Calcul de l’altitude d’un point sous une arche
Contexte : Le Nivellement DirectEnsemble des opérations topographiques permettant de déterminer la dénivelée (différence d'altitude) entre deux points..
En topographie, il est courant de devoir déterminer l'altitude de points inaccessibles par le dessous, comme le tablier d'un pont ou le plafond d'un tunnel. Cet exercice pratique vous guidera à travers les étapes de calcul pour déterminer l'altitude précise d'un point situé sous une arche de pont, en utilisant la méthode du nivellement direct et une technique essentielle : la lecture à la mire inversée.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour tout futur technicien ou ingénieur. Il permet de s'assurer que les ouvrages d'art respectent les gabarits de circulation (routière, fluviale, ferroviaire) et de contrôler la géométrie des structures existantes.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la méthode du nivellement direct simple.
- Calculer l'altitude du plan de visée (axe optique) d'un niveau.
- Déterminer l'altitude d'un point par lecture à la mire "tête en bas" (inversée).
- Vérifier la conformité d'un gabarit de hauteur.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Donnée | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Altitude du Repère de Nivellement | \(\text{Alt}_{\text{RN}}\) | 43.255 m |
| Lecture arrière sur le RN | \(\text{L}_{\text{arr}}\) | 1.482 m |
| Lecture avant sur P (mire inversée) | \(\text{L}_{\text{av}}\) | 2.854 m |
Questions à traiter
- Calculez l'altitude du plan de visée de l'instrument.
- Déduisez-en l'altitude du point P sous l'arche.
- Le cahier des charges impose un gabarit minimal de 5.20 m. Sachant que l'altitude de la chaussée à la verticale du point P est de 42.150 m, la hauteur libre sous l'arche est-elle conforme ?
Les bases du Nivellement Direct
Le nivellement direct, aussi appelé nivellement géométrique, est la méthode la plus précise pour déterminer des dénivelées. Elle repose sur la visée d'une ligne horizontale à l'aide d'un instrument optique (le niveau).
1. Calcul du plan de visée
L'altitude du plan de visée (l'axe optique horizontal du niveau) est une altitude de référence. On la détermine en visant une mire posée sur un point d'altitude connue (le repère). La formule est simple :
2. Lecture à la mire inversée
Quand le point à mesurer est au-dessus du plan de visée (un plafond, une sous-face de pont), on ne peut pas y poser la mire. On la retourne donc (zéro en haut) et on l'applique contre le point. La lecture est alors ajoutée à l'altitude du plan de visée.
Correction : Calcul de l’altitude d’un point sous une arche
Question 1 : Calculez l'altitude du plan de visée de l'instrument.
Principe
Le plan de visée est l'altitude de la ligne de visée horizontale de l'instrument. Pour la calculer, on "monte" depuis un point d'altitude connue (le repère) en ajoutant la hauteur lue sur la mire posée sur ce repère.
Mini-Cours
Le nivellement direct est basé sur la propagation d'altitudes. On part d'un point fixe (le RN), dont l'altitude est rattachée à un système national (ex: NGF-IGN69 en France). Le niveau matérialise un plan horizontal dont on peut calculer l'altitude. Ce plan devient alors notre nouvelle référence locale pour tous les points que l'on visera depuis cette station.
Remarque Pédagogique
Le calcul du plan de visée est TOUJOURS la première étape d'un calcul de nivellement. Considérez-le comme le "zéro" de votre instrument pour cette station. Sans cette valeur, aucune autre altitude ne peut être calculée.
Normes
Les opérations de nivellement sont encadrées par des tolérances de précision en fonction du type de chantier (nivellement de précision, nivellement ordinaire, etc.). Pour cet exercice, nous considérons les calculs comme exacts.
Formule(s)
Formule du plan de visée
Hypothèses
- L'instrument (niveau) est parfaitement réglé et son axe optique est bien horizontal.
- La mire est tenue parfaitement verticale sur le repère de nivellement.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude du Repère | \(\text{Alt}_{\text{RN}}\) | 43.255 | m |
| Lecture Arrière | \(\text{L}_{\text{arr}}\) | 1.482 | m |
Astuces
Pour éviter les erreurs de calcul mental, arrondissez mentalement pour avoir un ordre de grandeur : 43.2 + 1.5 = 44.7. Votre résultat final doit être très proche de cette valeur.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous illustre le concept. On part de l'altitude connue du repère RN, et on y ajoute la hauteur lue sur la mire (lecture arrière) pour atteindre le plan horizontal créé par l'instrument.
Calcul du Plan de Visée
Calcul(s)
Calcul de l'altitude du plan de visée
Schéma (Après les calculs)
Le schéma illustre le résultat : le plan de visée est maintenant une nouvelle référence d'altitude connue.
Résultat : Altitude du Plan de Visée
Réflexions
L'altitude de 44.737 m représente l'altitude "z" de la ligne horizontale que "voit" l'instrument. N'importe quel point situé sur cette ligne, à n'importe quelle distance, partagera cette même altitude.
Points de vigilance
Attention aux erreurs de transcription des chiffres. Une simple inversion (ex: 1.428 au lieu de 1.482) fausse tous les calculs qui suivent. Il est crucial de bien noter ses lectures sur un carnet de terrain.
Points à retenir
La formule fondamentale à maîtriser est : Altitude de la visée = Altitude du point connu + Lecture sur ce point. C'est le point de départ de tout calcul de nivellement.
Le saviez-vous ?
Le système altimétrique officiel en France métropolitaine est le NGF-IGN69. Le "zéro" de ce système est déterminé par le marégraphe de Marseille et correspond au niveau moyen de la mer Méditerranée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la lecture arrière avait été de 1.527 m, quelle aurait été la nouvelle altitude du plan de visée ?
Question 2 : Déduisez-en l'altitude du point P sous l'arche.
Principe
Le point P est situé au-dessus du plan de visée. La lecture a été faite avec la mire inversée (le zéro de la mire est en contact avec le point P). Il faut donc "monter" depuis le plan de visée de la valeur lue sur la mire pour atteindre le point P. L'opération est donc une addition.
Mini-Cours
La géométrie du nivellement est simple : pour un point visé normalement (mire posée au sol), son altitude est \(\text{Alt}_{\text{Visée}} - \text{L}_{\text{av}}\). Pour un point visé en mire inversée (mire au plafond), son altitude est \(\text{Alt}_{\text{Visée}} + \text{L}_{\text{av}}\). Le signe de l'opération dépend de la position du point par rapport au plan de visée.
Remarque Pédagogique
Visualisez la scène : vous êtes au niveau de l'instrument. Pour atteindre le point P, vous devez "monter" de la longueur lue sur la mire. "Monter" en altimétrie signifie "ajouter". Cette simple image mentale vous empêchera de faire l'erreur classique de soustraction.
Normes
Pas de norme spécifique, il s'agit de l'application directe des principes de la géométrie euclidienne.
Formule(s)
Formule de l'altitude d'un point haut
Hypothèses
- La mire est tenue parfaitement verticale (même si elle est à l'envers) et son talon (le zéro) est bien en contact avec le point P.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude du Plan de Visée | \(\text{Alt}_{\text{Visée}}\) | 44.737 | m |
| Lecture Avant (inversée) | \(\text{L}_{\text{av}}\) | 2.854 | m |
Astuces
Pensez que le mot "inversée" ne change pas la lecture elle-même, mais uniquement l'opération mathématique à effectuer. Lisez la mire comme si elle était à l'endroit, puis appliquez la bonne formule.
Schéma (Avant les calculs)
Maintenant que le plan de visée est connu, le schéma illustre comment on l'utilise comme référence pour calculer l'altitude du point P en y ajoutant la lecture inversée.
Calcul de l'Altitude de P
Calcul(s)
Calcul de l'altitude du point P
Schéma (Après les calculs)
Le schéma montre le point P avec son altitude finale calculée, positionnée par rapport au plan de visée et au niveau de référence.
Résultat : Altitude de P
Réflexions
L'altitude de 47.591 m représente le point le plus haut de l'intrados (la surface inférieure) de l'arche à cet endroit précis. C'est une donnée cruciale pour les études de gabarit.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de soustraire la lecture inversée au lieu de l'additionner. Visualisez toujours la scène : si le point est au-dessus de votre instrument, son altitude sera forcément plus élevée que celle de votre plan de visée.
Points à retenir
Retenez que la lecture sur mire inversée s'ajoute toujours à l'altitude du plan de visée : \(\text{Alt}_{\text{Plafond}} = \text{Alt}_{\text{Visée}} + \text{Lecture}_{\text{inversée}}\).
Le saviez-vous ?
Pour mesurer la déformation d'ouvrages d'art comme les ponts ou les barrages, les topographes utilisent des nivellements de très haute précision (au dixième de millimètre près) pour suivre l'évolution des altitudes de points de contrôle au fil du temps.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec le même plan de visée à 44.737 m, si la lecture inversée sur P avait été de 2.799 m, quelle serait l'altitude de P ?
Question 3 : La hauteur libre sous l'arche est-elle conforme ?
Principe
Pour vérifier le gabarit, il faut calculer la hauteur libre réelle, c'est-à-dire la dénivelée (la distance verticale) entre le point le plus bas de l'arche (point P) et la surface de la chaussée. On compare ensuite cette hauteur au gabarit minimum exigé.
