Calcul d’un point par rayonnement trigonométrique
Contexte : Le nivellement indirect trigonométriqueMéthode de topographie permettant de déterminer la dénivelée entre deux points grâce à des mesures d'angles et de distances, sans parcourir physiquement la distance entre eux..
Un géomètre-topographe est chargé de déterminer l'altitude précise d'une nouvelle borne (P1) qui vient d'être implantée sur un terrain. Pour cela, il installe sa station totaleInstrument de mesure électronique utilisé en topographie pour mesurer des angles et des distances. Il combine un théodolite électronique et un mesureur de distance. sur un point de station connu (ST1) dont l'altitude est déjà déterminée. En visant un prisme placé à la verticale de la borne P1, il effectue les mesures d'angle et de distance qui lui permettront de calculer l'altitude de P1 par rayonnement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une des tâches les plus courantes en topographie. Il vous apprendra à maîtriser la chaîne de calcul complète pour déterminer une altitude, en tenant compte de tous les paramètres (hauteurs de l'appareil et du prisme, angle vertical) pour garantir la précision du résultat.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe du nivellement indirect par rayonnement.
- Appliquer la formule de base pour calculer une dénivelée à partir d'un angle vertical et d'une distance horizontale.
- Intégrer correctement les hauteurs de l'instrument et du prisme dans le calcul.
- Calculer l'altitude finale d'un point inconnu à partir d'un point connu.
Données de l'étude
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Information |
|---|---|
| Point de station | ST1 |
| Point visé | P1 |
| Instrument utilisé | Station Totale Leica TS16 |
Schéma du Nivellement Trigonométrique
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| H_ST1 | Altitude du point de station | 152.450 | m |
| hi | Hauteur de l'instrument | 1.652 | m |
| hp | Hauteur du prisme | 1.800 | m |
| Dh | Distance horizontale | 85.32 | m |
| V | Angle vertical | +3.152 | gon |
Questions à traiter
- Calculer la dénivelée (ΔH') entre l'axe optique de l'instrument et le centre du prisme.
- En déduire la dénivelée totale (ΔH) entre le point de station ST1 et le point P1.
- Déterminer l'altitude finale du point P1 (H_P1).
Les bases du Nivellement Trigonométrique
Le nivellement indirect, ou trigonométrique, est une méthode qui permet de déterminer la différence d'altitude (dénivelée) entre deux points en utilisant les propriétés des triangles rectangles. On mesure un angle vertical et une distance (horizontale ou inclinée) pour en déduire la composante verticale.
1. Calcul de la dénivelée instrument-prisme
La dénivelée brute (ΔH') entre l'axe de l'instrument et la cible (prisme) est le côté opposé d'un triangle rectangle dont la distance horizontale (Dh) est le côté adjacent. La relation est donc :
\[ \Delta H' = D_h \times \tan(V) \]
2. Calcul de l'altitude finale
Pour obtenir l'altitude du point visé (H_P1), on part de l'altitude du point de station (H_ST1), on ajoute la hauteur à laquelle se trouve l'instrument, on ajoute (ou soustrait) la dénivelée calculée, puis on soustrait la hauteur à laquelle se trouve le prisme.
\[ H_{\text{P1}} = H_{\text{ST1}} + h_i + \Delta H' - h_p \]
Correction : Calcul d’un point par rayonnement trigonométrique
Question 1 : Calculer la dénivelée (ΔH') entre l'axe optique et le prisme.
Principe
Le concept physique ici est la décomposition d'une visée inclinée en ses composantes horizontale et verticale. En topographie, nous formons un triangle rectangle imaginaire dont l'hypoténuse est la ligne de visée de l'instrument au prisme. La dénivelée ΔH' est la composante verticale (le côté opposé à l'angle V) de ce triangle.
Mini-Cours
La trigonométrie est au cœur de cette méthode. La fonction tangente d'un angle dans un triangle rectangle est définie comme le rapport entre la longueur du côté opposé et la longueur du côté adjacent. Ici, le côté opposé est ΔH' et le côté adjacent est la distance horizontale Dh. C'est pourquoi la formule fondamentale de cette étape est dérivée de tan(V) = ΔH' / Dh.
Remarque Pédagogique
Visualisez toujours ce triangle rectangle. La distance horizontale est "à plat", la dénivelée est "debout", et la ligne de visée les relie. Comprendre cette géométrie simple rend la formule évidente et évite de l'apprendre par cœur sans la comprendre.
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour un calcul trigonométrique de base, les pratiques de la topographie exigent que les angles et les distances soient mesurés selon des protocoles stricts pour minimiser les erreurs. La précision de l'instrument et les conditions de mesure sont encadrées par les tolérances admises dans la profession.
Formule(s)
L'outil mathématique principal est la relation de la tangente.
