Étude Topographique

Fermeture et Compensation d’un Cheminement

Topographie : Fermeture et Compensation d'un Cheminement Altimétrique

Fermeture et compensation d'un cheminement altimétrique

Contexte : La recherche de la précision absolue

En topographie, chaque mesure comporte une petite erreur inévitable. Dans un cheminement, ces petites erreurs s'accumulent à chaque station. Comment savoir si le résultat final est fiable ? La meilleure méthode est de réaliser un cheminement ferméUn cheminement qui part d'un point d'altitude connue et qui se termine sur ce même point, formant une boucle., c'est-à-dire une boucle qui revient à son point de départ. En théorie, l'altitude calculée à la fin du parcours devrait être identique à l'altitude de départ. En pratique, il y a toujours un petit écart : l'erreur de fermeture. Le calcul de cette erreur et sa répartition sur tous les points du parcours (la "compensation") est une étape fondamentale pour garantir la qualité et la cohérence d'un levé topographique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice aborde la notion la plus importante de la topographie de précision : le contrôle et l'ajustement des mesures. Il montre qu'un bon topographe ne se contente pas de calculer, il évalue la qualité de ses propres mesures et sait comment les corriger de manière rigoureuse.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les altitudes brutes des points d'un cheminement fermé.
  • Déterminer l'erreur de fermeture altimétrique.
  • Comprendre le principe de la compensation d'erreur.
  • Calculer la correction à appliquer à chaque dénivelée.
  • Calculer les altitudes finales compensées des points du cheminement.

Données de l'étude

Un géomètre effectue un cheminement altimétrique fermé A-S1-S2-A pour déterminer les altitudes précises des stations S1 et S2. Les mesures de terrain sont consignées dans le tableau ci-dessous.

Schéma du cheminement fermé
A S1 S2 Visée A vers S1 Visée S1 vers S2 Visée S2 vers A

Donnée de départ :

  • Altitude du point de départ A : \(Alt_A = 215.452 \, \text{m}\)
Station Point Visé \(h_t\) (m) \(h_p\) (m) \(D_i\) (m) Angle V (gon)
A S1 1.542 1.850 122.450 96.2150
S1 S2 1.608 1.900 145.180 103.1450
S2 A 1.595 1.850 105.520 100.9540

Questions à traiter

  1. Calculer les dénivelées brutes pour chaque tronçon du cheminement.
  2. Calculer l'erreur de fermeture altimétrique (\(f_a\)).
  3. Calculer la compensation à appliquer à chaque dénivelée.
  4. Calculer les altitudes compensées (définitives) des points S1 et S2.

Correction : Fermeture et Compensation d'un Cheminement

Question 1 : Dénivelées Brutes

Principe :
Di ΔH brute V

Pour chaque tronçon (A->S1, S1->S2, S2->A), on calcule la dénivelée brute, c'est-à-dire la différence d'altitude entre l'axe de l'instrument et le centre du prisme. On utilise pour cela la distance inclinée et l'angle vertical.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette première étape transforme les mesures de terrain brutes (distances et angles) en une première information utile : la différence de hauteur entre les instruments. C'est une étape de "nettoyage" des données avant les calculs plus complexes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{brute}} = D_i \times \cos(V) \]
Donnée(s) :
  • Tronçon A-S1 : \(D_i = 122.450 \, \text{m}\), \(V = 96.2150 \, \text{gon}\)
  • Tronçon S1-S2 : \(D_i = 145.180 \, \text{m}\), \(V = 103.1450 \, \text{gon}\)
  • Tronçon S2-A : \(D_i = 105.520 \, \text{m}\), \(V = 100.9540 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{brute}(A \rightarrow S1)} &= 122.450 \times \cos(96.2150 \, \text{gon}) \\ &= +7.218 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{brute}(S1 \rightarrow S2)} &= 145.180 \times \cos(103.1450 \, \text{gon}) \\ &= -7.021 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{brute}(S2 \rightarrow A)} &= 105.520 \times \cos(100.9540 \, \text{gon}) \\ &= -1.583 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Mode de la calculatrice : Toutes les mesures angulaires sont en grades (gon). Il est impératif de s'assurer que sa calculatrice est bien en mode "GRA" ou "GON" avant de commencer les calculs trigonométriques.

Le saviez-vous ?

Les stations totales modernes peuvent être équipées de lasers sans réflecteur. Cela permet de viser directement la façade d'un bâtiment sans avoir besoin qu'un aide y place un prisme. La méthode de calcul reste cependant exactement la même.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la dénivelée brute S1-S2 est-elle négative ?

L'angle vertical mesuré est de 103.1450 gon, ce qui est supérieur à 100 gon (l'horizontale). Cela signifie que la visée était "plongeante" ou descendante. Le cosinus d'un angle entre 100 et 300 gon est négatif, ce qui se traduit mathématiquement par une dénivelée brute négative.

Résultat : Les dénivelées brutes sont \(+7.218 \, \text{m}\), \(-7.021 \, \text{m}\) et \(-1.583 \, \text{m}\).

Question 2 : Erreur de Fermeture Altimétrique (\(f_a\))

Principe :
fa

L'erreur de fermeture est la somme de toutes les dénivelées nettes calculées le long du cheminement. Dans une boucle parfaite, en revenant au point de départ, la somme des dénivelées devrait être nulle. La valeur obtenue représente l'erreur totale accumulée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul de l'erreur de fermeture est le moment de vérité du topographe. Il permet de valider la qualité globale des mesures. Une erreur importante signale une faute (par exemple, une mauvaise lecture de hauteur) et impose de refaire les mesures.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{nette}} = h_t + \Delta H_{\text{brute}} - h_p \]
\[ f_a = \sum \Delta H_{\text{nette}} \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H_{A \rightarrow S1} &= 1.542 + 7.218 - 1.850 = +6.910 \, \text{m} \\ \Delta H_{S1 \rightarrow S2} &= 1.608 - 7.021 - 1.900 = -7.313 \, \text{m} \\ \Delta H_{S2 \rightarrow A} &= 1.595 - 1.583 - 1.850 = -1.838 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_a &= (+6.910) + (-7.313) + (-1.838) \\ &= -2.241 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Signes des dénivelées : La plus grande source d'erreur dans ce calcul est une mauvaise gestion des signes. Il faut être très attentif en additionnant les dénivelées positives et négatives pour obtenir la somme algébrique correcte.

Le saviez-vous ?

Pour minimiser les erreurs, les topographes réalisent souvent un "cheminement aller-retour". Ils mesurent de A vers B, puis de B vers A. L'écart entre l'altitude de départ de A et l'altitude de A recalculée à la fin du retour donne une indication précise de la qualité du travail et permet de compenser les erreurs.

FAQ en rapport avec la question :
Cette erreur est-elle acceptable ?

Une erreur de plus de 2 mètres est énorme et inacceptable pour un travail de topographie. Elle indique une erreur grossière dans les mesures (par exemple, une mauvaise lecture de hauteur de canne). Dans un cas réel, le géomètre devrait refaire entièrement le cheminement. Pour cet exercice, nous allons tout de même le compenser à titre pédagogique.

Résultat : L'erreur de fermeture altimétrique est \(f_a = -2.241 \, \text{m}\).

Question 3 : Compensation par Dénivelée

Principe :
fa C1 C2 C3

La compensation consiste à répartir l'erreur de fermeture sur chaque dénivelée mesurée. La correction à appliquer à chaque tronçon est l'opposé de l'erreur de fermeture, répartie proportionnellement à la longueur du tronçon. Une méthode simple consiste à la répartir également entre chaque dénivelée, ce que nous ferons ici par souci de simplicité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La correction a toujours le signe opposé de l'erreur. Si on a "trop monté" au total (erreur positive), la correction doit faire "descendre" un peu chaque point (correction négative), et vice-versa. Le but est de ramener la somme totale des dénivelées à zéro.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C_i = - \frac{f_a}{n} \]

Où \(n\) est le nombre de dénivelées (ici, 3).

Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} C_i &= - \frac{-2.241}{3} \\ &= +0.747 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Méthode de répartition : La répartition égale est la plus simple mais pas la plus juste. Dans les cas réels, on préfère une répartition proportionnelle à la longueur des visées, car on estime que les visées plus longues contribuent plus à l'erreur totale.

Le saviez-vous ?

Les logiciels de calcul topographique modernes proposent plusieurs modèles de compensation (égale, proportionnelle aux longueurs, par moindres carrés) et permettent au géomètre de choisir le plus adapté à la nature de son travail.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi diviser par n ?

On divise par le nombre de dénivelées (ou de stations) car on fait l'hypothèse simple que chaque mesure de dénivelée a contribué de manière égale à l'erreur totale. C'est la méthode de compensation la plus basique.

Résultat : La compensation à ajouter à chaque dénivelée est de +0.747 m.

Question 4 : Altitudes Compensées

Principe :
A S1 S2

On recalcule les altitudes des points intermédiaires en partant de l'altitude connue de A et en utilisant les dénivelées compensées (dénivelée nette + compensation).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape finale qui fournit les résultats définitifs et cohérents du levé. Ces altitudes compensées sont celles qui seront inscrites sur les plans et utilisées pour les projets.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{comp.}} = \Delta H_{\text{nette}} + C_i \]
\[ Alt_{\text{comp.}} = Alt_{\text{précédente}} + \Delta H_{\text{comp.}} \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{comp.}(A \rightarrow S1)} &= +6.910 + 0.747 = +7.657 \, \text{m} \\ Alt_{\text{comp.}(S1)} &= 215.452 + 7.657 = 223.109 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{comp.}(S1 \rightarrow S2)} &= -7.313 + 0.747 = -6.566 \, \text{m} \\ Alt_{\text{comp.}(S2)} &= 223.109 - 6.566 = 216.543 \, \text{m} \end{aligned} \]

Vérification : On calcule le retour sur A :

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{comp.}(S2 \rightarrow A)} &= -1.838 + 0.747 = -1.091 \, \text{m} \\ Alt_{\text{calculée}(A)} &= 216.543 - 1.091 = 215.452 \, \text{m} \end{aligned} \]

L'altitude de A recalculée correspond bien à l'altitude de départ. Le cheminement est maintenant fermé et compensé.

