Étude Topographique

Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

Contexte : Les Calculs Altimétriques en TopographieEnsemble des opérations permettant de déterminer les altitudes de points afin de représenter le relief du terrain..

Le nivellement trigonométrique est une méthode fondamentale et couramment utilisée par les géomètres-topographes pour déterminer la différence d'altitude entre deux points. En s'appuyant sur des mesures d'angles et de distances, cette technique permet, à l'aide d'une station totale, de calculer avec précision l'altitude d'un point inaccessible ou éloigné depuis un point de station connu. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour déterminer l'altitude d'un point B à partir des mesures effectuées depuis une station A.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à maîtriser la chaîne de calcul complète du nivellement trigonométrique, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur en topographie.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe du nivellement indirect trigonométrique.
  • Maîtriser la formule de calcul de la dénivelée en utilisant l'angle vertical.
  • Savoir corriger la dénivelée en fonction de la hauteur de l'instrument et du prisme.
  • Calculer l'altitude finale d'un point visé à partir d'une station d'altitude connue.

Données de l'étude

Un géomètre se trouve à la station A, d'altitude connue. Il vise avec sa station totale un prisme situé sur le point B dont il souhaite déterminer l'altitude.

Fiche Technique de la Mission
Caractéristique Valeur
Projet Levé topographique d'un terrain
Matériel utilisé Station Totale Leica TS16
Opérateur GéoTop S.A.
Schéma de la situation
Niveau de A Axe des tourillons Station A Z_A = 152.450 m Point B Z_B = ? D_h = 85.620 m h_i = 1.650 h_p = 2.000 α ΔH'
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Altitude de la station A \(Z_{\text{A}}\) 152.450 m
Hauteur de l'instrument (tourillons) \(h_{\text{i}}\) 1.650 m
Hauteur du prisme \(h_{\text{p}}\) 2.000 m
Distance horizontale A vers B \(D_{\text{h}}\) 85.620 m
Angle vertical \(\alpha\) +3.2500 gon

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée instrumentale (\(\Delta H'\)) entre l'axe des tourillons de la station et le prisme.
  2. Corriger cette dénivelée pour obtenir la dénivelée réelle (\(\Delta H\)) entre les points A et B au sol.
  3. En déduire l'altitude du point B (\(Z_{\text{B}}\)).
  4. Calculer la distance inclinée (\(D_{\text{i}}\)) entre le centre optique de l'instrument et le centre du prisme.
  5. Si l'on souhaitait que le point B ait une altitude exacte de 157.000 m, quelle aurait dû être la hauteur du prisme (\(h_{\text{p}}\)), toutes les autres mesures restant identiques ?

Les bases sur le Nivellement Trigonométrique

Le principe repose sur la résolution d'un triangle rectangle formé par la station, le prisme, la distance horizontale et la dénivelée instrumentale. En mesurant l'angle vertical et la distance, on peut déduire par trigonométrie la différence de hauteur.

1. Calcul de la dénivelée instrumentale (\(\Delta H'\))
C'est la différence de hauteur entre l'axe horizontal de la lunette (axe des tourillons) et le centre du prisme. Elle se calcule avec la tangente de l'angle vertical. \[ \Delta H' = D_{\text{h}} \times \tan(\alpha) \]

2. Calcul de la dénivelée au sol (\(\Delta H\))
Pour obtenir la dénivelée entre les points au sol, on doit corriger \(\Delta H'\) en ajoutant la hauteur de l'instrument (\(h_{\text{i}}\)) et en soustrayant la hauteur du prisme (\(h_{\text{p}}\)). \[ \Delta H = \Delta H' + h_{\text{i}} - h_{\text{p}} \]

Correction : Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

Question 1 : Calculer la dénivelée instrumentale (\(\Delta H'\))

Principe

La première étape consiste à calculer la composante verticale de la visée. En utilisant la distance horizontale comme côté adjacent et l'angle vertical, on peut déterminer le côté opposé de notre triangle rectangle, qui correspond à la dénivelée instrumentale \(\Delta H'\).

