Calcul d’un Point Rayonné (X, Y, Z)
Contexte : Le lever topographique par rayonnementMéthode de lever où l'on détermine les coordonnées de plusieurs points depuis une unique station de mesure, à l'aide d'angles et de distances..
Un géomètre-topographe se trouve sur le terrain et a mis en station un tachéomètre (ou station totale) sur un point connu, appelé ST1. Sa mission est de déterminer les coordonnées tridimensionnelles (X, Y, Z) d'un nouveau point, P1, qui peut être un coin de bâtiment, un regard ou tout autre détail à lever. Pour ce faire, il effectue une série de mesures (angles et distance) depuis sa station vers le point P1. Cet exercice vous guidera à travers les calculs nécessaires pour transformer ces mesures de terrain en coordonnées exploitables.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il illustre la transformation de mesures polaires (angles, distance) en coordonnées cartésiennes (X, Y, Z), une compétence de base pour tout technicien ou ingénieur en topographie.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser le calcul du gisement d'une direction à partir d'une référence.
- Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) d'un point rayonné.
- Déterminer l'altitude (Z) d'un point rayonné en intégrant les hauteurs de l'instrument et du prisme.
Données de l'étude
Schéma de la situation du lever
Données de la station
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Coordonnées de ST1 (X, Y, Z) | (1000.00 m ; 500.00 m ; 125.50 m) |
| Gisement de la référence (ST1 → Réf) | 50.00 gon |
| Hauteur de l'instrument (\(H_i\)) | 1.65 m |
Carnet de mesures terrain
| Point Visé | Angle Horizontal (\(L_z\)) | Angle Vertical (\(V\)) | Distance Inclinée (\(D_i\)) | Hauteur du Prisme (\(H_p\)) |
|---|---|---|---|---|
| P1 | 120.45 gon | 95.20 gon | 45.32 m | 2.00 m |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de la direction ST1 vers P1.
- Calculer la distance horizontale (\(D_h\)) entre ST1 et P1.
- Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) du point P1.
- Calculer la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre l'axe optique de la station et le point visé sur le prisme.
- Calculer l'altitude (Z) finale du point P1 au sol.
Les bases du calcul par rayonnement
Le calcul de rayonnement est une méthode fondamentale en topographie qui permet de déterminer les coordonnées d'un point inconnu à partir d'un point connu (la station) et de mesures polaires. La transformation de ces mesures en coordonnées cartésiennes repose sur des principes de trigonométrie simples.
1. Calcul du Gisement
Le gisement d'une direction est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir du Nord. Pour obtenir le gisement du point visé, on ajoute la lecture de l'angle horizontal à celle du gisement de référence.
\[ G_{\text{visée}} = G_{\text{référence}} + L_{z, \text{visée}} \]
2. Calcul des Coordonnées
Les coordonnées sont calculées en projetant la distance horizontale sur les axes X et Y à l'aide du gisement, et en calculant l'altitude à partir de la dénivelée.
\[ D_h = D_i \cdot \sin(V) \]
\[ X_P = X_S + D_h \cdot \sin(G) \]
\[ Y_P = Y_S + D_h \cdot \cos(G) \]
\[ Z_P = Z_S + H_i + D_i \cdot \cos(V) - H_p \]
Correction : Calcul d’un Point Rayonné (X, Y, Z)
Question 1 : Calculer le gisement de la direction ST1 vers P1.
Principe
Le gisement est l'angle qui oriente notre visée par rapport à une direction de référence absolue : le Nord. L'angle horizontal lu sur l'instrument (\(L_z\)) est relatif à la référence visée (Réf). Pour obtenir le gisement de P1, il faut donc "caler" notre lecture sur le Nord en utilisant le gisement connu de la référence.
Mini-Cours
En topographie, l'orientation est cruciale. On utilise une référence connue (un clocher, un autre point géodésique) pour "transporter" une orientation absolue (le gisement) sur notre cercle horizontal. Chaque lecture angulaire devient alors un gisement après une simple addition.
Remarque Pédagogique
Imaginez que le gisement de votre référence (50 gon) est votre point de départ sur un cadran. La lecture de 120.45 gon est le chemin que vous parcourez depuis ce départ. Le gisement final est simplement votre position sur le cadran après ce parcours.
Normes
Les calculs topographiques en France sont généralement effectués dans un système de projection légal comme le RGF93-CC49. La définition du gisement et les formules de transport sont standardisées et universelles.
