Étude Topographique

Vérification de la Tolérance de Fermeture Linéaire

Exercice : Tolérance de Fermeture Planimétrique

Vérification de la Tolérance de Fermeture Linéaire

Contexte : Le cheminement polygonalOpération topographique consistant à mesurer une suite de distances et d'angles entre des points appelés stations pour déterminer leurs coordonnées. est une méthode fondamentale en topographie.

Après avoir effectué des mesures sur le terrain pour un cheminement fermé (dont le point de départ est aussi le point d'arrivée), il est impératif de vérifier la précision des mesures. Cette vérification passe par le calcul de l'erreur de fermeture, qui est la différence entre les coordonnées de départ et les coordonnées calculées à la fin du parcours. Cette erreur est ensuite comparée à une tolérance réglementaire pour valider ou invalider le levé.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul et de vérification d'un cheminement planimétrique, une compétence essentielle pour tout technicien géomètre-topographe.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les gisements de chaque côté du cheminement.
  • Déterminer les composantes de l'erreur de fermeture (\(f_X\) et \(f_Y\)).
  • Calculer l'erreur de fermeture linéaire totale (\(f_L\)).
  • Comparer cette erreur à la tolérance légale et conclure sur la validité du levé.

Données de l'étude

Un géomètre a réalisé un cheminement polygonal fermé à 4 sommets (A, B, C, D). Les observations angulaires et les distances mesurées sur le terrain, ainsi que les coordonnées du point de départ, sont consignées ci-dessous.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de cheminement Polygonal fermé rattaché en orientation
Coordonnées de départ (Point A) X = 1000.00 m | Y = 500.00 m
Gisement de départ (GA0) 100.000 gon
Tolérance réglementaire (classe canevas ordinaire) \(T_L = 0.14\sqrt{L_{\text{km}}} + 0.15\) (en m)
Schéma du cheminement polygonal fermé
N E A B C D D-AB = 84.30m D-BC = 112.50m D-CD = 98.10m D-DA = 107.60m αA αB αC αD
Station Angle intérieur mesuré (gon) Côté Distance mesurée (m)
A110.500AB84.30
B98.200BC112.50
C85.300CD98.10
D106.000DA107.60

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement de chaque côté du cheminement, sachant que la compensation angulaire a déjà été effectuée.
  2. À partir des gisements et des distances, calculer les variations en coordonnées (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\)) pour chaque côté.
  3. Déterminer les erreurs de fermeture en abscisse (\(f_X\)) et en ordonnée (\(f_Y\)).
  4. Calculer l'erreur de fermeture linéaire totale (\(f_L\)).
  5. Calculer la tolérance réglementaire pour ce cheminement et conclure sur la validité des mesures.

Les bases du calcul de cheminement planimétrique

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les formules de base de la topométrie planimétrique.

1. Calcul de Gisement
Le gisement d'un côté est l'angle qu'il forme avec l'axe des Y (le Nord). On le propage de station en station. \[ G_{n, n+1} = G_{n-1, n} + \alpha_n \pm 200 \text{ gon} \] On ajoute ou soustrait 200 gon pour ramener l'angle dans l'intervalle [0, 400].

2. Calcul des Coordonnées Partielles
Les variations en X (abscisse) et Y (ordonnée) sont calculées par projection du vecteur distance sur les axes. \[ \Delta X_{AB} = D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \] \[ \Delta Y_{AB} = D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \]

3. Calcul de l'Erreur de Fermeture
Dans un cheminement fermé, la somme des ΔX et des ΔY doit être nulle. Toute différence représente l'erreur. \[ f_X = \sum \Delta X \quad ; \quad f_Y = \sum \Delta Y \] \[ f_L = \sqrt{f_X^2 + f_Y^2} \]

Correction : Vérification de la Tolérance de Fermeture Linéaire

Question 1 : Calculer le gisement de chaque côté

Principe

Le concept physique ici est la conservation de l'orientation. On part d'une direction connue (le gisement de départ) et on la fait "tourner" à chaque station en fonction de l'angle mesuré, pour connaître l'orientation de la visée suivante.

Mini-Cours

Le gisement est l'angle fondamental en topographie. Il est toujours compté positivement dans le sens horaire à partir de la direction de référence, qui est l'axe des Y (le Nord). Un gisement de 0 gon vise le Nord, 100 gon l'Est, 200 gon le Sud, et 300 gon l'Ouest.