Mini-Cours

En trigonométrie, dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur du côté adjacent. Dans notre cas, la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) est le côté adjacent, l'angle vertical (\(\alpha\)) est l'angle à la station, et la dénivelée instrumentale (\(\Delta H'\)) est le côté opposé. C'est l'application directe de la fonction SOHCAHTOA (spécifiquement TOA : Tangente = Opposé / Adjacent).

Remarque Pédagogique

Pensez toujours à visualiser ce triangle rectangle mentalement ou sur un croquis. Cela permet de ne pas se tromper de formule. L'angle \(\alpha\) étant mesuré depuis l'horizontale, la dénivelée \(\Delta H'\) est bien la composante purement verticale, ce qui simplifie le calcul.

Normes

Les calculs topographiques en France sont rattachés au système de projection RGF93 et au système de nivellement NGF-IGN69. Bien que cet exercice soit un cas d'école, les mesures sur le terrain doivent respecter des tolérances définies par des cahiers des charges ou des normes professionnelles pour garantir la précision requise.

Formule(s)

Formule de la dénivelée instrumentale

\[ \Delta H' = D_{\text{h}} \times \tan(\alpha) \]
Hypothèses

Pour ce calcul simple, nous posons les hypothèses suivantes :

  • La Terre est considérée comme plate sur la courte distance de la visée (on néglige la sphéricité).
  • La réfraction atmosphérique (la courbure des rayons lumineux) est négligée. Pour des visées plus longues, il faudrait appliquer une correction.
Donnée(s)

Nous avons besoin de la distance horizontale et de l'angle vertical mesurés sur le terrain.

ParamètreSymboleValeurUnité
Distance horizontale\(D_{\text{h}}\)85.620m
Angle vertical\(\alpha\)+3.2500gon
Astuces

Pour convertir rapidement des grades en degrés de tête, multipliez par 0.9. Exemple : \(3.25 \times 0.9 = 2.925\). C'est plus rapide que de poser la fraction complète.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons le triangle rectangle formé par la visée de l'instrument.

Triangle de la visée instrumentale
Axe TourillonsD_h = 85.620 mΔH' = ?α
Calcul(s)

Conversion de l'angle vertical (gon vers degrés)

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{deg}} &= 3.2500 \text{ gon} \times \frac{360^\circ}{400 \text{ gon}} \\ &= 2.925^\circ \end{aligned} \]

Calcul de la dénivelée instrumentale

\[ \begin{aligned} \Delta H' &= 85.620 \text{ m} \times \tan(2.925^\circ) \\ &= 85.620 \text{ m} \times 0.05111 \\ &= 4.376 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma suivant illustre le triangle de la visée avec le résultat du calcul.

Triangle de la visée avec résultat
Axe TourillonsD_h = 85.620 mΔH' = 4.376 mα
Réflexions

Une dénivelée de 4.376 m sur une distance de 85.620 m représente une pente d'environ 5.1%. C'est une pente douce mais significative, cohérente avec une visée ascendante sur un terrain en légère montée.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de ne pas convertir l'angle vertical dans la bonne unité avant d'appliquer la fonction tangente. Les calculatrices et les logiciels attendent généralement des degrés ou des radians. Ici, l'angle est en grades (gon).

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : La dénivelée instrumentale est le côté opposé d'un triangle rectangle dont la distance horizontale est le côté adjacent.
  • Formule Essentielle : \(\Delta H' = D_{\text{h}} \times \tan(\alpha)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier l'unité de l'angle (\(\alpha\)) avant d'utiliser la fonction \(\tan()\).
Le saviez-vous ?

Les premières mesures de nivellement trigonométrique datent du 17ème siècle, notamment avec les travaux de l'abbé Jean Picard pour la mesure d'un arc de méridien terrestre. Les instruments étaient alors des quarts de cercle et des alidades, bien loin de nos stations totales modernes !

FAQ

Voici les questions fréquentes pour cette étape.

Pourquoi utilise-t-on la distance horizontale et non la distance inclinée ?