Formule(s)
Formule de transport de gisement
Hypothèses
On suppose que l'instrument a été correctement mis en station et que la visée sur la référence a été faite avec précision pour caler l'orientation initiale.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Gisement de la référence | \(G_{\text{ST1} \to \text{Réf}}\) | 50.00 | gon |
| Angle horizontal vers P1 | \(L_{z, \text{P1}}\) | 120.45 | gon |
Astuces
Pour éviter les erreurs, faites un petit schéma mental ou sur papier. Placez le Nord en haut, dessinez un angle de 50 gon pour la référence, puis ajoutez 120 gon. Vous verrez que votre direction finale se situe dans le quadrant Sud-Est.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du cercle horizontal de l'instrument. On part du gisement de la référence (en bleu) et on ajoute l'angle lu (en rouge) pour trouver le gisement du point P1.
Transport de Gisement
Calcul(s)
Calcul du Gisement de P1
Schéma (Après les calculs)
Le gisement final du point P1 (en vert) est l'angle total mesuré depuis le Nord.
Gisement Final
Réflexions
Un gisement de 170.45 gon place la direction dans le deuxième quadrant (entre 100 et 200 gon), ce qui correspond au Sud-Est. C'est cohérent avec notre schéma mental.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les valeurs angulaires sont exprimées dans la même unité (ici, le grade ou gon). Si la somme dépasse 400 gon, il faut soustraire 400 pour ramener l'angle dans un tour de cercle (ex: 425 gon devient 25 gon).
Points à retenir
Pour trouver le gisement d'un point B depuis une station A, il faut connaître le gisement d'une référence (Réf) et l'angle horizontal mesuré entre cette référence et le point B. La formule est toujours : \(G_{\text{AB}} = G_{\text{ARéf}} + L_{z, \text{B}}\).
Le saviez-vous ?
L'unité "grade" ou "gon" a été créée pendant la Révolution française pour diviser l'angle droit en 100 unités (et le cercle complet en 400), afin de s'aligner sur le système décimal. Elle est principalement utilisée en topographie.
FAQ
Dans ce cas, le gisement de la référence est 0. Le gisement du point visé est alors directement égal à l'angle horizontal lu sur l'instrument. C'est une pratique courante lorsque l'on utilise un GPS couplé à la station totale.Et si mon instrument est calé sur le Nord (0.00 gon) ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle horizontal lu vers un point P2 avait été de 310.00 gon, quel aurait été son gisement ?
Question 2 : Calculer la distance horizontale (\(D_h\)) entre ST1 et P1.
Principe
La distance mesurée par l'instrument est la distance directe, inclinée (\(D_i\)). Pour les calculs planimétriques, nous avons besoin de sa projection sur un plan horizontal. Cette projection est la distance horizontale (\(D_h\)). On l'obtient par trigonométrie en utilisant l'angle vertical (\(V\)).
Mini-Cours
Dans un triangle rectangle formé par la distance inclinée (hypoténuse), la distance horizontale et la dénivelée (les deux autres côtés), l'angle vertical zénithal (V) nous permet de trouver les longueurs des côtés. Le sinus de V est associé à la distance horizontale, et le cosinus à la dénivelée.
Remarque Pédagogique
Visualisez la distance que vous parcoureriez sur une carte plane entre les deux points : c'est la distance horizontale. La distance inclinée est la distance réelle que vous marcheriez sur le terrain en pente.
Normes
Les instruments de mesure doivent être étalonnés pour garantir la précision des distances mesurées. Les formules de réduction à l'horizontale sont des standards de la géométrie.
Formule(s)
Formule de la distance horizontale
Hypothèses
On néglige ici les corrections de projection cartographique (réduction à l'ellipsoïde et à la projection) qui sont pertinentes sur de très longues distances, mais négligeables pour un lever de détail classique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance inclinée | \(D_i\) | 45.32 | m |
| Angle vertical zénithal | \(V\) | 95.20 | gon |
Astuces
Puisque \(\sin(100 \text{ gon}) = 1\), si votre angle vertical V est très proche de 100 gon (l'horizon), votre distance horizontale sera très proche de la distance inclinée. C'est un bon moyen de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma représentant la relation entre la distance inclinée (\(D_i\)), la distance horizontale (\(D_h\)) et la dénivelée (\(\Delta Z\)).
Réduction à l'horizontale
Calcul(s)
Calcul de la Distance Horizontale
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne la valeur du côté horizontal du triangle.
Résultat de la Réduction
Réflexions
L'angle vertical (95.20 gon) est très proche de l'horizontale (100 gon), avec une légère visée montante. Il est donc logique que la distance horizontale (\(D_h = 45.24\) m) soit très proche, mais légèrement inférieure, à la distance inclinée (\(D_i = 45.32\) m).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'utiliser la mauvaise unité d'angle (degrés au lieu de grades) dans sa calculatrice. Une autre erreur est d'utiliser \(\cos(V)\) au lieu de \(\sin(V)\) pour la distance horizontale.