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes : la Terre est considérée comme plate sur cette courte distance (on ignore la courbure terrestre), et les effets de la réfraction atmosphérique sont négligés.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance horizontale | Dh | 85.32 | m |
| Angle vertical | V | +3.152 | gon |
Astuces
Un angle vertical positif (+) signifie que l'on vise "vers le haut" par rapport à l'horizontale. Le résultat de ΔH' sera donc positif. Un angle négatif (-) signifie une visée "vers le bas", et ΔH' sera négatif. C'est un moyen rapide de vérifier la cohérence du signe de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On applique la formule en s'assurant que la calculatrice est en mode 'gon' (ou 'grade').
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Ce résultat de 4.226 m signifie que le centre optique du prisme est 4.226 mètres plus haut que l'axe optique de la station totale. Ce n'est pas encore la dénivelée entre les bornes au sol, mais l'étape la plus importante du calcul.
Points de vigilance
Le mode de la calculatrice est CRUCIAL. Si vous aviez fait le calcul en mode 'degrés', vous auriez obtenu tan(3.152°) ≈ 0.055, menant à un résultat complètement faux. Vérifiez toujours, deux fois plutôt qu'une !
Points à retenir
La dénivelée brute entre deux points visés est le produit de la distance horizontale par la tangente de l'angle vertical. C'est la relation fondamentale du nivellement trigonométrique.
Le saviez-vous ?
L'unité "gon" ou "grade" a été introduite en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était d'avoir une division décimale du cercle (100 gons pour un angle droit) pour simplifier les calculs, une logique qui s'est maintenue en topographie.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait ΔH' si la distance horizontale était de 100.00 m et l'angle de +5.000 gon ?
Question 2 : En déduire la dénivelée totale (ΔH) entre ST1 et P1.
Principe
Le concept physique est celui du "cheminement vertical". On part du sol au point ST1, on "monte" le long de l'instrument (hauteur hi), on suit la dénivelée de la visée (ΔH'), puis on "descend" le long de la canne du prisme (hauteur hp) pour arriver au sol au point P1. La dénivelée totale est la somme algébrique de ces trois segments verticaux.
Mini-Cours
Cette étape est une application du principe de Chasles en géométrie, qui stipule que pour des points A, B, C, la relation vectorielle \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\) est toujours vraie. Ici, nous l'appliquons aux altitudes : l'altitude de P1 par rapport à ST1 (ΔH) est la somme des dénivelées intermédiaires (de ST1 à l'axe optique, de l'axe optique au prisme, du prisme à P1).
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous êtes une fourmi. Vous partez de la borne ST1, vous grimpez sur le trépied (+hi), vous suivez la ligne de visée qui monte (+ΔH'), puis vous descendez le long de la canne porte-prisme (-hp). Le bilan de votre ascension est la dénivelée totale ΔH.
Normes
Les normes topographiques imposent de mesurer les hauteurs hi et hp avec précision (généralement au millimètre) car toute erreur sur ces mesures se répercute directement et intégralement sur le calcul final de l'altitude.
Formule(s)
La formule est une simple somme algébrique qui corrige la dénivelée brute.
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que l'instrument est parfaitement calé (son axe vertical est bien vertical) et que l'opérateur a maintenu la canne du prisme parfaitement verticale au-dessus du point P1 grâce à une nivelle sphérique bien réglée.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur instrument | hi | 1.652 | m |
| Hauteur prisme | hp | 1.800 | m |
| Dénivelée brute | ΔH' | 4.226 | m |
Astuces
Pour ne jamais se tromper, on peut regrouper les termes : \(\Delta H = \Delta H' + (h_i - h_p)\). Calculez d'abord la différence entre la hauteur de l'instrument et celle du prisme, puis ajoutez-la à la dénivelée brute.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On remplace chaque terme de la formule par sa valeur numérique.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La dénivelée réelle entre les bornes (4.078 m) est légèrement inférieure à la dénivelée brute (4.226 m). C'est logique, car la hauteur du prisme (hp=1.800m) était supérieure à la hauteur de l'instrument (hi=1.652m), ce qui a pour effet de "rabaisser" le point d'arrivée.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser l'addition de hi et la soustraction de hp. Rappelez-vous : on "monte" sur l'instrument depuis le point de départ (donc on ajoute sa hauteur), puis on "descend" de la hauteur du prisme pour arriver au point final (donc on soustrait sa hauteur).
Points à retenir
La dénivelée entre deux points au sol est la dénivelée instrumentale corrigée des hauteurs de l'instrument et du prisme. La formule \(\Delta H = h_i + \Delta H' - h_p\) est fondamentale.
Le saviez-vous ?
