Étude Topographique

Division d’une Parcelle par une Droite

Exercice : Division d’une Parcelle par une Droite

Division d’une Parcelle par une Droite

Contexte : Le partage foncierOpération consistant à diviser une propriété foncière (un terrain) en plusieurs nouvelles propriétés distinctes. est une opération courante en topographie.

Un propriétaire souhaite diviser sa parcelle quadrilatérale ABCD en deux nouvelles parcelles. La ligne de division doit partir d'un point M, situé sur le côté AB, pour rejoindre un point P sur le côté opposé CD. L'objectif est de créer une nouvelle parcelle (AMPD) ayant une surface précise, par exemple pour une vente ou une succession. Cet exercice vous guidera à travers les calculs topométriques nécessaires pour déterminer l'emplacement exact du point P et définir la nouvelle limite.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique consolide vos compétences en calcul de surface, en calcul de coordonnées par rayonnement, et en résolution de problèmes de division parcellaire par une méthode analytique rigoureuse.

Objectifs Pédagogiques

  • Maîtriser le calcul de la surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.
  • Savoir calculer les coordonnées d'un point situé sur un alignement à une distance donnée d'une origine.
  • Apprendre à déterminer la position d'un point sur un côté pour satisfaire une condition de surface.
  • Calculer le gisementAngle horizontal, mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord, qui définit la direction d'une ligne. et la distance d'un segment à partir des coordonnées de ses extrémités.

Données de l'étude

On dispose des coordonnées Lambert des quatre sommets d'une parcelle. La nouvelle division partira d'un point M sur l'alignement AB, situé à 80.00 mètres du point A. La nouvelle parcelle AMPD devra avoir une surface de 20 000 m².

Coordonnées des Sommets
Point X (m) Y (m)
A 100.00 200.00
B 300.00 250.00
C 350.00 100.00
D 150.00 50.00
Schéma de la Parcelle à Diviser
Y X A B C D

Questions à traiter

  1. Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.
  2. Déterminer les coordonnées du point M sur le côté AB.
  3. Calculer la surface du triangle ADM.
  4. En déduire les coordonnées du point P sur le côté CD pour que la parcelle AMPD ait une surface de 20 000 m².
  5. Calculer la longueur et le gisement de la nouvelle limite MP.

Les bases de Calcul Topométrique

La résolution de cet exercice repose sur deux formules fondamentales en topographie : le calcul de surface par les coordonnées et le calcul des coordonnées d'un point par rayonnement.

1. Calcul de Surface par Coordonnées (Méthode de Gauss)
La surface d'un polygone (parcouru dans un sens) dont les sommets sont connus par leurs coordonnées rectangulaires (X, Y) est donnée par : \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \] Avec \((X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1)\).

2. Calcul de Coordonnées par Rayonnement
Les coordonnées \((X_{\text{B}}, Y_{\text{B}})\) d'un point B peuvent être calculées à partir d'un point connu A \((X_{\text{A}}, Y_{\text{A}})\), de la distance \(D_{\text{AB}}\) et du gisement \(G_{\text{AB}}\) : \[ X_{\text{B}} = X_{\text{A}} + D_{\text{AB}} \cdot \sin(G_{\text{AB}}) \] \[ Y_{\text{B}} = Y_{\text{A}} + D_{\text{AB}} \cdot \cos(G_{\text{AB}}) \]

Correction : Division d’une Parcelle par une Droite

Question 1 : Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.

Principe

Pour trouver la surface d'un terrain défini par des coordonnées planes, on utilise une méthode analytique qui transforme un problème géométrique (mesurer une aire) en un calcul algébrique basé sur les coordonnées des sommets.

Mini-Cours

La méthode de calcul de surface par les coordonnées, souvent attribuée à Gauss, repose sur la décomposition du polygone en une série de trapèzes dont les bases sont parallèles à l'un des axes. La somme algébrique des aires de ces trapèzes donne le double de la surface du polygone. C'est une méthode universelle pour tout polygone non croisé.

