Étude Topographique

Calcul de la Surface d’une Parcelle Triangulaire

Exercice : Calcul de Surface d'une Parcelle Triangulaire

Calcul de la Surface d’une Parcelle Triangulaire

Contexte : Le levé topographiqueEnsemble des opérations permettant de collecter des données sur le terrain afin de les représenter sur un plan ou une carte..

Le calcul de surfaces est une tâche fondamentale en topographie, que ce soit pour des raisons cadastrales, des projets d'aménagement ou des transactions immobilières. Cet exercice vous guide à travers les étapes de traitement des données brutes issues d'un levé (les coordonnées de points) pour aboutir à un résultat concret : la surface d'une parcelle. Nous utiliserons une parcelle triangulaire simple comme cas d'étude.

Remarque Pédagogique : Cet exercice intègre des compétences essentielles pour un technicien géomètre : la géométrie analytique pour le calcul, la rigueur dans le traitement des données et la capacité à représenter visuellement les résultats.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées cartésiennes.
  • Appliquer la formule de l'aire d'un triangle à partir des coordonnées de ses sommets.
  • Représenter graphiquement une parcelle et ses données dans un repère.

Données du Levé Topographique

Un géomètre a effectué un levé et a enregistré les coordonnées de trois bornes (A, B, C) délimitant une parcelle triangulaire. Les coordonnées sont exprimées en mètres dans un système de projection local.

Schéma de la Parcelle Triangulaire
X (m) Y (m) A B C 105.25 180.10 230.75 210.50 260.00 155.80
Borne Coordonnée X (m) Coordonnée Y (m)
A 105.25 210.50
B 230.75 260.00
C 180.10 155.80

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale entre les bornes A et B.
  2. Calculer la distance horizontale entre les bornes B et C.
  3. Calculer la distance horizontale entre les bornes A et C.
  4. Calculer la surface de la parcelle ABC en utilisant la formule des coordonnées (méthode du déterminant).

Les bases du calcul topographique

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de deux formules fondamentales issues de la géométrie analytique, couramment utilisées par les géomètres.

1. Distance entre deux points
La distance euclidienne D entre deux points A(Xₐ, Yₐ) et B(Xₑ, Yₑ) dans un repère orthonormé est donnée par le théorème de Pythagore : \[ D = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]

2. Surface d'un triangle par coordonnées
La surface (ou contenance) S d'un polygone peut être calculée directement à partir des coordonnées de ses sommets. Pour un triangle A, B, C, la formule (dite du déterminant ou des lacets de soulier) est : \[ S = \frac{1}{2} |(X_A Y_B + X_B Y_C + X_C Y_A) - (Y_A X_B + Y_B X_C + Y_C X_A)| \]

Correction : Calcul de la Surface d’une Parcelle Triangulaire

Question 1 : Calculer la distance horizontale entre les bornes A et B.

Principe

Le concept physique derrière ce calcul est la décomposition du vecteur distance en ses composantes sur deux axes perpendiculaires. On imagine un triangle rectangle où l'hypoténuse est la distance entre A et B, et les deux autres côtés sont les différences de coordonnées (ΔX et ΔY). C'est l'application directe du théorème de Pythagore dans un plan.

Mini-Cours

En géométrie analytique, tout point du plan est repéré par un couple de valeurs (X, Y). La distance entre deux points n'est autre que la norme du vecteur qui les relie. Si \(\vec{u} = \vec{AB}\), ses composantes sont \((X_B - X_A, Y_B - Y_A)\). La norme de ce vecteur, notée \(||\vec{u}||\), est la distance \(D_{AB}\), calculée comme la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes.

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours ce calcul. Dessinez les points A et B et tracez les lignes parallèles aux axes passant par ces points. Vous verrez apparaître un triangle rectangle. Cette image mentale aide à ne jamais oublier la formule et à comprendre ce que l'on fait, au lieu de simplement appliquer une recette.

Normes

Bien qu'il s'agisse d'une formule mathématique universelle, son application en topographie est fondamentale. Les résultats de ces calculs sont utilisés pour établir des plans-minutes et des documents d'arpentage qui ont une valeur légale pour la définition des limites de propriété, conformément aux réglementations cadastrales en vigueur.

