Étude Topographique

Calcul d’un Point Rayonné (X, Y, Z)

Topographie : Calcul d'un Point Rayonné (X, Y, Z)

Calcul d'un Point Rayonné (X, Y, Z)

Contexte : Le Levé de Points de Détail

L'une des tâches les plus courantes en topographie est le "levé", qui consiste à mesurer la position tridimensionnelle (X, Y, Z) de nombreux points d'intérêt (bâtiments, voirie, mobilier urbain, etc.) sur le terrain. La méthode la plus efficace pour cela est le rayonnementMéthode de levé où, depuis une seule station connue, on mesure un grand nombre de points de détail en relevant pour chacun un angle horizontal, un angle vertical et une distance.. Depuis une station d'instrument dont les coordonnées sont connues, le topographe vise successivement tous les points à lever. Pour chaque point, la station totale mesure trois informations fondamentales : un angle horizontal, un angle vertical et une distance. Cet exercice a pour but de maîtriser le calcul permettant de transformer ces mesures brutes en coordonnées 3D exploitables.

Remarque Pédagogique : Ce calcul est le cœur du métier de topographe et de l'utilisation d'une station totale. Le maîtriser, c'est comprendre comment un plan topographique est créé à partir de mesures de terrain. C'est la base de tous les plans de masse, plans de récolement et modélisations 3D du terrain.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la relation entre les mesures polaires (angles, distance) et les coordonnées cartésiennes (X, Y, Z).
  • Calculer la distance horizontale et la dénivelée à partir d'une distance inclinée et d'un angle vertical.
  • Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) d'un point rayonné à partir d'un angle horizontal.
  • Calculer l'altitude (Z) d'un point rayonné en tenant compte des hauteurs d'instrument et de prisme.
  • Synthétiser les calculs pour obtenir les coordonnées 3D complètes d'un point.

Données de l'étude

Un topographe stationne un point S connu pour lever par rayonnement un coin de bâtiment P. Il utilise une station totale.

Schéma du Rayonnement
S (Station) hi P (Point visé) hv Dp Dh V

Données mesurées et connues :

  • Coordonnées de la station S : \(X_{\text{S}} = 1234.56 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 5678.90 \, \text{m}\), \(Z_{\text{S}} = 150.25 \, \text{m}\)
  • Orientation de la station (Référence) : \(Hz_{\text{Ref}} = 0.0000 \, \text{gon}\) sur une autre borne connue.
  • Angle horizontal mesuré sur P : \(Hz_{\text{P}} = 45.1234 \, \text{gon}\)
  • Angle vertical mesuré sur P : \(V_{\text{P}} = 95.6789 \, \text{gon}\)
  • Distance inclinée mesurée sur P : \(D_{\text{p}} = 52.456 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'instrument en S : \(h_{\text{i}} = 1.654 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme en P : \(h_{\text{v}} = 1.800 \, \text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) entre la station S et le point P.
  2. Calculer la dénivelée (\(\Delta H\)) entre l'axe de l'instrument et le prisme.
  3. Calculer les coordonnées planimétriques (\(X_{\text{P}}, Y_{\text{P}}\)) du point P.
  4. Calculer l'altitude (\(Z_{\text{P}}\)) du point P.

Correction : Calcul d'un Point Rayonné (X, Y, Z)

Question 1 : Calcul de la Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))

Principe :
Dh = ? Dp ΔH V

La station totale mesure la distance directe (inclinée) entre l'instrument et le prisme. Pour les calculs planimétriques, nous avons besoin de sa projection sur le plan horizontal. Cette projection, la distance horizontale, s'obtient par une relation trigonométrique simple dans le triangle rectangle formé par la distance inclinée, la distance horizontale et la dénivelée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le passage de la distance inclinée à la distance horizontale est systématique. C'est la distance horizontale qui est utilisée pour tous les calculs de positionnement en plan (X, Y) et qui est reportée sur les cartes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_{\text{h}} = D_{\text{p}} \times \sin(V) \]
Donnée(s) :
  • Distance inclinée \(D_{\text{p}} = 52.456 \, \text{m}\)
  • Angle vertical \(V_{\text{P}} = 95.6789 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} D_{\text{h}} &= 52.456 \times \sin(95.6789 \, \text{gon}) \\ &= 52.456 \times 0.9981... \\ &= 52.358 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités d'angle : Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "grades" (ou "gon") pour le calcul. Une erreur d'unité (degrés ou radians) est une source fréquente de résultats complètement faux.

Le saviez-vous ?

Le sinus d'un angle proche de 100 gon (angle droit) est très proche de 1. C'est pourquoi, pour des visées quasi-horizontales, la distance inclinée et la distance horizontale sont très similaires.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser sin(V) et non cos(V) ?

Cela dépend de la définition de l'angle. En topographie, l'angle vertical V est mesuré depuis le zénith (la verticale). Dans le triangle rectangle, la distance horizontale est le côté "opposé" à l'angle au centre de la Terre, qui est (100 - V) gon. Par conséquent, Dh = Dp * cos(100 - V), ce qui est mathématiquement équivalent à Dp * sin(V).

