Étude Topographique

Calcul d’un point par rayonnement trigonométrique

Topographie : Calcul d'un Point par Rayonnement Trigonométrique

Calcul d'un point par rayonnement trigonométrique

Contexte : Déterminer les Coordonnées Complètes d'un Point

Le rayonnementMéthode de levé topographique où l'on détermine les coordonnées de plusieurs points depuis une seule station connue, en mesurant pour chaque point un angle horizontal, un angle vertical et une distance. est la méthode de base en topographie pour lever des points nouveaux. Depuis une station S dont les coordonnées (X, Y, Z) sont connues et après s'être orienté sur une référence connue, le topographe "rayonne" en visant les points à lever. Pour chaque point, il mesure un angle horizontal, un angle vertical et une distance. La combinaison de ces trois mesures permet de calculer les coordonnées complètes (X, Y, Z) du point visé. Cet exercice se concentre sur l'ensemble de ce processus de calcul.

Remarque Pédagogique : Le rayonnement est à la topographie ce que l'addition est à l'arithmétique : une opération fondamentale. Maîtriser ce calcul est indispensable pour comprendre comment sont créés les plans topographiques et comment sont implantés les projets de construction.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer un gisement à partir d'une référence et d'une lecture angulaire.
  • Convertir une distance inclinée en distance horizontale.
  • Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) d'un point.
  • Calculer la dénivelée et l'altitude (Z) d'un point.
  • Intégrer l'ensemble des calculs pour déterminer les coordonnées 3D complètes.

Données de l'étude

Un géomètre stationne un théodolite au point S, dont les coordonnées sont connues. Il s'oriente en visant une référence R, puis mesure les informations nécessaires pour calculer les coordonnées du point P.

Schéma du Rayonnement
N Station S (X, Y, Z connus) R (Réf.) P Di, Vp Gisement SR Lecture ang. L_P

Données connues :

  • Coordonnées de S : \(X_S = 750.12 \, \text{m}\) ; \(Y_S = 420.65 \, \text{m}\) ; \(Alt_S = 112.45 \, \text{m}\)
  • Gisement de la référence R depuis S : \(G_{SR} = 100.00 \, \text{gon}\)
  • Hauteur de l'instrument (tourillons) : \(h_t = 1.62 \, \text{m}\)
  • Hauteur du prisme : \(h_p = 1.85 \, \text{m}\)

Mesures vers le point P :

  • Lecture angulaire horizontale : \(L_P = 245.78 \, \text{gon}\)
  • Angle vertical : \(V_P = 95.15 \, \text{gon}\)
  • Distance inclinée : \(D_i = 62.41 \, \text{m}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement de S vers P (\(G_{SP}\)).
  2. Calculer la distance horizontale de S vers P (\(D_h\)).
  3. Calculer les coordonnées planimétriques du point P (\(X_P, Y_P\)).
  4. Calculer l'altitude du point P (\(Alt_P\)).

Correction : Calcul d'un Point par Rayonnement Trigonométrique

Question 1 : Gisement de S vers P (\(G_{SP}\))

Principe :
N Réf (G_SR) P (Lp) G_SP = G_SR + Lp

Le gisement d'un point est son orientation par rapport au Nord. L'instrument est d'abord orienté en visant une référence connue (R). La lecture sur le cercle horizontal est alors calée sur le gisement de cette référence. Ensuite, en tournant l'instrument pour viser le point P, on lit un nouvel angle horizontal (\(L_P\)). Le gisement du point P est simplement la somme du gisement de référence et de la lecture angulaire vers P.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le concept de gisement est fondamental en planimétrie. C'est l'angle qui donne la "direction" de la visée. Il est toujours compté dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction du Nord. Si le résultat du calcul dépasse 400 gon, on soustrait simplement 400 pour revenir dans l'intervalle [0, 400].

