Calcul de hauteur avec station inaccessible
Contexte : Le calcul altimétriqueEnsemble des opérations visant à déterminer les altitudes de points. par rayonnement.
Un géomètre-topographe est chargé de déterminer l'altitude précise du sommet d'un clocher d'église. Cependant, une rivière empêche tout accès direct à la base du bâtiment. Pour surmonter cet obstacle, il met en œuvre une méthode de calcul par double station, une technique fondamentale lorsque le point à mesurer est inaccessible.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une application concrète de la trigonométrie pour résoudre des problèmes topographiques courants. Il vous apprendra à combiner des mesures d'angles horizontaux et verticaux pour déterminer des coordonnées tridimensionnelles à distance.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer le principe du calcul de point par intersection et rayonnement.
- Maîtriser l'utilisation de la loi des sinus dans un triangle quelconque.
- Calculer une dénivelée à partir d'un angle vertical et d'une distance horizontale.
- Intégrer la hauteur des appareils dans le calcul d'altitude final.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Alt A | Altitude du point de station A | 125.450 | m |
| ha | Hauteur de l'instrument en A | 1.650 | m |
| Alt B | Altitude du point de station B | 125.600 | m |
| hb | Hauteur de l'instrument en B | 1.620 | m |
| α (BAP) | Angle horizontal en A | 75.0000 | gon |
| β (ABP) | Angle horizontal en B | 80.0000 | gon |
| Vₐ | Angle vertical de A vers P | 25.5000 | gon |
Questions à traiter
- Calculer l'angle γ au sommet P du triangle horizontal ABP.
- En utilisant la loi des sinus, calculer la distance horizontale Dₐₚ (distance de A à la projection de P).
- Calculer la dénivelée ΔHₐₚ entre l'axe optique de l'instrument en A et le point P.
- En déduire l'altitude du point P.
- Calculer la hauteur du clocher par rapport au sol de la station A.
- À titre de vérification, refaire les calculs depuis la station B pour trouver une seconde détermination de l'altitude de P et conclure.
Les bases de la topographie
1. La Loi des Sinus
Dans un triangle quelconque, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. Pour un triangle ABC avec des côtés a, b, c :
\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]
2. Calcul de Dénivelée
La dénivelée (\(\Delta H\)) entre la station et le point visé est calculée à l'aide de la tangente de l'angle vertical (\(V\)) et de la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) :
\[ \Delta H = D_{\text{h}} \times \tan(V) \]
Correction : Calcul de hauteur avec station inaccessible
Question 1 : Calculer l'angle γ au sommet P
Principe
Le concept physique ici est la géométrie euclidienne plane. Nous considérons que pour des distances topographiques locales, la somme des angles d'un triangle formé par trois points A, B et P est constante.
Mini-Cours
En géométrie plane, la somme des angles internes d'un triangle est toujours égale à 180 degrés ou 200 grades (gons). Le grade est une unité d'angle pratique en topographie car il divise l'angle droit en 100 unités, simplifiant certains calculs mentaux et conversions.
Remarque Pédagogique
La première étape dans la résolution d'un triangle est souvent de déterminer tous ses angles. Connaître les trois angles permet ensuite d'appliquer des relations comme la loi des sinus pour trouver les longueurs des côtés inconnus.
Normes
Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction (comme les Eurocodes), mais à un principe mathématique universel de la géométrie, qui est le fondement de toutes les normes de mesure et de calcul en topographie.
Formule(s)
Somme des angles d'un triangle
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que les points A, B et P forment un triangle dans un plan horizontal parfait. Pour des levés de cette envergure, l'effet de la courbure de la Terre est négligeable.
Donnée(s)
- Angle en A, α = 75.0000 gon
- Angle en B, β = 80.0000 gon
Astuces
Pour éviter les erreurs de calcul, effectuez la soustraction en une seule fois sur votre calculatrice : 200 - 75 - 80. Cela minimise les risques d'erreurs de retranscription.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle horizontal ABP
Calcul(s)
Calcul de l'angle γ
Schéma (Après les calculs)
Triangle horizontal avec tous les angles
Réflexions
L'angle γ est l'angle le plus petit du triangle (45 gon < 75 gon < 80 gon). Cela implique que le côté opposé, la base AB, sera le plus petit côté du triangle, ce qui est cohérent avec la configuration.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (ou GON). Une erreur fréquente est de faire ce calcul en mode Degrés, ce qui donnerait un résultat totalement faux.