Remarque Pédagogique

Considérez cette méthode comme une "recette de cuisine" mathématique. Il suffit de suivre l'ordre des points (toujours dans le même sens, comme si vous marchiez le long de la clôture) et d'appliquer la formule rigoureusement. Une bonne organisation de vos calculs, par exemple dans un tableau, vous évitera des erreurs.

Normes

Ce calcul est une application directe de la géométrie analytique. Il n'est pas régi par une norme de construction (comme l'Eurocode), mais constitue une procédure standard et fondamentale en géodésie et en topographie pour tous les travaux fonciers.

Formule(s)

Formule générale :

\[ 2S = \sum_{i=1}^{n} Y_i(X_{i+1} - X_{i-1}) \]

Application à notre polygone :

\[ 2S = Y_{\text{A}}(X_{\text{B}} - X_{\text{D}}) + Y_{\text{B}}(X_{\text{C}} - X_{\text{A}}) + Y_{\text{C}}(X_{\text{D}} - X_{\text{B}}) + Y_{\text{D}}(X_{\text{A}} - X_{\text{C}}) \]
Hypothèses

Le calcul est valide sous l'hypothèse que les coordonnées sont exprimées dans un système de projection plan (comme le Lambert en France) où la courbure de la Terre est négligeable à l'échelle de la parcelle. On suppose aussi que le polygone n'est pas "croisé" (ses côtés ne se coupent pas).

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
A100.00200.00
B300.00250.00
C350.00100.00
D150.0050.00
Astuces

Pour vérifier votre calcul, vous pouvez refaire la formule en partant d'un autre point (par exemple B) ou en tournant dans l'autre sens. Si vous tournez dans le sens inverse, vous obtiendrez le même résultat en valeur absolue, mais avec un signe opposé.

Schéma (Avant les calculs)
ABCD
Calcul(s)

Application numérique :

\begin{aligned} 2S &= 200(300 - 150) + 250(350 - 100) \\ & \quad + 100(150 - 300) + 50(100 - 350) \end{aligned}

Calcul des termes :

\begin{aligned} 2S &= 200(150) + 250(250) + 100(-150) + 50(-250) \\ &= 30000 + 62500 - 15000 - 12500 \\ &= 65000 \ \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la surface finale :

\begin{aligned} S &= \frac{65000}{2} \\ &= 32500 \ \text{m}^2 \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
S = 32500 m²ABCD
Réflexions

La surface de la parcelle est de 3.25 hectares. Ce résultat est la base pour la suite de l'exercice. Il est important de ne pas faire d'erreur à cette étape, car toutes les questions suivantes en dépendent. Cela nous donne aussi un ordre de grandeur pour vérifier que la surface de la parcelle à détacher (20 000 m²) est cohérente.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de se tromper dans l'ordre des points (par exemple, calculer \(Y_A(X_B - X_C)\) au lieu de \(Y_A(X_B - X_D)\)) ou dans les signes lors de la soustraction. Il faut toujours parcourir le polygone dans le même sens et être méthodique.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez la structure de la formule de Gauss et l'importance de l'ordre des sommets. C'est la méthode la plus fiable et la plus rapide pour calculer une surface à partir de coordonnées.

Le saviez-vous ?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), qui a donné son nom à cette méthode, était un mathématicien et physicien allemand prodigieusement doué. Il a apporté des contributions majeures dans presque tous les domaines des mathématiques, de la théorie des nombres à la géodésie, en passant par l'astronomie.

FAQ
Est-ce que le point de départ du calcul a une importance ?

Non, vous pouvez commencer par n'importe quel sommet du polygone (A, B, C, ou D), tant que vous parcourez ensuite tous les sommets dans le même ordre (par exemple, B, puis C, puis D, puis A, puis retour à B) pour boucler le contour.