Points à retenir
La distance horizontale est la projection de la distance inclinée sur le plan horizontal. Elle se calcule toujours avec la formule \(D_h = D_i \cdot \sin(V)\) où V est l'angle zénithal (mesuré depuis la verticale).
Le saviez-vous ?
Les stations totales modernes calculent et affichent directement la distance horizontale (\(D_h\)) et la dénivelée (\(\Delta Z\)) en temps réel, évitant à l'opérateur de faire ces calculs manuellement sur le terrain.
FAQ
Si votre instrument mesure l'angle d'inclinaison \(i\) par rapport à l'horizon (positif vers le haut, négatif vers le bas), la formule devient \(D_h = D_i \cdot \cos(i)\). L'angle zénithal V et l'angle d'inclinaison \(i\) sont liés par \(V + i = 100\) gon.Et si mon appareil donne un angle par rapport à l'horizon (\(i\)) ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si pour un autre point, \(D_i = 60.00\) m et \(V = 85.00\) gon, quelle serait la distance horizontale ?
Question 3 : Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) du point P1.
Principe
Les coordonnées du point P1 sont obtenues en ajoutant aux coordonnées de la station (ST1) les différences de coordonnées (\(\Delta X\), \(\Delta Y\)) entre la station et le point. Ces différences sont calculées en projetant la distance horizontale sur les axes X (Est) et Y (Nord) à l'aide du gisement.
Mini-Cours
C'est la transformation fondamentale des coordonnées polaires (Gisement, Dh) en coordonnées cartésiennes (\(\Delta X\), \(\Delta Y\)). Le sinus du gisement est lié à l'axe des X (Est) et le cosinus du gisement est lié à l'axe des Y (Nord) par convention topographique.
Remarque Pédagogique
Le calcul est simple : on part d'un point connu, et on y ajoute le "déplacement" pour arriver au nouveau point. Ce déplacement est décomposé en une partie vers l'Est (\(\Delta X\)) et une partie vers le Nord (\(\Delta Y\)).
Normes
Les systèmes de coordonnées (comme le RGF93) sont définis par des normes nationales et internationales pour garantir l'homogénéité des données géographiques.
Formule(s)
Formules de projection
Hypothèses
On travaille dans un plan local supposé plat, ce qui est une approximation valide pour les levers topographiques sur des zones de quelques kilomètres.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées de ST1 | \(X_{\text{ST1}}, Y_{\text{ST1}}\) | 1000.00, 500.00 | m |
| Distance horizontale | \(D_h\) | 45.24 | m |
| Gisement | G | 170.45 | gon |
Astuces
Le signe de \(\sin(G)\) et \(\cos(G)\) vous indique la direction du déplacement. Pour G=170.45 gon (Sud-Est), \(\sin(G)\) doit être positif (\(\Delta X\) vers l'Est) et \(\cos(G)\) doit être négatif (\(\Delta Y\) vers le Sud). C'est un excellent moyen de vérifier vos calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation du calcul dans le système de coordonnées. On projette le vecteur ST1-P1 sur les axes X et Y.
Calcul de Coordonnées
Calcul(s)
Calcul de \(\Delta X\)
Calcul de \(\Delta Y\)
Calcul de \(X_{\text{P1}}\)
Calcul de \(Y_{\text{P1}}\)
Schéma (Après les calculs)
Positionnement final du point P1 par rapport à ST1 avec les valeurs calculées.
Coordonnées Finales
Réflexions
Le point P1 se trouve bien au Sud-Est de la station ST1, avec des coordonnées X plus grandes et Y plus petites, ce qui est cohérent avec le gisement calculé.
Points de vigilance
Attention à la convention topographique : le sinus est pour X et le cosinus est pour Y. C'est l'inverse des conventions mathématiques habituelles où l'axe X est horizontal. Cette inversion est due au fait que les angles (gisements) sont comptés depuis le Nord (axe Y).
Points à retenir
Le calcul de coordonnées d'un point P depuis une station S est toujours : \(X_P = X_S + D_h \cdot \sin(G)\) et \(Y_P = Y_S + D_h \cdot \cos(G)\).
Le saviez-vous ?
Avant les calculatrices électroniques, les topographes utilisaient des "tables de sinus et cosinus" et des logarithmes pour effectuer ces calculs, un processus long et sujet aux erreurs de calcul.