Remarque Pédagogique

Imaginez-vous à chaque station. Vous regardez dans la direction d'où vous venez (le gisement précédent). Vous tournez ensuite de l'angle mesuré. La nouvelle direction que vous regardez est le nouveau gisement. La correction de ±200 gon sert juste à formaliser le fait que vous regardez maintenant "vers l'avant" et non plus "vers l'arrière".

Normes

La méthode de calcul par propagation de gisement est une pratique universelle en topométrie. Elle ne découle pas d'une norme spécifique mais des principes fondamentaux de la géométrie euclidienne plane.

Formule(s)

Formule de propagation de gisement

\[ G_{\text{suivant}} = G_{\text{précédent}} + \alpha_{\text{station}} \pm 200 \text{ gon} \]
Hypothèses
  • Le levé est réalisé dans un système de projection plan, où la Terre est considérée comme plate.
  • Les angles intérieurs fournis ont déjà été compensés, leur somme théorique est donc respectée.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Gisement de départ\(G_{A0}\)100.000\text{gon}
Angle en A\(\alpha_A\)110.500\text{gon}
Angle en B\(\alpha_B\)98.200\text{gon}
Angle en C\(\alpha_C\)85.300\text{gon}
Angle en D\(\alpha_D\)106.000\text{gon}
Astuces

Pour savoir s'il faut faire +200 ou -200, une astuce simple : si (\(G_{\text{précédent}} + \alpha\)) est inférieur à 200, faites +200. Si c'est supérieur, faites -200. Le but est de rester dans un tour d'horizon logique.

Schéma (Avant les calculs)
Propagation du Gisement Initial en A
Nord Est Station A G A0 = 100g Visée de référence αA = 110.5g G AB = ?
Calcul(s)

Calcul du gisement AB

\[ \begin{aligned} G_{AB} &= G_{A0} + \alpha_A \\ &= 100.000 + 110.500 \\ &= 210.500 \text{ gon} \end{aligned} \]

Calcul du gisement BC

\[ \begin{aligned} G_{BC} &= G_{AB} + \alpha_B - 200 \\ &= 210.500 + 98.200 - 200 \\ &= 108.700 \text{ gon} \end{aligned} \]

Calcul du gisement CD

\[ \begin{aligned} G_{CD} &= G_{BC} + \alpha_C - 200 \\ &= 108.700 + 85.300 - 200 \\ &= -6.000 \\ &\Rightarrow 394.000 \text{ gon} \end{aligned} \]

Calcul du gisement DA

\[ \begin{aligned} G_{DA} &= G_{CD} + \alpha_D - 200 \\ &= 394.000 + 106.000 - 200 \\ &= 300.000 \text{ gon} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des gisements calculés
N (0g) E (100g) S (200g) O (300g) G AB (210.5g) G BC (108.7g) G CD (394.0g) G DA (300.0g)
Réflexions

L'obtention des gisements est la première étape cruciale. Chaque gisement nous donne l'orientation d'un côté par rapport à un système de référence global, nous permettant de transformer des mesures locales (angles et distances) en informations globales (coordonnées).

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la gestion du "+200" ou "-200". Une erreur à ce niveau fausse tous les gisements suivants et donc l'ensemble du calcul. Prenez le temps de vérifier la logique à chaque étape.

Points à retenir

La formule de transmission de gisement est l'un des piliers du calcul topométrique. Elle lie l'orientation d'un côté à celle du précédent via l'angle mesuré entre les deux.

Le saviez-vous ?

Le "gon" (ou grade) a été introduit en France après la Révolution pour décimaliser les unités. Un angle droit vaut 100 gon, un tour complet 400 gon. Cela simplifiait les calculs trigonométriques à une époque où les calculatrices n'existaient pas.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on le terme ±200 gon ?

L'angle mesuré \(\alpha\) est l'angle entre la direction "arrière" (côté précédent) et la direction "avant" (côté suivant). Le gisement précédent est l'orientation de la direction "arrière". Pour obtenir l'orientation de la direction "avant", il faut ajouter l'angle \(\alpha\). Le ±200 gon est une correction pour passer de l'orientation du côté précédent à l'orientation de la direction "arrière".

Résultat Final
Les gisements calculés sont : \(G_{AB} = 210.500\) gon, \(G_{BC} = 108.700\) gon, \(G_{CD} = 394.000\) gon, et \(G_{DA} = 300.000\) gon.
A vous de jouer

Si l'angle en B (\(\alpha_B\)) avait été mesuré à 101.200 gon, quel aurait été le nouveau gisement G_BC ?