Résultat Final
La surface totale de la parcelle ABCD est de 32 500 m².
A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, recalculez 2S en utilisant la formule alternative : \( 2S = \sum X_i(Y_{i-1} - Y_{i+1}) \). Vous devriez trouver -65000. Le signe est inversé car cette formule équivaut à parcourir le polygone dans le sens inverse.

Question 2 : Déterminer les coordonnées du point M sur le côté AB.

Principe

Le point M est sur le segment AB à une distance connue de A. Pour trouver ses coordonnées, on utilise le principe du rayonnement (ou transport de coordonnées) : on "part" de A et on "avance" vers B sur une distance de 80 m pour "atterrir" sur M.

Mini-Cours

Le rayonnement est une brique de base du calcul topométrique. Il lie la géométrie polaire (angle + distance) à la géométrie cartésienne (X, Y). L'angle utilisé est le gisement, qui est l'orientation de la direction par rapport au Nord (axe Y). La variation en X (ΔX) est liée au sinus du gisement, et la variation en Y (ΔY) à son cosinus.

Remarque Pédagogique

Visualisez un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment AM. Le gisement vous donne l'orientation de cette hypoténuse. Le côté adjacent au gisement (par rapport à l'axe Y) est ΔY, et le côté opposé est ΔX. C'est une application directe de la trigonométrie.

Normes

Les formules de calcul du gisement et de rayonnement sont des formules fondamentales de la topométrie, enseignées et appliquées internationalement, quelle que soit la norme de projection cartographique utilisée.

Formule(s)

Formule du Gisement :

\[ G_{\text{AB}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{B}} - X_{\text{A}}}{Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}}}\right) + C \]

Où C est une constante (\(0, 200 \text{ ou } 400 \text{ gon}\)) dépendant du quadrant.

Formules de Rayonnement :

\[ X_{\text{M}} = X_{\text{A}} + D_{\text{AM}} \cdot \sin(G_{\text{AB}}) \]
\[ Y_{\text{M}} = Y_{\text{A}} + D_{\text{AM}} \cdot \cos(G_{\text{AB}}) \]
Hypothèses

On suppose que le point M est situé exactement sur l'alignement défini par les points A et B.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coordonnées de A\((X_A, Y_A)\)(100.00, 200.00)m
Coordonnées de B\((X_B, Y_B)\)(300.00, 250.00)m
Distance de A à M\(D_{AM}\)80.00m
Astuces

La plupart des langages de programmation et des calculatrices avancées proposent une fonction `atan2(ΔY, ΔX)` qui calcule directement l'angle dans le bon quadrant, vous évitant ainsi les corrections manuelles. Attention, l'ordre des arguments (Y puis X) est courant !

Schéma (Avant les calculs)
ABMD = 80m
Calcul(s)

Calcul de la différence des abscisses \(\Delta X\):

\begin{aligned} \Delta X &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \\ &= 300.00 - 100.00 \\ &= 200.00 \ \text{m} \end{aligned}

Calcul de la différence des ordonnées \(\Delta Y\):

\begin{aligned} \Delta Y &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \\ &= 250.00 - 200.00 \\ &= 50.00 \ \text{m} \end{aligned}

Calcul du gisement \(G_{\text{AB}}\) :

\begin{aligned} G_{\text{AB}} &= \arctan\left(\frac{200.00}{50.00}\right) \\ &= \arctan(4) \\ &= 75.9638 \ \text{gon} \end{aligned}

ΔX > 0 et ΔY > 0, le gisement est dans le premier quadrant, donc pas de correction.