Parce que l'altitude est une dimension purement verticale. L'utilisation de la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) et de l'angle vertical (\(\alpha\)) permet d'isoler directement cette composante verticale (\(\Delta H'\)). Si on utilisait la distance inclinée (\(D_{\text{i}}\)), il faudrait utiliser la fonction sinus : \(\Delta H' = D_{\text{i}} \times \sin(\alpha)\).

Qu'est-ce qu'un "gon" ou "grade" ?

Le grade, ou gradian, est une unité de mesure d'angle où un tour complet est divisé en 400 grades (au lieu de 360 degrés). Un angle droit mesure 100 gon. Cette unité est très utilisée en topographie car elle simplifie les calculs mentaux et les divisions décimales.

Résultat Final
La dénivelée instrumentale entre l'axe des tourillons et le prisme est de 4.376 m.
A vous de jouer

Si la distance horizontale était de 100.000 m avec le même angle de +3.2500 gon, quelle serait la dénivelée instrumentale ?

Question 2 : Calculer la dénivelée réelle (\(\Delta H\))

Principe

La dénivelée calculée précédemment est "aérienne", d'un instrument vers un prisme. Pour obtenir la dénivelée réelle entre les deux points au sol, il faut "descendre" de l'instrument au point A (en ajoutant \(h_{\text{i}}\)) et "remonter" du prisme au point B (en soustrayant \(h_{\text{p}}\)).

Mini-Cours

Le calcul de l'altitude d'un point B (\(Z_{\text{B}}\)) à partir d'un point A (\(Z_{\text{A}}\)) se fait par la relation \(Z_{\text{B}} = Z_{\text{A}} + \Delta H_{\text{AB}}\). La dénivelée \(\Delta H_{\text{AB}}\) est la différence d'altitude entre les repères au sol. Notre calcul intermédiaire \(\Delta H'\) est la différence d'altitude entre l'axe de l'instrument et le centre du prisme. La correction par \(h_{\text{i}}\) et \(h_{\text{p}}\) permet de passer de cette mesure "instrumentale" à la mesure "terrain".

Remarque Pédagogique

Imaginez un chemin : vous partez de l'altitude \(Z_{\text{A}}\), vous montez jusqu'à l'instrument (+\(h_{\text{i}}\)), vous suivez la visée (+\(\Delta H'\)), puis vous descendez du prisme jusqu'au point B (-\(h_{\text{p}}\)). La formule \(\Delta H = \Delta H' + h_{\text{i}} - h_{\text{p}}\) retranscrit exactement ce cheminement vertical.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour cette formule de correction, car elle découle de la géométrie pure. Cependant, les normes de bonne pratique en topographie imposent une mesure précise des hauteurs \(h_{\text{i}}\) et \(h_{\text{p}}\) au millimètre près, car toute erreur sur ces hauteurs se répercute directement sur le calcul de l'altitude finale.

Formule(s)

Formule de correction de la dénivelée

\[ \Delta H = \Delta H' + h_{\text{i}} - h_{\text{p}} \]
Hypothèses

L'hypothèse principale ici est que la canne du prisme est parfaitement verticale (calée avec une nivelle sphérique) et que la station totale est parfaitement mise en station (son axe vertical passe par le point A au sol). Toute erreur de verticalité fausse le résultat.

Donnée(s)

On reprend le résultat précédent et on utilise les hauteurs de l'instrument et du prisme.

ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelée instrumentale\(\Delta H'\)4.376m
Hauteur instrument\(h_{\text{i}}\)1.650m
Hauteur prisme\(h_{\text{p}}\)2.000m
Astuces

Pour éviter les erreurs, on peut calculer le terme de correction (\(h_{\text{i}} - h_{\text{p}}\)) séparément. Dans notre cas, \(1.650 - 2.000 = -0.350\) m. Il suffit ensuite d'ajouter cette valeur à \(\Delta H'\). Cela montre que la différence de hauteur des cannes va réduire la dénivelée de 35 cm.

Schéma (Avant les calculs)

Reprenons le schéma général de la situation pour visualiser toutes les hauteurs.