FAQ
Le gisement est compté depuis le Nord (axe Y positif). Un gisement entre 100 gon (Est) et 300 gon (Ouest) se situe dans la partie Sud du plan, où la projection sur l'axe Y (Nord) est négative. Le cosinus d'un angle entre 100 et 300 gon est donc toujours négatif.Pourquoi le cosinus est-il négatif pour un gisement de 170 gon ?
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes données de station, si vous mesurez \(D_h = 50.00\) m et \(G = 250.00\) gon, quelles seraient les coordonnées de ce nouveau point ?
Question 4 : Calculer la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre l'axe optique et le point visé.
Principe
La dénivelée (\(\Delta Z\)) est la différence d'altitude entre l'axe horizontal de l'instrument (axe des tourillons) et le point précis visé sur le prisme. On la calcule par trigonométrie, en utilisant la distance (inclinée ou horizontale) et l'angle vertical.
Mini-Cours
La dénivelée est le côté adjacent à l'angle V dans le triangle rectangle de la visée. C'est pourquoi on utilise la fonction cosinus. C'est une valeur relative qui ne devient une altitude qu'après avoir été rapportée à une référence absolue (l'altitude de la station).
Remarque Pédagogique
Le calcul de \(\Delta Z\) répond à la question : "De combien de mètres le point que je vise est-il plus haut ou plus bas que mon instrument ?". Un résultat positif signifie que c'est plus haut, un résultat négatif que c'est plus bas.
Normes
Les calculs sont basés sur les principes de la trigonométrie euclidienne.
Formule(s)
Formule de la dénivelée (principale)
Formule de la dénivelée (alternative)
Hypothèses
On néglige la courbure de la Terre et la réfraction atmosphérique, qui peuvent influencer la mesure de l'angle vertical sur de longues distances. Pour 45 mètres, leur effet est totalement insignifiant.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance inclinée | \(D_i\) | 45.32 | m |
| Angle vertical zénithal | \(V\) | 95.20 | gon |
Astuces
Puisque \(\cos(100 \text{ gon}) = 0\), si votre angle V est proche de 100 gon, votre dénivelée sera faible. Si V est petit (visée vers le haut), le cosinus est proche de 1 et \(\Delta Z\) est grand et positif. Si V est proche de 200 gon (visée vers le bas), le cosinus est proche de -1 et \(\Delta Z\) est grand et négatif.
Schéma (Avant les calculs)
Le triangle de la dénivelée est le même que pour la réduction à l'horizontale, mais on s'intéresse cette fois au côté vertical.
Calcul de la Dénivelée
Calcul(s)
Calcul de la Dénivelée
Schéma (Après les calculs)
Le calcul nous donne la valeur du côté vertical du triangle, avec son signe.
Résultat de la Dénivelée
Réflexions
Une dénivelée de +3.42 m pour une distance de 45 m correspond à une pente d'environ 7.5%. C'est une pente douce mais significative, facilement visible sur le terrain.
Points de vigilance
Ne pas confondre le sinus et le cosinus. Pour l'angle zénithal V : \(\sin(V) \to D_h\) (horizontal) et \(\cos(V) \to \Delta Z\) (vertical).
Points à retenir
La dénivelée entre l'instrument et la cible est donnée par \(\Delta Z = D_i \cdot \cos(V)\). Elle est positive pour une visée "montante" (V < 100 gon) et négative pour une visée "descendante" (V > 100 gon).
Le saviez-vous ?
Certains anciens instruments, comme les niveaux, ne mesuraient pas l'angle V mais directement la dénivelée sur une mire graduée grâce à une visée parfaitement horizontale.
FAQ
Oui, elle est universelle. Cependant, les instruments modernes peuvent aussi utiliser la distance horizontale pour le calcul : \(\Delta Z = D_h / \tan(V)\). Les deux formules donnent le même résultat.Cette formule est-elle toujours valable ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(D_i = 50.00\) m et \(V = 110.00\) gon, quelle serait la dénivelée ?
Question 5 : Calculer l'altitude (Z) finale du point P1.
Principe
L'altitude du point au sol est déduite de l'altitude connue de la station. On part de l'altitude de ST1, on "monte" jusqu'à l'axe de l'instrument avec \(H_i\), on applique la dénivelée calculée (\(\Delta Z\)) pour arriver à la hauteur du prisme, et enfin on "descend" jusqu'au sol avec \(H_p\).
Mini-Cours
Le calcul d'altitude est un cheminement vertical. On part d'un point connu (le repère au sol ST1), on suit le trajet de la mesure (sol -> instrument -> prisme), puis on redescend au sol sur le point inconnu. Chaque segment vertical est une addition ou une soustraction.
