Calcul de la pente d’une route en degrés
Contexte : L'étude de l'altimétriePartie de la topographie qui a pour objet la mesure des altitudes et la représentation du relief du sol. est fondamentale en génie civil pour la conception des infrastructures de transport.
Cet exercice a pour but de vous familiariser avec les calculs de base en topographie pour déterminer la pente d'un axe routier. À partir des coordonnées tridimensionnelles de deux points, nous allons calculer la distance horizontale, la dénivelée, et enfin la pente, exprimée en pourcentage et en degrés. Cette compétence est essentielle pour vérifier la conformité d'un projet routier par rapport aux normes de conception.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème 3D en ses composantes 2D (planimétrie et altimétrie) pour appliquer des formules trigonométriques simples mais fondamentales pour l'ingénieur.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser le calcul de la distance horizontale entre deux points à partir de leurs coordonnées.
- Savoir calculer la dénivelée (différence d'altitude).
- Convertir une pente (rapport dénivelée/distance) en pourcentage puis en degrés.
- Appliquer ces calculs pour valider la conformité d'un projet simple.
Données de l'étude
Fiche Technique du Projet
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de route | Route départementale |
| Vitesse de référence | 80 km/h |
| Pente maximale admissible | 4 % |
Représentation schématique du problème
| Point | Coordonnée X (m) | Coordonnée Y (m) | Altitude Z (m) |
|---|---|---|---|
| A | 100.00 | 200.00 | 125.50 |
| B | 250.00 | 280.00 | 133.50 |
Questions à traiter
- Calculer la distance horizontale (Dh) entre les points A et B.
- Calculer la dénivelée (ΔH) entre les points A et B.
- Exprimer la pente de la route en pourcentage (%).
- Calculer l'angle de la pente (α) en degrés.
Les bases des Calculs Altimétriques
Pour déterminer la pente entre deux points dans l'espace, il faut la décomposer en deux éléments fondamentaux : la distance horizontale qui les sépare et leur différence d'altitude.
1. Distance Horizontale (Dh)
C'est la distance entre deux points projetés sur un plan horizontal. Elle est calculée à l'aide du théorème de Pythagore à partir des différences de coordonnées X et Y.
\[ D_h = \sqrt{(X_{\text{B}} - X_{\text{A}})^2 + (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}})^2} \]
2. Pente (p) et Angle de pente (α)
La pente est le rapport entre la dénivelée (ΔH = ZB - ZA) et la distance horizontale (Dh). L'angle de cette pente est obtenu via la fonction trigonométrique Arc Tangente.
\[ p (\%) = \frac{\Delta H}{D_h} \times 100 \]
\[ \alpha (\text{rad}) = \arctan\left(\frac{\Delta H}{D_h}\right) \quad | \quad \alpha (^\circ) = \alpha (\text{rad}) \times \frac{180}{\pi} \]
Correction : Calcul de la pente d’une route en degrés
Question 1 : Calculer la distance horizontale (Dh) entre les points A et B.
Principe
Pour trouver la distance à plat entre A et B, nous ignorons les altitudes et nous nous concentrons uniquement sur les coordonnées planimétriques (X, Y). C'est comme regarder la carte d'en haut. On applique simplement le théorème de Pythagore.
Mini-Cours
En géométrie euclidienne, la distance entre deux points dans un plan cartésien est la longueur du segment qui les relie. Cette distance est calculée en utilisant les différences de leurs coordonnées sur chaque axe comme les deux côtés d'un triangle rectangle, et la distance elle-même comme l'hypoténuse.
Remarque Pédagogique
Visualisez un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit sont parallèles aux axes X et Y. La longueur de ces côtés correspond à la différence des coordonnées (ΔX et ΔY). La distance que nous cherchons est l'hypoténuse de ce triangle.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction spécifique, mais repose sur les principes fondamentaux de la géométrie et de la topographie, universellement reconnus.
Formule(s)
La distance euclidienne dans un plan 2D est la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées.
Hypothèses
Nous travaillons dans un repère orthonormé, ce qui signifie que les axes X et Y sont perpendiculaires et que l'échelle est la même dans toutes les directions.
Donnée(s)
Nous extrayons les coordonnées X et Y des points A et B de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées Point A | (XA, YA) | (100.00, 200.00) | m |
| Coordonnées Point B | (XB, YB) | (250.00, 280.00) | m |
Astuces
Pour éviter les erreurs de signe, sachez que le carré d'un nombre est toujours positif. Ainsi, \((X_A - X_B)^2\) donnera le même résultat que \((X_B - X_A)^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Projection des points sur le plan horizontal
Calcul(s)
Calcul de la différence en X (\(\Delta X\))
Calcul de la différence en Y (\(\Delta Y\))
Calcul de la distance horizontale (\(D_h\))
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la distance horizontale
Réflexions
La distance horizontale de 170m est la base sur laquelle nous allons calculer la pente. C'est la distance "à vol d'oiseau" si le terrain était plat.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de prendre la racine carrée à la fin du calcul, ou de mal calculer les carrés des nombres.