Question 2 : Calculer les variations en coordonnées (\(\Delta X\) et \(\Delta Y\))

Principe

C'est une application directe de la trigonométrie. Chaque côté mesuré (distance) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont les projections sur l'axe des X et l'axe des Y. Le gisement nous donne l'orientation de ce triangle.

Mini-Cours

Dans le cercle trigonométrique topographique (sens horaire, origine au Nord), la projection sur l'axe des X (Est) est donnée par le sinus du gisement, et la projection sur l'axe des Y (Nord) est donnée par le cosinus. \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) sont les "coordonnées relatives" d'un point par rapport au précédent.

Remarque Pédagogique

Visualisez chaque côté comme un déplacement. Si vous marchez 84.30m dans la direction 210.500 gon, de combien vous êtes-vous déplacé vers l'Est (\(\Delta X\)) et vers le Nord (\(\Delta Y\)) ? Les formules répondent à cette question.

Normes

Ces calculs relèvent des conventions mathématiques et topographiques standard et ne sont pas régis par une norme spécifique.

Formule(s)

Formule de calcul de la variation en X

\[ \Delta X = D \cdot \sin(G) \]

Formule de calcul de la variation en Y

\[ \Delta Y = D \cdot \cos(G) \]
Hypothèses
  • Les distances fournies sont des distances horizontales.
  • Les gisements calculés à l'étape 1 sont considérés comme exacts pour ce calcul.
Donnée(s)
CôtéDistance (m)Gisement (gon)
AB84.30210.500
BC112.50108.700
CD98.10394.000
DA107.60300.000
Astuces

Avant de calculer, estimez le signe de vos \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) en fonction du quadrant du gisement. Entre 0-100 gon : +Y, +X. Entre 100-200 gon : -Y, +X. Entre 200-300 gon : -Y, -X. Entre 300-400 gon : +Y, -X. Cela permet de repérer rapidement les erreurs de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Projection d'un côté (AB)
Nord (Y+) Est (X+) A D AB B ΔX AB ΔY AB G AB
Calcul(s)
Côté\(\Delta X\) (\(\text{m}\))\(\Delta Y\) (\(\text{m}\))
AB-13.842-83.159
BC+111.458-15.308
CD-9.231+97.659
DA-107.600+0.000
Schéma (Après les calculs)
Décomposition du cheminement en ΔX et ΔY
Décomposition du cheminement en ΔX et ΔY A B C D A' ΔXab ΔYab ΔXbc ΔYbc ΔXcd ΔYcd ΔXda
Réflexions

Ces coordonnées partielles sont les briques élémentaires de notre calcul. Elles décomposent le parcours 2D en une série de déplacements simples le long des axes. La prochaine étape consistera à les sommer pour voir si le parcours boucle parfaitement.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "gon" (parfois appelé "gradian" ou "grade"). C'est l'erreur la plus commune à ce stade. Vérifiez aussi les signes de vos résultats par rapport au quadrant du gisement.

Points à retenir

Les formules \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\) sont au cœur de la topométrie. Il est crucial de les connaître et de savoir les appliquer sans hésitation.

Le saviez-vous ?

Les premiers instruments topographiques, comme le graphomètre, ne mesuraient pas les angles avec la même précision que les théodolites modernes. Les calculs étaient donc plus complexes et sujets à des erreurs plus importantes, ce qui rendait les vérifications de fermeture encore plus cruciales.

FAQ
Pourquoi sin pour X et cos pour Y ?

Cela vient de la convention topographique où l'angle (gisement) est mesuré depuis l'axe Y (Nord). Dans le cercle trigonométrique mathématique classique, l'angle est mesuré depuis l'axe X, et les formules sont inversées (\(\Delta X = D \cdot \cos(\theta)\), \(\Delta Y = D \cdot \sin(\theta)\)). Il ne faut pas confondre les deux conventions.

Résultat Final
Les variations en coordonnées sont calculées et présentées dans le tableau de l'étape "Calcul(s)".
A vous de jouer

Pour le côté BC, si la distance mesurée était de 115.00 m (au lieu de 112.50 m), quelle serait la nouvelle valeur de \(\Delta X_{BC}\) ?

Question 3 : Déterminer les erreurs de fermeture \(f_X\) et \(f_Y\)

Principe

Le concept est celui d'un parcours fermé. Si vous partez d'un point et que vous y revenez, votre déplacement total est nul. En topométrie, la somme de tous les déplacements partiels (les \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)) devrait donc être égale à zéro. Si ce n'est pas le cas, la somme résiduelle est l'erreur commise.