Points de vigilance :

Arrondis : Il est préférable de garder toutes les décimales dans les calculs intermédiaires et de n'arrondir qu'à la toute fin pour les résultats finaux. Des arrondis successifs peuvent introduire une petite erreur supplémentaire.

Le saviez-vous ?

Le nivellement du tunnel sous la Manche a été un exploit de topographie. Les équipes françaises et britanniques ont démarré le creusement de chaque côté et ont cheminé sur plus de 20 km chacune. Lors de la jonction en 1990, l'écart entre les deux galeries n'était que de 35.8 cm horizontalement et 5.8 cm verticalement, une prouesse remarquable due à des cheminements extrêmement précis.

FAQ en rapport avec la question :
Et s'il y avait eu 10 stations intermédiaires ?

Le principe serait resté exactement le même. On aurait calculé 10 dénivelées, additionné les 10 pour trouver l'erreur de fermeture, divisé cette erreur par 10 pour trouver la compensation, puis appliqué cette compensation à chaque dénivelée avant de recalculer toutes les altitudes de proche en proche.

Résultat : Les altitudes compensées sont \(Alt_{S1} = 223.109 \, \text{m}\) et \(Alt_{S2} = 216.543 \, \text{m}\).

Simulation de l'Erreur de Fermeture

Introduisez une erreur de mesure sur la dernière hauteur de prisme (\(h_{pA}\)) pour voir son impact direct sur l'erreur de fermeture.

Paramètres de la dernière visée (S2 -> A)
ΔH (S2 -> A)
Erreur de Fermeture (fa)
Visualisation des Altitudes

Pour Aller Plus Loin : La Compensation Pondérée

Une répartition plus juste : La compensation simple (répartir l'erreur également) est facile à calculer mais n'est pas la plus rigoureuse. Une méthode plus juste est la compensation pondérée, où l'on répartit l'erreur proportionnellement à la longueur de chaque tronçon. On considère qu'une visée plus longue est susceptible de contenir une plus grande part de l'erreur totale. La correction pour un tronçon \(i\) devient alors \(C_i = -f_a \times \frac{L_i}{\sum L}\), où \(L_i\) est la longueur du tronçon et \(\sum L\) est la longueur totale du cheminement.

Le Saviez-Vous ?

Les grands réseaux de nivellement nationaux, comme le réseau NGF en France, sont calculés en utilisant une méthode de compensation globale par "moindres carrés". Cette technique complexe traite toutes les mesures du réseau simultanément et trouve la solution qui minimise statistiquement la somme des carrés des erreurs, offrant le résultat le plus probable et le plus cohérent possible.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la tolérance pour une erreur de fermeture ?

La tolérance dépend de la précision requise pour le chantier. Pour des travaux courants, une tolérance de \(20 \text{mm} \sqrt{K}\) est souvent admise, où K est la longueur totale du cheminement en kilomètres. Pour notre exercice (environ 0.36 km), la tolérance serait d'environ \(20 \times \sqrt{0.36} = 12 \, \text{mm}\). Notre erreur de 2.241 m est donc bien une erreur grossière !

Peut-on compenser une erreur grossière ?

Non, jamais. La compensation ne sert qu'à répartir les petites erreurs de mesure aléatoires. Si l'erreur de fermeture dépasse la tolérance, cela signifie qu'une faute a été commise (mauvaise lecture, erreur de saisie, etc.). La seule solution est de refaire les mesures pour trouver et corriger la faute.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une erreur de fermeture positive (\(f_a > 0\)) signifie que l'altitude calculée du point de départ à la fin du cheminement est :

2. Si l'erreur de fermeture est positive, la compensation à appliquer à chaque dénivelée sera :

Glossaire

Cheminement Fermé
Un cheminement qui part d'un point d'altitude connue et qui se termine sur ce même point, formant une boucle. Il permet de calculer une erreur de fermeture pour contrôler la qualité des mesures.
Erreur de Fermeture Altimétrique (\(f_a\))
Dans un cheminement fermé, c'est la différence entre l'altitude de départ connue et l'altitude recalculée pour ce même point à la fin du parcours. Idéalement, elle devrait être nulle.
Compensation
Processus de répartition de l'erreur de fermeture sur l'ensemble des mesures du cheminement afin de rendre les résultats cohérents et d'annuler l'erreur de fermeture.
Fermeture et compensation d'un cheminement altimétrique

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