Résultat : La distance horizontale est \(D_{\text{h}} = 52.358 \, \text{m}\).

Question 2 : Calcul de la Dénivelée (\(\Delta H\))

Principe :
Dh Dp ΔH = ? V

La dénivelée (\(\Delta H\)) est la différence de hauteur entre l'axe des tourillons de l'instrument et le centre du prisme visé. Elle correspond au troisième côté du triangle rectangle mentionné précédemment. Cette valeur est cruciale pour le calcul de l'altitude finale du point P.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le signe de la dénivelée est important. Si l'angle vertical est inférieur à 100 gon (visée montante), la dénivelée est positive. S'il est supérieur à 100 gon (visée descendante), le cosinus sera négatif et la dénivelée sera négative, ce qui est cohérent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = D_{\text{p}} \times \cos(V) \quad \text{ou} \quad \Delta H = D_{\text{h}} \times \cot(V) \]
Donnée(s) :
  • Distance inclinée \(D_{\text{p}} = 52.456 \, \text{m}\)
  • Angle vertical \(V_{\text{P}} = 95.6789 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H &= 52.456 \times \cos(95.6789 \, \text{gon}) \\ &= 52.456 \times 0.0678... \\ &= 3.559 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Choix de la formule : La formule \(\Delta H = D_h \cot(V)\) est également correcte mais propage l'erreur d'arrondi du calcul de \(D_h\). Il est métrologiquement plus juste d'utiliser les données brutes mesurées (\(D_p\) et V) pour chaque calcul indépendant.

Le saviez-vous ?

Dans les anciens théodolites, le cercle vertical n'était pas toujours parfaitement gradué. L'erreur d'excentricité du cercle vertical était une correction complexe à appliquer, aujourd'hui éliminée par la qualité de fabrication des instruments numériques.

FAQ en rapport avec la question :
Cette dénivelée est-elle la différence d'altitude entre les points au sol ?

Non, attention. C'est la différence d'altitude entre l'axe de l'instrument et le centre du prisme. Pour obtenir la dénivelée entre les points au sol, il faudra encore prendre en compte les hauteurs de l'instrument et du prisme, ce qui est l'objet de la question 4.

Résultat : La dénivelée entre l'axe de l'instrument et le prisme est \(\Delta H = 3.559 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul des Coordonnées Planimétriques (\(X_{\text{P}}, Y_{\text{P}}\))

Principe :
S (Xs, Ys) P (Xp, Yp)=? Nord ΔY ΔX Hz

Les coordonnées du point P sont calculées par rapport à celles de la station S. En utilisant l'angle horizontal mesuré (gisement) et la distance horizontale, on calcule les "déplacements" en X (\(\Delta X\)) et en Y (\(\Delta Y\)). Ces déplacements sont ensuite ajoutés aux coordonnées de la station S pour obtenir les coordonnées de P.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les formules pour \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont au cœur de la trigonométrie et de la topographie. Il est crucial de ne pas les inverser. Une astuce mnémotechnique est "le sinus est à l'Est" (sinus pour \(\Delta X\), la coordonnée Est).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X = D_{\text{h}} \times \sin(Hz) \quad ; \quad \Delta Y = D_{\text{h}} \times \cos(Hz) \]
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + \Delta X \quad ; \quad Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + \Delta Y \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées de S : \(X_{\text{S}} = 1234.56 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 5678.90 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale \(D_{\text{h}} = 52.358 \, \text{m}\)
  • Angle horizontal \(Hz_{\text{P}} = 45.1234 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta X &= 52.358 \times \sin(45.1234 \, \text{gon}) = 52.358 \times 0.644... = 33.740 \, \text{m} \\ \Delta Y &= 52.358 \times \cos(45.1234 \, \text{gon}) = 52.358 \times 0.764... = 40.015 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{P}} &= 1234.56 + 33.740 = 1268.300 \, \text{m} \\ Y_{\text{P}} &= 5678.90 + 40.015 = 5718.915 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Orientation de l'axe Y : En topographie française, l'axe Y est orienté vers le Nord (contrairement aux mathématiques où il est souvent horizontal). C'est pour cela que le cosinus est associé à \(\Delta Y\) et le sinus à \(\Delta X\).

Le saviez-vous ?

Le calcul des coordonnées à partir d'un angle et d'une distance est appelé "passage des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires". C'est une transformation mathématique fondamentale utilisée dans de nombreux domaines (robotique, radar, jeux vidéo...).

FAQ en rapport avec la question :
Et si l'angle Hz était supérieur à 100 gon ?

Les formules restent exactement les mêmes. Les fonctions sinus et cosinus gèrent automatiquement les signes des déplacements \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) en fonction du quadrant dans lequel se trouve l'angle, plaçant ainsi correctement le point P par rapport à la station S.

Résultat : Les coordonnées planimétriques de P sont \(X_{\text{P}} = 1268.300 \, \text{m}\) et \(Y_{\text{P}} = 5718.915 \, \text{m}\).