Les premières mesures de hauteur d'instrument étaient faites avec un simple mètre à ruban. Aujourd'hui, certaines stations totales sont équipées d'un laser qui mesure automatiquement la hauteur de l'instrument par rapport au sol, réduisant ainsi les risques d'erreur de lecture humaine.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec ΔH' = 7.870 m (question précédente), hi=1.500 m et hp=2.000 m, que devient ΔH ?
Question 3 : Déterminer l'altitude finale du point P1 (H_P1).
Principe
Le concept est celui de la conservation de l'altitude relative. L'altitude est une mesure par rapport à un niveau de référence commun (le zéro). Si nous connaissons l'altitude d'un point et la différence de hauteur pour atteindre un second point, l'altitude du second point est simplement la somme de l'altitude de départ et de cette différence.
Mini-Cours
En France, le système de référence altimétrique officiel est le Nivellement Général de la France (NGF), rattaché au marégraphe de Marseille qui définit le "zéro" altitude. Toutes les altitudes des points connus (comme ST1) sont exprimées dans ce système. Notre calcul propage cette référence de ST1 vers P1.
Remarque Pédagogique
Pensez à un escalier. Si vous savez que la première marche est à 10 mètres au-dessus de la rue (H_ST1) et que vous montez un escalier de 4 mètres de haut (ΔH), vous serez à 14 mètres au-dessus de la rue. Le calcul de l'altitude est aussi simple que cela.
Normes
La publication des altitudes des points géodésiques est régie par des organismes nationaux (comme l'IGN en France). L'utilisation d'un point de départ dont l'altitude est officiellement publiée garantit que le nouveau point calculé sera cohérent avec le reste du réseau national.
Formule(s)
La formule est une addition simple.
Hypothèses
L'hypothèse principale ici est que l'altitude du point de départ H_ST1 est considérée comme exacte et sans erreur pour les besoins de notre calcul.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude de départ | H_ST1 | 152.450 | m |
| Dénivelée totale | ΔH | 4.078 | m |
Astuces
Avant de calculer, vérifiez la cohérence : H_ST1 est environ 152m. ΔH est environ +4m. Le résultat doit donc être aux alentours de 156m. Cette estimation rapide permet de détecter d'éventuelles erreurs de frappe sur la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
L'application numérique finale.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat de 156.528 m est cohérent avec une dénivelée positive de 4.078 m depuis un point de départ à 152.450 m. L'angle vertical étant positif, il était attendu que l'altitude du point P1 soit supérieure à celle de ST1. Le calcul est donc plausible.
Points de vigilance
Faites attention aux arrondis. Il est recommandé de garder toutes les décimales possibles lors des calculs intermédiaires (comme pour ΔH') et de n'arrondir qu'à la toute fin, généralement à 3 décimales (le millimètre) pour un résultat d'altitude.
Points à retenir
Synthèse du Calcul :
- Concept Clé : Altitude Arrivée = Altitude Départ + Dénivelée.
- Formule Essentielle : \(H_{\text{final}} = H_{\text{départ}} + h_i + D_h \tan(V) - h_p\).
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas se tromper dans le mode d'angle (gons) et dans les signes (+hi, -hp).
Le saviez-vous ?
Le nivellement trigonométrique est beaucoup plus rapide que le nivellement direct (où l'on utilise une mire et un niveau) surtout en terrain accidenté, mais il est historiquement considéré comme un peu moins précis. Cependant, avec les stations totales modernes, les précisions obtenues sont excellentes pour la plupart des travaux.
FAQ
Questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'altitude de P1 si l'angle vertical mesuré avait été de -2.500 gon, toutes les autres données restant identiques.
Outil Interactif : Simulateur d'Altitude
Utilisez les curseurs pour faire varier la distance horizontale et l'angle vertical, et observez leur influence directe sur la dénivelée et l'altitude finale du point P1. Les autres données (H_ST1, hi, hp) sont celles de l'exercice.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un angle vertical mesuré est positif (+). Qu'est-ce que cela signifie ?
2. Si un topographe oublie de soustraire la hauteur du prisme (hp), quel sera l'impact sur le résultat ?
3. Qu'est-ce que le "gon" ou "grade" ?
4. Dans la formule finale, pourquoi ajoute-t-on la hauteur de l'instrument (hi) ?
- Altitude
- Élévation verticale d'un point par rapport à un niveau de référence, généralement le niveau moyen de la mer (géoïde).
- Dénivelée
- Différence d'altitude entre deux points.
- Gon (ou Grade)
- Unité de mesure d'angle. Un cercle complet est divisé en 400 gons, un angle droit mesure 100 gons.
- Nivellement Trigonométrique
- Ensemble des opérations consistant à déterminer la dénivelée entre deux points à l'aide de mesures d'angles verticaux et de distances.
- Station Totale
- Instrument de topographie qui mesure électroniquement les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances inclinées.
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