Étude Topographique

Calcul de la Hauteur d’un Bâtiment

Topographie : Calcul de la Hauteur d'un Bâtiment

Calcul de la hauteur d'un bâtiment par visées convergentes

Contexte : Mesurer des hauteurs inaccessibles

Comment mesurer la hauteur d'une tour, d'une église ou d'un immeuble sans y monter ? La topographie offre une solution élégante : la mesure de hauteur par visées convergentesMéthode de calcul de la hauteur d'un objet vertical en mesurant, depuis une même station, la distance horizontale à l'objet ainsi que les angles verticaux vers sa base et son sommet.. Depuis un point de station unique, le géomètre mesure la distance horizontale jusqu'à la façade du bâtiment, puis vise successivement le point le plus bas (la base) et le point le plus haut (le sommet) de l'objet. La combinaison de ces deux visées angulaires permet de déterminer la hauteur totale par simple trigonométrie, même si la base ou le sommet sont physiquement inaccessibles.

Remarque Pédagogique : Cette méthode illustre parfaitement la puissance de la trigonométrie pour résoudre des problèmes pratiques. Elle décompose un problème complexe (mesurer une hauteur verticale) en deux problèmes simples (résoudre deux triangles rectangles) et combine les résultats. C'est une technique très courante pour les levés de façades et les contrôles d'ouvrages d'art.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer des dénivelées partielles (vers le haut et vers le bas) depuis un axe de référence.
  • Comprendre l'interprétation des angles verticaux (visée montante vs. visée descendante).
  • Combiner des dénivelées partielles pour obtenir une hauteur totale.
  • Appliquer la trigonométrie à des cas concrets de génie civil.
  • Identifier l'impact de la distance sur la précision des mesures angulaires.

Données de l'étude

Un topographe stationne son instrument en un point S pour déterminer la hauteur d'un pylône. Il mesure la distance horizontale qui le sépare de l'axe vertical du pylône, puis effectue deux visées : une vers le sommet (H) et une vers la base (B) du pylône.

Schéma de la mesure
Station S H (Sommet) B (Base) Dh = 55.20 m Vₕ Vₑ

Données mesurées :

  • Distance horizontale jusqu'au pylône : \(D_{\text{h}} = 55.20 \, \text{m}\)
  • Angle vertical vers le sommet H : \(V_{\text{H}} = 82.50 \, \text{gon}\)
  • Angle vertical vers la base B : \(V_{\text{B}} = 105.10 \, \text{gon}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée de l'axe de l'instrument au sommet H (\(\Delta H_{\text{H}}\)).
  2. Calculer la dénivelée de l'axe de l'instrument à la base B (\(\Delta H_{\text{B}}\)).
  3. En déduire la hauteur totale du pylône (\(H_{\text{pylône}}\)).

Correction : Calcul de la Hauteur d'un Bâtiment

Question 1 : Dénivelée vers le Sommet (\(\Delta H_{\text{H}}\))

Principe :
Dh ΔHₕ 100-Vₕ

La première étape consiste à calculer la hauteur de la partie supérieure du pylône, depuis l'horizontale passant par l'axe de l'instrument. On résout le triangle rectangle formé par la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) et l'angle de site vers le sommet (\(100 - V_{\text{H}}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On calcule une hauteur "relative" par rapport à l'instrument. L'altitude de la station n'a aucune importance pour ce calcul, ce qui rend la méthode très flexible. On n'a même pas besoin de connaître la hauteur de l'instrument (\(h_t\)) pour l'instant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{H}} = D_{\text{h}} \times \tan(100 - V_{\text{H}}) \]
Donnée(s) :
  • Distance horizontale \(D_{\text{h}} = 55.20 \, \text{m}\)
  • Angle vertical vers H : \(V_{\text{H}} = 82.50 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \text{Angle de site} = 100 - 82.50 = 17.50 \, \text{gon} \]
\[ \Delta H_{\text{H}} = 55.20 \times \tan(17.50 \, \text{gon}) = 15.44 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Angle de site vs Angle zénithal : L'angle \(V_{\text{H}}\) est zénithal (par rapport à la verticale). La formule de base de la tangente utilise l'angle par rapport à l'horizontale (l'angle de site). Il est crucial de faire la conversion \(100 - V\) avant d'appliquer la tangente.