Question 4 : Calcul de l'Altitude (\(Z_{\text{P}}\))

Principe :
Sol Zs +hi +ΔH -hv Zp=?

L'altitude du point P au sol est calculée en partant de l'altitude connue de la station S. On "monte" d'abord jusqu'à l'axe de l'instrument (en ajoutant \(h_{\text{i}}\)), on applique ensuite la dénivelée calculée (\(\Delta H\)), puis on "redescend" jusqu'au sol en soustrayant la hauteur du prisme (\(h_{\text{v}}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il faut bien visualiser ce "chemin" vertical : Sol de S → Axe de l'instrument → Axe du prisme → Sol de P. Chaque étape est une addition ou une soustraction. Une erreur de signe sur \(h_i\) ou \(h_v\) est fatale pour le calcul d'altitude.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Z_{\text{P}} = Z_{\text{S}} + h_{\text{i}} + \Delta H - h_{\text{v}} \]
Donnée(s) :
  • Altitude de S : \(Z_{\text{S}} = 150.25 \, \text{m}\)
  • Hauteur instrument \(h_{\text{i}} = 1.654 \, \text{m}\)
  • Dénivelée \(\Delta H = 3.559 \, \text{m}\)
  • Hauteur prisme \(h_{\text{v}} = 1.800 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Z_{\text{P}} &= 150.25 + 1.654 + 3.559 - 1.800 \\ &= 153.663 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Mesure des hauteurs : Les erreurs les plus grossières en altimétrie proviennent souvent d'une mauvaise lecture du mètre-ruban lors de la mesure de \(h_i\) ou \(h_v\), ou d'une confusion entre les deux. Une double vérification est toujours recommandée.

Le saviez-vous ?

Certaines stations totales robotisées peuvent mesurer automatiquement leur propre hauteur (\(h_i\)) grâce à un laser pointant vers le bas. Cela élimine une source d'erreur humaine et accélère la mise en station.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si on vise directement le sol au lieu d'un prisme ?

Les stations totales "sans réflecteur" peuvent mesurer une distance en visant directement une surface (un mur, le sol...). Dans ce cas, la hauteur de prisme \(h_v\) est égale à zéro, ce qui simplifie la formule : \(Z_P = Z_S + h_i + \Delta H\). C'est très pratique pour les points inaccessibles.

Résultat : L'altitude du point P est \(Z_{\text{P}} = 153.663 \, \text{m}\).

Pour Aller Plus Loin : Le Gisement

De l'angle à l'orientation : Dans cet exercice, nous avons supposé que l'orientation de la station était de 0 sur une référence. En pratique, l'angle horizontal lu (\(Hz\)) est relatif à cette référence. Pour obtenir le "gisement" (l'angle par rapport au Nord), il faut d'abord calculer le gisement de la référence \(G_{\text{SRef}}\), puis l'ajouter à l'angle lu : \(G_{\text{SP}} = G_{\text{SRef}} + Hz_{\text{P}}\). C'est ce gisement \(G_{\text{SP}}\) qui est ensuite utilisé dans les formules de calcul de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).

Le Saviez-Vous ?

Les stations totales modernes effectuent tous ces calculs en temps réel. L'opérateur entre les coordonnées de sa station, la hauteur de l'instrument et du prisme, puis vise le point. L'instrument affiche directement les coordonnées (X, Y, Z) du point visé, qui sont stockées dans une mémoire interne. Le travail de calcul manuel reste cependant indispensable pour comprendre le processus et vérifier les résultats.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si on mesure la distance horizontale directement ?

Certaines stations totales peuvent être configurées pour mesurer et enregistrer directement la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) et la dénivelée (\(\Delta H\)) au lieu de la distance inclinée (\(D_{\text{p}}\)). Dans ce cas, les calculs sont encore plus simples, car les deux premières étapes de notre exercice sont déjà effectuées par l'instrument.

Doit-on appliquer la correction de courbure/réfraction pour un point rayonné ?

Pour des visées courtes (typiquement moins de 200-300 mètres), comme c'est souvent le cas pour le levé de détail, l'effet de la courbure et de la réfraction est négligeable (inférieur au millimètre) et n'est généralement pas appliqué. Pour des rayonnements à longue distance, il faudrait en tenir compte pour obtenir une altitude précise.

Glossaire

Rayonnement
Méthode de levé topographique consistant à déterminer les coordonnées de points depuis une seule station connue en mesurant pour chacun un angle horizontal, un angle vertical et une distance.
Distance Inclinée (Dp)
Distance directe mesurée entre l'axe de la station totale et le centre du prisme, suivant la ligne de visée.
Gisement
Angle horizontal d'une direction, mesuré depuis la direction du Nord géographique ou de la grille de projection, dans le sens des aiguilles d'une montre.
Hauteur Instrument (hi)
Distance verticale entre le point de station au sol et l'axe des tourillons (axe de rotation horizontal) de l'instrument.
Hauteur Prisme (hv)
Distance verticale entre le point au sol mesuré et le centre optique du prisme réflecteur.
Calcul d'un Point Rayonné (X, Y, Z)

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