Formule(s)

Formule de la distance euclidienne

\[ D_{\text{AB}} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]
Hypothèses

Pour que ce calcul soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Les calculs sont effectués dans un plan euclidien (on ignore la courbure de la Terre, ce qui est acceptable pour des parcelles de cette taille).
  • Le système de coordonnées est orthonormé (les axes X et Y sont perpendiculaires et ont la même échelle).
Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
A105.25210.50
B230.75260.00
Astuces

Le signe des différences ΔX et ΔY n'a pas d'importance dans le calcul final, car ces valeurs sont élevées au carré. Ainsi, \((X_B - X_A)^2 = (X_A - X_B)^2\). Ne vous souciez donc pas de savoir quel point soustraire à l'autre.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de calcul pour la distance AB
Triangle de calcul pour la distance ABABΔX = 125.50 mΔY = 49.50 mD_AB = ?
Calcul(s)

Calcul de la différence des abscisses (\(\Delta X_{\text{AB}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{AB}} &= X_B - X_A \\ &= 230.75 - 105.25 \\ &= 125.50 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la différence des ordonnées (\(\Delta Y_{\text{AB}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{AB}} &= Y_B - Y_A \\ &= 260.00 - 210.50 \\ &= 49.50 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul final de la distance \(D_{\text{AB}}\)

\[ \begin{aligned} D_{\text{AB}} &= \sqrt{(125.50)^2 + (49.50)^2} \\ &= \sqrt{15750.25 + 2450.25} \\ &= \sqrt{18200.50} \\ &\approx 134.909 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat
ABC134.91 m
Réflexions

Le résultat de 134.91 m représente la distance réelle à plat entre les deux bornes sur le terrain. C'est une information cruciale pour la matérialisation d'une limite, la vérification d'un plan ou le calcul d'un périmètre.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul, ou de mal appliquer les carrés. Assurez-vous d'élever chaque différence au carré avant de les additionner.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : La distance est l'hypoténuse du triangle formé par les ΔX et ΔY.
  • Formule Essentielle : \(D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\)
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier la racine carrée finale.
Le saviez-vous ?

Le système de coordonnées cartésiennes a été inventé par le philosophe et mathématicien français René Descartes au 17ème siècle. Il a révolutionné les mathématiques en créant un pont entre l'algèbre et la géométrie.

FAQ
Pourquoi parle-t-on de distance "horizontale" ?

En topographie, on distingue la distance horizontale (calculée sur un plan 2D comme ici), la distance en pente (mesurée sur le terrain) et le dénivelé (différence d'altitude). Les surfaces légales sont presque toujours calculées à partir des distances horizontales.

Résultat Final
La distance AB est de 134.91 mètres.
A vous de jouer

Si la borne B avait les coordonnées (240.00, 250.00), quelle serait la nouvelle distance AB ?

Question 2 : Calculer la distance horizontale entre les bornes B et C.

Principe

La méthode est rigoureusement identique à la question précédente. Le concept physique ne change pas : on utilise le théorème de Pythagore sur les différences de coordonnées, cette fois entre les points B et C.

Mini-Cours

La formule de la distance entre deux points est universelle dans un repère orthonormé. Elle ne dépend pas de la position des points, mais uniquement de l'écart entre leurs coordonnées. Que les ΔX et ΔY soient positifs ou négatifs, le carré de ces valeurs sera toujours positif, garantissant une distance réelle et positive.

Remarque Pédagogique

La répétition de ce calcul pour les différents segments d'un polygone est une tâche courante en topographie. Il est essentiel de maîtriser cette opération de base pour être efficace. Prenez l'habitude d'être méthodique : identifier les points, extraire les coordonnées, calculer les deltas, puis appliquer la formule.

Normes

Les mêmes principes que pour la question 1 s'appliquent. La précision de chaque segment calculé contribue à la précision globale du levé et à la fiabilité des documents qui en découlent.

Formule(s)

Formule de la distance euclidienne

\[ D_{\text{BC}} = \sqrt{(X_C - X_B)^2 + (Y_C - Y_B)^2} \]
Hypothèses

Les hypothèses d'un plan euclidien et d'un repère orthonormé restent valides pour l'ensemble de l'exercice.