Visualisation des hauteurs
Niveau de AAxe des tourillonsStation AZ_A = 152.450 mPoint BZ_B = ?D_h = 85.620 mh_i = 1.650h_p = 2.000αΔH' = 4.376
Calcul(s)

Calcul de la dénivelée réelle au sol

\[ \begin{aligned} \Delta H &= 4.376 \text{ m} + 1.650 \text{ m} - 2.000 \text{ m} \\ &= 4.026 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est la dénivelée finale entre A et B. On peut la représenter sur un profil simplifié.

Profil en long simplifié avec résultat
Datum Z=150.000Point AZ_A=152.450Point BZ_B=156.476ΔH = +4.026 m
Réflexions

Le résultat de 4.026 m confirme que le point B est bien plus haut que le point A. La correction de -0.350 m due aux hauteurs \(h_{\text{i}}\) et \(h_{\text{p}}\) est significative et ne doit jamais être oubliée. Une erreur d'un centimètre sur la mesure de \(h_{\text{i}}\) ou \(h_{\text{p}}\) entraîne une erreur d'un centimètre sur l'altitude finale.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser l'addition et la soustraction. On ajoute toujours la hauteur de l'instrument de départ (\(h_{\text{i}}\)) et on soustrait toujours la hauteur de la cible visée (\(h_{\text{p}}\)).

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : On passe de la dénivelée instrumentale à la dénivelée terrain en ajoutant la hauteur de départ et en retirant la hauteur d'arrivée.
  • Formule Essentielle : \(\Delta H = \Delta H' + h_{\text{i}} - h_{\text{p}}\).
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas inverser les signes de \(h_{\text{i}}\) (toujours positif) et \(h_{\text{p}}\) (toujours négatif).
Le saviez-vous ?

Certaines stations totales modernes peuvent mesurer la hauteur de l'instrument automatiquement grâce à un plomb laser. Cela réduit les risques d'erreur de mesure manuelle au ruban, qui est une source fréquente d'imprécisions en topographie.

FAQ

Voici les questions fréquentes pour cette étape.

Et si je vise directement le point au sol sans prisme ?

C'est possible avec des stations totales "sans réflecteur". Dans ce cas, \(h_{\text{p}}\) serait égal à 0, et la formule deviendrait \(\Delta H = \Delta H' + h_{\text{i}}\). C'est souvent moins précis car le laser peut se réfléchir sur un obstacle non désiré (feuille, caillou) à proximité du point visé.

Pourquoi la hauteur du prisme est-elle souvent fixe (ex: 2.000 m) ?

Utiliser une hauteur de canne standard et fixe permet de limiter les erreurs de saisie sur le carnet de terrain ou dans l'appareil. Beaucoup de topographes travaillent avec une hauteur constante tout au long d'une journée de levé pour simplifier et fiabiliser les traitements.

Résultat Final
La dénivelée réelle entre les points A et B est de 4.026 m.
A vous de jouer

Avec \(\Delta H' = 4.376\) m, si le prisme avait une hauteur de 1.500 m au lieu de 2.000 m, quelle serait la nouvelle dénivelée réelle \(\Delta H\) ?

Question 3 : Calculer l'altitude du point B (\(Z_{\text{B}}\))

Principe

L'altitude d'un point est sa hauteur par rapport à un niveau de référence (souvent le niveau de la mer). Connaissant l'altitude du point de départ A et la dénivelée (\(\Delta H\)) pour aller jusqu'au point B, on peut simplement les additionner pour trouver l'altitude de B.

Mini-Cours

Le système altimétrique est basé sur un point de référence fondamental (le niveau zéro). Chaque point du territoire a une altitude Z par rapport à ce zéro. Le nivellement consiste à "transporter" cette référence d'un point connu (A) vers un point inconnu (B) en mesurant le "saut" vertical entre les deux, qui est la dénivelée \(\Delta H\). La relation \(Z_{\text{B}} = Z_{\text{A}} + \Delta H\) est la formule de base de tout le nivellement.

