Étude Topographique

Calcul de Surface par la Méthode des Trapèzes

Calcul de Surface par la Méthode des Trapèzes

Calcul de Surface par la Méthode des Trapèzes

Contexte : Le calcul de surfaceEn topographie, c'est la détermination de l'aire d'une parcelle de terrain à partir de mesures de terrain. est une tâche fondamentale en topographie.

Un géomètre-topographe a effectué le levé topographiqueEnsemble des opérations consistant à recueillir sur le terrain les données nécessaires à l'établissement d'un plan ou d'une carte. d'une parcelle de terrain en mesurant les coordonnées de ses sommets. Pour des raisons cadastrales et d'aménagement, il est impératif de calculer la surface exacte de cette parcelle. Une des méthodes numériques les plus fiables et les plus utilisées est la méthode des trapèzes, qui se base sur les coordonnées des points définissant le contour du terrain.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe (calcul d'une surface polygonale) en une somme d'opérations simples (calcul d'aires de trapèzes) et à appliquer une formule systématique à partir d'un jeu de données, une compétence clé dans le traitement de données techniques.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe du calcul de surface par décomposition en trapèzes.
  • Appliquer correctement la formule de la méthode des trapèzes (ou méthode des coordonnées).
  • Manipuler un carnet de points topographiques (coordonnées X, Y).
  • Interpréter le signe du résultat et l'importance de l'ordre des points.

Données de l'étude

On dispose du carnet de points suivant, décrivant une parcelle polygonale à 5 sommets (A-B-C-D-E). Les coordonnées sont exprimées en mètres dans un système de projection local.

Carnet de Coordonnées
Point X (m) Y (m)
A 100.00 150.00
B 250.00 200.00
C 300.00 100.00
D 200.00 50.00
E 50.00 75.00
Plan de la Parcelle
X (m) Y (m) 0 100150200250300 0 50100150200 A (100, 150) B (250, 200) C (300, 100) D (200, 50) E (50, 75)

Questions à traiter

  1. Calculer la surface du polygone en appliquant la formule des coordonnées (méthode des trapèzes).
  2. Vérifier que le parcours des points se fait dans le sens horaire ou anti-horaire. Quel est l'impact sur le signe du résultat ?
  3. Calculer le périmètre de la parcelle.

Les bases sur le Calcul de Surface

La méthode de calcul de surface par les coordonnées, souvent appelée "méthode du laçage" ou "méthode des trapèzes", est une approche algorithmique qui permet de déterminer l'aire d'un polygone quelconque à partir des coordonnées cartésiennes de ses sommets.

Principe de la décomposition
L'idée est de projeter chaque segment du polygone sur l'un des axes (par exemple, l'axe des X) pour former des trapèzes. L'aire du polygone est alors la somme algébrique (certaines aires sont ajoutées, d'autres soustraites) des aires de ces trapèzes.

Formule Générale
Pour un polygone de \(n\) sommets \(P_i(x_i, y_i)\), l'aire \(S\) est donnée par la formule : \[ 2S = \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \] Avec la convention que le point \(P_{n+1}\) est identique au point \(P_1\). Cela se développe en : \[ 2S = (x_1y_2 - x_2y_1) + (x_2y_3 - x_3y_2) + \dots + (x_ny_1 - x_1y_n) \] L'aire est alors \(S = \frac{1}{2} | \sum (\dots) |\).

Correction : Calcul de Surface par la Méthode des Trapèzes

Question 1 : Calculer la surface du polygone

Principe (le concept physique)

L'idée fondamentale est de transformer un polygone complexe en une série de formes simples dont l'aire est facile à calculer : des trapèzes. En projetant chaque côté du polygone sur l'axe des X, on crée un trapèze (ou un rectangle). L'aire totale de la parcelle est obtenue en additionnant et soustrayant intelligemment les aires de ces trapèzes pour ne conserver que la surface intérieure du polygone.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des coordonnées est une application directe du théorème de Green (ou formule de Green-Riemann) en mathématiques, qui relie une intégrale de ligne sur une courbe fermée à une intégrale de surface sur la région délimitée par cette courbe. La formule discrétisée pour un polygone est : \(S = \frac{1}{2} | \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) |\). Chaque terme \((x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\) représente le double de l'aire orientée du triangle formé par l'origine et les points \((x_i, y_i)\) et \((x_{i+1}, y_{i+1})\). La somme de ces aires orientées donne l'aire du polygone.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La meilleure façon d'aborder ce calcul sans se tromper est d'être extrêmement méthodique. Préparez un tableau avec vos coordonnées, en répétant le premier point à la fin. Ensuite, calculez séparément la somme des produits "descendants" (diagonales vers la droite) et la somme des produits "montants" (diagonales vers la gauche). La rigueur est la clé de la réussite ici.