Points à retenir
La somme des angles dans un triangle est un prérequis fondamental. En topographie, cette somme est de 200 gon. La maîtrise de cette règle simple est essentielle pour résoudre la quasi-totalité des problèmes de triangulation.
Le saviez-vous ?
Le grade (gon) a été introduit en France après la Révolution, en même temps que le système métrique, dans une volonté d'universaliser et de décimaliser toutes les unités. Il est principalement utilisé en topographie et très peu dans d'autres domaines scientifiques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle en A (α) était de 82 gon et celui en B (β) de 68 gon, quel serait l'angle γ ?
Question 2 : Calculer la distance horizontale Dₐₚ
Principe
Le principe physique est la résolution d'un triangle par triangulation. En mesurant une seule longueur (la base AB) et les angles, nous pouvons déterminer toutes les autres dimensions du triangle sans avoir à les mesurer directement.
Mini-Cours
La loi des sinus établit une relation directe entre les côtés d'un triangle et les sinus de leurs angles opposés. C'est l'outil le plus puissant pour résoudre un triangle lorsque l'on connaît un côté et deux angles (ce qui est notre cas), ou deux côtés et un angle non compris entre eux.
Remarque Pédagogique
Visualisez bien le triangle horizontal. Le côté que vous cherchez (Dₐₚ) est opposé à l'angle β. Le côté que vous connaissez (AB) est opposé à l'angle γ. C'est cette association correcte qui est la clé pour poser correctement la formule.
Normes
Comme pour la question 1, il s'agit d'une loi mathématique fondamentale. Les normes topographiques (par exemple, les cahiers des charges pour les levés) imposent les précisions à atteindre, mais la formule de calcul reste la même.
Formule(s)
Loi des sinus
Hypothèses
Nous supposons que la base AB a été mesurée avec une précision suffisante et que les mesures angulaires sont exemptes d'erreurs grossières.
Donnée(s)
- Base AB = 50.00 m
- Angle β = 80.0000 gon
- Angle γ = 45.0000 gon
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, rappelez-vous que sin(100 gon) = 1. Comme β (80 gon) est plus grand que γ (45 gon), la distance Dₐₚ doit être plus grande que la base AB (50 m). Si vous trouvez un résultat inférieur, il y a une erreur.
Schéma (Avant les calculs)
Relation par la loi des sinus
Calcul(s)
Calcul intermédiaire des sinus
Calcul final de la distance
Schéma (Après les calculs)
Triangle résolu
Réflexions
Le résultat (69.467 m) est supérieur à 50 m, ce qui confirme notre estimation qualitative. La distance au clocher est environ 40% plus grande que la longueur de la base de mesure.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'inverser les sinus dans la fraction. Rappelez-vous toujours : on multiplie par le sinus de l'angle opposé au côté cherché, et on divise par le sinus de l'angle opposé au côté connu.
Points à retenir
La loi des sinus est l'outil central pour les calculs d'intersection et de relèvement en topographie plane. Maîtriser son application est indispensable pour déterminer les coordonnées de points inaccessibles.
Le saviez-vous ?
La technique de triangulation, basée sur ces principes, a été utilisée par Delambre et Méchain de 1792 à 1798 pour mesurer le méridien terrestre de Dunkerque à Barcelone, une expédition qui a servi à définir la longueur du mètre étalon.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes angles, si la base AB mesurait 60.00 m, quelle serait la nouvelle distance Dₐₚ ?
Question 3 : Calculer la dénivelée ΔHₐₚ
Principe
Le principe est de passer d'une vue en plan (2D) à une vue en élévation (3D). En utilisant la distance horizontale que nous venons de calculer comme base d'un nouveau triangle, cette fois vertical, nous pouvons calculer la hauteur verticale grâce à l'angle mesuré.
Mini-Cours
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est définie comme le rapport du côté opposé sur le côté adjacent. En topographie, le côté opposé est la dénivelée (\(\Delta H\)) et le côté adjacent est la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)). C'est la relation trigonométrique la plus directe pour les calculs de hauteur.
Remarque Pédagogique
Il est crucial de bien distinguer la distance horizontale (projetée sur un plan) de la distance inclinée (la distance réelle suivie par la visée). Tous les calculs planimétriques utilisent la distance horizontale.
