Compensation de la Fermeture Angulaire
Contexte : Le cheminement polygonalOpération topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points d'appui en mesurant angles et distances d'un parcours formé par des segments de droites. fermé.
En topographie, pour garantir la précision des levés planimétriques, les géomètres s'appuient sur des cheminements polygonaux (ou polygonales). Lorsqu'un cheminement se referme sur son point de départ, il est dit "fermé". Idéalement, la somme des angles internes mesurés sur le terrain devrait être rigoureusement égale à une valeur théorique connue. En pratique, de petites erreurs instrumentales et humaines sont inévitables. L'écart entre la somme mesurée et la somme théorique est appelé la fermeture angulaire. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul et de compensation de cette fermeture, une compétence essentielle pour tout technicien en géomètrie.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une étape fondamentale de contrôle et de validation des données de terrain. Savoir calculer et répartir une fermeture angulaire est la garantie d'un plan topographique juste et fiable.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la somme théorique des angles internes d'un polygone.
- Déterminer la fermeture angulaire et vérifier sa conformité par rapport à une tolérance.
- Appliquer la méthode de compensation égale pour corriger les angles mesurés.
Données de l'étude
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Levé | Polygonale fermée |
| Nombre de sommets | 5 |
| Unité de mesure | Grade (gon) |
Schéma du cheminement polygonal
| Sommet | Angle Interne Mesuré |
|---|---|
| Angle en A | 118.452 gon |
| Angle en B | 125.624 gon |
| Angle en C | 109.815 gon |
| Angle en D | 132.129 gon |
| Angle en E | 113.998 gon |
Questions à traiter
- Calculer la somme théorique des angles internes du polygone ABCDE.
- En déduire la valeur de la fermeture angulaire \(f_a\).
- Sachant que la tolérance de fermeture est donnée par \(T_a = \pm 0.01 \sqrt{n}\) gon (avec n le nombre de sommets), ce levé est-il acceptable ?
- Calculer la compensation unitaire \(c\) à appliquer sur chaque angle.
- Déterminer les valeurs finales des angles compensés.
Les bases sur la Compensation Angulaire
Pour tout polygone fermé, la géométrie euclidienne nous donne des certitudes. La somme de ses angles internes ne dépend que du nombre de ses côtés. C'est sur cette propriété que reposent tous les calculs de vérification.
1. Somme théorique des angles internes
Pour un polygone à 'n' côtés (ou sommets), la somme théorique de ses angles internes (\(\sum \alpha_{\text{th}}\)) est donnée par la formule :
\[ \sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \text{ gon} \]
(ou $(n-2) \times 180$ si on travaille en degrés).
2. Fermeture angulaire et Compensation
La fermeture angulaire \(f_a\) est la différence entre la somme des angles réellement mesurés (\(\sum \alpha_{\text{mes}}\)) et cette somme théorique.
\[ f_a = \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}} \]
Si cette fermeture est jugée acceptable (inférieure à une tolérance), on la répartit sur tous les angles. La méthode la plus simple est la répartition égale, où chaque angle reçoit la même correction.
Correction : Compensation de la Fermeture Angulaire
Question 1 : Calculer la somme théorique des angles internes du polygone ABCDE.
Principe
Le point de départ de toute vérification est de connaître la valeur exacte que l'on est censé trouver. Pour un polygone, cette valeur ne dépend que de sa forme géométrique, spécifiquement du nombre de ses sommets.
Mini-Cours
La formule découle du fait que n'importe quel polygone convexe à 'n' côtés peut être décomposé en (n-2) triangles à partir d'un de ses sommets. Comme la somme des angles d'un triangle est de 200 gon, la somme totale est simplement le produit de ces deux valeurs.
Remarque Pédagogique
Cette première étape est cruciale et doit être réalisée sans erreur. C'est la référence absolue sur laquelle tout le reste du calcul va s'appuyer. Prenez l'habitude de toujours commencer par cette vérification simple.
Normes
Ce calcul ne dépend pas d'une norme de construction ou de topographie, mais d'un théorème fondamental de la géométrie euclidienne, valable pour tout polygone dessiné sur une surface plane.