Calcul de la coordonnée \(X_{\text{M}}\) :

\begin{aligned} X_{\text{M}} &= X_{\text{A}} + D_{\text{AM}} \cdot \sin(G_{\text{AB}}) \\ &= 100.00 + 80.00 \cdot \sin(75.9638 \ \text{gon}) \\ &= 100.00 + 80.00 \cdot 0.9694... \\ &= 100.00 + 77.55 \\ &= 177.55 \ \text{m} \end{aligned}

Calcul de la coordonnée \(Y_{\text{M}}\) :

\begin{aligned} Y_{\text{M}} &= Y_{\text{A}} + D_{\text{AM}} \cdot \cos(G_{\text{AB}}) \\ &= 200.00 + 80.00 \cdot \cos(75.9638 \ \text{gon}) \\ &= 200.00 + 80.00 \cdot 0.2455... \\ &= 200.00 + 19.64 \\ &= 219.64 \ \text{m} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
A(100, 200)BM(177.55, 219.64)
Réflexions

Les coordonnées de M sont maintenant fixées. Ce point devient un sommet à part entière de la nouvelle parcelle AMPD. On peut vérifier sa plausibilité : ses coordonnées sont bien intermédiaires entre celles de A et B.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la confusion d'unités d'angle. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (ou "Grad" ou "Gon") pour les calculs trigonométriques, et non en "Degrés" ou "Radians".

Points à retenir

Le calcul de coordonnées par rayonnement est une compétence fondamentale. Retenez la structure des formules : Coordonnée de départ + Distance × fonction trigonométrique(Gisement). ΔX est toujours avec le sinus, ΔY avec le cosinus.

Le saviez-vous ?

L'unité "grade" ou "gon" a été introduite en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. Un angle droit mesure 100 gon, et un cercle complet 400 gon, ce qui simplifie les calculs décimaux par rapport aux 90° et 360° du système sexagésimal.

FAQ
Que faire si le gisement est dans un autre quadrant ?

Si ΔX > 0 et ΔY < 0 (Sud-Est), G = 200 - G'. Si ΔX < 0 et ΔY < 0 (Sud-Ouest), G = 200 + G'. Si ΔX < 0 et ΔY > 0 (Nord-Ouest), G = 400 - G', où G' est la valeur absolue du résultat de l'arctan.

Résultat Final
Les coordonnées du point M sont X_M = 177.55 m et Y_M = 219.64 m.
A vous de jouer

Si M était situé à 120.00 m de A sur le même alignement, quelles seraient ses coordonnées (X, Y) ?

Question 3 : Calculer la surface du triangle ADM.

Principe

On utilise à nouveau la méthode de calcul de surface par les coordonnées (formule de Gauss), mais cette fois appliquée au polygone à trois sommets (le triangle) ADM, dont nous connaissons désormais toutes les coordonnées.

Mini-Cours

La formule de Gauss est parfaitement applicable aux triangles. Elle reste la méthode la plus directe lorsque les coordonnées des sommets sont connues. Le calcul de la surface d'un triangle est la brique de base pour le calcul de surface de n'importe quel polygone, car tout polygone peut être décomposé en une série de triangles.

Remarque Pédagogique

Ce calcul est une étape intermédiaire cruciale. La surface totale de la nouvelle parcelle (AMPD) est composée de deux parties : le triangle ADM et le triangle MDP. En calculant d'abord la surface de la partie "fixe" (ADM), nous pourrons ensuite en déduire la surface que doit avoir la partie "variable" (MDP) pour atteindre notre objectif.

Normes

Comme pour la question 1, ce calcul relève des procédures standard de la géométrie analytique appliquée à la topographie.

Formule(s)

Formule de la surface du triangle ADM :

\[ 2S_{\text{ADM}} = Y_{\text{A}}(X_{\text{D}} - X_{\text{M}}) + Y_{\text{D}}(X_{\text{M}} - X_{\text{A}}) + Y_{\text{M}}(X_{\text{A}} - X_{\text{D}}) \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : les coordonnées sont dans un système plan et le polygone n'est pas croisé.

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
A100.00200.00
D150.0050.00
M177.55219.64
Astuces

Pour un calcul rapide à la main, vous pouvez organiser les coordonnées dans un tableau et faire les produits en croix. Écrivez les coordonnées des points A, D, M, puis à nouveau A en dessous. Multipliez en diagonale descendante (somme 1), puis en diagonale montante (somme 2). Le double de la surface est la différence absolue entre les deux sommes.

