Étude Topographique

Compensation de la Fermeture Angulaire

Topographie : Compensation de la Fermeture Angulaire d'un Cheminement

Compensation de la Fermeture Angulaire d'un Cheminement Fermé

Contexte : La Précision en Topographie

En topographie, un cheminement polygonalOpération qui consiste à déterminer les positions de points successifs (stations) en mesurant les angles et les distances entre eux. est une méthode fondamentale pour déterminer les coordonnées de points sur le terrain. Pour un cheminement "fermé" (qui revient à son point de départ), la théorie géométrique est stricte : la somme des angles intérieurs d'un polygone à \(n\) côtés doit être égale à \((n-2) \times 180^\circ\) (ou \((n-2) \times 200\) grades). Cependant, en pratique, les mesures sur le terrain comportent toujours de petites erreurs inévitables. La différence entre la somme des angles mesurés et la somme théorique est appelée la fermeture angulaireÉcart entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique des angles d'un polygone. C'est un indicateur de la précision des mesures.. Cet écart doit être "compensé", c'est-à-dire réparti sur toutes les mesures, pour garantir la cohérence géométrique du levé.

Remarque Pédagogique : La compensation est au cœur du travail du topographe. Elle représente le passage de données brutes de terrain (les mesures) à des données géométriquement justes et utilisables pour créer un plan. Comprendre cette étape est essentiel pour garantir la qualité et la fiabilité d'un levé topographique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la somme théorique des angles d'un cheminement polygonal fermé.
  • Déterminer la fermeture angulaire et vérifier si elle est dans les tolérances admises.
  • Calculer la compensation à appliquer à chaque angle mesuré.
  • Appliquer la compensation pour obtenir des angles corrigés.
  • Comprendre l'impact de la précision des mesures sur le résultat final.

Données de l'étude

Une équipe de topographes a réalisé le levé d'un cheminement polygonal fermé à 4 sommets (S1, S2, S3, S4). Les angles intérieurs ont été mesurés à l'aide d'un théodolite. Les résultats des mesures sont consignés dans le tableau ci-dessous.

Schéma du Cheminement Polygonal
S1 S2 S3 S4 α₁ α₂ α₃ α₄
Sommet Angle intérieur mesuré (α)
S1 (α₁) 102.4550 gon
S2 (α₂) 115.3250 gon
S3 (α₃) 78.9850 gon
S4 (α₄) 103.2450 gon

Donnée :

  • La tolérance de fermeture angulaire pour ce type de levé est de \(T_a = 0.02 \times \sqrt{n}\) gon, où \(n\) est le nombre de sommets.

Questions à traiter

  1. Calculer la somme théorique des angles intérieurs pour ce polygone.
  2. Calculer la fermeture angulaire (\(f_a\)) et la comparer à la tolérance (\(T_a\)). Le levé est-il acceptable ?
  3. Calculer la compensation angulaire (\(C\)) à appliquer à chaque angle.
  4. Calculer les angles compensés (corrigés) pour chaque sommet.

Correction : Compensation de la Fermeture Angulaire

Question 1 : Somme Théorique des Angles

Principe :
Σα = (n-2)×200

La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe à \(n\) côtés est une constante géométrique. Cette valeur de référence est la base de toute vérification. L'unité utilisée ici est le grade (gon), où un tour complet fait 400 gon.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette formule est valable pour n'importe quel polygone simple (qui ne se croise pas lui-même). Qu'il s'agisse d'un triangle (\(n=3\)), d'un carré (\(n=4\)) ou d'un polygone plus complexe, la règle géométrique reste la même. C'est le fondement de la vérification des levés polygonaux.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Sigma \alpha_{\text{théo}} = (n - 2) \times 200 \, \text{gon} \]
Donnée(s) :
  • Nombre de sommets \(n = 4\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Sigma \alpha_{\text{théo}} &= (4 - 2) \times 200 \\ &= 2 \times 200 \\ &= 400.0000 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités d'angle : La formule utilise 200 car l'unité est le grade. Si les angles étaient en degrés, la formule serait \((n - 2) \times 180^\circ\). Il est crucial de ne pas mélanger les unités et les formules correspondantes.

Le saviez-vous ?

La somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est toujours constante, quel que soit le nombre de côtés : elle vaut toujours 400 gon (ou 360°).

FAQ en rapport avec la question :
Cette formule fonctionne-t-elle pour un cheminement ouvert ?

Non. Un cheminement ouvert ne revient pas à son point de départ et ne forme donc pas un polygone fermé. La vérification des angles se fait différemment, généralement en se "rattachant" à des points connus au début et à la fin du parcours pour vérifier le gisement de départ et d'arrivée.

Résultat : La somme théorique des angles intérieurs est de 400.0000 gon.