Formule(s)
Formule de la somme théorique des angles
Hypothèses
On suppose que le levé a été réalisé sur une zone suffisamment petite pour que la surface terrestre puisse être assimilée à un plan. C'est l'hypothèse de la topographie plane, valide pour la quasi-totalité des chantiers.
Donnée(s)
L'unique donnée nécessaire pour cette question est le nombre de sommets du polygone.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de sommets | n | 5 | (sans) |
Astuces
Pour les polygones les plus courants en topographie (4, 5, 6 côtés), il peut être utile de mémoriser les sommes théoriques : 400 gon pour un quadrilatère, 600 gon pour un pentagone, 800 gon pour un hexagone.
Schéma (Avant les calculs)
Visualiser le polygone permet de confirmer le nombre de sommets 'n'.
Polygone à 5 sommets (Pentagone)
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le calcul de la somme théorique se base sur la décomposition du polygone en (n-2) triangles.
Décomposition du Pentagone en Triangles
Réflexions
Le résultat de 600.000 gon est une valeur théorique parfaite et intangible. Elle sert de référence pour évaluer la qualité des mesures de terrain. Toute déviation par rapport à cette valeur sera considérée comme une erreur à analyser.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de soustraire 2 au nombre de sommets 'n'. Assurez-vous aussi d'utiliser la bonne unité (200 pour les grades, 180 pour les degrés).
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : La somme des angles internes d'un polygone ne dépend que de son nombre de côtés.
- Formule Essentielle : \(\sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \text{ gon}\).
- Point de Vigilance Majeur : Bien identifier 'n' et ne pas oublier le terme '(n-2)'.
Le saviez-vous ?
L'unité 'grade' ou 'gon' a été introduite en France peu après la Révolution Française, en même temps que le système métrique. L'idée était de diviser l'angle droit en 100 unités au lieu de 90, pour faciliter les calculs décimaux, une logique très appréciée en topographie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la somme théorique pour un cheminement à 6 sommets (hexagone) ?
Question 2 : En déduire la valeur de la fermeture angulaire \(f_a\).
Principe
La fermeture angulaire matérialise l'erreur globale commise sur la mesure des angles. Elle s'obtient par simple comparaison entre la réalité du terrain (la somme mesurée) et l'exigence de la théorie (la somme théorique).
Mini-Cours
La fermeture est la conséquence inévitable des imprécisions de mesure (lecture sur l'instrument, centrage sur le point, etc.). Elle est considérée comme une erreur accidentelle, que l'on peut quantifier et, si elle est faible, corriger par le calcul.
Remarque Pédagogique
Avant de calculer, prenez le temps de sommer vos angles mesurés à la calculatrice une ou deux fois pour éviter une simple erreur d'addition qui fausserait toute la suite de l'exercice.
Normes
Le calcul de la fermeture est une étape universelle en topographie, indépendante des normes. Cependant, la valeur de cette fermeture sera ensuite comparée à une tolérance qui, elle, est fixée par les normes en vigueur.
Formule(s)
Formule de la fermeture angulaire
Hypothèses
On part du principe que les erreurs sont accidentelles et se répartissent de manière aléatoire. On exclut la présence d'une erreur systématique grossière (faute de mesure), qui ne pourrait pas être compensée par cette méthode.
Donnée(s)
Nous avons besoin des angles mesurés de l'énoncé et de la somme théorique calculée précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Somme théorique | \(\sum \alpha_{\text{th}}\) | 600.000 | gon |
| Angle A mesuré | \(\alpha_A\) | 118.452 | gon |
| Angle B mesuré | \(\alpha_B\) | 125.624 | gon |
| Angle C mesuré | \(\alpha_C\) | 109.815 | gon |
| Angle D mesuré | \(\alpha_D\) | 132.129 | gon |
| Angle E mesuré | \(\alpha_E\) | 113.998 | gon |
Astuces
Pour sommer rapidement, utilisez la fonction "somme" de votre calculatrice ou d'un tableur. Le signe de la fermeture est important : s'il est positif, vous avez trop mesuré ; s'il est négatif, pas assez.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre les 5 angles internes dont nous allons faire la somme.
Angles internes mesurés
Calcul(s)
Somme des angles mesurés
Calcul de la fermeture angulaire (\(f_a\))
Schéma (Après les calculs)
Ce diagramme illustre l'écart (la fermeture) entre la somme mesurée et la somme théorique.