Remarque Pédagogique
C'est comme monter dans un ascenseur. Vous partez de l'étage \(Z_{\text{ST1}}\). Vous montez de \(H_i\) étages, puis encore de \(\Delta Z\) étages. Enfin, vous redescendez de \(H_p\) étages pour arriver à votre destination \(Z_{\text{P1}}\).
Normes
Les altitudes sont généralement rattachées à un système de nivellement national, comme le Nivellement Général de la France (NGF-IGN69), pour que toutes les altitudes du territoire soient comparables.
Formule(s)
Formule de l'altitude rayonnée
Hypothèses
On suppose que les hauteurs \(H_i\) et \(H_p\) ont été mesurées précisément à la verticale des points ST1 et P1.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de la station | \(Z_{\text{ST1}}\) | 125.50 | m |
| Hauteur instrument | \(H_i\) | 1.65 | m |
| Dénivelée | \(\Delta Z\) | +3.42 | m |
| Hauteur prisme | \(H_p\) | 2.00 | m |
Astuces
Regroupez les termes : \((Z_{\text{ST1}} + H_i)\) est l'altitude de l'axe de votre instrument. \((\Delta Z - H_p)\) est la différence d'altitude entre l'axe de l'instrument et le sol du point visé. Pensez-y en deux étapes pour clarifier le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma illustre le cheminement vertical depuis l'altitude connue de ST1 jusqu'à l'altitude à déterminer de P1.
Calcul de l'Altitude Z
Calcul(s)
Calcul de l'Altitude de P1
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre les altitudes finales, montrant que le point P1 est plus élevé que le point ST1 par rapport au niveau de référence.
Altitude Finale
Réflexions
L'altitude finale de 128.57 m est supérieure à celle de la station (125.50 m), ce qui est cohérent avec une dénivelée positive (\(\Delta Z = +3.42\) m) qui était plus grande que la différence entre les hauteurs de prisme et d'instrument (\(H_p - H_i = 0.35\) m).
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'inverser les signes, notamment d'oublier de soustraire la hauteur du prisme (\(H_p\)). Pensez toujours au cheminement logique du niveau pour ne pas vous tromper.
Points à retenir
L'altitude d'un point rayonné est la somme de l'altitude de la station, de la hauteur de l'instrument, et de la dénivelée, moins la hauteur du prisme. C'est une formule à connaître par cœur.
Le saviez-vous ?
Les levers par laser aéroporté (LIDAR) permettent aujourd'hui d'obtenir les altitudes de millions de points en quelques minutes, en appliquant exactement les mêmes principes de calcul de rayonnement, mais depuis un avion ou un drone.
FAQ
C'est ce qu'on appelle une visée "sans réflecteur". Dans ce cas, la formule se simplifie : \(Z_{\text{P1}} = Z_{\text{ST1}} + H_i + \Delta Z\). Vous obtenez directement l'altitude du point touché par le laser de l'instrument.Et si je vise directement le sol sans prisme (\(H_p=0\)) ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur de l'instrument avait été de 1.50 m et la hauteur du prisme de 1.80 m, quelle aurait été l'altitude de P1 (avec les mêmes mesures) ?
Outil Interactif : Simulateur de Point Rayonné
Utilisez les curseurs pour modifier les angles horizontal et vertical mesurés pour le point P1 et observez en temps réel l'impact sur ses coordonnées finales. Les autres données (station, distances) restent fixes.
Paramètres d'Entrée
Coordonnées Calculées de P1
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?
2. Si l'angle vertical zénithal (V) mesuré est exactement 100 gon, cela signifie que la visée est...
3. Dans la formule de calcul d'altitude, \(Z_P = Z_S + H_i + \Delta Z - H_p\), que représente \(H_p\) ?
4. Quelle est la formule correcte pour calculer la distance horizontale \(D_h\) ?
5. Un gisement de 300 gon correspond à quelle direction cardinale ?
Glossaire
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction du Nord géographique (ou d'une autre référence Nord). Il est utilisé pour définir l'orientation d'une direction dans un système de coordonnées.
- Station Totale (ou Tachéomètre)
- Instrument de topographie électronique qui mesure à la fois les angles horizontaux et verticaux, ainsi que les distances. C'est l'outil standard pour les levers par rayonnement.
- Angle Zénithal (V)
- Angle vertical mesuré depuis la direction du zénith (la verticale ascendante). Une visée horizontale correspond à V=100 gon, une visée vers le zénith à V=0 gon, et une visée vers le nadir à V=200 gon.
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