Normes
Les calculs de nivellement indirect (trigonométrique) sont standardisés. Les normes précisent les corrections à apporter pour les longues distances (courbure terrestre, réfraction atmosphérique), mais pour cet exercice, ces corrections sont ignorées.
Formule(s)
Formule de la dénivelée
Hypothèses
Nous supposons que la verticale du clocher est bien perpendiculaire au plan horizontal contenant la distance Dₐₚ, formant ainsi un triangle rectangle parfait.
Donnée(s)
- Distance horizontale \(D_{\text{AP}} = 69.467\) m
- Angle vertical \(V_{\text{a}} = 25.5000\) gon
Astuces
Un angle vertical de 50 gon (45°) signifie que la dénivelée est égale à la distance horizontale. Comme notre angle de 25.5 gon est environ la moitié de 50 gon, la dénivelée devrait être inférieure à la moitié de la distance horizontale (moins de 35 m). C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle vertical
Calcul(s)
Calcul de la tangente
Calcul de la dénivelée
Schéma (Après les calculs)
Triangle vertical résolu
Réflexions
Une dénivelée de plus de 29 mètres pour une distance de 70 mètres correspond à une pente significative, ce qui est tout à fait plausible pour la visée du sommet d'un clocher depuis le sol.
Points de vigilance
Attention, l'angle vertical Vₐ est ici un angle "brut". Dans la pratique, les théodolites mesurent souvent l'angle zénithal Z (depuis la verticale). La relation est V = 100 - Z. Une confusion entre les deux types d'angles est une source d'erreur majeure.
Points à retenir
La relation \(\Delta H = D_{\text{h}} \times \tan(V)\) est la pierre angulaire du nivellement trigonométrique. Elle permet de transformer une mesure angulaire et une distance en une différence d'altitude.
Le saviez-vous ?
Les premiers instruments capables de mesurer des angles verticaux avec précision, comme le "cercle répétiteur" de Borda, ont révolutionné la topographie au 18ème siècle, rendant possibles des levés cartographiques à grande échelle beaucoup plus précis.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle vertical Vₐ mesuré avait été de 30 gon, quelle aurait été la dénivelée ?
Question 4 : Calculer l'altitude finale du point P
Principe
Le concept est l'addition d'altitudes relatives. L'altitude absolue d'un point est obtenue en partant d'une altitude connue (le repère de départ) et en y ajoutant toutes les dénivelées et hauteurs intermédiaires mesurées.
Mini-Cours
L'altitude d'un point est sa distance verticale par rapport à une surface de référence (généralement le niveau moyen de la mer). Le calcul consiste à "transporter" cette altitude depuis un repère connu (point A) jusqu'au point inconnu (P) via une chaîne de mesures : Altitude de départ + Hauteur de l'instrument + Dénivelée = Altitude d'arrivée.
Remarque Pédagogique
N'oubliez jamais la hauteur de l'instrument ! C'est une erreur classique de l'omettre. L'angle vertical est mesuré depuis l'appareil, pas depuis le sol. Il faut donc ajouter cette hauteur pour obtenir l'altitude correcte du point final.
Normes
Les systèmes de référence altimétrique sont définis par des normes nationales (par exemple, le Nivellement Général de la France - NGF). L'altitude du point A (125.450 m) est rattachée à un de ces systèmes officiels.
Formule(s)
Formule de l'altitude du point visé
Hypothèses
Nous supposons que l'altitude du point de départ A est exacte et que l'instrument a été correctement mis en station (sa hauteur \(h_{\text{a}}\) a été mesurée sans faute).
Donnée(s)
- Altitude de A = 125.450 m
- Hauteur instrument \(h_{\text{a}}\) = 1.650 m
- Dénivelée \(\Delta H_{\text{AP}}\) = 29.332 m
Astuces
Faites le calcul en deux temps pour mieux visualiser : 1. Calculez l'altitude de l'axe optique (Alt A + ha). 2. Ajoutez ensuite la dénivelée à cette altitude. Cela permet de décomposer le problème et de réduire les risques d'erreur.