Visualisation de la fermeture angulaire
Réflexions
Le signe positif de la fermeture (\(+0.018 \text{ gon}\)) indique que la somme des angles mesurés est supérieure à la somme théorique. Nous avons donc un "excès" d'angle à corriger. La valeur absolue, \(0.018 \text{ gon}\), semble faible, ce qui est un bon signe pour la qualité des mesures.
Points de vigilance
Faites attention au sens de la soustraction. C'est toujours (Somme Mesurée) - (Somme Théorique). Inverser les deux termes changerait le signe de l'erreur, et donc le signe de la correction à apporter.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La fermeture angulaire est l'erreur globale commise sur le terrain.
- Formule Essentielle : \(f_a = \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}}\).
- Point de Vigilance Majeur : Attention au signe du résultat.
Le saviez-vous ?
Les instruments modernes comme les stations totales robotisées peuvent mesurer les angles avec une telle précision (de l'ordre du millième de grade) que les fermetures angulaires sur des polygones de chantier sont souvent quasi-nulles.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la somme mesurée avait été de 599.980 gon, quelle aurait été la fermeture ?
Question 3 : Sachant que la tolérance de fermeture est donnée par \(T_a = \pm 0.01 \sqrt{n}\) gon, ce levé est-il acceptable ?
Principe
Une erreur est inévitable, mais elle doit rester dans des limites raisonnables pour que le levé soit exploitable. La tolérance définit la limite de l'erreur acceptable. Si notre erreur (la fermeture) est inférieure à cette tolérance, le travail est validé ; sinon, il doit être refait.
Mini-Cours
Les tolérances sont des seuils de décision. Elles sont calculées en fonction de la précision de l'instrument, des conditions opératoires et de l'exigence finale du projet. La formule en \(\sqrt{n}\) est courante car elle reflète la manière dont les erreurs accidentelles s'accumulent statistiquement sur un parcours.
Remarque Pédagogique
Cette étape est le point de "contrôle qualité" du géomètre. C'est un jugement binaire : soit c'est bon et on continue, soit c'est mauvais et on s'arrête. On ne compense jamais une fermeture hors tolérance.
Normes
Les tolérances en topographie sont fixées par des normes et des règlements qui dépendent de la précision attendue pour les travaux (par exemple, les normes pour les levés cadastraux, les projets de BTP, etc.). La formule fournie ici est un exemple typique pour des levés de précision courante.
Formule(s)
Formule de la tolérance angulaire
Critère de validation
Hypothèses
On suppose que la formule de tolérance fournie est adaptée au matériel utilisé et à la classe de précision requise pour ce levé spécifique.
Donnée(s)
Nous utilisons le nombre de sommets et la fermeture calculée précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de sommets | n | 5 | (sans) |
| Fermeture angulaire | \(f_a\) | +0.018 | gon |
Astuces
On compare les valeurs absolues. Le signe de la fermeture n'a pas d'importance pour juger si elle est dans la tolérance ou non. On regarde juste la "taille" de l'erreur.
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser la comparaison sur une droite numérique.
Comparaison Fermeture / Tolérance
Calcul(s)
Calcul de la tolérance (\(T_a\))
Vérification du critère
Schéma (Après les calculs)
Le schéma illustre que notre fermeture se trouve bien dans la zone verte d'acceptation.
Validation de la fermeture
Réflexions
La condition est vérifiée. L'erreur commise sur le terrain est plus petite que l'erreur maximale autorisée. Les mesures sont donc de qualité suffisante pour être utilisées dans les calculs ultérieurs. Le travail de l'équipe de terrain est validé.
Points de vigilance
Ne pas oublier la racine carrée dans la formule de la tolérance est une erreur fréquente. Assurez-vous également que la fermeture et la tolérance sont dans la même unité avant de les comparer.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Une mesure n'est acceptable que si son erreur est inférieure à une limite fixée (la tolérance).
- Formule Essentielle : \(|f_a| \le |T_a|\).
- Point de Vigilance Majeur : Comparer les valeurs absolues.
Le saviez-vous ?