Schéma (Avant les calculs)
ADM
Calcul(s)

Application de la formule :

\begin{aligned} 2S_{\text{ADM}} = & \ 200.00(150.00 - 177.55) \\ & + 50.00(177.55 - 100.00) \\ & + 219.64(100.00 - 150.00) \end{aligned}

Calcul des termes :

\begin{aligned} 2S_{\text{ADM}} &= 200.00(-27.55) + 50.00(77.55) + 219.64(-50.00) \\ &= -5510 + 3877.5 - 10982 \\ &= -12614.5 \ \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la surface finale (la surface est une valeur positive) :

\begin{aligned} S_{\text{ADM}} &= \frac{|-12614.5|}{2} \\ &= 6307.25 \ \text{m}^2 \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
S_ADM = 6307.25 m²ADM
Réflexions

La surface de ce premier triangle est de 6307.25 m². La surface totale désirée étant de 20 000 m², il nous reste donc à trouver un point P tel que le triangle MDP ait une surface de \(20000 - 6307.25 = 13692.75 \text{ m²}\). Ce résultat est la clé pour la question suivante.

Points de vigilance

Soyez attentif aux signes négatifs lors des soustractions de coordonnées et lors de la somme finale. Une erreur de signe est très fréquente. Le résultat final de 2S peut être négatif, c'est normal ; la surface est simplement sa valeur absolue divisée par deux.

Points à retenir

La méthode de calcul de surface est universelle. Que ce soit pour un quadrilatère ou un triangle, la procédure reste exactement la même, ce qui en fait un outil très puissant et facile à mémoriser.

Le saviez-vous ?

Cette méthode de calcul de surface est à la base de tous les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur (CAO) et de Système d'Information Géographique (SIG). Lorsque vous dessinez un polygone et demandez sa surface, le logiciel effectue ce calcul en une fraction de seconde.

FAQ
Pourquoi le résultat de 2S est-il négatif ?

Le signe du "double de la surface" dépend de l'ordre dans lequel vous parcourez les sommets. Parcourir les points dans le sens horaire donne généralement un résultat négatif, tandis que le sens anti-horaire donne un résultat positif (ou l'inverse, selon la formule exacte utilisée). La surface réelle est toujours la valeur absolue.

Résultat Final
La surface du triangle ADM est de 6307.25 m².
A vous de jouer

Si le point M avait les coordonnées (216.33, 229.46), quelle serait la nouvelle surface du triangle ADM ?

Question 4 : En déduire les coordonnées du point P.

Principe

Nous connaissons la surface totale souhaitée (AMPD) et la surface d'une de ses parties (ADM). Nous pouvons donc en déduire la surface de la partie manquante (triangle MDP). Comme P doit se trouver sur le segment CD, sa position est déterminée par une seule inconnue : la distance DP. On peut alors exprimer la surface du triangle MDP en fonction de cette distance, ce qui nous donne une équation à résoudre pour trouver DP, et donc les coordonnées de P.

Mini-Cours

C'est un problème de "surface-partage". La stratégie consiste à exprimer la surface d'un polygone dont l'un des sommets est mobile (P) en fonction de la position de ce sommet. Les coordonnées du point mobile P sont paramétrées par une distance (ici, DP) et une direction (le gisement de CD). En injectant ces coordonnées paramétriques dans la formule de surface de Gauss, on obtient une équation où la seule inconnue est la distance. La résolution de cette équation donne la position exacte du point mobile.

Remarque Pédagogique

La partie la plus délicate est la mise en équation. Ne vous laissez pas intimider par les formules. Procédez par étapes : 1. Calculez la surface manquante. 2. Exprimez les coordonnées de P en fonction de l'inconnue `d = DP`. 3. Injectez ces expressions dans la formule de surface du triangle MDP. 4. Isolez `d`. C'est une démarche systématique.

Normes

Cette méthode de résolution est une technique standard en topographie foncière pour réaliser des divisions parcellaires conformément aux exigences d'un cahier des charges (par exemple, un plan de division pour un permis d'aménager).