Question 2 : Fermeture Angulaire et Tolérance

Principe :
Σα_{\text{théo}} = 400.0000 Σα_{\text{mes}} = 400.0100 fₐ Tolérance Tₐ

On calcule d'abord la somme des angles réellement mesurés sur le terrain. La fermeture angulaire est la différence entre cette somme mesurée et la somme théorique. On compare ensuite cette erreur à la tolérance réglementaire pour décider si la précision du travail est suffisante.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La tolérance n'est pas une valeur arbitraire. Elle dépend de la précision de l'instrument utilisé, des conditions de mesure, et de l'exigence de précision du projet final. Une tolérance plus stricte (plus petite) est requise pour des travaux de haute précision (génie civil, auscultation d'ouvrages) que pour un levé topographique classique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Sigma \alpha_{\text{mes}} = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \]
\[ f_a = \Sigma \alpha_{\text{mes}} - \Sigma \alpha_{\text{théo}} \]
\[ T_a = 0.02 \sqrt{n} \]
Donnée(s) :
  • Angles mesurés : 102.4550, 115.3250, 78.9850, 103.2450 gon
  • Somme théorique \(\Sigma \alpha_{\text{théo}} = 400.0000 \, \text{gon}\)
  • Nombre de sommets \(n = 4\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Sigma \alpha_{\text{mes}} &= 102.4550 + 115.3250 + 78.9850 + 103.2450 \\ &= 400.0100 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_a &= 400.0100 - 400.0000 \\ &= +0.0100 \, \text{gon} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} T_a &= 0.02 \times \sqrt{4} \\ &= 0.02 \times 2 \\ &= 0.0400 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Comparaison en valeur absolue : La comparaison à la tolérance se fait toujours avec la valeur absolue de la fermeture. On vérifie si \(|f_a| \le T_a\). Le signe de \(f_a\) (+ ou -) est crucial pour la correction, mais pas pour la validation du levé.

Le saviez-vous ?

La formule de tolérance \(T_a = k \sqrt{n}\) est empirique. Elle traduit le fait que les erreurs de mesure aléatoires ont tendance à s'accumuler, non pas linéairement, mais proportionnellement à la racine carrée du nombre d'opérations (ici, le nombre d'angles mesurés).

FAQ en rapport avec la question :
D'où vient la fermeture angulaire ?

Elle provient d'une combinaison de petites erreurs inévitables : erreur de centrage de l'appareil sur le point, erreur de pointé sur la cible, erreur de lecture de l'opérateur, et imperfections de l'instrument. La réfraction atmosphérique peut aussi jouer un rôle minime.

Résultat : La fermeture angulaire est \(f_a = +0.0100\) gon. Comme \(|0.0100| \le 0.0400\), le levé est acceptable.

Question 3 : Calcul de la Compensation Angulaire

Principe :
Erreur totale (fₐ) Compensation (C) C₁ C₂ C₃ C₄

L'erreur totale (\(f_a\)) doit être répartie équitablement entre toutes les mesures d'angle, car on suppose que chaque mesure a contribué de manière égale à l'erreur globale. La compensation à appliquer à chaque angle est donc l'erreur totale divisée par le nombre d'angles, avec le signe opposé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le signe de la compensation est toujours l'opposé de celui de la fermeture. Si on a mesuré "en trop" (\(f_a > 0\)), il faut corriger en soustrayant une valeur (\(C < 0\)). Si on a mesuré "en moins" (\(f_a < 0\)), il faut corriger en ajoutant une valeur (\(C > 0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = -\frac{f_a}{n} \]
Donnée(s) :
  • Fermeture angulaire \(f_a = +0.0100 \, \text{gon}\)
  • Nombre de sommets \(n = 4\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} C &= -\frac{0.0100}{4} \\ &= -0.0025 \, \text{gon} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Arrondi des calculs : Il est primordial de conserver une grande précision (beaucoup de décimales) lors du calcul de la compensation. Arrondir trop tôt peut conduire à une somme des angles corrigés qui n'est pas exactement égale à la somme théorique.

Le saviez-vous ?

Cette méthode de répartition uniforme est la plus simple. Des méthodes plus complexes, comme la méthode des moindres carrés, permettent de répartir l'erreur de manière pondérée, en tenant compte par exemple des longueurs des côtés du polygone.

FAQ en rapport avec la question :
Doit-on toujours diviser par n ?

Oui, dans le cas d'une compensation angulaire simple et uniforme, on divise toujours l'erreur totale par le nombre d'angles mesurés, qui est égal au nombre de sommets (n) dans un cheminement fermé.

Résultat : La compensation à appliquer à chaque angle est de -0.0025 gon.