Dans les appels d'offres pour de grands projets d'infrastructure (routes, chemins de fer), les tolérances topographiques sont des données contractuelles très strictes. Le non-respect de ces tolérances peut entraîner des pénalités financières importantes pour l'entreprise de géomètres.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un polygone à 9 sommets, une fermeture de 0.028 gon serait-elle acceptable avec la même formule de tolérance ?
Question 4 : Calculer la compensation unitaire \(c\) à appliquer sur chaque angle.
Principe
Puisque le levé est acceptable, nous devons maintenant "corriger" les angles en répartissant l'erreur totale (\(f_a\)) sur chacune des mesures. La méthode la plus simple, utilisée en l'absence d'informations sur la qualité de chaque mesure, est de répartir l'erreur de manière égale entre tous les angles.
Mini-Cours
Cette méthode de compensation égale suppose que chaque angle a été mesuré avec la même précision, et donc que chaque mesure a contribué de manière égale à l'erreur totale. C'est l'hypothèse la plus simple. Des méthodes plus complexes (comme la pondération) existent si l'on a des informations sur la précision de chaque mesure individuelle.
Remarque Pédagogique
La compensation est un "ajustement" mathématique pour rendre les données cohérentes. Elle ne rend pas les mesures initiales plus précises, mais elle produit le jeu de valeurs le plus probable compte tenu des mesures effectuées.
Normes
La méthode de compensation par répartition égale est une procédure standard en calcul topométrique pour les cheminements de précision courante.
Formule(s)
Formule de la compensation unitaire
Hypothèses
On fait l'hypothèse d'une égale confiance dans toutes les mesures angulaires. Autrement dit, on suppose qu'il est aussi probable qu'une erreur ait été commise sur l'angle A que sur l'angle B, C, D, ou E.
Donnée(s)
On utilise la fermeture et le nombre de sommets.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fermeture angulaire | \(f_a\) | +0.018 | gon |
| Nombre de sommets | n | 5 | (sans) |
Astuces
Vérifiez mentalement le signe : si \(f_a\) est positif (trop grand), la correction \(c\) doit être négative (on doit enlever). Si \(f_a\) est négatif (trop petit), la correction \(c\) doit être positive (on doit ajouter). C'est un moyen simple d'éviter les erreurs de signe.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma représente la division de l'erreur totale \(f_a\) en 5 parts égales, qui correspondent chacune à la compensation \(c\).
Répartition de la fermeture
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Le schéma illustre la relation opposée entre l'erreur (positive) et la correction unitaire (négative).
Relation Erreur / Correction
Réflexions
Le résultat -0.0036 gon signifie que pour que notre polygone soit géométriquement parfait, nous devons retirer cette petite quantité à chacun des cinq angles que nous avons mesurés sur le terrain.
Points de vigilance
L'erreur principale ici est d'oublier le signe "moins" dans la formule. La compensation est toujours l'opposé de l'erreur. Une erreur positive doit être compensée par une correction négative, et vice-versa.
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : La compensation répartit l'erreur totale sur toutes les mesures.
- Formule Essentielle : \(c = -f_a / n\).
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le signe négatif dans la formule.
Le saviez-vous ?
Pour les réseaux géodésiques de très haute précision, la compensation n'est pas faite à la main mais par des logiciels spécialisés qui utilisent la méthode des "moindres carrés". Cette méthode plus complexe permet de trouver la solution la plus probable en tenant compte de la précision estimée de chaque mesure individuelle (angles et distances).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la fermeture pour un carré (4 sommets) était de +0.024 gon, quelle serait la compensation unitaire ?
Question 5 : Déterminer les valeurs finales des angles compensés.
Principe
Cette dernière étape consiste simplement à appliquer la correction calculée à chacune des mesures initiales pour obtenir les angles finaux, qui sont maintenant mathématiquement parfaits et cohérents entre eux.
Mini-Cours
Les angles compensés constituent le jeu de données final qui sera utilisé pour les calculs de coordonnées. La somme de ces angles doit être rigoureusement égale à la somme théorique, garantissant ainsi la cohérence géométrique du levé.
Remarque Pédagogique
Le travail de compensation est un mélange de rigueur (application des formules) et de vérification systématique. Cette dernière étape, qui semble simple, doit être conclue par une auto-vérification cruciale : la somme des angles corrigés.
