_A - X_D)\) et \(Y_M = Y_D + k \cdot (Y_A - Y_D)\).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape finale qui concrétise tous les calculs précédents. Le but ultime d'un calcul de division est de produire des coordonnées qui pourront être implantées sur le terrain par un topographe à l'aide d'un tachéomètre ou d'un GPS.
Normes
Le résultat final d'une mission de division foncière est un "Procès-Verbal de bornage et de définition de limites", qui contient la liste des coordonnées de tous les sommets, anciens et nouveaux. Ces coordonnées font foi légalement.
Formule(s)
Formules d'interpolation de coordonnées
Hypothèses
On suppose que le système de coordonnées est cartésien et orthonormé.
Donnée(s)
On a besoin des coordonnées des points A, B, C, D et du ratio d'interpolation `k` :
- A(100, 200), B(250, 200), C(280, 100), D(70, 100)
- Ratio \(k = \frac{h_1}{H} = \frac{45.86}{100} = 0.4586\)
Astuces
Une fois le calcul terminé, vérifiez que l'ordonnée Y des points M et N est identique. C'est obligatoire puisque la ligne MN est parallèle aux bases horizontales. Cette ordonnée doit être égale à \(Y_D + h_1\).
Schéma (Avant les calculs)
Coordonnées de M et N à déterminer
Calcul(s)
Calcul de la coordonnée X du point M
Calcul de la coordonnée Y du point M
Calcul de la coordonnée X du point N
Calcul de la coordonnée Y du point N
Schéma (Après les calculs)
Plan final de la division
Réflexions
Nous avons la définition complète et mathématique de la nouvelle limite. Un rapide calcul de la distance \(X_N - X_M\) donne 182.48 m, ce qui correspond exactement à la longueur MN calculée à la question 4. Cette cohérence valide l'ensemble de nos calculs.
Points de vigilance
L'erreur classique est de se tromper dans le sens de l'interpolation. Pour le segment CB, on va de C (départ) vers B (fin), donc on fait bien `(X_B - X_C)`. Une inversion des termes changerait le signe et donnerait un point complètement erroné.
Points à retenir
L'interpolation de coordonnées est une technique puissante et fondamentale. Retenez que le même ratio `k` s'applique de manière identique et indépendante à la composante X et à la composante Y pour passer du point de départ au point d'arrivée.
Le saviez-vous ?
Le système de coordonnées national en France est le "Lambert 93". C'est une projection conique conforme qui permet de représenter la surface courbe de la Terre sur une carte plane avec une déformation minimale, permettant des calculs de distance et de surface précis sur de grandes étendues.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez les coordonnées du milieu du segment [AD].
Outil Interactif : Simulateur de Division
Utilisez le curseur pour faire varier la surface souhaitée pour le lot inférieur (DCMN) et observez comment la hauteur et la longueur de la ligne de division MN sont affectées.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la hauteur (H) d'un trapèze sans changer les bases, que devient sa surface ?
2. Dans notre exercice, la relation entre la hauteur \(h_1\) et la surface \(S_{\text{DCMN}}\) est de type :
3. Qu'est-ce que l'interpolation linéaire permet de calculer ?
Glossaire
- Coordonnées
- Ensemble de valeurs (X, Y, Z) qui permettent de définir la position d'un point dans un système de référence donné (ex: Lambert 93).
- Interpolation Linéaire
- Méthode de calcul qui permet de déterminer une valeur ou les coordonnées d'un point intermédiaire sur une droite, à partir de deux points connus qui l'encadrent.
- Topographie
- La science et la technique de la représentation graphique détaillée d'une surface terrestre, avec ses formes et ses détails.
- Trapèze
- Un quadrilatère possédant au moins deux côtés parallèles, appelés "bases".
D’autres exercices de Traitement des données topographique:
0 commentaires