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{SP} = G_{SR} + L_P \pmod{400} \]
Donnée(s) :
  • Gisement de référence \(G_{SR} = 100.00 \, \text{gon}\)
  • Lecture angulaire vers P \(L_P = 245.78 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} G_{SP} &= 100.00 + 245.78 \\ &= 345.78 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Orientation de l'instrument : Une erreur fréquente sur le terrain est le "tour d'horizon" : oublier de prendre en compte le décalage de 200 gon si l'on observe avec la lunette "à gauche" puis "à droite". Ici, on suppose une mesure directe sans inversion de lunette.

Le saviez-vous ?

Avant les stations totales électroniques, le calcul du gisement se faisait manuellement. L'opérateur devait "caler le zéro" de son cercle horizontal sur la référence, ce qui était une source d'erreur importante. Aujourd'hui, l'électronique gère ces calculs automatiquement.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie "modulo 400" ?

C'est une opération mathématique qui donne le reste d'une division. Comme les angles sur un cercle "reviennent au début" après un tour complet (400 gon), on utilise le modulo pour s'assurer que le gisement final reste toujours entre 0 et 400 gon. Par exemple, si on obtenait 520 gon, le gisement réel serait \(520 \pmod{400} = 120 \, \text{gon}\).

Résultat : Le gisement de S vers P est \(G_{SP} = 345.78 \, \text{gon}\).

Question 2 : Distance Horizontale (\(D_h\))

Principe :
Di Dh Vp

L'instrument mesure la distance directe entre lui et le prisme, c'est la distance inclinée (\(D_i\)). Pour les calculs planimétriques, nous avons besoin de sa projection sur un plan horizontal, la distance horizontale (\(D_h\)). On l'obtient grâce à l'angle vertical (\(V_p\)) en utilisant la fonction sinus.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ne jamais utiliser la distance inclinée directement pour calculer les coordonnées X et Y. C'est une erreur fondamentale qui fausserait complètement la position du point sur un plan. La projection horizontale est une étape non négociable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_h = D_i \times \sin(V_p) \]
Donnée(s) :
  • Distance inclinée \(D_i = 62.41 \, \text{m}\)
  • Angle vertical \(V_p = 95.15 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ D_h = 62.41 \times \sin(95.15 \, \text{gon}) = 62.20 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Sinus vs Cosinus : Attention à la convention de l'angle vertical. Comme \(V_p\) est un angle zénithal (mesuré depuis la verticale), on utilise le sinus. Si l'on travaillait avec l'angle par rapport à l'horizontale (\(100 - V_p\)), il faudrait utiliser le cosinus. Le résultat serait identique.

Le saviez-vous ?

Les instruments modernes affichent souvent directement la distance horizontale (\(D_h\)) et la dénivelée (\(\Delta H\)) en plus de la distance inclinée (\(D_i\)), car le microprocesseur interne effectue ces calculs en temps réel. Comprendre la formule reste cependant essentiel pour vérifier les ordres de grandeur.

FAQ en rapport avec la question :
La distance horizontale est-elle toujours plus courte que la distance inclinée ?

Oui, toujours, sauf dans le cas théorique où la visée est parfaitement horizontale (\(V_p = 100 \, \text{gon}\)). Dans ce cas, \(\sin(100 \, \text{gon}) = 1\), et \(D_h = D_i\). Dans tous les autres cas, \(\sin(V_p)\) est inférieur à 1, donc \(D_h < D_i\). La distance horizontale est le côté adjacent d'un triangle rectangle dont la distance inclinée est l'hypoténuse.

Résultat : La distance horizontale de S vers P est \(D_h \approx 62.20 \, \text{m}\).

