Calcul de la Surface d'une Parcelle à 4 Côtés

Contexte : Généralisation du Calcul de Surface

Après avoir maîtrisé le calcul de la surface d'un triangle, l'étape suivante consiste à généraliser la méthode à des polygones plus complexes. Une parcelle à quatre côtés (quadrilatère) est un cas de figure très fréquent. La méthode de calcul par les coordonnées, aussi appelée formule du lacetNom donné à la méthode de calcul de surface par les coordonnées, car le diagramme des produits croisés ressemble à un laçage de chaussure., montre ici toute sa puissance et son élégance. Elle permet de calculer la surface de n'importe quel polygone, qu'il soit simple, complexe, convexe ou concave, en suivant une procédure systématique et facilement programmable.

Remarque Pédagogique : Cet exercice renforce la compréhension de la méthode des coordonnées. Il montre que la complexité de la forme de la parcelle n'augmente pas la complexité de la méthode de calcul, mais seulement le nombre de termes à additionner. C'est un principe clé pour l'automatisation des calculs en topographie.

Objectifs Pédagogiques

Généraliser la méthode de calcul de surface par les coordonnées à un polygone à N côtés.
Appliquer rigoureusement la formule pour une parcelle à quatre sommets.
Comprendre l'importance de l'ordre des sommets dans le calcul.
Convertir une surface de mètres carrés en unités cadastrales (hectare, are, centiare).

Données de l'étude

Un géomètre a levé les quatre sommets (10, 11, 12, 13) d'une parcelle de terrain. Les coordonnées planimétriques des sommets dans le système de projection légal sont les suivantes :

Schéma de la Parcelle

Sommet	X (m)	Y (m)
10	187525.15	2451350.40
11	187640.50	2451320.75
12	187610.20	2451410.60
13	187505.80	2451435.25

Question à traiter

En utilisant la méthode de calcul par les coordonnées, déterminer la surface de la parcelle définie par les sommets 10, 11, 12 et 13. Exprimer le résultat en mètres carrés (m²), puis en hectares (ha), ares (a) et centiares (ca).

Correction : Calcul de la Surface d'une Parcelle à 4 Côtés

Calcul de la surface par la méthode des coordonnées

Principe :

La méthode consiste à faire la somme des produits en croix des coordonnées des sommets, en parcourant le polygone dans un ordre défini (par exemple, le sens horaire). On calcule deux sommes : la somme des produits de l'abscisse d'un point par l'ordonnée du point suivant, et la somme des produits de l'ordonnée d'un point par l'abscisse du point suivant. La surface est la moitié de la valeur absolue de la différence de ces deux sommes.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'organisation des données dans un tableau est la meilleure façon de ne pas se tromper. On liste les coordonnées des sommets dans l'ordre, en répétant le premier sommet à la fin pour "fermer la boucle" du calcul.

Formule(s) utilisée(s) :

2S = \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1}) - \sum_{i=1}^{n} (Y_i X_{i+1}) \right|

Avec \(n\) le nombre de sommets, et en considérant que le sommet \(n+1\) est identique au sommet 1.

Donnée(s) et Préparation :

On organise les coordonnées dans un tableau en listant les sommets dans l'ordre (10-11-12-13) et en répétant le premier sommet (10) à la fin.

Sommet (i)	X (m)	Y (m)
10	187525.15	2451350.40
11	187640.50	2451320.75
12	187610.20	2451410.60
13	187505.80	2451435.25
10 (boucle)	187525.15	2451350.40

Calcul(s) :

\begin{aligned} \sum (X_i Y_{i+1}) &= (187525.15 \times 2451320.75) + (187640.50 \times 2451410.60) \\ & \quad + (187610.20 \times 2451435.25) + (187505.80 \times 2451350.40) \\ &= 4.59714... \times 10^{11} + 4.60003... \times 10^{11} \\ & \quad + 4.59929... \times 10^{11} + 4.59695... \times 10^{11} \\ &= 1.839343... \times 10^{12} \end{aligned}

\begin{aligned} \sum (Y_i X_{i+1}) &= (2451350.40 \times 187640.50) + (2451320.75 \times 187610.20) \\ & \quad + (2451410.60 \times 187505.80) + (2451435.25 \times 187525.15) \\ &= 4.60008... \times 10^{11} + 4.59685... \times 10^{11} \\ & \quad + 4.59719... \times 10^{11} + 4.59733... \times 10^{11} \\ &= 1.839147... \times 10^{12} \end{aligned}

\begin{aligned} 2S &= |1.839343... \times 10^{12} - 1.839147... \times 10^{12}| \\ &= 19601.425 \end{aligned}