Mini-Cours

Les erreurs \(f_X\) et \(f_Y\) représentent les composantes du vecteur d'erreur de fermeture. Ce vecteur relie le point de départ initial au point d'arrivée final calculé. Sa connaissance est indispensable avant de procéder à la compensation du cheminement.

Remarque Pédagogique

Faire la somme des colonnes \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) est un simple test arithmétique qui a une signification physique profonde : il quantifie l'incohérence globale de vos mesures. C'est le premier diagnostic de santé de votre levé.

Normes

Le calcul des sommes algébriques est une méthode mathématique standard.

Formule(s)

Formule de l'erreur de fermeture en X

\[ f_X = \sum_{i=1}^{n} \Delta X_i \]

Formule de l'erreur de fermeture en Y

\[ f_Y = \sum_{i=1}^{n} \Delta Y_i \]
Hypothèses

On suppose que les calculs des \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) de la question précédente sont corrects.

Donnée(s)
Côté\(\Delta X\) (m)\(\Delta Y\) (m)
AB-13.842-83.159
BC+111.458-15.308
CD-9.231+97.659
DA-107.600+0.000
Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul sur de longues listes, faites la somme des valeurs positives d'un côté, la somme des valeurs négatives de l'autre, puis la soustraction finale. Cela limite les fautes d'inattention.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration de l'erreur de fermeture
Illustration de l'erreur de fermeture A (Départ) A (Retour) Parcours idéal A' (Calculé) Parcours calculé Erreur ?
Calcul(s)

Calcul de l'erreur de fermeture en X (\(f_X\))

\[ \begin{aligned} f_X &= (-13.842) + (111.458) + (-9.231) + (-107.600) \\ &= -19.215 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'erreur de fermeture en Y (\(f_Y\))

\[ \begin{aligned} f_Y &= (-83.159) + (-15.308) + (97.659) + (0.000) \\ &= -0.808 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Erreur de Fermeture
Vecteur Erreur de Fermeture A (Départ) A' (Calculé) fX = -19.215 m fY = -0.808 m fL
Réflexions

Le résultat n'est pas nul, ce qui est normal car toute mesure physique comporte des erreurs. Cependant, l'ampleur de ces erreurs (près de 20 mètres !) est très anormale pour un cheminement de 400m et suggère une faute grossière, et non de simples imprécisions de mesure.

Points de vigilance

Une simple erreur de signe dans une des valeurs de \(\Delta X\) ou \(\Delta Y\) peut complètement changer le résultat. Une double vérification de la somme est toujours une bonne idée.

Points à retenir

La somme des \(\Delta X\) et des \(\Delta Y\) est la méthode directe pour quantifier l'erreur de fermeture planimétrique d'un cheminement fermé.

Le saviez-vous ?

Avant l'informatique, ces sommes étaient souvent réalisées graphiquement en dessinant le cheminement à grande échelle sur un "canevas". L'écart final entre le point de départ et d'arrivée était alors directement mesuré sur le dessin.

FAQ
Est-ce que \(f_X\) et \(f_Y\) peuvent être positifs ?

Oui, le signe de \(f_X\) et \(f_Y\) dépend de la direction globale de l'erreur. Un \(f_X\) positif signifie que le point d'arrivée calculé est à l'Est du point de départ. Un \(f_Y\) négatif signifie qu'il est au Sud.

Résultat Final
L'erreur de fermeture est de \(f_X = -19.215\) m et \(f_Y = -0.808\) m.
A vous de jouer

Si l'erreur en X était de +0.035 m et l'erreur en Y de -0.042 m, cela vous semblerait-il plus cohérent pour un cheminement de cette longueur ?

Question 4 : Calculer l'erreur de fermeture linéaire totale \(f_L\)

Principe

On utilise le théorème de Pythagore. Les erreurs \(f_X\) et \(f_Y\) forment les deux côtés d'un triangle rectangle. L'erreur de fermeture linéaire \(f_L\) est l'hypoténuse de ce triangle, représentant la distance directe entre le point de départ et le point d'arrivée calculé.

Mini-Cours

\(f_L\) est une valeur scalaire (toujours positive) qui synthétise l'erreur totale en une seule valeur, facile à comparer à la tolérance. Elle ne donne cependant pas la direction de l'erreur, contrairement au couple (\(f_X\), \(f_Y\)).