Remarque Pédagogique

Soyez méthodique. Écrivez toujours la formule littérale avant l'application numérique. Vérifiez que toutes vos données sont dans la même unité (ici, les mètres) et que le signe de la dénivelée est correct. Une erreur de signe est vite arrivée et peut conduire à des résultats aberrants.

Normes

L'altitude calculée est rattachée au système de référence de l'altitude du point de départ A. En France, le système officiel est le NGF-IGN69 (Nivellement Général de la France), dont le point fondamental (zéro) est le marégraphe de Marseille.

Formule(s)

Formule de l'altitude d'un point

\[ Z_{\text{B}} = Z_{\text{A}} + \Delta H \]
Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que l'altitude du point de départ A est exacte et exempte d'erreur. Dans un vrai projet, l'incertitude sur le point de départ se propage au point d'arrivée. Le but d'un cheminement est de contrôler et de compenser ces accumulations d'erreurs.

Donnée(s)

On utilise l'altitude connue de la station A et la dénivelée réelle calculée à l'étape précédente.

ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude de la station A\(Z_{\text{A}}\)152.450m
Dénivelée réelle A vers B\(\Delta H\)4.026m
Astuces

Le signe de la dénivelée est crucial. Une dénivelée positive signifie qu'on monte, donc l'altitude d'arrivée sera plus grande. Une dénivelée négative signifie qu'on descend.

Schéma (Avant les calculs)

On peut représenter les altitudes sur un axe vertical pour mieux comprendre l'addition.

Axe des altitudes
Z (Altitude)Niveau Zéro (NGF)Z_A = 152.450Z_B = ?+ ΔH = 4.026
Calcul(s)

Calcul de l'altitude finale du point B

\[ \begin{aligned} Z_{\text{B}} &= 152.450 \text{ m} + 4.026 \text{ m} \\ &= 156.476 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma final représente l'axe des altitudes avec le résultat calculé.

Axe des altitudes avec résultat
Z (Altitude)Niveau Zéro (NGF)Z_A = 152.450Z_B = 156.476+ ΔH = 4.026
Réflexions

Le point B est situé à 4.026 mètres plus haut que le point A. L'altitude finale de 156.476 m est cohérente avec les données de départ et une visée ascendante.

Points de vigilance

Assurez-vous de la cohérence des unités et du nombre de décimales. En topographie, on travaille généralement avec 3 décimales (le millimètre) pour les altitudes.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : L'altitude du point d'arrivée est la somme de l'altitude de départ et de la dénivelée.
  • Formule Essentielle : \(Z_{\text{arrivée}} = Z_{\text{départ}} + \Delta H\).
  • Point de Vigilance Majeur : Bien vérifier le signe de la dénivelée (+ si on monte, - si on descend).
Le saviez-vous ?

Avec le développement des techniques GNSS (GPS, Galileo...), on peut obtenir l'altitude d'un point directement. Cependant, cette altitude (dite "ellipsoïdale") est géométrique et ne correspond pas à l'altitude "physique" liée au champ de pesanteur (géoïde). La conversion entre les deux nécessite des modèles complexes comme la grille de conversion RAF20 en France.

FAQ

Voici les questions fréquentes pour cette étape.

Quelle est la précision de ce type de nivellement ?

Pour des visées courtes (moins de 100-150 m) et avec un matériel moderne bien réglé, on peut atteindre une précision de quelques millimètres. Pour des visées plus longues, les incertitudes (sphéricité, réfraction, pointé) augmentent et la précision diminue. Le nivellement direct (avec un niveau) reste plus précis sur de courtes distances.

Peut-on faire le calcul inverse ?

Oui, absolument. Si l'on connaît \(Z_{\text{A}}\) et \(Z_{\text{B}}\), on peut en déduire la dénivelée \(\Delta H = Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}\). C'est très utile pour vérifier la cohérence d'un levé ou pour implanter un point à une altitude precise (piquetage).

Résultat Final
L'altitude du point B est de 156.476 m.
A vous de jouer

Et si l'angle vertical mesuré avait été de -2.1500 gon, quelle aurait été l'altitude du point B ?