Formule(s)

Surface du triangle MDP :

\[ S_{\text{MDP}} = S_{\text{AMPD (cible)}} - S_{\text{ADM}} \]

Coordonnées de P en fonction de la distance \(d = DP\):

\[ X_{\text{P}} = X_{\text{D}} + d \cdot \sin(G_{\text{DC}}) \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{D}} + d \cdot \cos(G_{\text{DC}}) \]

Double de la surface de MDP en fonction des coordonnées :

\[ 2S_{\text{MDP}} = |X_{\text{M}}(Y_{\text{D}} - Y_{\text{P}}) + X_{\text{D}}(Y_{\text{P}} - Y_{\text{M}}) + X_{\text{P}}(Y_{\text{M}} - Y_{\text{D}})| \]
Hypothèses

On suppose que le point P se trouve bien sur le segment CD, et non sur son prolongement.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Surface cible\(S_{\text{AMPD}}\)20000.00m²
Surface calculée\(S_{\text{ADM}}\)6307.25m²
Coordonnées de C\((X_C, Y_C)\)(350.00, 100.00)m
Coordonnées de D\((X_D, Y_D)\)(150.00, 50.00)m
Coordonnées de M\((X_M, Y_M)\)(177.55, 219.64)m
Astuces

Lors de la résolution de l'équation finale pour trouver `d`, regroupez tous les termes numériques connus d'un côté et les termes contenant `d` de l'autre. La simplification devient alors beaucoup plus évidente.

Schéma (Avant les calculs)
ADMCP?d = ?
Calcul(s)

Calcul de la surface requise pour le triangle MDP :

\begin{aligned} S_{\text{MDP}} &= 20000.00 - 6307.25 \\ &= 13692.75 \ \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul du gisement \(G_{\text{DC}}\) :

\begin{aligned} \Delta X_{\text{DC}} &= 350.00 - 150.00 = 200.00 \ \text{m} \\ \Delta Y_{\text{DC}} &= 100.00 - 50.00 = 50.00 \ \text{m} \\ G_{\text{DC}} &= \arctan\left(\frac{200}{50}\right) = 75.9638 \ \text{gon} \end{aligned}

Mise en équation de la surface \(S_{\text{MDP}}\) (avec \(d = DP\)) :

\begin{aligned} 2S_{\text{MDP}} &= |(Y_{\text{D}} - Y_{\text{M}})(X_{\text{P}} - X_{\text{D}}) - (X_{\text{D}} - X_{\text{M}})(Y_{\text{P}} - Y_{\text{D}})| \\ 2(13692.75) &= |(50 - 219.64)(d \cdot \sin(G_{\text{DC}})) - (150 - 177.55)(d \cdot \cos(G_{\text{DC}}))| \\ 27385.5 &= |(-169.64)(d \cdot 0.9694) - (-27.55)(d \cdot 0.2455)| \\ 27385.5 &= |d \cdot (-164.45 - (-6.76))| \\ 27385.5 &= |d \cdot (-157.69)| \\ d &= \frac{27385.5}{157.69} \\ &= 173.67 \ \text{m} \end{aligned}

Calcul des coordonnées de P :

\begin{aligned} X_{\text{P}} &= 150.00 + 173.67 \cdot \sin(75.9638 \ \text{gon}) \\ &= 150.00 + 173.67 \cdot 0.9694 \\ &= 150.00 + 168.36 \\ &= 318.36 \ \text{m} \end{aligned}
\begin{aligned} Y_{\text{P}} &= 50.00 + 173.67 \cdot \cos(75.9638 \ \text{gon}) \\ &= 50.00 + 173.67 \cdot 0.2455 \\ &= 50.00 + 42.64 \\ &= 92.64 \ \text{m} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
S = 20000 m²S = 12500 m²ADMP
Réflexions

Nous avons trouvé la position exacte de P sur le segment CD pour satisfaire la condition de surface. Les coordonnées de P sont cohérentes : elles se situent bien entre celles de C et D. La division est donc géométriquement possible et la nouvelle parcelle est entièrement définie.