Normes
Les résultats de cette étape constituent les données angulaires "officielles" du levé, prêtes à être utilisées dans les étapes suivantes du calcul planimétrique, conformément aux bonnes pratiques de la topographie.
Formule(s)
Formule de l'angle compensé
Hypothèses
Nous appliquons la même correction à chaque angle, conformément à l'hypothèse d'égale précision des mesures initiales.
Donnée(s)
Nous utilisons les 5 angles mesurés de l'énoncé et la compensation unitaire calculée à la question 4.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Compensation unitaire | c | -0.0036 | gon |
| Angles mesurés | \(\alpha_i\) | (voir énoncé) | gon |
Astuces
Pour vérifier vos calculs, faites la somme de tous vos angles compensés. Le résultat doit être rigoureusement égal à la somme théorique (600.0000 gon ici). Si ce n'est pas le cas, vous avez fait une erreur d'addition quelque part !
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma illustre l'opération : on prend l'angle mesuré et on lui applique la correction 'c'.
Application de la compensation
Calcul(s)
Application de la correction aux angles
| Sommet | Angle Mesuré | Compensation | Angle Compensé |
|---|---|---|---|
| A | 118.452 | -0.0036 | 118.4484 gon |
| B | 125.624 | -0.0036 | 125.6204 gon |
| C | 109.815 | -0.0036 | 109.8114 gon |
| D | 132.129 | -0.0036 | 132.1254 gon |
| E | 113.998 | -0.0036 | 113.9944 gon |
Schéma (Après les calculs)
Un diagramme en barres permet de visualiser la faible différence entre les angles mesurés et les angles compensés.
Comparaison Angles Mesurés / Compensés
Réflexions
Les valeurs finales sont très proches des valeurs mesurées, ce qui est logique car la fermeture était faible. Ces angles compensés forment maintenant un système géométriquement cohérent. La somme de ces cinq angles est exactement 600.0000 gon.
Points de vigilance
Attention aux erreurs d'arrondi si vous faites les calculs à la main. Il est conseillé de garder plusieurs décimales pendant les calculs et de n'arrondir qu'à la toute fin si nécessaire. Ici, nous gardons 4 décimales pour être précis.
Points à retenir
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Appliquer la correction à chaque mesure pour obtenir un jeu de données final cohérent.
- Formule Essentielle : \(\alpha_{\text{compensé}} = \alpha_{\text{mesuré}} + c\).
- Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier que la somme finale des angles compensés est égale à la somme théorique.
Le saviez-vous ?
Après la compensation angulaire, l'étape suivante pour un topographe est la compensation planaire (ou compensation en coordonnées), où l'on ajuste les longueurs des côtés pour que le polygone se referme également parfaitement en coordonnées (X, Y).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec une correction de +0.002 gon, que deviendrait un angle mesuré de 145.234 gon ?
Outil Interactif : Simulateur de Compensation
Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs des angles mesurés et observez en temps réel l'impact sur la fermeture, la tolérance et la compensation. Cela vous aidera à visualiser comment chaque mesure influence le résultat final.
Angles Mesurés (gon)
Calculs de Compensation
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La somme théorique des angles internes d'un heptagone (7 côtés) est de :
2. Si la somme des angles mesurés est inférieure à la somme théorique, la fermeture angulaire est :
3. Une fermeture de +0.020 gon pour un carré (4 côtés) avec une tolérance de ±0.020 gon est :
4. Si la fermeture angulaire \(f_a\) est de -0.010 gon pour un pentagone, la compensation unitaire \(c\) est de :
5. Le but de la compensation est de :
- Cheminement polygonal
- Opération topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points d'appui en mesurant angles et distances d'un parcours formé par des segments de droites (côtés).
- Fermeture angulaire
- Différence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique des angles d'un polygone. Elle représente l'erreur de mesure angulaire globale.
- Grade (gon)
- Unité de mesure d'angle où un tour complet vaut 400 gon. Un angle droit mesure 100 gon. C'est l'unité la plus utilisée en topographie en France.
- Tolérance
- Erreur maximale admissible pour une opération donnée. Si l'erreur mesurée (fermeture) dépasse la tolérance, les mesures doivent être refaites.
- Compensation
- Processus de répartition de l'erreur de fermeture sur les différentes mesures pour les rendre cohérentes mathématiquement. On parle aussi d'ajustement.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
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