Points à retenir
La distance horizontale est l'hypoténuse du triangle formé par ΔX et ΔY. C'est une application directe du théorème de Pythagore.
Le saviez-vous ?
Les GPS fonctionnent sur un principe similaire, en calculant des distances à partir de signaux provenant de plusieurs satellites pour déterminer une position 3D avec une très grande précision.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la distance horizontale pour A(0,0) et B(30,40) ?
Question 2 : Calculer la dénivelée (ΔH) entre les points A et B.
Principe
La dénivelée représente simplement la différence verticale d'altitude entre le point d'arrivée (B) et le point de départ (A). C'est un calcul direct qui ne dépend que des coordonnées Z.
Mini-Cours
La dénivelée, notée ΔH, est une mesure fondamentale en nivellement. Le signe du résultat est important : un ΔH positif indique une montée, tandis qu'un ΔH négatif indique une descente dans le sens du parcours (de A vers B).
Remarque Pédagogique
Pensez à un ascenseur. Si vous partez de l'étage 2 (ZA) et arrivez à l'étage 5 (ZB), la dénivelée est 5 - 2 = 3 étages. C'est la même logique simple ici.
Normes
Comme pour la distance horizontale, ce calcul est une convention de base de la topographie et n'est pas régi par une norme de construction.
Formule(s)
La formule est une simple soustraction des altitudes.
Hypothèses
Nous supposons que les altitudes Z sont mesurées par rapport à un même niveau de référence (généralement le niveau moyen de la mer).
Donnée(s)
Nous extrayons les altitudes Z des points A et B.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Point A | ZA | 125.50 | m |
| Altitude Point B | ZB | 133.50 | m |
Astuces
Faites toujours attention à l'ordre de la soustraction : c'est toujours "point d'arrivée" moins "point de départ" pour avoir le bon signe indiquant le sens de la pente.
Schéma (Avant les calculs)
Profil en long schématique
Calcul(s)
Calcul de la dénivelée (\(\Delta H\))
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la dénivelée
Réflexions
Le résultat est positif (8.00 m), ce qui signifie que le point B est plus haut que le point A. La route est donc en montée de A vers B.
Points de vigilance
Vérifiez que les deux altitudes sont bien dans la même unité (ici, les mètres) avant de les soustraire.
Points à retenir
La dénivelée est la composante verticale du déplacement. Son signe indique si l'on monte (+) ou si l'on descend (-).
Le saviez-vous ?
Le Mont Blanc, plus haut sommet d'Europe occidentale, a une altitude qui varie légèrement chaque année en fonction de l'enneigement à son sommet. Sa mesure officielle est un enjeu pour les géomètres-experts français et italiens.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la dénivelée si ZA = 210.2m et ZB = 205.8m ?
Question 3 : Exprimer la pente de la route en pourcentage (%).
Principe
La pente est une mesure de l'inclinaison. Elle est définie par le rapport de la distance verticale (dénivelée) sur la distance horizontale. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie ce rapport par 100.
Mini-Cours
Le pourcentage de pente est une manière intuitive de représenter l'inclinaison. Une pente de 5% signifie que pour chaque 100 mètres parcourus à l'horizontale, on s'élève (ou on descend) de 5 mètres verticalement. C'est l'unité la plus couramment utilisée en conception routière.
Remarque Pédagogique
Rappelez-vous la définition d'un pourcentage : c'est une fraction sur 100. En calculant (ΔH / Dh) * 100, on exprime simplement combien de mètres de dénivelée on aurait pour 100 mètres de distance horizontale.
Normes
Les guides de conception routière (comme l'ARP en France) fixent des pentes maximales admissibles en fonction du type de route et de la vitesse de référence. Dans notre cas, la norme est de 4% maximum.
Formule(s)
La formule standard pour la pente en pourcentage est :
Hypothèses
Nous supposons que la pente est constante sur tout le tronçon, car il est défini comme rectiligne entre A et B.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dénivelée | ΔH | 8.00 | m |
| Distance Horizontale | Dh | 170.00 | m |
Astuces
Pour un calcul mental rapide, vous pouvez simplifier la fraction avant de multiplier. Ici, 8/170 est proche de 8/160, soit 1/20, ce qui fait 5%. Le résultat devrait donc être proche de 5%.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle de pente à calculer
Calcul(s)
Calcul de la pente en pourcentage
Schéma (Après les calculs)
Schéma avec pente en %
Réflexions
La pente calculée (4.71%) est supérieure à la pente maximale admissible de 4% fixée dans le cahier des charges du projet. Le tracé n'est donc pas conforme et devra être modifié, par exemple en allongeant la route pour réduire la pente.