Points de vigilance

La mise en équation de la surface est une étape complexe. Il est très facile de faire une erreur de signe en développant l'expression. Soyez méticuleux. Vérifiez aussi que la distance `d` calculée est bien inférieure à la longueur totale du côté CD ; sinon, la division est impossible.

Points à retenir

La méthode clé est la paramétrisation : transformer un problème géométrique (trouver un point) en un problème algébrique (trouver une distance `d`). Cette technique est très puissante et s'applique à de nombreux problèmes de division de surface.

Le saviez-vous ?

Dans les cas plus complexes, où la ligne de division n'est pas une droite ou lorsque la surface est non plane, les géomètres utilisent des logiciels de modélisation 3D et des méthodes d'intégration numérique pour résoudre ce type de problème avec une grande précision.

FAQ
Et si l'équation pour trouver `d` était du second degré ?

Cela peut arriver si la ligne de division est définie par un angle au lieu d'un point de départ fixe. Il faudrait alors résoudre une équation quadratique, ce qui pourrait donner deux, une ou zéro solution(s) géométriquement valides.

Résultat Final
Les coordonnées du point P sont X_P = 318.36 m et Y_P = 92.64 m.
A vous de jouer

Si la surface désirée pour AMPD était de 22 000 m², quelle serait la distance DP ?

Question 5 : Calculer la longueur et le gisement de la nouvelle limite MP.

Principe

Maintenant que les deux extrémités de la nouvelle limite, M et P, sont connues par leurs coordonnées, le calcul de la distance (longueur) et de l'orientation (gisement) est une application directe des formules de base de la topométrie.

Mini-Cours

Le calcul de la distance entre deux points se base sur le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les différences de coordonnées (ΔX et ΔY). Le calcul du gisement, comme vu à la question 2, se base sur l'arc tangente du rapport de ces mêmes différences.

Remarque Pédagogique

Cette dernière question est la concrétisation du travail de division. Ces deux valeurs, la distance et le gisement de la droite MP, sont les informations essentielles qui permettront à un géomètre d'implanter physiquement la nouvelle borne P sur le terrain à partir du point M.

Normes

Les formules de calcul de distance et gisement sont des fondements mathématiques universels en géométrie euclidienne, utilisés dans toutes les applications topométriques.

Formule(s)

Formule de la Distance :

\[ D_{\text{MP}} = \sqrt{(X_{\text{P}} - X_{\text{M}})^2 + (Y_{\text{P}} - Y_{\text{M}})^2} \]

Formule du Gisement :

\[ G_{\text{MP}} = \arctan\left(\frac{X_{\text{P}} - X_{\text{M}}}{Y_{\text{P}} - Y_{\text{M}}}\right) + C \]
Hypothèses

Les coordonnées de M et P sont supposées exactes, issues des calculs précédents.

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
M177.55219.64
P318.3692.64
Astuces

Pour déterminer rapidement le quadrant du gisement, observez les signes de ΔX et ΔY. Ici, X augmente (M vers P) et Y diminue, donc ΔX > 0 et ΔY < 0. Nous sommes dans le quadrant Sud-Est (le 2ème quadrant, entre 100 et 200 gon).

Schéma (Avant les calculs)
NMPD_MP = ?G_MP = ?
Calcul(s)

Calcul des différences de coordonnées :

\begin{aligned} \Delta X_{\text{MP}} &= X_{\text{P}} - X_{\text{M}} \\ &= 318.36 - 177.55 \\ &= 140.81 \ \text{m} \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta Y_{\text{MP}} &= Y_{\text{P}} - Y_{\text{M}} \\ &= 92.64 - 219.64 \\ &= -127.00 \ \text{m} \end{aligned}