Question 4 : Calcul des Angles Compensés

Principe :
α_{\text{mes}} + C α_{\text{corrigé}}

On ajoute la compensation (qui est négative dans notre cas) à chaque angle mesuré pour obtenir les angles corrigés. Pour vérifier le calcul, la somme des angles corrigés doit être exactement égale à la somme théorique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette étape finale transforme les données brutes et "fausses" du terrain en un ensemble de données géométriquement cohérent. C'est sur la base de ces angles corrigés (et des distances mesurées) que l'on pourra ensuite calculer des coordonnées fiables pour chaque sommet du polygone.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \alpha_{\text{corrigé}} = \alpha_{\text{mesuré}} + C \]
Donnée(s) :
  • Angles mesurés (voir tableau de l'énoncé)
  • Compensation \(C = -0.0025 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
Sommet Angle Mesuré Compensation Angle Corrigé
S1 102.4550 -0.0025 102.4525 gon
S2 115.3250 -0.0025 115.3225 gon
S3 78.9850 -0.0025 78.9825 gon
S4 103.2450 -0.0025 103.2425 gon
Somme 400.0100 -0.0100 400.0000
Points de vigilance :

L'étape de vérification est cruciale : Prenez toujours le temps de sommer les angles corrigés. Si la somme n'est pas rigoureusement égale à la somme théorique, une erreur d'arrondi ou de calcul s'est glissée dans les étapes précédentes. Ne continuez jamais les calculs (gisements, coordonnées) sans cette vérification.

Le saviez-vous ?

Les logiciels modernes de topographie (sur les carnets de terrain électroniques) réalisent ces calculs de compensation automatiquement et en temps réel, alertant immédiatement le topographe si la fermeture est hors tolérance avant même qu'il ne quitte la station.

FAQ en rapport avec la question :
Que fait-on de ces angles corrigés ensuite ?

Ces angles corrigés sont l'une des deux données de base pour la suite des calculs. L'autre est la mesure des longueurs de chaque côté (S1-S2, S2-S3, etc.). En combinant un gisement de départ connu, les angles corrigés et les longueurs, on peut calculer les gisements de tous les côtés, puis les coordonnées (X, Y) de chaque sommet les uns par rapport aux autres.

Résultat : Les angles compensés sont respectivement 102.4525 gon, 115.3225 gon, 78.9825 gon et 103.2425 gon.

Simulation Interactive de la Compensation

Modifiez la fermeture angulaire mesurée et le nombre de sommets du polygone pour observer comment la compensation unitaire évolue.

Paramètres du Levé
Tolérance Admise
Compensation par Angle
Visualisation de la Tolérance

Pour Aller Plus Loin : La Compensation Planimétrique

La compensation angulaire n'est que la première étape. Une fois les angles corrigés, on calcule les gisementsAngle horizontal entre la direction du Nord et une direction donnée, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre., puis les coordonnées partielles (ΔX, ΔY) pour chaque côté. Inévitablement, on constatera aussi une "fermeture en coordonnées" (le point d'arrivée ne coïncide pas exactement avec le point de départ). Il faudra alors procéder à une deuxième compensation, dite planimétrique, pour répartir cet écart en coordonnées sur l'ensemble des points du cheminement. Cette seconde étape est plus complexe et fait appel à d'autres méthodes de répartition.

Le Saviez-Vous ?

L'unité "grade" ou "gon" a été introduite en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de diviser l'angle droit en 100 unités au lieu de 90 (degrés), pour simplifier les calculs décimaux. Un tour complet fait 400 gon. Bien que le degré reste dominant dans de nombreux domaines, le grade est encore très utilisé en topographie en Europe continentale.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi répartir l'erreur uniformément ?

La répartition uniforme est la méthode la plus simple. Elle part du principe que toutes les mesures d'angle ont été réalisées avec le même soin et le même instrument, et qu'elles sont donc toutes entachées d'une erreur potentielle similaire. Des méthodes plus avancées (comme les moindres carrés) permettent une pondération, donnant moins de correction aux mesures jugées plus précises (par exemple, sur des côtés plus courts).

Que se passe-t-il si la fermeture est hors tolérance ?

Si \(|f_a| > T_a\), le levé est refusé. Le topographe doit retourner sur le terrain pour refaire les mesures. Cela indique une erreur grossière : une mauvaise lecture, une erreur de retranscription, un mauvais centrage de l'appareil sur un point, etc. La compensation n'a pas pour but de masquer de grosses erreurs, mais de corriger de petites imprécisions inévitables.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un cheminement fermé a 6 sommets. Quelle est la somme théorique de ses angles intérieurs ?

2. La somme des angles mesurés est SUPÉRIEURE à la somme théorique (\(f_a > 0\)). La compensation à appliquer à chaque angle sera :

Glossaire

Cheminement Polygonal
Opération qui consiste à déterminer les positions de points successifs (stations) en mesurant les angles et les distances entre eux.
Fermeture Angulaire (fa)
Écart entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique des angles d'un polygone. C'est un indicateur de la précision des mesures.
Gisement
Angle horizontal entre la direction du Nord et une direction donnée (un côté du polygone), mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire).
Compensation
Processus de répartition des erreurs de fermeture (angulaire et planimétrique) sur l'ensemble des mesures pour assurer la cohérence géométrique d'un levé.
Tolérance
Erreur maximale admissible pour une opération donnée. Si l'erreur mesurée dépasse la tolérance, les mesures doivent être refaites.
Compensation de la Fermeture Angulaire d'un Cheminement Fermé

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