Points de vigilance
N'oubliez pas de multiplier par 100 pour passer du rapport (0.047) au pourcentage (4.71%). Assurez-vous aussi que ΔH et Dh sont dans la même unité avant de faire la division.
Points à retenir
Une pente de 100% signifie que la dénivelée est égale à la distance horizontale (ce qui correspond à un angle de 45°). Une pente de 4.71% est une pente relativement faible, typique des routes.
Le saviez-vous ?
Certaines rues de San Francisco ont des pentes qui dépassent les 30% ! La Baldwin Street en Nouvelle-Zélande est même inscrite au Guinness des records avec une pente de 35% (environ 19°).
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la pente en % si ΔH = 10m et Dh = 250m ?
Question 4 : Calculer l'angle de la pente (α) en degrés.
Principe
Nous avons le rapport de pente (\(\Delta H / D_h\)), qui correspond à la tangente de l'angle de pente dans un triangle rectangle. Pour trouver l'angle lui-même, nous devons utiliser la fonction trigonométrique inverse : l'arc tangente (arctan).
Mini-Cours
Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) relient les angles d'un triangle rectangle aux rapports de longueurs de ses côtés. La fonction arc tangente (notée \(\arctan\)) est l'opération inverse : elle prend un rapport de longueurs (côté opposé / côté adjacent) et renvoie l'angle correspondant.
Remarque Pédagogique
Le rapport ΔH/Dh est la tangente de l'angle. Pour "isoler" l'angle, on applique la fonction "inverse" de la tangente, qui est l'arc tangente, de chaque côté de l'équation \(\tan(\alpha) = \Delta H / D_h\).
Normes
Les angles en topographie sont généralement exprimés en degrés sexagésimaux (° ' ") ou en grades (gon). La conversion entre radians (utilisés par les calculatrices) et degrés est une convention mathématique standard.
Formule(s)
L'angle est d'abord obtenu en radians, puis converti en degrés.
Hypothèses
Le calcul est basé sur un triangle rectangle parfait, ce qui est une modélisation du terrain.
Donnée(s)
On utilise les résultats des deux questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Dénivelée | ΔH | 8.00 | m |
| Distance Horizontale | Dh | 170.00 | m |
Astuces
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" si elle le permet, ou n'oubliez pas la conversion manuelle (multiplier par 180/π) si elle calcule en radians.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle de pente avec angle à calculer
Calcul(s)
Calcul de l'angle de la pente (\(\alpha\))
Schéma (Après les calculs)
Schéma avec angle de pente
Réflexions
Un angle de 2.70° peut paraître très faible, mais il correspond déjà à une pente significative de 4.71%, qui est même au-delà de la norme pour ce type de route. Cela montre que de petits angles peuvent avoir un impact important en génie civil.
Points de vigilance
Ne confondez pas la pente en pourcentage et la pente en degrés. Ce sont deux unités différentes qui ne sont pas directement proportionnelles. Une pente de 100% n'est pas 100°, mais 45°.
Points à retenir
La conversion d'un rapport de pente en angle se fait toujours avec la fonction arc tangente. C'est un outil essentiel en topographie et en mécanique.
Le saviez-vous ?
En aviation, les pentes des trajectoires de décollage ou d'atterrissage (appelées "pentes de montée" ou "plan de descente") sont toujours exprimées en degrés. Un plan de descente standard pour un avion de ligne est de 3°.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la pente en degrés si la dénivelée était de 15 mètres pour la même distance horizontale ?
Outil Interactif : Simulateur de Pente
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la dénivelée et la distance horizontale, et observez en temps réel l'impact sur la pente en pourcentage et en degrés.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente la "dénivelée" (ΔH) en topographie ?
2. Une pente de 100% correspond à un angle de :
3. Si la dénivelée ΔH est négative, cela signifie que :
4. Quelle fonction mathématique est utilisée pour convertir un rapport de pente en un angle ?
5. La distance horizontale est calculée à partir des coordonnées :
Glossaire
- Altimétrie
- Partie de la topographie qui étudie et mesure les altitudes pour représenter le relief.
- Dénivelée (ΔH)
- Différence d'altitude (coordonnée Z) entre deux points.
- Distance Horizontale (Dh)
- Distance entre les projections de deux points sur un plan horizontal.
- Pente
- Rapport de la dénivelée sur la distance horizontale, indiquant l'inclinaison d'un terrain ou d'une route.
- Topographie
- Science de la description et de la représentation détaillée de la surface terrestre.
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