Calcul de la distance \(D_{\text{MP}}\) :

\begin{aligned} D_{\text{MP}} &= \sqrt{(140.81)^2 + (-127.00)^2} \\ &= \sqrt{19827.4561 + 16129} \\ &= \sqrt{35956.4561} \\ &= 189.62 \ \text{m} \end{aligned}

Calcul du gisement \(G_{\text{MP}}\) (Quadrant 2 : ΔX > 0, ΔY < 0) :

\begin{aligned} G'_{\text{MP}} &= \arctan\left|\frac{140.81}{-127.00}\right| \\ &= \arctan(1.1087) \\ &= 52.88 \ \text{gon} \end{aligned}
\begin{aligned} G_{\text{MP}} &= 200 - G'_{\text{MP}} \\ &= 200 - 52.88 \\ &= 147.12 \ \text{gon} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
NMPD = 189.62 mG = 147.12 gon
Réflexions

La nouvelle limite est une droite de près de 190 mètres de long, orientée Sud-Est. Ces deux valeurs sont les résultats finaux concrets de l'étude. Elles sont directement utilisables sur le terrain pour marquer la nouvelle limite en plantant une borne au point P.

Points de vigilance

La plus grande vigilance doit être portée sur le calcul du gisement et la détermination du bon quadrant. Une erreur à ce niveau conduirait à une orientation complètement fausse de la nouvelle limite sur le terrain.

Points à retenir

Le calcul de la distance et du gisement entre deux points connus par leurs coordonnées est l'opération la plus fondamentale en topométrie. Maîtrisez parfaitement le théorème de Pythagore pour la distance et la fonction arc tangente (avec la correction de quadrant) pour le gisement.

Le saviez-vous ?

Les instruments modernes de géomètre, comme les stations totales et les récepteurs GPS/GNSS, effectuent ces calculs de distance et de gisement des milliers de fois par seconde. Cependant, la compréhension des formules de base reste indispensable pour contrôler la validité des résultats et résoudre les problèmes.

FAQ
Comment savoir dans quel sens calculer le gisement (MP ou PM) ?

Le choix du sens est arbitraire, mais il faut être cohérent. Le gisement de P vers M (\(G_{\text{PM}}\)) est différent de celui de M vers P (\(G_{\text{MP}}\)). La relation est simple : \(G_{\text{PM}} = G_{\text{MP}} \pm 200 \ \text{gon}\). L'important est de bien spécifier la direction à laquelle le gisement se rapporte.

Résultat Final
La nouvelle limite MP a une longueur de 189.62 m et un gisement de 147.12 gon.
A vous de jouer

Calculez le gisement inverse, de P vers M (\(G_{\text{PM}}\)). La réponse devrait être \(147.12 + 200 = 347.12 \ \text{gon}\).

Outil Interactif : Simulateur de Division

Utilisez cet outil pour voir comment la position du point P et la longueur de la division changent en fonction de la surface désirée pour la nouvelle parcelle.

Paramètres d'Entrée
20000 m²
80 m
Résultats Clés
Coordonnées de P (Xp, Yp) -
Longueur de la division MP (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la méthode standard pour calculer la surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets ?

2. En topographie, qu'est-ce que le "gisement" ?

3. Pour calculer les coordonnées d'un point M à partir d'un point A, de quels éléments a-t-on besoin ?

4. Dans quel quadrant se situe un gisement de 157 gon ?

5. Le principal défi dans un problème de division de surface est de...

Gisement
Angle horizontal, mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction du Nord (l'axe des Y), qui définit la direction d'une ligne. Il est généralement exprimé en grades ou gons.
Coordonnées Lambert
Système de coordonnées planes utilisé en France pour la représentation cartographique. Chaque point est défini par une abscisse (X) et une ordonnée (Y).
Rayonnement
Méthode topométrique pour déterminer les coordonnées d'un point en mesurant l'angle et la distance à partir d'un point connu.
Exercice : Division d’une Parcelle par une Droite

D’autres exercices de Traitement des données topographique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *