Vérification de la Tolérance de Fermeture Angulaire
Contexte : Le cheminement polygonalUn parcours reliant une série de points (sommets) où des mesures d'angles et de distances sont effectuées pour déterminer les coordonnées des points..
En topographie, la réalisation de cheminements polygonaux est une opération courante pour établir un canevas de points de référence. Pour un cheminement fermé, la première étape de validation des mesures de terrain consiste à vérifier la cohérence des angles mesurés. On calcule pour cela la fermeture angulaireL'écart entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique que ces angles devraient avoir. et on la compare à une toléranceL'erreur maximale admissible pour une série de mesures, définie par des normes ou les spécifications d'un projet. réglementaire ou de chantier.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il représente le premier contrôle qualité des levés topographiques. Une erreur angulaire non détectée à ce stade se propagerait et fausserait tous les calculs de coordonnées ultérieurs.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la somme théorique des angles internes d'un polygone.
- Déterminer l'erreur de fermeture angulaire \( f_{\alpha} \) à partir d'un carnet de terrain.
- Calculer la tolérance réglementaire en fonction du nombre de sommets.
- Statuer sur la validité des mesures angulaires.
Données de l'étude
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Levé | Cheminement polygonal fermé |
| Nombre de sommets (n) | 5 |
| Instrument utilisé | Station Totale |
Schéma du cheminement polygonal
Carnet de terrain (Angles mesurés)
| Sommet | Angle interne mesuré (gon) |
|---|---|
| A | 118.452 |
| B | 121.108 |
| C | 119.891 |
| D | 120.255 |
| E | 120.298 |
Questions à traiter
- Quelle est la somme théorique des angles internes pour ce polygone ?
- Calculez la somme des angles mesurés sur le terrain.
- Déduisez-en l'erreur de fermeture angulaire \( f_{\alpha} \).
- La tolérance pour ce type de cheminement est donnée par la formule \( T_{\alpha} = 2.5 \sqrt{n} \) (en mgon). Calculez cette tolérance.
- Les mesures sont-elles acceptables ? Justifiez votre réponse.
Les bases du calcul de fermeture angulaire
Pour s'assurer de la qualité des mesures angulaires d'un polygone fermé, on compare la somme des angles observés sur le terrain à une valeur théorique géométriquement parfaite. L'écart entre ces deux valeurs, appelé "fermeture", doit être inférieur à une limite prédéfinie, la tolérance.
1. Somme Théorique des Angles Internes
La somme des angles internes d'un polygone simple à 'n' sommets est une constante géométrique. En grades (gon), elle se calcule par :
\[ \sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \text{ gon} \]
2. Erreur de Fermeture Angulaire (\(f_{\alpha}\))
C'est la différence entre la somme des angles réellement mesurés sur le terrain (\( \sum \alpha_{\text{mes}} \)) et la somme théorique (\( \sum \alpha_{\text{th}} \)).
\[ f_{\alpha} = \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}} \]
Correction : Vérification de la Tolérance de Fermeture Angulaire
Question 1 : Quelle est la somme théorique des angles internes pour ce polygone ?
Principe
La géométrie euclidienne nous donne une formule directe pour calculer la somme des angles internes d'un polygone en fonction de son nombre de côtés (ou de sommets). C'est une valeur de référence parfaite, indépendante de toute mesure.
Mini-Cours
Tout polygone simple (qui ne se croise pas) peut être décomposé en (n-2) triangles à partir d'un de ses sommets. Comme la somme des angles d'un triangle est de 200 gon, la somme totale pour le polygone est simplement (n-2) fois 200 gon.
Remarque Pédagogique
Cette formule est l'un des piliers de la géométrie plane. Il est essentiel de la maîtriser et de ne pas la confondre avec celle pour les angles externes ou celle en degrés (qui utilise 180° au lieu de 200 gon).
Normes
Ce calcul ne dépend pas d'une norme topographique mais d'un théorème mathématique fondamental de la géométrie euclidienne.
Formule(s)
Formule de la somme théorique des angles internes
Hypothèses
On suppose que le levé a été réalisé dans un plan (topographie plane) et que le polygone est "simple" (ses arêtes ne se croisent pas).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de sommets | n | 5 | (sans unité) |
Astuces
Pour vérifier rapidement, pensez à des cas simples : un triangle (n=3) a (3-2)x200 = 200 gon. Un carré (n=4) a (4-2)x200 = 400 gon (4 angles droits de 100 gon).
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du pentagone en triangles
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Référence géométrique du polygone
Réflexions
Le résultat de 600 gon est une valeur exacte et immuable pour n'importe quel pentagone. C'est notre référence "parfaite" pour juger de la qualité des mesures de terrain.
Points de vigilance
Attention à ne pas utiliser la formule en degrés \((n-2) \times 180^\circ\). En topographie, l'usage des grades est prédominant pour la simplicité des calculs.
Points à retenir
La somme théorique des angles internes d'un polygone est la première valeur à calculer pour valider un cheminement fermé. La formule \((n-2) \times 200\) gon est à connaître par cœur.
Le saviez-vous ?
Cette formule a été démontrée par Euclide dans ses "Éléments" il y a plus de 2300 ans. Elle reste un fondement de la géométrie et de ses applications pratiques comme la topographie.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la somme théorique pour un cheminement à 8 sommets (octogone) ?
Question 2 : Calculez la somme des angles mesurés sur le terrain.
Principe
Il s'agit d'une simple addition de toutes les valeurs angulaires qui ont été relevées par les géomètres et consignées dans le carnet de terrain. Cette somme représente le résultat brut des observations.
Mini-Cours
La somme observée est une valeur expérimentale, sujette à des erreurs inévitables : erreur de lecture, de pointé, de calage de l'instrument, conditions atmosphériques, etc. L'objectif est de s'assurer que l'accumulation de ces petites erreurs reste dans des limites raisonnables.
Remarque Pédagogique
Lors d'une addition manuelle, soyez méticuleux. Une erreur de calcul à cette étape fausserait toute l'analyse. Il est conseillé de faire le calcul deux fois ou d'utiliser une calculatrice.
Normes
Pas de norme spécifique pour une addition, mais la tenue d'un carnet de terrain clair et sans ratures est une règle de l'art en topographie.
Formule(s)
Sommation des angles mesurés
Hypothèses
On fait l'hypothèse que les valeurs du carnet de terrain ont été retranscrites sans erreur.
Donnée(s)
| Sommet | Angle (gon) |
|---|---|
| A | 118.452 |
| B | 121.108 |
| C | 119.891 |
| D | 120.255 |
| E | 120.298 |
Astuces
Pour éviter les erreurs, on peut additionner les parties entières, puis les parties décimales séparément avant de combiner les deux résultats.
Schéma (Avant les calculs)
Angles internes mesurés à sommer
Calcul(s)
Application de la sommation
Schéma (Après les calculs)
Polygone avec somme des angles mesurés
Réflexions
Le résultat (600.004 gon) est très proche de la valeur théorique (600.000 gon). Cela suggère a priori que les mesures ont été effectuées avec soin.
Points de vigilance
Vérifiez bien le nombre de décimales. En topographie de précision, chaque chiffre compte. Une erreur d'arrondi ou de saisie est vite arrivée.
Points à retenir
La somme des angles mesurés est la base de la vérification. C'est la valeur "réelle" que l'on va comparer à la référence théorique.
Le saviez-vous ?
Les anciens carnets de terrain étaient tenus sur papier avec des règles strictes : encre indélébile, pas de ratures (les erreurs étaient barrées proprement), et une signature de l'opérateur chaque jour.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle A avait été mesuré à 118.462 gon au lieu de 118.452, quelle aurait été la nouvelle somme ?
Question 3 : Déduisez-en l'erreur de fermeture angulaire \( f_{\alpha} \).
Principe
L'erreur de fermeture est l'écart concret entre la théorie et la pratique. Elle quantifie l'erreur globale accumulée sur l'ensemble des mesures angulaires. On la calcule en soustrayant la valeur théorique de la valeur mesurée.
Mini-Cours
Cette erreur est considérée comme une variable aléatoire qui suit une loi de distribution (souvent la loi Normale). Elle est la somme d'erreurs élémentaires sur chaque sommet. Son signe (+ ou -) indique si la somme mesurée est excédentaire ou déficitaire par rapport à la théorie.
Remarque Pédagogique
Le signe de la fermeture est important. Un signe positif (+) signifie que la somme mesurée est trop grande. C'est ce signe qui déterminera le sens de la correction à appliquer aux angles si la tolérance est respectée.
Normes
Le calcul de la fermeture est une étape standard dans toutes les normes et manuels de topographie.
Formule(s)
Formule de la fermeture angulaire
Hypothèses
On suppose qu'il n'y a pas eu de faute grossière (ex: erreur de 100 gon) et que l'écart est dû à des erreurs accidentelles.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Somme des angles mesurés | \( \sum \alpha_{\text{mes}} \) | 600.004 | gon |
| Somme théorique des angles | \( \sum \alpha_{\text{th}} \) | 600.000 | gon |
Astuces
Une erreur de 0.004 gon correspond à 4 milligrades (mgon). Il est courant de s'exprimer en milligrades pour manipuler des nombres entiers plus simples. 1 gon = 1000 mgon.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de la fermeture : comparaison des sommes
Calcul(s)
Calcul de la fermeture en gon
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du résultat de la fermeture
Réflexions
Une erreur de +4 mgon sur 5 sommets est une très faible valeur, ce qui témoigne d'un travail soigné. Cela représente une erreur moyenne de moins de 1 mgon par angle.
Points de vigilance
Attention au signe de la soustraction. Une inversion mènerait à une compensation incorrecte des angles par la suite.
Points à retenir
L'erreur de fermeture \( f_{\alpha} \) est l'indicateur clé de la qualité du levé angulaire. Son calcul est une étape incontournable.
Le saviez-vous ?
Avant les calculatrices, la fermeture était souvent calculée en utilisant des tables de logarithmes pour simplifier les additions et soustractions d'angles exprimés en degrés, minutes, et secondes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la somme mesurée avait été de 599.992 gon, quelle aurait été la fermeture en mgon ?
Question 4 : Calculez la tolérance angulaire \( T_{\alpha} \).
Principe
La tolérance n'est pas une mesure, mais une limite d'erreur acceptable. Elle est calculée à partir d'une formule réglementaire ou définie dans le cahier des charges du projet. Elle dépend de la précision attendue et du nombre de mesures (plus il y a de mesures, plus l'erreur potentielle peut s'accumuler).
Mini-Cours
La formule de tolérance en \(\sqrt{n}\) provient de la théorie de la propagation des erreurs. Elle suppose que les erreurs sur chaque angle sont indépendantes et de même variance. La constante (ici 2.5) dépend de la précision de l'instrument et de la méthode opératoire.
Remarque Pédagogique
La tolérance fournit une limite objective pour juger du travail. Elle protège à la fois le client (en garantissant une qualité minimale) et l'opérateur (en lui donnant une marge d'erreur réaliste).
Normes
En France, les tolérances pour les travaux topographiques sont souvent encadrées par des arrêtés, comme celui de 2003 relatif aux tolérances pour les travaux cadastraux. La formule fournie dans l'énoncé est un exemple typique pour des travaux de précision courante.
Formule(s)
Formule de la tolérance angulaire
Hypothèses
On suppose que la formule de tolérance fournie est celle applicable au chantier en question.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de sommets | n | 5 | (sans unité) |
| Constante de précision | c | 2.5 | (sans unité) |
Astuces
Il peut être utile de mémoriser les racines carrées des petits entiers (\(\sqrt{3}\approx1.7\), \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{5}\approx2.2\), etc.) pour estimer rapidement une tolérance sur le terrain.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de la formule de tolérance
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du calcul de la tolérance
Réflexions
La tolérance de 5.6 mgon est la "marge de manœuvre" maximale pour ce levé. Toute fermeture supérieure (en valeur absolue) indiquerait une erreur systématique ou une faute à corriger.
Points de vigilance
Assurez-vous que l'unité de la formule (ici, mgon) est cohérente avec l'unité de l'erreur de fermeture que vous avez calculée.
Points à retenir
La tolérance n'est pas une valeur mesurée, mais une limite calculée. Elle dépend du nombre de sommets (n) et d'un coefficient de précision (c).
Le saviez-vous ?
Pour des travaux de très haute précision (auscultation d'ouvrages d'art), les tolérances sont beaucoup plus faibles et les formules plus complexes, prenant en compte le type d'instrument et le nombre de séquences de mesure.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la tolérance pour un carré (n=4) avec la même formule.
Question 5 : Les mesures sont-elles acceptables ? Justifiez.
Principe
C'est l'étape de décision. On compare la valeur absolue de l'erreur commise (\(|f_{\alpha}|\)) à l'erreur maximale autorisée (\(T_{\alpha}\)). Si l'erreur réelle est inférieure ou égale à la tolérance, le levé est accepté. Sinon, il doit être rejeté et les mesures refaites.
Mini-Cours
Cette comparaison est un test d'hypothèse statistique. L'hypothèse nulle est "le levé ne contient que des erreurs accidentelles acceptables". Si \(|f_{\alpha}| > T_{\alpha}\), on rejette cette hypothèse, suspectant une faute ou une erreur systématique.
Remarque Pédagogique
La justification est aussi importante que la réponse. Il ne suffit pas de dire "oui" ou "non", il faut toujours appuyer sa décision par la comparaison chiffrée. C'est la base de tout rapport technique.
Normes
Cette procédure de comparaison est la méthode standard de validation des canevas polygonaux dans toutes les réglementations de topographie.
Formule(s)
Critère de validation
Hypothèses
On fait l'hypothèse que les calculs de \( f_{\alpha} \) et \( T_{\alpha} \) sont corrects.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fermeture angulaire | \( f_{\alpha} \) | +4 | mgon |
| Tolérance angulaire | \( T_{\alpha} \) | 5.6 | mgon |
Astuces
Pensez-y comme un budget : vous avez un "budget erreur" (la tolérance) et vous avez "dépensé" une certaine quantité d'erreur (la fermeture). Tant que la dépense ne dépasse pas le budget, tout va bien.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de la fermeture à la tolérance
Calcul(s)
Vérification de la condition
Schéma (Après les calculs)
Position de la fermeture par rapport à la tolérance
Réflexions
La condition est vérifiée. L'erreur de 4 mgon, commise par les opérateurs sur le terrain, est plus petite que la marge d'erreur maximale de 5.6 mgon qui leur était accordée pour ce travail. Le levé peut donc passer à l'étape suivante : la compensation des angles.
Points de vigilance
Ne jamais oublier la valeur absolue ! Une fermeture de -5 mgon est tout aussi acceptable qu'une fermeture de +5 mgon si la tolérance est de 5.6 mgon.
Points à retenir
La validation d'un levé angulaire se résume toujours à la comparaison |fermeture| ≤ tolérance. C'est la conclusion de la première phase de calcul d'un cheminement.
Le saviez-vous ?
Dans les logiciels modernes de topographie, cette vérification est faite automatiquement. Si la tolérance est dépassée, le logiciel affiche un avertissement et empêche de continuer les calculs tant que le problème n'est pas résolu.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le levé avait comporté 9 sommets avec une fermeture de 8 mgon, les mesures auraient-elles été acceptées ? (Indice: Tα = 7.5 mgon)
Outil Interactif : Simulateur de Tolérance
Utilisez cet outil pour visualiser comment la tolérance angulaire évolue en fonction du nombre de sommets du polygone et de la classe de précision du levé.
Paramètres d'Entrée
Résultat Calculé
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la somme théorique des angles internes d'un hexagone (6 sommets) ?
2. Si \( |f_{\alpha}| > T_{\alpha} \), que doit faire le topographe ?
3. Comment la tolérance angulaire évolue-t-elle lorsque le nombre de sommets augmente ?
4. Un \( f_{\alpha} \) de -0.008 gon correspond à :
5. Que signifie "compenser" les angles après avoir validé la tolérance ?
Glossaire
- Cheminement Polygonal
- Opération topographique consistant à déterminer les coordonnées d'une série de points (sommets) en mesurant les angles et les distances entre eux.
- Fermeture Angulaire (fα)
- Différence entre la somme des angles d'un polygone mesurés sur le terrain et la somme théorique que ces angles devraient avoir géométriquement.
- Grade (gon)
- Unité de mesure d'angle où un tour complet vaut 400 grades. Un angle droit mesure 100 gon. C'est l'unité la plus courante en topographie en France.
- Station Totale
- Instrument de mesure électronique utilisé par les géomètres pour mesurer les angles (horizontaux et verticaux) et les distances.
- Tolérance (Tα)
- Écart maximal admissible pour la fermeture angulaire. Si l'erreur mesurée (en valeur absolue) est supérieure à la tolérance, les mesures doivent être refaites.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
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