Question 3 : Coordonnées Planimétriques (\(X_P, Y_P\))

Principe :
ΔX ΔY S P Dh, G_SP

Les coordonnées du point P sont obtenues en ajoutant aux coordonnées de la station S les différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Ces dernières sont calculées à partir du gisement (\(G_{SP}\)) et de la distance horizontale (\(D_h\)) par projection trigonométrique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Faites attention aux signes ! Selon le quadrant dans lequel se trouve le gisement, le sinus et le cosinus peuvent être positifs ou négatifs, ce qui donnera des \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) positifs ou négatifs. Un schéma rapide est souvent utile pour vérifier la cohérence des signes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X = D_h \times \sin(G_{SP}) \quad \Rightarrow \quad X_P = X_S + \Delta X \]
\[ \Delta Y = D_h \times \cos(G_{SP}) \quad \Rightarrow \quad Y_P = Y_S + \Delta Y \]
Donnée(s) :
  • Coordonnées de S : \(X_S = 750.12 \, \text{m}\) ; \(Y_S = 420.65 \, \text{m}\)
  • Gisement \(G_{SP} = 345.78 \, \text{gon}\)
  • Distance horizontale \(D_h = 62.20 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \Delta X = 62.20 \times \sin(345.78 \, \text{gon}) = -52.39 \, \text{m} \]
\[ X_P = 750.12 + (-52.39) = 697.73 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y = 62.20 \times \cos(345.78 \, \text{gon}) = 33.54 \, \text{m} \]
\[ Y_P = 420.65 + 33.54 = 454.19 \, \text{m} \]
Points de vigilance :

Inversion X/Y : Une erreur classique est d'inverser les formules : utiliser le cosinus pour \(\Delta X\) et le sinus pour \(\Delta Y\). Cela vient souvent d'une confusion avec le cercle trigonométrique mathématique. En topographie, le Nord est l'origine des angles (axe Y), donc \(\Delta X\) est bien lié au sinus et \(\Delta Y\) au cosinus.

Le saviez-vous ?

Les systèmes de coordonnées utilisés en topographie (comme le Lambert 93 en France) sont des projections. Ils permettent de représenter la surface courbe de la Terre sur un plan, ce qui induit de légères déformations. Pour les chantiers locaux, ces déformations sont négligeables.

FAQ en rapport avec la question :
Comment vérifier le quadrant du gisement ?

Un gisement entre 300 et 400 gon se situe dans le quadrant Nord-Ouest. On s'attend donc à un \(\Delta X\) négatif (vers l'Ouest) et un \(\Delta Y\) positif (vers le Nord), ce qui est bien le cas dans nos calculs.

Résultat : Les coordonnées de P sont \(X_P = 697.73 \, \text{m}\) et \(Y_P = 454.19 \, \text{m}\).

Question 4 : Altitude du Point P (\(Alt_P\))

Principe :
Niveau Zéro (mer) Alt_S + ΔH Alt_P

Le calcul de l'altitude est identique à celui du nivellement trigonométrique simple. On calcule d'abord la dénivelée brute (\(\Delta H_{\text{brute}}\)) à partir de la distance inclinée et de l'angle vertical, puis on la corrige avec les hauteurs d'instrument et de prisme pour obtenir la dénivelée finale (\(\Delta H\)). Enfin, on ajoute cette dénivelée à l'altitude de la station.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul de l'altitude (Z) est indépendant des calculs planimétriques (X, Y). Ils utilisent des mesures différentes (angle vertical vs angle horizontal) mais sont réalisés en même temps sur le terrain, ce qui rend la méthode du rayonnement si efficace.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H_{\text{brute}} = D_i \times \cos(V_p) \]
\[ Alt_P = Alt_S + h_t + \Delta H_{\text{brute}} - h_p \]
Donnée(s) :
  • \(Alt_S = 112.45 \, \text{m}\), \(h_t = 1.62 \, \text{m}\), \(h_p = 1.85 \, \text{m}\)
  • \(D_i = 62.41 \, \text{m}\), \(V_p = 95.15 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
\[ \Delta H_{\text{brute}} = 62.41 \times \cos(95.15 \, \text{gon}) = 4.75 \, \text{m} \]
\[ \begin{aligned} Alt_P &= 112.45 + 1.62 + 4.75 - 1.85 \\ &= 116.97 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Formule de la dénivelée : Attention à ne pas utiliser la distance horizontale (\(D_h\)) pour le calcul de la dénivelée brute. La formule correcte utilise la distance inclinée (\(D_i\)) et le cosinus de l'angle vertical zénithal, ou la distance horizontale (\(D_h\)) et la tangente de l'angle zénithal (100-V), comme vu dans l'exercice précédent. Les deux méthodes donnent le même résultat pour \(\Delta H_{\text{brute}}\).