Le saviez-vous ?

Cette même méthode est utilisée en astronomie pour calculer la hauteur des montagnes sur la Lune. Les astronomes mesurent la longueur de l'ombre projetée par un pic montagneux et connaissent l'angle du Soleil, ce qui leur permet de déduire la hauteur du pic par trigonométrie.

FAQ en rapport avec la question :
Que représente concrètement \(\Delta H_{\text{H}}\) ?

C'est la hauteur verticale entre le plan horizontal qui passe par l'axe de rotation de la lunette de l'instrument et le sommet du pylône. Ce n'est pas encore la hauteur totale du pylône.

Résultat : La dénivelée vers le sommet est \(\Delta H_{\text{H}} = 15.44 \, \text{m}\).

Question 2 : Dénivelée vers la Base (\(\Delta H_{\text{B}}\))

Principe :
Dh |ΔHₑ| Vₑ-100

De la même manière, on calcule la dénivelée vers la base du pylône. Comme la visée est descendante (\(V_{\text{B}} > 100 \, \text{gon}\)), l'angle de site (\(100 - V_{\text{B}}\)) sera négatif, et la dénivelée \(\Delta H_{\text{B}}\) sera également négative, ce qui est logique car la base est plus bas que l'instrument.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le signe de la dénivelée a une signification physique directe. Une dénivelée positive signifie une "montée" par rapport à l'instrument, une dénivelée négative signifie une "descente". Il est crucial de conserver ce signe pour le calcul final.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{B}} = D_{\text{h}} \times \tan(100 - V_{\text{B}}) \]
Donnée(s) :
  • Distance horizontale \(D_{\text{h}} = 55.20 \, \text{m}\)
  • Angle vertical vers B : \(V_{\text{B}} = 105.10 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \text{Angle de site} = 100 - 105.10 = -5.10 \, \text{gon} \]
\[ \Delta H_{\text{B}} = 55.20 \times \tan(-5.10 \, \text{gon}) = -4.43 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Gestion des négatifs : Assurez-vous que votre calculatrice gère correctement la tangente d'un angle négatif. Le résultat doit être négatif. Une erreur ici conduirait à additionner les hauteurs au lieu de les combiner correctement.

Le saviez-vous ?

Les stations totales modernes peuvent être équipées de lasers sans réflecteur. Cela permet de viser directement la façade d'un bâtiment sans avoir besoin qu'un aide y place un prisme. La méthode de calcul reste cependant exactement la même.

FAQ en rapport avec la question :
Et si la base du bâtiment était plus haute que l'instrument ?

C'est tout à fait possible, par exemple si l'on est en contrebas d'une falaise sur laquelle est posé le bâtiment. Dans ce cas, les deux angles verticaux \(V_{\text{H}}\) et \(V_{\text{B}}\) seraient inférieurs à 100 gon, et les deux dénivelées partielles \(\Delta H_{\text{H}}\) et \(\Delta H_{\text{B}}\) seraient positives. La hauteur totale serait toujours la différence \(\Delta H_{\text{H}} - \Delta H_{\text{B}}\).

Résultat : La dénivelée vers la base est \(\Delta H_{\text{B}} = -4.43 \, \text{m}\).

Question 3 : Hauteur Totale du Pylône (\(H_{\text{pylône}}\))

Principe :
HB Axe Instrument ΔHₕ |ΔHₑ|

La hauteur totale du pylône est la distance verticale entre son sommet H et sa base B. Elle s'obtient en faisant la différence entre la dénivelée vers le sommet (\(\Delta H_{\text{H}}\)) et la dénivelée vers la base (\(\Delta H_{\text{B}}\)). Soustraire la valeur négative de \(\Delta H_{\text{B}}\) revient à additionner les deux hauteurs relatives.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape de synthèse. La hauteur totale est la somme des valeurs absolues des deux dénivelées partielles. La formule \(H = \Delta H_{\text{H}} - \Delta H_{\text{B}}\) fonctionne dans tous les cas, que les dénivelées soient positives ou négatives, ce qui la rend robuste et universelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{\text{pylône}} = \Delta H_{\text{H}} - \Delta H_{\text{B}} \]
Donnée(s) :
  • Dénivelée vers le sommet \(\Delta H_{\text{H}} = 15.44 \, \text{m}\)
  • Dénivelée vers la base \(\Delta H_{\text{B}} = -4.43 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} H_{\text{pylône}} &= 15.44 - (-4.43) \\ &= 15.44 + 4.43 \\ &= 19.87 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Double négation : L'erreur la plus courante ici est de mal gérer la soustraction d'un nombre négatif. Oublier que "moins par moins égale plus" conduirait à soustraire les hauteurs (\(15.44 - 4.43\)) et à un résultat manifestement faux.