Schéma (Avant les calculs)
Composition des altitudes
Calcul(s)
Calcul de l'altitude de P
Schéma (Après les calculs)
Altitude finale depuis la station A
Réflexions
L'altitude finale de 156.432 m est le résultat de notre première détermination. Il est essentiel de la vérifier avec une seconde mesure pour s'assurer de sa validité et améliorer sa précision.
Points de vigilance
Vérifiez que toutes vos unités sont en mètres avant de les additionner. Une erreur d'unité, par exemple une hauteur d'instrument en centimètres, fausserait complètement le résultat final.
Points à retenir
Le calcul d'altitude d'un point visé est toujours la somme de trois composantes : l'altitude du point de départ, la hauteur de l'instrument sur ce point, et la dénivelée calculée jusqu'au point visé.
Le saviez-vous ?
Le point de référence pour les altitudes en France continentale est le marégraphe de Marseille, qui définit le niveau zéro du NGF-IGN69.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude de A était de 130.000 m, quelle serait la nouvelle altitude de P (avec les mêmes ha et ΔH) ?
Question 5 : Calculer la hauteur du clocher par rapport au sol de la station A
Principe
La hauteur d'un objet est la différence d'altitude entre son sommet et sa base. Comme la base du clocher est inaccessible et son altitude inconnue, nous ne pouvons calculer que sa hauteur relative par rapport à un point de référence dont l'altitude est connue, ici le sol de la station A.
Mini-Cours
La hauteur relative \(H_{P/A}\) d'un point P par rapport à un point A est simplement la différence entre leurs altitudes absolues. Cette valeur représente de combien le point P est "plus haut" que le point A.
Remarque Pédagogique
Le terme "hauteur" peut être ambigu. Il est crucial en topographie de toujours spécifier par rapport à quel plan ou point de référence une hauteur est calculée. Ici, il s'agit de la hauteur par rapport au plan horizontal passant par le point A au sol.
Normes
Ce calcul est une simple soustraction et ne dépend pas d'une norme spécifique, mais il est fondamental que les deux altitudes utilisées soient exprimées dans le même système de référence altimétrique (par exemple, NGF-IGN69).
Formule(s)
Formule de la hauteur relative
Hypothèses
On suppose que les altitudes de P (calculée) et de A (donnée) sont correctes et dans le même système de référence vertical.
Donnée(s)
- Altitude de P = 156.432 m (calculée à la question 4)
- Altitude de A = 125.450 m (donnée de l'énoncé)
Astuces
Assurez-vous d'utiliser l'altitude du *sol* de la station A (Alt A), et non l'altitude de l'axe optique (Alt A + ha), pour le calcul de la hauteur relative par rapport au sol.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la hauteur relative H(P/A)
Calcul(s)
Calcul de la hauteur relative
Schéma (Après les calculs)
Hauteur relative H(P/A) calculée
Réflexions
Une hauteur de près de 31 mètres par rapport à la position du géomètre est une dimension tout à fait plausible pour un clocher d'église, ce qui renforce la confiance dans nos calculs précédents.
Points de vigilance
Ne pas confondre la hauteur relative (\(H_{P/A}\)) avec la dénivelée (\(\Delta H_{AP}\)). La dénivelée est calculée depuis l'axe optique de l'instrument, tandis que la hauteur est calculée depuis le sol.
Points à retenir
La hauteur d'un point par rapport à un autre est la différence de leurs altitudes. C'est une information relative, qui dépend du point de référence choisi.
Le saviez-vous ?
La plus haute église du monde, la cathédrale d'Ulm en Allemagne, a une flèche qui culmine à 161.53 mètres au-dessus du sol. Nos 31 mètres sont donc très modestes en comparaison !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude du point A était de 130.000 m (et que l'altitude du point P restait à 156.432 m), quelle serait la hauteur relative H(P/A) ?
Question 6 : Vérification par la station B
Principe
La redondance des mesures est un principe fondamental en science et en ingénierie pour garantir la fiabilité. En effectuant un calcul indépendant depuis une autre position connue, nous pouvons valider notre premier résultat et détecter d'éventuelles erreurs grossières.
Mini-Cours
En topographie, on parle de "fermeture". Une fermeture est la différence entre une valeur mesurée ou calculée et une valeur théorique ou calculée par un autre chemin. Une fermeture faible (proche de zéro) indique une bonne qualité des mesures. L'analyse des fermetures permet de compenser les mesures pour obtenir les résultats les plus probables.