Normes (la référence réglementaire)

Il ne s'agit pas d'une norme au sens d'un Eurocode, mais d'une méthode de calcul fondamentale en géodésie et en topographie. Elle est universellement reconnue et implémentée dans tous les logiciels de calcul et de Dessin Assisté par Ordinateur (DAO) utilisés par les géomètres-topographes pour garantir l'exactitude des surfaces cadastrales et des plans.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale

\[ 2S = \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \]

Formule développée pour le calcul manuel

\[ 2S = \left( \sum_{i=1}^{n} x_i y_{i+1} \right) - \left( \sum_{i=1}^{n} y_i x_{i+1} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas.
  • Les coordonnées sont fournies dans un système cartésien plan et orthogonal.
  • Le levé topographique est considéré comme exact, sans erreur de mesure sur les coordonnées des points.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
PointX (m)Y (m)
A100.00150.00
B250.00200.00
C300.00100.00
D200.0050.00
E50.0075.00
A (retour)100.00150.00
Astuces (Pour aller plus vite)

Cette méthode est parfois appelée "méthode des lacets" car on peut dessiner des diagonales entre les coordonnées pour visualiser les produits à effectuer. Les produits descendants (↘) sont additionnés, les produits montants (↗) sont soustraits. Visualiser cela peut accélérer la mise en place du calcul et éviter les confusions.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition en trapèzes (Exemple sur AB)
XYABx_Ax_By_Ay_BAire Trapèze AB
Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des produits descendants (Somme 1 : \(x_i y_{i+1}\))

\[ \begin{aligned} \sum x_i y_{i+1} &= (100 \times 200) + (250 \times 100) + (300 \times 50) + (200 \times 75) + (50 \times 150) \\ &= 20000 + 25000 + 15000 + 15000 + 7500 \\ &= 82500 \end{aligned} \]

Somme des produits montants (Somme 2 : \(y_i x_{i+1}\))

\[ \begin{aligned} \sum y_i x_{i+1} &= (150 \times 250) + (200 \times 300) + (100 \times 200) + (50 \times 50) + (75 \times 100) \\ &= 37500 + 60000 + 20000 + 2500 + 7500 \\ &= 127500 \end{aligned} \]

Calcul de la double surface (\(2S\))

\[ \begin{aligned} 2S &= (\text{Somme 1}) - (\text{Somme 2}) \\ &= 82500 - 127500 \\ &= -45000 \end{aligned} \]

Calcul de la surface finale (\(S\))

\[ \begin{aligned} S &= \frac{|-45000|}{2} \\ &= 22500 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Plan Final de la Parcelle
S = 22 500 m²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'aire de la parcelle est de 22 500 mètres carrés. Cette valeur, une fois validée, devient une donnée légale pour le cadastre. Elle servira à calculer des taxes, à définir des droits de construction ou à évaluer la valeur du terrain. Le signe négatif avant la division nous a indiqué que le levé a été fait dans le sens horaire, une information utile pour vérifier la cohérence des données brutes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Les erreurs les plus communes sont : 1. Oublier de répéter le premier point à la fin du tableau. 2. Inverser les deux grandes sommes (faire \(\sum y_i x_{i+1} - \sum x_i y_{i+1}\) change le signe mais pas la valeur absolue). 3. Erreurs de frappe lors de la recopie des coordonnées. Une double vérification est toujours nécessaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour calculer la surface d'un polygone par coordonnées, la méthode clé est :

  • Listez les points dans l'ordre, en terminant par le premier.
  • Calculez la somme des produits en diagonale \(x_i y_{i+1}\).
  • Calculez la somme des produits en diagonale \(y_i x_{i+1}\).
  • La surface est la moitié de la valeur absolue de la différence des deux sommes.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette formule est souvent attribuée à Carl Friedrich Gauss et est parfois appelée "formule de Gauss". Elle est une des premières méthodes de calcul numérique enseignées en topographie et reste la base de tous les algorithmes de calcul de surface polygonale, même les plus modernes.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la parcelle a un "trou" (patio, etc.) ?

On calcule d'abord la surface du contour extérieur, puis la surface du "trou" intérieur. La surface finale est la surface extérieure MOINS la surface du trou. Il est crucial que les points du trou soient listés dans le sens opposé à celui du contour extérieur pour que les aires s'annulent correctement si on les calcule en une seule fois.