Remarque Pédagogique

Ce calcul transforme une erreur en deux dimensions (un vecteur) en une seule valeur de distance. C'est cette distance que l'on va comparer à la "marge d'erreur" autorisée, la tolérance.

Normes

Le théorème de Pythagore est un fondement des mathématiques.

Formule(s)

Formule de l'erreur de fermeture linéaire

\[ f_L = \sqrt{f_X^2 + f_Y^2} \]
Hypothèses

Le système de coordonnées est supposé orthonormé (axes X et Y perpendiculaires).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Erreur en X\(f_X\)-19.215\text{m}
Erreur en Y\(f_Y\)-0.808\text{m}
Astuces

Notez que les carrés de \(f_X\) et \(f_Y\) seront toujours positifs, donc pas de risque d'erreur de signe sous la racine. \(f_L\) sera toujours au moins aussi grande que la plus grande des deux composantes (\(|f_X|\) ou \(|f_Y|\)).

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de l'erreur de fermeture
Triangle de l'erreur de fermeture fX = -19.215 m fY = -0.808 m fL = ?
Calcul(s)

Calcul de l'erreur de fermeture linéaire (\(f_L\))

\[ \begin{aligned} f_L &= \sqrt{(-19.215)^2 + (-0.808)^2} \\ &= \sqrt{369.216 + 0.653} \\ &= \sqrt{369.869} \\ &= 19.232 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle de l'erreur de fermeture avec résultat
Triangle de l'erreur de fermeture avec résultat fX = -19.215 m fY = -0.808 m fL = 19.232 m
Réflexions

Une erreur de fermeture de plus de 19 mètres est rédhibitoire. Avant même de calculer la tolérance officielle, l'expérience du topographe lui indique qu'une faute a été commise. Le calcul de tolérance qui suit ne fera que confirmer formellement ce constat.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre les composantes au carré avant de les sommer, ou de faire la racine carrée de chaque terme séparément. Appliquez bien la formule de Pythagore.

Points à retenir

\(f_L\) est la norme du vecteur erreur. C'est la valeur finale qui sera comparée à la tolérance pour valider le levé.

Le saviez-vous ?

Dans les calculs 3D (cheminement avec altitude), il existe une troisième composante d'erreur, \(f_Z\), et une erreur de fermeture totale 3D calculée avec \(f_{\text{3D}} = \sqrt{f_X^2 + f_Y^2 + f_Z^2}\).

FAQ
Pourquoi ne garde-t-on pas les signes de \(f_X\) et \(f_Y\) ?

\(f_L\) est une distance, elle est donc par définition positive. Les signes des composantes sont utilisés plus tard lors de la compensation pour savoir dans quelle direction corriger les mesures, mais pas pour la validation par rapport à la tolérance.

Résultat Final
L'erreur de fermeture linéaire totale est de \(f_L = 19.232\) m.
A vous de jouer

Avec les erreurs plus réalistes de \(f_X = +0.035\) m et \(f_Y = -0.042\) m, quelle serait la valeur de \(f_L\) (en m) ?

Question 5 : Comparer l'erreur à la tolérance et conclure

Principe

C'est l'étape du jugement. On compare la précision réellement atteinte sur le terrain (notre erreur \(f_L\)) avec la précision minimale exigée par la réglementation (la tolérance \(T_L\)). Le verdict est binaire : soit c'est accepté, soit c'est refusé.

Mini-Cours

Les tolérances ne sont pas arbitraires. Elles découlent d'analyses statistiques sur la propagation des erreurs en fonction de la qualité des instruments et des méthodes employées. La formule contient souvent un terme fixe (erreurs de centrage, de lecture) et un terme variable lié à la longueur (erreurs de visée, de mesure de distance).

Remarque Pédagogique

Cette comparaison est le moment de vérité pour le topographe. Elle valide des heures ou des jours de travail sur le terrain. Un résultat "hors tolérance" implique de devoir analyser ses mesures pour trouver la faute, voire de retourner sur le terrain.

Normes

La formule utilisée ici est issue de l'Arrêté du 21 janvier 1980 (modifié) relatif aux tolérances applicables aux levés à grande échelle entrepris par les services publics en France. Il définit plusieurs classes de précision pour les canevas.