Remarque Pédagogique
Ne soyez pas surpris si les deux résultats ne sont pas parfaitement identiques. De petites erreurs aléatoires sont inévitables (lecture d'angle, mesure de hauteur, etc.). L'objectif du géomètre est de s'assurer que cet écart reste dans les tolérances acceptables pour la mission.
Normes
Les cahiers des charges topographiques définissent les tolérances de fermeture autorisées en fonction de la classe de précision du travail demandé. Par exemple, pour un nivellement de précision, la tolérance peut être de quelques millimètres par kilomètre.
Formule(s)
Calcul de la distance depuis B
Calcul de la dénivelée depuis B
Calcul de l'altitude depuis B
Hypothèses
Nous supposons que les données relatives à la station B (son altitude, la hauteur de l'instrument) sont également exactes.
Donnée(s)
En plus des données de l'énoncé, nous avons besoin de l'angle vertical mesuré depuis la station B. Nous utiliserons la valeur de \(V_{\text{b}} = 26.0625\) gon, qui aurait été mesurée sur le terrain.
- Base AB = 50.00 m
- Altitude de B = 125.600 m
- Hauteur instrument \(h_{\text{b}}\) = 1.620 m
- Angle α = 75.0000 gon
- Angle γ = 45.0000 gon
- Angle vertical \(V_{\text{b}}\) = 26.0625 gon
Astuces
Organisez vos calculs dans un tableau pour comparer facilement les deux chemins (depuis A et depuis B). Cela mettra immédiatement en évidence les différences à chaque étape (distance, dénivelée, altitude).
Schéma (Avant les calculs)
Relation pour le calcul de la distance D(BP)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la distance \(D_{\text{BP}}\)
Étape 2 : Calcul de la dénivelée \(\Delta H_{\text{BP}}\)
Étape 3 : Calcul de l'altitude de P depuis B
Schéma (Après les calculs)
Schéma de vérification des altitudes
Réflexions
Nous obtenons 156.432 m depuis A et 156.350 m depuis B. L'écart est de \(156.432 - 156.350 = 0.082\) m, soit 8.2 cm. Pour un levé de ce type, cet écart est un peu élevé et pourrait indiquer une petite imprécision sur l'une des mesures (probablement un angle vertical). La pratique courante est d'adopter la moyenne des deux, considérant que les erreurs se compensent partiellement.
Calcul de l'altitude moyenne
Points de vigilance
Ne concluez jamais sur une seule détermination si vous avez la possibilité d'en faire une seconde. Une erreur de saisie ou de mesure peut facilement passer inaperçue sans vérification.
Points à retenir
La redondance et la vérification sont au cœur de la démarche du topographe. Calculer un point par plusieurs chemins indépendants est la meilleure façon de garantir la qualité et la fiabilité du résultat final.
Le saviez-vous ?
Les systèmes GPS modernes calculent en permanence leur position en se basant sur les signaux d'au moins quatre satellites. C'est un principe de redondance poussé à l'extrême, où des dizaines de mesures sont analysées chaque seconde pour fournir une position fiable.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'altitude finale moyennée devait être de 157.000 m, et que l'on ne pouvait changer que Vₐ, quelle devrait être sa nouvelle valeur (en conservant AltP(B)=156.350m) ?
Outil Interactif : Influence de l'angle vertical
Utilisez les curseurs pour modifier les angles verticaux mesurés depuis les stations A et B et observez leur impact direct sur l'altitude calculée du clocher.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pourquoi est-il nécessaire d'utiliser deux stations (A et B) ?
2. La loi des sinus est utilisée dans cet exercice pour...
3. Qu'est-ce que la hauteur d'instrument (ha ou hb) représente ?
4. Un angle vertical de 100 gon correspond à...
5. Si l'écart entre les deux calculs d'altitude est grand, cela signifie probablement...
- Altimétrie
- Partie de la topographie qui a pour objet la détermination des altitudes et la représentation du relief du sol.
- Station
- Point précisément matérialisé au sol, sur lequel on place un instrument de mesure (théodolite, station totale).
- Angle Vertical (ou Zénithal)
- Angle mesuré dans un plan vertical, généralement à partir de la direction du zénith (la verticale ascendante, 0 gon) vers le point visé.
- Gon (ou Grade)
- Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 gons. Un angle droit mesure 100 gons.
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