Cette méthode fonctionne-t-elle en 3D ?

Non, cette formule est strictement pour des coordonnées 2D (planes). Pour calculer une surface 3D (par exemple, la surface réelle d'un terrain en pente), il faut utiliser des méthodes de triangulation (Modèle Numérique de Terrain) et sommer les aires de chaque triangle 3D.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La surface calculée de la parcelle polygonale ABCDE est de 22 500 m².
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Recalculez la surface si le point D avait les coordonnées (220, 40). Quelle est la nouvelle surface ?

Question 2 : Sens de parcours et signe du résultat

Principe

Le signe du résultat de la formule (\(2S\)) avant la valeur absolue dépend directement de l'ordre dans lequel les sommets du polygone sont parcourus. C'est une propriété géométrique de la formule.

Mini-Cours

Règle du signe :

  • Un parcours dans le sens anti-horaire (trigonométrique) donne un résultat positif.
  • Un parcours dans le sens horaire (des aiguilles d'une montre) donne un résultat négatif.
C'est une convention utile pour vérifier la cohérence d'un listing de points.

Analyse

Dans notre cas, nous avons obtenu \(2S = -45000\), un résultat négatif. Cela signifie que le parcours des points A -> B -> C -> D -> E -> A se fait dans le sens horaire. On peut le vérifier visuellement sur le schéma de la parcelle.

Points à retenir

Le signe de l'aire calculée est un indicateur du sens de parcours des sommets. La surface réelle est toujours la valeur absolue du résultat divisée par 2.

Question 3 : Calculer le périmètre de la parcelle

Principe (le concept physique)

Le périmètre d'un polygone est la mesure de la longueur de son contour. Physiquement, cela correspond à la distance totale que l'on parcourrait si l'on marchait le long de la frontière de la parcelle, revenant à notre point de départ. On le calcule en additionnant la longueur de chacun des segments qui forment les côtés de la parcelle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La longueur de chaque segment est calculée à l'aide de la formule de la distance euclidienne. Cette formule est une application directe du théorème de Pythagore dans un plan cartésien. Pour un segment entre deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), les différences \(\Delta X = x_B - x_A\) et \(\Delta Y = y_B - y_A\) forment les deux côtés d'un triangle rectangle, et le segment AB en est l'hypoténuse. La longueur est donc \(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour éviter les erreurs, il est fortement conseillé de calculer la longueur de chaque côté séparément et de les noter dans un tableau. N'essayez pas de tout faire en une seule ligne de calcul. Faites également attention aux carrés des nombres négatifs : \((-100)^2 = 10000\), et non \(-10000\). C'est une erreur très fréquente.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de distance entre deux points par leurs coordonnées est une formule mathématique fondamentale et ne dépend pas d'une norme de construction. C'est la base de la géométrie analytique et est utilisée dans toutes les disciplines techniques sans référence à une norme spécifique. La précision du résultat dépendra de la précision des coordonnées initiales.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la distance entre deux points

\[ d_i = \sqrt{(x_{i+1} - x_i)^2 + (y_{i+1} - y_i)^2} \]

Formule du périmètre total

\[ P = \sum_{i=1}^{n} d_i \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les coordonnées sont exprimées dans un système orthonormé (axes perpendiculaires et même échelle sur les deux axes).
  • La Terre est considérée comme plate à l'échelle de la parcelle (projection plane), on ne tient pas compte de la courbure terrestre.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
PointX (m)Y (m)
A100.00150.00
B250.00200.00
C300.00100.00
D200.0050.00
E50.0075.00
Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de vous lancer dans les calculs, vérifiez si certains segments ne sont pas purement horizontaux (\(\Delta Y=0\)) ou verticaux (\(\Delta X=0\)). Dans ce cas, la distance est simplement la valeur absolue de la différence des autres coordonnées, ce qui évite d'utiliser la racine carrée et accélère le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Segments du Périmètre
d_ABd_BCd_CDd_DEd_EA
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la longueur du segment AB

\[ \begin{aligned} \text{AB} &= \sqrt{(250-100)^2 + (200-150)^2} \\ &= \sqrt{150^2 + 50^2} \\ &= \sqrt{22500 + 2500} \\ &= \sqrt{25000} \\ &\approx 158.11 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la longueur du segment BC

\[ \begin{aligned} \text{BC} &= \sqrt{(300-250)^2 + (100-200)^2} \\ &= \sqrt{50^2 + (-100)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 10000} \\ &= \sqrt{12500} \\ &\approx 111.80 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la longueur du segment CD