Le saviez-vous ?

Pour des objets très hauts comme des gratte-ciels, les géomètres utilisent souvent plusieurs stations et des techniques de compensation par moindres carrés pour obtenir une hauteur moyenne très précise, en minimisant l'impact des erreurs de mesure et de la réfraction atmosphérique.

FAQ en rapport avec la question :
La hauteur de l'instrument (\(h_{\text{t}}\)) a-t-elle un impact ?

Non. Comme on calcule une différence entre deux dénivelées mesurées depuis le même axe horizontal, la hauteur de cet axe par rapport au sol (\(h_{\text{t}}\)) s'annule. On pourrait être sur un tabouret ou couché au sol, si la distance horizontale et les angles sont les mêmes, la hauteur calculée du bâtiment sera identique.

Résultat : La hauteur totale du pylône est de 19.87 m.

Simulation Interactive du Calcul

Faites varier les paramètres de la mesure pour observer l'impact sur la hauteur calculée.

Paramètres de Mesure
ΔH vers le sommet
ΔH vers la base
Hauteur Totale
Visualisation de la Hauteur

Pour Aller Plus Loin : La Base Inaccessible

Et si on ne peut pas mesurer la distance horizontale ? La méthode présentée suppose que l'on peut mesurer \(D_{\text{h}}\). Si la base du bâtiment est inaccessible (de l'autre côté d'une rivière, par exemple), on ne peut pas mesurer \(D_{\text{h}}\) directement. Dans ce cas, le topographe crée une "base" en utilisant deux stations (S1 et S2). Il mesure la distance entre S1 et S2, puis depuis chaque station, il mesure les angles horizontaux vers le bâtiment. Par résolution de triangle (loi des sinus), il peut calculer la distance \(D_{\text{h}}\) et ensuite appliquer la méthode de cet exercice.

Le Saviez-Vous ?

Le mathématicien et astronome grec Eratosthène a utilisé un principe similaire vers 240 av. J.-C. pour calculer la circonférence de la Terre. En observant l'angle des rayons du soleil en deux villes différentes à une distance connue, il a pu, par trigonométrie, estimer la taille de notre planète avec une précision remarquable pour l'époque.

Foire Aux Questions (FAQ)

Cette méthode est-elle précise ?

Oui, elle est très précise si les mesures sont bien faites. La précision dépend de la qualité de l'instrument (précision des angles) et de la distance. Plus on est loin de l'objet, plus une petite erreur d'angle aura un impact important sur la hauteur calculée. C'est pourquoi les topographes choisissent leur point de station avec soin.

Doit-on être parfaitement en face du bâtiment ?

Non, ce n'est pas obligatoire. La distance \(D_{\text{h}}\) est la distance horizontale perpendiculaire à la façade. Si l'on est de biais, la station totale mesure une distance et des angles qui, combinés, permettent de calculer cette distance perpendiculaire et d'appliquer les mêmes formules. Les calculs sont juste un peu plus complexes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle vertical vers la base (\(V_{\text{B}}\)) est exactement de 100 gon, cela signifie que :

2. Pour augmenter la précision du calcul de la hauteur, il est préférable de :

Glossaire

Visées Convergentes
Technique consistant à viser, depuis une même station, plusieurs points sur un même objet vertical (typiquement la base et le sommet) pour en déterminer la hauteur.
Angle de site
Angle d'une visée par rapport à l'horizontale. Il est positif si la visée est montante et négatif si elle est descendante. On le calcule par \(100 - V_{\text{zénithal}}\).
Axe des tourillons
Axe de rotation horizontal de la lunette d'un instrument topographique. Il constitue le point de référence "zéro" pour les mesures d'angles verticaux.
Calcul de la hauteur d'un bâtiment par visées convergentes

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