Calcul de la pente d'une route en degrés
Contexte : L'Angle de la Route
Alors que le pourcentage est une mesure très parlante pour le grand public et les projets routiers, les ingénieurs et les scientifiques expriment souvent les pentes en degrésUnité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 360 parties. Utilisée universellement en mathématiques et dans de nombreux domaines techniques.. Cette mesure angulaire est plus fondamentale d'un point de vue mathématique et trigonométrique. La pente en degrés représente l'angle réel que forme la surface de la route avec un plan horizontal parfait. Le calcul de cet angle est indispensable pour des analyses dynamiques (forces s'exerçant sur un véhicule) ou pour des comparaisons avec d'autres systèmes de mesure d'angle (grades, radians).
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la conversion entre un rapport de distances (dénivelée / distance horizontale) et une mesure angulaire pure. C'est l'application directe de la fonction trigonométrique réciproque "arc tangente", un outil essentiel pour passer des côtés d'un triangle à ses angles.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la dénivelée entre deux points.
- Comprendre la relation entre la pente et la tangente de l'angle.
- Appliquer la fonction arc tangente (arctan) pour trouver un angle.
- Convertir un résultat de radians en degrés.
- Distinguer clairement la pente en pourcentage et la pente en degrés.
Données de l'étude
Schéma du profil de la route
- Altitude du point A : \(Alt_A = 82.43 \, \text{m}\)
- Altitude du point B : \(Alt_B = 87.18 \, \text{m}\)
- Distance horizontale entre A et B : \(D_h = 125.50 \, \text{m}\)
Questions à traiter
- Calculer la dénivelée (\(\Delta H\)) entre le point A et le point B.
- Calculer la pente de la route en degrés (\(p^\circ\)).
Correction : Calcul de la Pente d'une Route en Degrés
Question 1 : Dénivelée (\(\Delta H\)) entre A et B
Principe :
La dénivelée est la différence d'altitude entre deux points. Par convention, on la calcule en soustrayant l'altitude du point de départ (A) de celle du point d'arrivée (B). Le signe du résultat indique si la pente est montante (positif) ou descendante (négatif).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La dénivelée est le "gain" ou la "perte" d'altitude sur un parcours. C'est la composante purement verticale du déplacement. Elle est indépendante de la distance parcourue.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Altitude de A : \(Alt_A = 82.43 \, \text{m}\)
- Altitude de B : \(Alt_B = 87.18 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Ordre de la soustraction : Inverser les termes (\(Alt_A - Alt_B\)) donnerait le bon chiffre mais avec le signe opposé. Il est crucial de respecter la convention "point d'arrivée moins point de départ" pour interpréter correctement le sens de la pente.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Pente de la Route en Degrés (\(p^\circ\))
Principe :
La pente, vue comme un angle, est l'inclinaison de la route par rapport à l'horizontale. Dans le triangle rectangle formé par la dénivelée (\(\Delta H\)) et la distance horizontale (\(D_h\)), la tangente de cet angle est le rapport \(\Delta H / D_h\). Pour trouver l'angle lui-même, on utilise la fonction réciproque, l'arc tangente.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Les calculatrices et les langages de programmation renvoient le résultat de `arctan` en radians. Il est indispensable de convertir cette valeur en degrés (ou en grades si nécessaire) pour qu'elle soit facilement interprétable. La formule de conversion est : \(\text{degrés} = \text{radians} \times \frac{180}{\pi}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Dénivelée \(\Delta H = +4.75 \, \text{m}\)
- Distance horizontale \(D_h = 125.50 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Mode de la calculatrice : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "Degrés" (DEG) pour obtenir un résultat final en degrés. Si elle est en mode "Radians" (RAD) ou "Grades" (GRA), le résultat numérique affiché sera différent et incorrect dans ce contexte.
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive du Calcul de Pente
Faites varier les altitudes et la distance pour observer l'impact direct sur l'angle de la pente.
Paramètres du Profil
Visualisation du Profil
Pour Aller Plus Loin : Pente et Travaux Publics
Calculs de terrassement : Connaître la pente est la première étape. Pour construire une route, il faut ensuite calculer les volumes de "déblai" (terre à enlever) et de "remblai" (terre à ajouter) pour atteindre le profil de pente désiré. Ces calculs de cubatures sont basés sur des levés topographiques précis du terrain naturel et sont essentiels pour estimer le coût et la durée d'un chantier.
Le Saviez-Vous ?
Les Romains, grands constructeurs de routes, n'avaient pas d'outils trigonométriques. Ils utilisaient un "chorobate", une sorte de grande règle de 6 mètres de long avec un sillon rempli d'eau, pour vérifier l'horizontalité et déterminer des pentes très faibles. Leurs routes dépassaient rarement 8% de pente pour faciliter le déplacement des légions et des chariots.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre une pente de 2° et une pente de 2% ?
Elles sont différentes. Une pente de 2% signifie qu'on monte de 2m pour 100m à l'horizontale. L'angle correspondant est \(\arctan(2/100) \approx 1.15^\circ\). Une pente de 2° est donc presque deux fois plus forte qu'une pente de 2%.
Pourquoi utiliser les degrés plutôt que les pourcentages ?
Les degrés sont une unité d'angle fondamentale et universelle, nécessaire pour de nombreux calculs en physique et en ingénierie (par exemple, pour calculer les forces de friction sur un plan incliné). Les pourcentages sont une convention plus pratique et plus facile à visualiser pour les applications de génie civil comme les routes ou les canalisations.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Une pente de 0° correspond à un pourcentage de :
2. Si la dénivelée est négative, l'angle de la pente sera :
Glossaire
- Pente (en degrés)
- Angle, mesuré en degrés, que forme une surface (comme une route) avec un plan horizontal parfait. C'est l'arc tangente du rapport entre la dénivelée et la distance horizontale.
- Arc tangente (arctan)
- Fonction trigonométrique réciproque de la tangente. Si \(y = \tan(x)\), alors \(x = \arctan(y)\). Elle permet de trouver un angle à partir du rapport des côtés d'un triangle rectangle.
- Radian
- Unité de mesure d'angle du Système International. C'est l'unité par défaut pour les fonctions trigonométriques dans la plupart des langages de programmation. Un cercle complet mesure \(2\pi\) radians.
D’autres exercices de calculs altimétriques:
0 commentaires