Formule(s)

Formule de la longueur totale

\[ L_{\text{km}} = \frac{\sum D_i}{1000} \]

Formule de la tolérance pour un canevas ordinaire

\[ T_L = 0.14\sqrt{L_{\text{km}}} + 0.15 \quad (\text{en m}) \]
Hypothèses

On suppose que la classe de "canevas ordinaire" est bien celle qui s'applique au travail demandé.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Somme des longueurs\(\sum D_i\)402.50\text{m}
Erreur de fermeture linéaire\(f_L\)19.232\text{m}
Astuces

Attention aux unités ! La longueur \(L\) doit être en kilomètres dans la formule de la tolérance. C'est une erreur classique de l'oublier et de fausser le calcul de \(T_L\).

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de l'Erreur à la Tolérance
Comparaison Erreur vs Tolérance (Avant Calcul) Erreur (fL): 19.232 m Tolérance (TL): ? m
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la longueur totale du cheminement

\[ \begin{aligned} L &= 84.30 + 112.50 + 98.10 + 107.60 \\ &= 402.50 \text{ m} \\ &= 0.4025 \text{ km} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la tolérance réglementaire

\[ \begin{aligned} T_L &= 0.14 \times \sqrt{0.4025} + 0.15 \\ &= 0.14 \times 0.634 + 0.15 \\ &= 0.089 + 0.15 \\ &= 0.239 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Comparaison formelle

\[ 19.232 \text{ m} > 0.239 \text{ m} \Rightarrow f_L > T_L \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Comparaison
Résultat de la Comparaison Erreur (fL): 19.232 m Tolérance (TL): 0.239 m HORS TOLÉRANCE : LEVÉ REJETÉ
Réflexions

La conclusion est sans appel. L'erreur commise est presque 80 fois supérieure à l'erreur maximale autorisée. Le travail est inexploitable en l'état. Une faute grossière (erreur de lecture d'un angle, mauvaise retranscription d'une distance, etc.) a certainement été commise et doit être identifiée.

Points de vigilance

Ne jamais compenser un cheminement qui est hors tolérances ! La compensation n'est pas faite pour "cacher" des fautes, mais pour répartir de manière logique les petites erreurs de mesure inévitables dans un levé qui a été validé.

Points à retenir

La validation d'un levé topographique se termine toujours par la comparaison de l'erreur de fermeture à la tolérance en vigueur. C'est une étape non négociable qui garantit la qualité et la fiabilité des plans qui en découleront.

Le saviez-vous ?

Les chantiers de très haute précision, comme le positionnement des aimants dans l'accélérateur de particules du CERN, utilisent des cheminements avec des tolérances qui se comptent en quelques dizaines de micromètres (millionièmes de mètre) !

FAQ
Que se passe-t-il si \(f_L\) est très proche de \(T_L\) (ex: \(f_L = 0.238\) m) ?

Réglementairement, le levé est accepté. Cependant, un bon professionnel s'interrogera sur la qualité de son travail. Être "juste dans les clous" peut indiquer des conditions de mesure difficiles ou une accumulation d'erreurs maximales. Si possible, une vérification de certaines mesures pourrait être judicieuse.

Résultat Final
Comme \(f_L (19.232 \text{ m}) \gg T_L (0.239 \text{ m})\), le levé est formellement rejeté.
A vous de jouer

Pour un cheminement de précision de 2 km, la tolérance est \(T_L = 0.04\sqrt{L_{\text{km}}} + 0.05\). Calculez cette tolérance (en m).

Outil Interactif : Calculateur de Tolérance

Utilisez ce simulateur pour estimer la tolérance planimétrique pour différentes longueurs de cheminement et classes de précision.

Paramètres d'Entrée
400 m
Résultats Clés
Tolérance Linéaire (cm) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente physiquement l'erreur de fermeture linéaire d'un cheminement fermé ?

2. Quelle est la formule correcte pour calculer la variation en abscisse (\(\Delta X\)) ?

3. Si l'erreur de fermeture calculée est supérieure à la tolérance réglementaire, que doit faire le topographe ?

4. Comment se nomme l'opération qui consiste à répartir l'erreur de fermeture sur l'ensemble des mesures ?

5. De quoi dépend principalement la tolérance de fermeture d'un cheminement ?

Cheminement
Opération topographique consistant à mesurer une suite de distances et d'angles entre des points (stations) pour déterminer leurs coordonnées de proche en proche.
Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à une direction donnée. Il varie de 0 à 400 gons.
Tolérance de Fermeture
Erreur maximale admissible, fixée par la réglementation ou un cahier des charges, pour qu'un levé topographique soit considéré comme valide.
Compensation
Opération de calcul consistant à répartir les erreurs de fermeture (angulaire et linéaire) sur l'ensemble des mesures du cheminement, une fois que celui-ci a été jugé acceptable.
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