Mini-Cours
Une altitude est une coordonnée verticale par rapport à un datum (le niveau de la mer, par exemple). Une hauteur est une distance relative entre deux points. La hauteur entre un point A et un point B est simplement la différence de leurs altitudes : \(\text{Hauteur} = |\text{Alt}_{\text{A}} - \text{Alt}_{\text{B}}|\).
Remarque Pédagogique
Un projet d'ingénierie ne se limite pas à des calculs. La dernière étape est toujours la comparaison du résultat à une exigence, une norme, une tolérance. C'est là que le chiffre prend tout son sens : "Conforme" ou "Non conforme".
Normes
Le "gabarit" est une norme réglementaire qui définit les dimensions minimales (hauteur, largeur) pour le passage des véhicules. En France, il est défini par le Code de la route ou par des instructions techniques spécifiques (ex: ICTAAL pour les routes, règlements de VNF pour le fluvial).
Formule(s)
Formule de la hauteur libre
Hypothèses
- L'altitude de la chaussée fournie (42.150 m) est correcte et correspond bien à la surface de roulement à la verticale du point P.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude du point P | \(\text{Alt}_{\text{P}}\) | 47.591 | m |
| Altitude de la chaussée | \(\text{Alt}_{\text{Chaussée}}\) | 42.150 | m |
| Gabarit requis | - | 5.20 | m |
Astuces
Calculez toujours la marge de sécurité : \(\text{Marge} = \text{Hauteur réelle} - \text{Hauteur requise}\). Une marge positive signifie que c'est conforme, une marge négative signifie que ça ne passe pas.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma montre les deux altitudes connues (point P et chaussée) et la question posée : quelle est la distance verticale entre les deux ?
Problème : Calcul de la Hauteur Libre
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la hauteur libre réelle
Étape 2 : Comparaison au gabarit requis
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final illustre la comparaison entre la hauteur libre calculée et le gabarit minimum requis. La marge de sécurité est visible.
Vérification du Gabarit
Réflexions
La hauteur libre calculée (5.441 m) est supérieure au gabarit minimum imposé par le cahier des charges (5.20 m). Le critère est donc respecté. L'ouvrage permet le passage en toute sécurité des véhicules respectant le gabarit standard.
Points de vigilance
Ne jamais confondre "altitude" et "hauteur". Une altitude est une valeur absolue par rapport à une référence lointaine. Une hauteur est une distance relative entre deux points. Ici, on utilise deux altitudes pour calculer une hauteur.
Points à retenir
La vérification d'un gabarit est un cas d'application concret du nivellement. La méthodologie est toujours la même : 1. Mesurer l'altitude du point haut. 2. Mesurer l'altitude du point bas. 3. Calculer la différence. 4. Comparer à la norme.
Le saviez-vous ?
De nombreux accidents surviennent chaque année à cause du non-respect des gabarits. C'est pourquoi la signalisation routière indiquant la hauteur maximale autorisée est cruciale à l'approche des ponts et tunnels bas.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le gabarit requis avait été de 5.50 m, l'ouvrage aurait-il été conforme ? De combien de centimètres aurait-il manqué ?
Outil Interactif : Simulateur d'Altimétrie
Utilisez les curseurs pour modifier les données de départ et observez en temps réel l'impact sur les altitudes calculées.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que le "plan de visée" en nivellement ?
2. Comment calcule-t-on l'altitude du plan de visée ?
3. Dans quel cas principal utilise-t-on une "lecture à la mire inversée" ?
4. Votre plan de visée est à 125.500 m. Vous faites une lecture inversée de 3.120 m sur un point P. Quelle est l'altitude de P ?
5. Quelle est la principale source d'erreur en nivellement si les portées (distances mire-instrument) sont très inégales ?
Glossaire de Topographie
- Nivellement Direct
- Ensemble des opérations permettant de déterminer la dénivelée entre deux points à partir de visées horizontales lues sur une mire tenue verticalement.
- Plan de Visée
- Axe optique horizontal du niveau, dont on calcule l'altitude pour servir de référence. Il est aussi appelé "altitude de l'instrument".
- Lecture Arrière
- Première lecture effectuée sur un point d'altitude connue (repère) après avoir stationné l'instrument. Elle permet de calculer l'altitude du plan de visée.
- Lecture Avant
- Toute lecture effectuée après la lecture arrière, sur des points dont on cherche à déterminer l'altitude.
- Mire Inversée
- Technique où la mire est tenue "tête en bas" (le zéro en haut), plaquée contre un objet en hauteur (plafond, sous-face de pont...) pour en mesurer l'altitude.
- Repère de Nivellement (RN)
- Point fixe, stable et matérialisé (clou, borne) dont l'altitude a été déterminée avec précision, servant de référence de départ pour les travaux topographiques.
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