Calcul des Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
Contexte : Du Terrain aux Coordonnées
Après avoir orienté le cheminement en calculant les gisements, l'étape finale avant la compensation planimétrique consiste à transformer chaque côté du polygone (défini par une distance et un gisement) en ses composantes rectangulaires : ΔX (delta X) et ΔY (delta Y). Le ΔX représente le déplacement le long de l'axe Est-Ouest, et le ΔY le déplacement le long de l'axe Nord-Sud. Ce calcul est une application directe de la trigonométrie et constitue le pont entre les mesures polaires du terrain et le système de coordonnées cartésien de la carte.
Remarque Pédagogique : C'est à cette étape que le levé prend véritablement sa forme sur le papier. Chaque ΔX et ΔY est un vecteur qui, mis bout à bout, reconstitue le cheminement. Théoriquement, pour un cheminement fermé, la somme de tous les ΔX et de tous les ΔY devrait être nulle, car on revient au point de départ. En pratique, ce ne sera jamais le cas, ce qui nous mènera à la dernière étape : la compensation des coordonnées.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la signification de ΔX et ΔY.
- Maîtriser les formules trigonométriques pour calculer les coordonnées partielles à partir d'un gisement et d'une distance.
- Appliquer les formules à tous les côtés d'un cheminement.
- Identifier les signes de ΔX et ΔY en fonction du quadrant du gisement.
Données de l'étude
Schéma du Cheminement avec Distances
| Côté | Gisement (G) [gon] | Distance (D) [m] |
|---|---|---|
| S1 → S2 | 45.1250 | 125.45 m |
| S2 → S3 | 360.4475 | 98.72 m |
| S3 → S4 | 239.4300 | 110.15 m |
| S4 → S1 | 142.6725 | 105.80 m |
Question à traiter
- Calculer les coordonnées partielles (ΔX et ΔY) pour chaque côté du cheminement.
Correction : Calcul des Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
Question 1 : Calcul des Coordonnées Partielles
Principe :
Chaque côté du cheminement peut être vu comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont ΔX et ΔY. En utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus, on peut projeter ce vecteur (défini par sa longueur D et son orientation G) sur les axes X et Y.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : L'axe des Y en topographie pointe vers le Nord (le haut de la carte), et l'axe des X pointe vers l'Est (la droite). C'est une convention différente de celle des mathématiques pures où l'axe X est horizontal et l'axe Y vertical. À cause de cela, et parce que le gisement est mesuré depuis le Nord dans le sens horaire, le sinus est utilisé pour calculer ΔX et le cosinus pour ΔY. C'est l'inverse de ce qu'on fait souvent en mathématiques !
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
Les gisements et distances sont repris du tableau de l'énoncé.
Calcul(s) :
| Côté | Calcul de ΔX = D × sin(G) | Calcul de ΔY = D × cos(G) | ΔX [m] | ΔY [m] |
|---|---|---|---|---|
| S1 → S2 | \(125.45 \times \sin(45.1250)\) | \(125.45 \times \cos(45.1250)\) | +84.93 | +92.83 |
| S2 → S3 | \(98.72 \times \sin(360.4475)\) | \(98.72 \times \cos(360.4475)\) | -61.64 | +77.58 |
| S3 → S4 | \(110.15 \times \sin(239.4300)\) | \(110.15 \times \cos(239.4300)\) | -93.18 | -58.87 |
| S4 → S1 | \(105.80 \times \sin(142.6725)\) | \(105.80 \times \cos(142.6725)\) | +90.01 | -55.48 |
Points de vigilance :
Mode de la calculatrice : C'est l'erreur la plus critique à cette étape. Avant tout calcul, assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (ou "Grad", "gon"). Si elle est en mode "Degrés" (Deg) ou "Radians" (Rad), tous vos résultats de sinus et cosinus seront faux.
Le saviez-vous ?
Simulation : Calculateur de Coordonnées Partielles
Entrez une distance et un gisement pour calculer les coordonnées partielles correspondantes.
Paramètres du Côté
Visualisation du Vecteur
Pour Aller Plus Loin : Fermeture et Compensation Planimétrique
La prochaine étape consiste à sommer tous les ΔX et tous les ΔY calculés. Théoriquement, ΣΔX = 0 et ΣΔY = 0. En pratique, on trouvera des erreurs de fermeture \(f_x = \Sigma \Delta X\) et \(f_y = \Sigma \Delta Y\). Ces erreurs devront ensuite être réparties sur chaque coordonnée partielle pour "fermer" parfaitement le polygone. C'est ce qu'on appelle la compensation planimétrique.
Le Saviez-Vous ?
Pour éviter les erreurs de calcul manuel, qui étaient fréquentes avant l'ère des calculatrices, les topographes utilisaient des tables trigonométriques très détaillées, comme les "Tables de Bouvart et Ratinet", qui donnaient les valeurs de sinus et cosinus pour des angles en grades avec une grande précision.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si une distance est fausse ?
Une erreur sur une seule mesure de distance faussera les ΔX et ΔY de ce côté, et par conséquent, la fermeture globale en X et Y. Contrairement à une erreur d'angle qui affecte toute l'orientation à partir de ce point, une erreur de distance n'affecte que la position du point suivant. C'est l'une des raisons pour lesquelles on mesure souvent les distances dans les deux sens (aller-retour) pour vérification.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un côté a une distance de 100 m et un gisement de 100 gon. Quelles sont ses coordonnées partielles ?
2. Si un gisement est de 250 gon, les signes de ΔX et ΔY seront :
Glossaire
- Coordonnées Partielles (ΔX, ΔY)
- Déplacement le long des axes X (Est) et Y (Nord) pour un côté de cheminement. C'est la projection d'un vecteur (Distance, Gisement) sur les axes cartésiens.
- Gisement (G)
- Angle horizontal entre la direction de référence (Nord) et une direction donnée, mesuré dans le sens horaire (de 0 à 400 gon).
- Distance Horizontale (D)
- Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance utilisée dans les calculs planimétriques.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
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