Question 4 : Calculer la distance inclinée (\(D_{\text{i}}\))

Principe

La distance inclinée (\(D_{\text{i}}\)) est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) et la dénivelée instrumentale (\(\Delta H'\)). En utilisant la relation du cosinus, on peut la calculer à partir de la distance horizontale et de l'angle vertical.

Mini-Cours

La relation trigonométrique fondamentale utilisée ici est \(\cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\). Dans notre triangle de visée, le côté adjacent est la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) et l'hypoténuse est la distance inclinée (\(D_{\text{i}}\)). En réarrangeant cette formule, on obtient l'expression pour calculer \(D_{\text{i}}\).

Remarque Pédagogique

La distance inclinée est la distance que mesure réellement l'instrument (par télémétrie laser). Les stations totales modernes calculent ensuite automatiquement la distance horizontale et la dénivelée à partir de cette mesure directe et de l'angle vertical. Comprendre ce calcul est donc essentiel pour saisir le fonctionnement interne de l'appareil.

Normes

La précision de la mesure de distance par un instrument (EDM - Electronic Distance Measurement) est définie par les normes constructeur, souvent sous la forme "X mm + Y ppm" (par exemple 2 mm + 2 ppm), où ppm signifie "partie par million", une erreur qui augmente avec la distance.

Formule(s)

Formule de la distance inclinée

\[ D_{\text{i}} = \frac{D_{\text{h}}}{\cos(\alpha)} \]

Alternative (Théorème de Pythagore)

\[ D_{\text{i}} = \sqrt{D_{\text{h}}^2 + (\Delta H')^2} \]
Hypothèses

Nous utilisons les valeurs calculées précédemment en faisant l'hypothèse qu'elles sont exactes. L'angle et les distances sont considérés comme parfaits, sans erreur de mesure.

Donnée(s)

Nous avons besoin de la distance horizontale et de l'angle vertical (ou de la dénivelée instrumentale \(\Delta H'\)).

ParamètreSymboleValeurUnité
Distance horizontale\(D_{\text{h}}\)85.620m
Angle vertical\(\alpha\)+3.2500gon
Astuces

Pour un angle très faible, la distance inclinée sera très proche de la distance horizontale. C'est un bon moyen de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de son résultat. Si l'écart est important pour un petit angle, il y a probablement une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma est le même que pour la question 1, mais l'inconnue est cette fois l'hypoténuse.

Triangle de la visée - Calcul de l'hypoténuse
D_h = 85.620 mΔH' = 4.376 mD_i = ?α
Calcul(s)

Conversion de l'angle (si non déjà fait)

\[ \alpha_{\text{deg}} = 2.925^\circ \]

Calcul de la distance inclinée

\[ \begin{aligned} D_{\text{i}} &= \frac{85.620 \text{ m}}{\cos(2.925^\circ)} \\ &= \frac{85.620 \text{ m}}{0.99869} \\ &= 85.733 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le triangle est maintenant complet avec toutes ses dimensions.

Triangle de la visée complet
D_h = 85.620 mΔH' = 4.376 mD_i = 85.733 mα
Réflexions

La distance inclinée (85.733 m) est seulement 11.3 cm plus longue que la distance horizontale (85.620 m). Cela est cohérent avec le faible angle de la visée. Cette différence deviendrait rapidement plus importante pour des pentes plus fortes.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser le sinus ou la tangente au lieu du cosinus. Rappelez-vous toujours de la formule SOH-CAH-TOA pour choisir la bonne fonction trigonométrique en fonction des données connues et de l'inconnue.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : La distance horizontale est le côté adjacent à l'angle \(\alpha\), et la distance inclinée est l'hypoténuse.
  • Formule Essentielle : \(D_{\text{i}} = D_{\text{h}} / \cos(\alpha)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas confondre cosinus, sinus et tangente.
Le saviez-vous ?

La technologie de mesure de distance des stations totales (l'EDM) fonctionne en envoyant un faisceau laser (ou infrarouge) qui se réfléchit sur le prisme et revient. L'instrument mesure le temps de parcours ou le déphasage de l'onde pour en déduire la distance avec une précision millimétrique, et ce, en quelques secondes seulement.

FAQ

Voici les questions fréquentes pour cette étape.

Puis-je vérifier mon calcul avec Pythagore ?

Oui, c'est une excellente méthode de vérification. \(\sqrt{D_{\text{h}}^2 + (\Delta H')^2} = \sqrt{85.620^2 + 4.376^2} = \sqrt{7330.7844 + 19.149376} = \sqrt{7349.933776} \approx 85.732\) m. Le résultat est cohérent (la petite différence vient des arrondis).

Résultat Final
La distance inclinée entre le centre de l'instrument et le prisme est de 85.733 m.
A vous de jouer

Si la distance horizontale est de 120.000 m et la dénivelée instrumentale de 5.000 m, quelle serait la distance inclinée ? (Utilisez Pythagore)

Question 5 : Calculer la hauteur de prisme pour une altitude cible

Principe

Il s'agit d'un calcul inverse. L'objectif est de trouver la hauteur de prisme \(h_{\text{p}}\) qui permet d'atteindre une altitude précise pour le point B. On part de la formule complète de l'altitude de B et on isole l'inconnue, qui est \(h_{\text{p}}\).

Mini-Cours

La formule complète liant toutes les variables est : \(Z_{\text{B}} = Z_{\text{A}} + (D_{\text{h}} \times \tan(\alpha)) + h_{\text{i}} - h_{\text{p}}\). Pour trouver \(h_{\text{p}}\), il suffit de réarranger cette équation algébriquement. Cela revient à dire que la hauteur du prisme doit compenser l'écart entre l'altitude visée et l'altitude qui serait obtenue avec un prisme de hauteur nulle.

Remarque Pédagogique

Ce type de calcul est au cœur du métier de topographe lors des phases d'implantation (piquetage). L'opérateur doit indiquer au porte-prisme de monter ou descendre sa canne pour que le point au sol soit exactement à la bonne altitude ("au décapage" ou "au remblai").

Normes

Les tolérances d'implantation altimétrique sont définies dans les CCTP (Cahier des Clauses Techniques Particulières) des projets de construction. Elles sont souvent de l'ordre du centimètre pour des terrassements et peuvent être plus strictes pour le réglage de structures.

Formule(s)

Formule de la hauteur de prisme

\[ h_{\text{p}} = Z_{\text{A}} + \Delta H' + h_{\text{i}} - Z_{\text{B (cible)}} \]
Hypothèses

On suppose que toutes les mesures initiales (distances, angles, \(Z_A\), \(h_i\)) sont fixes et exactes. La seule variable que l'on ajuste est la hauteur du prisme.

Donnée(s)

On utilise les données initiales et l'altitude cible pour le point B.

ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude de la station A\(Z_{\text{A}}\)152.450m
Dénivelée instrumentale\(\Delta H'\)4.376m
Hauteur instrument\(h_{\text{i}}\)1.650m
Altitude CIBLE pour B\(Z_{\text{B (cible)}}\)157.000m
Astuces

Calculez d'abord la somme de toutes les "hauteurs" positives : \(Z_{\text{A}} + \Delta H' + h_{\text{i}}\). Cela correspond à l'altitude de la ligne de visée au-dessus du point B. Il suffit ensuite de soustraire l'altitude cible du terrain (\(Z_{\text{B}}\)) pour obtenir la hauteur de prisme nécessaire.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre la situation où l'altitude de B est fixée, et la hauteur de la canne du prisme devient l'inconnue à déterminer.

Implantation altimétrique - \(h_p\) inconnue
Station AZ_A = 152.450Point BZ_B = 157.000 (cible)h_p = ?
Calcul(s)

Calcul de la hauteur de prisme requise

\[ \begin{aligned} h_{\text{p}} &= 152.450 \text{ m} + 4.376 \text{ m} + 1.650 \text{ m} - 157.000 \text{ m} \\ &= 158.476 \text{ m} - 157.000 \text{ m} \\ &= 1.476 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma final montre la solution : le porte-canne doit régler sa canne à 1.476 m.