\[ \begin{aligned} \text{CD} &= \sqrt{(200-300)^2 + (50-100)^2} \\ &= \sqrt{(-100)^2 + (-50)^2} \\ &= \sqrt{10000 + 2500} \\ &= \sqrt{12500} \\ &\approx 111.80 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la longueur du segment DE

\[ \begin{aligned} \text{DE} &= \sqrt{(50-200)^2 + (75-50)^2} \\ &= \sqrt{(-150)^2 + 25^2} \\ &= \sqrt{22500 + 625} \\ &= \sqrt{23125} \\ &\approx 152.07 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la longueur du segment EA

\[ \begin{aligned} \text{EA} &= \sqrt{(100-50)^2 + (150-75)^2} \\ &= \sqrt{50^2 + 75^2} \\ &= \sqrt{2500 + 5625} \\ &= \sqrt{8125} \\ &\approx 90.14 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul du périmètre Total

\[ \begin{aligned} P &= 158.11 + 111.80 + 111.80 + 152.07 + 90.14 \\ &\approx 623.92 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Plan de la Parcelle avec Longueurs
158.11 m111.80 m111.80 m152.07 m90.14 mPérimètre ≈ 623.92 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le périmètre de 623.92 mètres est une donnée cruciale pour le propriétaire. Elle représente la longueur totale de clôture à installer, la longueur de la limite mitoyenne à matérialiser, ou la distance à parcourir pour inspecter les bornes de la propriété. C'est une information aussi concrète et importante que la surface.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est le calcul du carré d'un nombre négatif (ex: \((50-100)^2 = (-50)^2 = 2500\)). Une calculatrice mal utilisée peut donner -2500. Assurez-vous d'utiliser des parenthèses ou de calculer le carré de la valeur absolue de la différence. De plus, n'oubliez pas de prendre la racine carrée à la fin de chaque calcul de distance !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul du périmètre d'un polygone défini par des coordonnées se résume à :

  1. Pour chaque segment, calculer la différence des X (\(\Delta X\)) et la différence des Y (\(\Delta Y\)).
  2. Calculer la longueur du segment avec la formule \(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\).
  3. Additionner les longueurs de tous les segments.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le problème de la mesure des distances et des surfaces est l'un des plus anciens des mathématiques, remontant aux Égyptiens qui devaient recalculer les limites des champs après chaque crue du Nil. Le mot "géométrie" vient d'ailleurs du grec et signifie "mesure de la Terre". Les méthodes que nous utilisons aujourd'hui ne sont que des versions raffinées de ces principes millénaires.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre périmètre et surface ?

Imaginez une clôture autour d'un jardin. Le périmètre est la longueur totale de la clôture (en mètres). La surface est l'aire totale du jardin à l'intérieur de la clôture (en mètres carrés). Ce sont deux mesures totalement différentes.

Dois-je utiliser les coordonnées projetées ou géographiques ?

Toujours utiliser des coordonnées projetées (planes, comme Lambert 93 ou un système local) pour ces calculs. Les coordonnées géographiques (latitude, longitude) sont angulaires et sur une sphère ; les formules de la géométrie euclidienne plane ne s'y appliquent pas directement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le périmètre de la parcelle est d'environ 623.92 m.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le point E avait pour coordonnées (60, 80), quel serait le nouveau périmètre de la parcelle ?

Outil Interactif : Simulateur d'Aire

Utilisez les curseurs pour modifier les coordonnées du point C et observez l'impact en temps réel sur la forme de la parcelle et sa surface totale.

Paramètres du Point C
300 m
100 m
Résultats Clés
Surface Totale (m²) -
Périmètre (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le résultat de 2S est positif, qu'est-ce que cela signifie ?

2. Quelle est l'unité de la surface si les coordonnées sont en mètres ?

3. Que se passe-t-il si on oublie de "fermer" le polygone (ne pas faire le calcul entre le dernier et le premier point) ?

4. La formule du périmètre entre deux points est dérivée de :

5. Si on inverse les axes X et Y pour tous les points, comment la valeur de la surface calculée est-elle affectée ?

Glossaire

Levé topographique
Opération consistant à mesurer et à représenter sur un plan les formes et détails visibles sur le terrain.
Coordonnées Cartésiennes
Système de localisation d'un point dans un plan (X, Y) ou l'espace (X, Y, Z) par rapport à des axes perpendiculaires.
Méthode des trapèzes
Nom courant pour la méthode de calcul de surface par les coordonnées, basée sur la décomposition d'un polygone en une somme algébrique de trapèzes.
Calcul de Surface par la Méthode des Trapèzes

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