S = \frac{19601.425}{2} = 9800.7125 \, \text{m}^2

Points de vigilance :

Calcul avec de grands nombres : Les coordonnées sont de grands nombres, ce qui peut entraîner des erreurs de saisie sur une calculatrice. Il est recommandé de faire les calculs avec un tableur ou un logiciel de calcul pour minimiser ce risque. La soustraction de deux très grands nombres proches l'un de l'autre diminue la précision relative ; il faut donc garder tous les chiffres significatifs possibles.

Le saviez-vous ?

Conversion en unités cadastrales :

La surface est de 9800.7125 m². Sachant que : 1 hectare (ha) = 10 000 m², 1 are (a) = 100 m², 1 centiare (ca) = 1 m².

S = 0 \, \text{ha} \, 98 \, \text{a} \, 00.71 \, \text{ca} \approx 0 \, \text{ha} \, 98 \, \text{a} \, 01 \, \text{ca}

Résultat : La surface de la parcelle est de 9801 m², soit 0 ha 98 a 01 ca.

Pour Aller Plus Loin : Décomposition en Triangles

Une autre approche : Une autre méthode pour calculer la surface d'un polygone consiste à le décomposer en une série de triangles à partir d'un sommet commun. Par exemple, on peut décomposer notre quadrilatère (10-11-12-13) en deux triangles : (10-11-12) et (10-12-13). On calcule ensuite la surface de chaque triangle (par la méthode de Héron ou des coordonnées) et on additionne les résultats. Cette méthode est plus longue mais constitue un excellent moyen de vérifier le calcul global.

Le Saviez-Vous ?

Les systèmes de coordonnées utilisés en topographie (comme le Lambert 93 en France) sont des projections conformes. Cela signifie qu'elles conservent les angles (les formes locales sont respectées), mais elles déforment légèrement les surfaces. Pour de très grandes parcelles, les géomètres appliquent un "facteur d'échelle" pour corriger cette déformation et obtenir la surface la plus juste possible.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le sens de parcours des sommets (horaire ou anti-horaire) change-t-il le résultat ?

Le sens de parcours change le signe du résultat avant l'application de la valeur absolue, mais pas la valeur numérique de la surface. Par convention, un parcours anti-horaire (trigonométrique) donne une surface positive, et un parcours horaire une surface négative. La valeur absolue garantit que la surface finale est toujours positive.

Comment calculer la surface si un des côtés est un arc de cercle ?

Si la parcelle est délimitée par des segments de droite et un arc de cercle (défini par son centre, son rayon et ses points de début/fin), on calcule d'abord la surface du polygone formé par les sommets, puis on ajoute (si l'arc est vers l'extérieur) ou on soustrait (si l'arc est vers l'intérieur) la surface du segment circulaire. La surface du segment circulaire se calcule en faisant la différence entre l'aire du secteur angulaire et l'aire du triangle formé par le centre et les deux extrémités de l'arc.

Glossaire

Contenance: Terme officiel et juridique désignant la surface d'une parcelle. Elle est généralement exprimée en hectares (ha), ares (a) et centiares (ca).
Formule du lacet: Autre nom pour la méthode de calcul de surface par les coordonnées, en référence à la manière dont les produits en croix sont calculés, qui rappelle le laçage d'une chaussure.
Polygone: Figure géométrique plane fermée, composée d'une séquence de segments de droite (côtés) reliant une série de points (sommets).
Projection Conforme: Type de projection cartographique qui conserve les angles locaux. Cela signifie que les formes des petits objets sont représentées sans distorsion, ce qui est essentiel pour les travaux de topographie.

Calcul de la Surface d’une Parcelle à 4 Côtés