Le saviez-vous ?

Les satellites GPS calculent en permanence leur position par une méthode similaire appelée "trilatération", mais dans l'espace à 3 dimensions. Le récepteur mesure le temps que met le signal à lui parvenir depuis plusieurs satellites (ce qui donne une distance) et en déduit sa position à l'intersection des sphères de rayon correspondant.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la dénivelée brute est-elle différente de celle de la question 2 de l'exercice précédent ?

Dans l'exercice précédent (nivellement), nous avions calculé la dénivelée brute avec la distance horizontale (\(D_h\)) et la tangente. Ici, nous utilisons la distance inclinée (\(D_i\)) et le cosinus. Les deux approches sont valides et mènent au même résultat : \(D_h \times \tan(100-V) = (D_i \times \sin(V)) \times (\cos(V)/\sin(V)) = D_i \times \cos(V)\). L'utilisation de \(D_i\) et \(\cos(V)\) est souvent plus directe car ce sont les mesures brutes de l'instrument.

Résultat : L'altitude du point P est \(Alt_P = 116.97 \, \text{m}\).

Simulation Interactive du Rayonnement

Faites varier les mesures pour observer comment la position du point P change en temps réel.

Paramètres de Mesure
Coordonnée Xp
Coordonnée Yp
Altitude Zp
Position du Point P

Pour Aller Plus Loin : Le Cheminement

De point en point : Le rayonnement permet de lever des points visibles depuis une station. Mais comment faire pour lever des points plus loin, cachés par le relief ou des bâtiments ? Les topographes utilisent une technique appelée "cheminement". Ils créent une série de stations intermédiaires (S1, S2, S3...). Depuis S1, ils rayonnent S2. Puis ils déplacent l'instrument en S2, rayonnent S3, et ainsi de suite, se déplaçant de proche en proche pour couvrir de grandes zones. Les calculs sont une succession de rayonnements.

Le Saviez-Vous ?

Le mot "gisement" vient du verbe "gésir" (être couché, être situé). En ancien français, il désignait la direction dans laquelle se trouvait un gisement de minerai. Le terme a été conservé en topographie pour désigner la direction d'un point.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la référence R n'est pas au gisement 100 gon ?

Le gisement de la référence peut être n'importe quelle valeur. Si \(G_{SR}\) était de 250.00 gon, par exemple, le calcul serait \(G_{SP} = 250.00 + 245.78 = 495.78\), ce qui, après correction du modulo, donnerait \(G_{SP} = 95.78 \, \text{gon}\). Le principe reste le même.

Peut-on calculer les coordonnées sans connaître l'altitude de S ?

Oui, on peut tout à fait calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) du point P sans connaître l'altitude de la station S, car les calculs planimétriques (gisement, distance horizontale, \(\Delta X, \Delta Y\)) sont indépendants du calcul altimétrique. On obtiendrait la position en plan du point P, mais son altitude resterait inconnue.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on se trompe et qu'on utilise la distance inclinée (Di) au lieu de la distance horizontale (Dh) pour calculer X et Y, les coordonnées du point P seront :

2. Un gisement de 200 gon correspond à une visée plein :

Glossaire

Rayonnement
Méthode de levé topographique où l'on détermine les coordonnées de plusieurs points depuis une seule station connue, en mesurant pour chaque point un angle horizontal, un angle vertical et une distance.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. Il définit l'orientation d'une direction.
Distance Inclinée (Di)
Distance directe mesurée entre l'instrument et le prisme, suivant la pente du terrain.
Distance Horizontale (Dh)
Projection de la distance inclinée sur un plan parfaitement horizontal. C'est la distance utilisée pour les calculs de coordonnées en plan.
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