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
B230.75260.00
C180.10155.80
Astuces

Même si les ΔX et ΔY sont négatifs, ne vous inquiétez pas. Le carré d'un nombre négatif est positif. Une calculatrice standard gère cela automatiquement. Par exemple, \((-50.65)^2 = 2565.4225\).

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de calcul pour la distance BC
Triangle de calcul pour la distance BCBCΔX = -50.65 mΔY = -104.20 mD_BC = ?
Calcul(s)

Calcul de la différence des abscisses (\(\Delta X_{\text{BC}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{BC}} &= X_C - X_B \\ &= 180.10 - 230.75 \\ &= -50.65 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la différence des ordonnées (\(\Delta Y_{\text{BC}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{BC}} &= Y_C - Y_B \\ &= 155.80 - 260.00 \\ &= -104.20 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul final de la distance \(D_{\text{BC}}\)

\[ \begin{aligned} D_{\text{BC}} &= \sqrt{(-50.65)^2 + (-104.20)^2} \\ &= \sqrt{2565.4225 + 10857.64} \\ &= \sqrt{13423.0625} \\ &\approx 115.858 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat
ABC115.86 m
Réflexions

Le fait que les ΔX et ΔY soient négatifs indique simplement que le point C est à la fois "à gauche" (X plus petit) et "en bas" (Y plus petit) du point B dans le repère. Comme vu dans les astuces, le signe n'impacte pas la distance finale qui est, par définition, une valeur positive.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est de mal recopier les coordonnées de départ ou de les inverser entre les points. Prenez une seconde pour bien vérifier que vous utilisez les coordonnées de B et C pour le calcul de la distance BC.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : La formule de la distance reste la même, quels que soient les points.
  • Formule Essentielle : \(D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\)
  • Point de Vigilance Majeur : Bien identifier les coordonnées des bons points (B et C) avant le calcul.
Le saviez-vous ?

L'unité de base de la distance dans le Système International est le mètre. Il a été défini pour la première fois en 1793 comme étant la dix-millionième partie de la distance entre le pôle Nord et l'équateur. Aujourd'hui, il est défini de manière beaucoup plus précise à partir de la vitesse de la lumière.

FAQ
Puis-je calculer \(D_{CB}\) au lieu de \(D_{BC}\) ?

Oui, absolument. La distance est une grandeur scalaire non orientée, donc la distance de B à C est la même que de C à B. Mathématiquement, cela fonctionne car les différences de coordonnées s'inverseront (\(\Delta X_{CB} = -\Delta X_{BC}\)), mais leurs carrés resteront identiques.

Résultat Final
La distance BC est de 115.86 mètres.
A vous de jouer

En gardant le point B fixe, si la borne C avait les coordonnées (170.00, 150.00), quelle serait la nouvelle distance BC ?

Question 3 : Calculer la distance horizontale entre les bornes A et C.

Principe

On clôture le périmètre du triangle en appliquant une dernière fois la formule de la distance entre A et C pour obtenir la longueur du troisième côté. Le principe reste l'application du théorème de Pythagore sur les écarts de coordonnées.

Mini-Cours

La connaissance des longueurs des trois côtés d'un triangle est fondamentale. Elle permet non seulement de définir le périmètre, mais aussi de calculer des angles (via la loi des cosinus ou Al-Kashi) ou de vérifier une surface (via la formule de Héron). Cette étape est donc cruciale pour une analyse complète de la géométrie de la parcelle.

Remarque Pédagogique

Maintenant que vous avez calculé les trois côtés, vous pouvez faire une vérification de cohérence simple : dans un triangle, la longueur d'un côté doit toujours être inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés (inégalité triangulaire). Ici, 134.91 < 115.86 + 92.71, ce qui est cohérent.

Normes

La détermination précise des longueurs des limites de propriété est une exigence de base dans les normes d'arpentage foncier pour éviter les litiges entre voisins.

Formule(s)

Formule de la distance euclidienne

\[ D_{\text{AC}} = \sqrt{(X_C - X_A)^2 + (Y_C - Y_A)^2} \]
Hypothèses

Les hypothèses d'un plan euclidien et d'un repère orthonormé restent valides pour l'ensemble de l'exercice.