Implantation altimétrique - Solution
Station AZ_A = 152.450Point BZ_B = 157.000h_p = 1.476 m
Réflexions

Pour que le point B soit à une altitude de 157.000 m (soit 52.4 cm plus haut que l'altitude calculée initialement), il a fallu baisser le prisme de 52.4 cm (passant de 2.000 m à 1.476 m). C'est logique : en baissant la cible, on "remonte" le point au sol correspondant.

Points de vigilance

La principale source d'erreur dans ce calcul inverse est une inversion de signe lors du réarrangement de la formule. Prenez le temps de poser l'équation et de l'isoler proprement pour éviter de vous tromper.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Le calcul topographique peut être inversé pour déterminer un paramètre de mesure (comme \(h_p\)) en fonction d'un résultat souhaité (comme \(Z_B\)).
  • Formule Essentielle : \(h_{\text{p}} = (Z_{\text{A}} + h_{\text{i}} + \Delta H') - Z_{\text{B (cible)}}\).
Le saviez-vous ?

Les cannes à prisme modernes sont télescopiques et graduées au millimètre près, souvent avec un système de blocage à vis ou à clip pour fixer la hauteur. La précision de ce réglage est tout aussi cruciale que la précision de l'instrument lui-même.

FAQ

Voici les questions fréquentes pour cette étape.

Que faire si la hauteur de prisme calculée est impossible à atteindre (ex: négative ou trop grande) ?

Cela signifie que le point visé est hors de portée avec la configuration actuelle. L'opérateur devrait alors soit changer la hauteur de l'instrument (\(h_i\)), soit, si possible, déplacer la station A vers un endroit plus approprié pour atteindre la cible.

Résultat Final
Pour atteindre une altitude de 157.000 m au point B, la hauteur du prisme aurait dû être de 1.476 m.
A vous de jouer

Si l'on voulait atteindre une altitude de 156.000 m au point B, quelle aurait été la hauteur de prisme nécessaire ?

Outil Interactif : Simulateur de Nivellement

Utilisez les curseurs pour faire varier la distance horizontale et l'angle vertical. Observez en temps réel l'impact sur la dénivelée et l'altitude finale du point B. Les hauteurs \(h_{\text{i}}\) (1.650 m) et \(h_{\text{p}}\) (2.000 m) ainsi que l'altitude de départ \(Z_{\text{A}}\) (152.450 m) sont fixes.

Paramètres d'Entrée
85.6 m
3.25 gon
Résultats Clés
Dénivelée (\(\Delta H\)) -
Altitude Point B (\(Z_{\text{B}}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la formule correcte pour calculer la dénivelée réelle \(\Delta H\) ?

2. Si un topographe mesure une hauteur d'instrument (\(h_{\text{i}}\)) plus grande que la réalité, l'altitude calculée du point B sera...

3. Un angle vertical \(\alpha\) négatif signifie que :

4. À quoi correspond la hauteur du prisme (\(h_{\text{p}}\)) ?

5. Pour atteindre une altitude cible PLUS ÉLEVÉE, que doit faire le porte-prisme avec sa canne ?

Nivellement Trigonométrique
Méthode de détermination de la dénivelée entre deux points par la mesure d'un angle vertical et d'une distance. Aussi appelé nivellement indirect.
Dénivelée (\(\Delta H\))
Différence d'altitude entre deux points.
Altitude (Z)
Hauteur verticale d'un point par rapport à une surface de référence (généralement le niveau moyen des mers).
Angle vertical (\(\alpha\))
Angle mesuré dans un plan vertical entre l'horizon et la ligne de visée. Il est positif en site (vers le haut) et négatif en gisement (vers le bas).
Hauteur des tourillons (\(h_{\text{i}}\))
Hauteur de l'axe de rotation horizontal de la lunette d'une station totale par rapport au point de station au sol.
Nivellement trigonométrique avec hauteur de prisme

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