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
A105.25210.50
C180.10155.80
Astuces

Après avoir calculé les trois distances, il est bon de les noter sur un schéma. Cela donne une vision d'ensemble de la géométrie de la parcelle et peut aider à repérer des incohérences si un côté semble anormalement long ou court par rapport aux autres.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de calcul pour la distance AC
Triangle de calcul pour la distance ACACΔX = 74.85 mΔY = -54.70 mD_AC = ?
Calcul(s)

Calcul de la différence des abscisses (\(\Delta X_{\text{AC}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{AC}} &= X_C - X_A \\ &= 180.10 - 105.25 \\ &= 74.85 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la différence des ordonnées (\(\Delta Y_{\text{AC}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{AC}} &= Y_C - Y_A \\ &= 155.80 - 210.50 \\ &= -54.70 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul final de la distance \(D_{\text{AC}}\)

\[ \begin{aligned} D_{\text{AC}} &= \sqrt{(74.85)^2 + (-54.70)^2} \\ &= \sqrt{5602.5225 + 2992.09} \\ &= \sqrt{8594.6125} \\ &\approx 92.707 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat
ABC92.71 m
Réflexions

Avec ce troisième côté, le triangle est maintenant entièrement défini par la longueur de ses côtés : 134.91 m, 115.86 m, et 92.71 m. Nous disposons de toutes les informations métriques du périmètre de la parcelle.

Points de vigilance

Vérifiez que vous soustrayez bien les coordonnées de A de celles de C (ou l'inverse), et non un mélange avec les coordonnées de B. L'erreur d'inattention est le principal risque dans ces calculs répétitifs.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Le calcul de la distance est une opération systématique.
  • Formule Essentielle : \(D = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\)
  • Point de Vigilance Majeur : Utiliser les coordonnées des bons points (A et C) pour le calcul.
Le saviez-vous ?

La triangulation est une technique de topographie qui a permis de cartographier des pays entiers dès le 17ème siècle. En mesurant une seule distance de base et une série d'angles dans une chaîne de triangles, on pouvait en déduire toutes les autres distances par calcul, y compris la distance entre Paris et Dunkerque pour la définition du mètre.

FAQ
Est-ce que l'ordre dans lequel je calcule les côtés a de l'importance ?

Non, l'ordre n'a aucune importance. Vous pouvez calculer AC, puis AB, puis BC si vous le souhaitez. Le résultat final sera le même.

Résultat Final
La distance AC est de 92.71 mètres.
A vous de jouer

Si la borne A avait été mal lue et était en (110.00, 215.00), quelle serait la nouvelle distance AC ?

Question 4 : Calculer la surface de la parcelle ABC.

Principe

On applique la formule de la surface par les coordonnées. Cette méthode est très efficace car elle ne nécessite pas de connaître les angles ou les longueurs des côtés. On calcule deux sommes de produits en croix des coordonnées, on les soustrait, et on prend la moitié de la valeur absolue.

Mini-Cours

Cette formule, dite des "lacets de soulier", peut être généralisée à n'importe quel polygone. Elle consiste à additionner les produits des coordonnées en diagonale dans un sens, puis à soustraire la somme des produits en diagonale dans l'autre sens. C'est une application du calcul de l'aire d'un polygone par décomposition en trapèzes par rapport aux axes de coordonnées.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs, organisez vos coordonnées dans un tableau et dessinez les "lacets" (les diagonales) pour visualiser les produits à effectuer. Notez les produits "descendants" d'un côté et les produits "montants" de l'autre avant de faire la somme.

Normes

La méthode de calcul de surface par coordonnées est la méthode réglementaire pour le calcul des contenances cadastrales dans de nombreux pays, dont la France. La précision des coordonnées initiales est donc primordiale pour garantir la justesse de la surface légale.

Formule(s)

Formule de la surface par coordonnées

\[ S = \frac{1}{2} |(X_A Y_B + X_B Y_C + X_C Y_A) - (Y_A X_B + Y_B X_C + Y_C X_A)| \]
Hypothèses

On suppose que les points A, B et C sont listés dans un ordre séquentiel autour du périmètre du triangle (que ce soit dans le sens horaire ou antihoraire).

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
A105.25210.50
B230.75260.00
C180.10155.80
Astuces

Pour vérifier votre calcul, vous pouvez aussi utiliser la formule de Héron qui calcule l'aire à partir des longueurs des 3 côtés (que nous avons calculées dans les questions 1, 2 et 3). Les deux résultats doivent être identiques (aux arrondis près).

Schéma (Avant les calculs)
Organisation des produits en croix
XYA105.25210.50B230.75260.00C180.10155.80A105.25210.50Terme 1: Σ(Xᵢ * Yᵢ₊₁)Terme 2: Σ(Yᵢ * Xᵢ₊₁)S = ½ |Terme 1 - Terme 2|
Calcul(s)

Calcul de la première somme de produits (\(T_1\))

\[ \begin{aligned} T_1 &= (105.25 \times 260.00) + (230.75 \times 155.80) + (180.10 \times 210.50) \\ &= 27365 + 35950.85 + 37911.05 \\ &= 101226.90 \end{aligned} \]

Calcul de la seconde somme de produits (\(T_2\))

\[ \begin{aligned} T_2 &= (210.50 \times 230.75) + (260.00 \times 180.10) + (155.80 \times 105.25) \\ &= 48572.875 + 46826 + 16398.45 \\ &= 111797.325 \end{aligned} \]

Calcul de la surface finale (S)

\[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} |101226.90 - 111797.325| \\ &= \frac{1}{2} |-10570.425| \\ &= 5285.2125 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Parcelle avec sa surface calculée
ABCS = 5285.21 m²
Réflexions

Une surface de 5285 m² correspond à un peu plus d'un demi-hectare (1 ha = 10 000 m²). Cette valeur est la "contenance cadastrale", l'information de surface officielle qui sera inscrite dans les documents de propriété et servira de base au calcul des impôts fonciers.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de se tromper dans l'ordre des multiplications ou dans les signes lors de la soustraction. L'utilisation d'un tableau est fortement recommandée. Assurez-vous aussi de ne pas oublier de diviser par 2 à la fin !

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : La surface peut être calculée comme la demi-différence de deux sommes de produits en croix des coordonnées.
  • Formule Essentielle : \(S = \frac{1}{2} |T_1 - T_2|\)
  • Point de Vigilance Majeur : L'organisation rigoureuse du calcul est la clé pour éviter les erreurs.
Le saviez-vous ?

La méthode des lacets de soulier (shoelace formula) est un cas particulier du théorème de Green, un résultat fondamental en analyse vectorielle qui relie une intégrale de ligne sur une courbe fermée à une intégrale de surface sur la région qu'elle délimite.

FAQ
Que se passe-t-il si j'inverse l'ordre des points (A, C, B) ?

Le résultat de la soustraction \((T_1 - T_2)\) changera de signe, mais sa valeur absolue restera la même. Comme la surface est toujours positive, le résultat final sera identique. L'important est de suivre un ordre consécutif.

Résultat Final
La surface de la parcelle ABC est de 5285.21 m².
A vous de jouer

Recalculez la surface si la borne C avait été relevée aux coordonnées (200.00, 160.00). Quelle serait la nouvelle surface ?

Outil Interactif : Simulateur de Parcelle

Utilisez les curseurs pour déplacer la borne C et observez en temps réel l'impact sur les distances et la surface totale de la parcelle. Les bornes A et B restent fixes.

Paramètres de la Borne C
180.1 m
155.8 m
Résultats Calculés
Distance BC (m) -
Distance AC (m) -
Surface ABC (m²) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La formule de distance entre deux points est une application directe de :

2. Si on multiplie par 2 les coordonnées X et Y de tous les sommets d'un triangle, sa surface sera :

3. Dans la formule de la surface par coordonnées, la valeur absolue est utilisée pour :

4. 1 hectare (ha) est égal à :

5. Que signifie le terme "coordonnées cartésiennes" ?

Coordonnées Cartésiennes
Système permettant de déterminer la position d'un point sur un plan à l'aide de deux valeurs numériques (abscisse X et ordonnée Y) relatives à deux axes perpendiculaires.
Levé Topographique
Ensemble des opérations consistant à recueillir sur le terrain les données nécessaires à l'établissement d'un plan ou d'une carte. Cela inclut la mesure d'angles, de distances et de coordonnées.
Formule de Héron
Méthode alternative pour calculer l'aire d'un triangle à partir de la longueur de ses trois côtés. Elle est souvent utilisée comme vérification.
Calcul de la Surface d’une Parcelle Triangulaire

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