Calcul de la fermeture angulaire d'un cheminement fermé
Contexte : La Géométrie doit se Refermer
Lorsqu'un géomètre réalise un cheminement ferméParcours polygonal qui part d'une station, passe par plusieurs autres stations et revient au point de départ. C'est une méthode d'auto-contrôle. (ou polygonal), il mesure les angles intérieurs à chaque sommet. La géométrie euclidienne nous apprend que la somme des angles intérieurs d'un polygone à 'n' sommets doit être égale à une valeur théorique précise. En pratique, les mesures sur le terrain comportent de petites erreurs inévitables. La différence entre la somme des angles réellement mesurés et cette somme théorique est appelée la fermeture angulaireDifférence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique des angles d'un polygone. Elle quantifie l'erreur de mesure angulaire globale.. Pour qu'un levé soit valide, cette fermeture doit être inférieure à une tolérance réglementaire.
Remarque Pédagogique : Ce contrôle est le premier filet de sécurité d'un cheminement. Avant même de calculer des coordonnées, on vérifie la cohérence géométrique des angles. Si la fermeture angulaire est trop grande, cela signifie qu'une ou plusieurs mesures d'angle sont fausses et le calcul ne peut pas continuer.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la somme théorique des angles intérieurs d'un polygone.
- Calculer la somme des angles mesurés sur le terrain.
- Déterminer la fermeture angulaire (\(f_a\)).
- Calculer la tolérance angulaire en fonction du nombre de sommets.
- Comparer la fermeture à la tolérance pour valider un cheminement.
Données de l'étude
Schéma du Cheminement
| Angle au sommet | Valeur Mesurée (gon) |
|---|---|
| \(\alpha_1\) (à S1) | 110.1540 |
| \(\alpha_2\) (à S2) | 85.4210 |
| \(\alpha_3\) (à S3) | 125.9870 |
| \(\alpha_4\) (à S4) | 78.4420 |
- La tolérance angulaire pour un cheminement de chantier est donnée par la formule \( T_{a} (\text{cgon}) = 2.5 \sqrt{n} \), où 'n' est le nombre de sommets.
Questions à traiter
- Calculer la somme théorique des angles intérieurs pour ce polygone.
- Calculer la somme des angles mesurés sur le terrain.
- En déduire la fermeture angulaire \(f_a\).
- Calculer la tolérance angulaire \(T_a\) et conclure sur la validité du levé.
Correction : Calcul de la fermeture angulaire d'un cheminement fermé
Question 1 : Somme Théorique des Angles
Principe :
La somme des angles intérieurs d'un polygone simple à 'n' côtés (ou sommets) est toujours égale à \((n-2)\) fois un angle plat (200 gon).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette formule vient du fait qu'on peut décomposer n'importe quel polygone en \((n-2)\) triangles en traçant les diagonales depuis un seul sommet. La somme des angles de chaque triangle étant de 200 gon, on obtient la formule générale.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Nombre de sommets \(n = 4\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Angles intérieurs ou extérieurs : Cette formule est valable pour la somme des angles intérieurs. Si on mesure les angles extérieurs, la formule est différente : \((n+2) \times 200\) gon.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Somme des Angles Mesurés
Principe :
L'étape suivante consiste simplement à additionner toutes les valeurs d'angles qui ont été mesurées sur le terrain à chaque sommet du polygone.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette somme est le reflet direct du travail de terrain. C'est la "réalité mesurée" que l'on va ensuite confronter à la "vérité géométrique" pour en déduire la qualité du travail.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(\alpha_1 = 110.1540 \, \text{gon}\)
- \(\alpha_2 = 85.4210 \, \text{gon}\)
- \(\alpha_3 = 125.9870 \, \text{gon}\)
- \(\alpha_4 = 78.4420 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Erreur de calcul : Une simple erreur d'addition peut fausser le résultat. Il est toujours bon de refaire la somme une deuxième fois pour vérifier, surtout avec de longues listes d'angles.
Question 3 : Calcul de la Fermeture Angulaire
Principe :
La fermeture angulaire (\(f_a\)) est la différence entre la somme mesurée et la somme théorique. Elle représente l'erreur globale commise sur la mesure des angles.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le signe de la fermeture est important. Une fermeture positive signifie que l'on a mesuré "trop" d'angle. Une fermeture négative signifie qu'il en "manque". Cela guidera la future correction (compensation) des angles.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(\Sigma_{\text{mesuré}} = 400.0040 \, \text{gon}\)
- \(\Sigma_{\text{théorique}} = 400.0000 \, \text{gon}\)
Calcul(s) :
Question 4 : Tolérance et Conclusion
Principe :
Pour valider le levé, la valeur absolue de la fermeture angulaire doit être inférieure ou égale à la tolérance réglementaire. La tolérance dépend de la précision requise et du nombre de sommets du polygone.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La tolérance n'est pas une valeur arbitraire. Elle est conçue pour être statistiquement atteignable avec un certain type de matériel et une méthode de travail rigoureuse. Être "dans les tolérances" est la preuve d'un travail de qualité.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(f_a = +0.0040 \, \text{gon} = +40 \, \text{dmgon}\)
- \(n = 4\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Unités de la tolérance : La formule donne souvent la tolérance en centigrades (cgon). Il faut bien convertir la fermeture dans la même unité (ici, en décimilligrades ou dmgon) avant de comparer, pour ne pas faire d'erreur d'un facteur 100.
Le saviez-vous ?
Calculateur de Fermeture Angulaire
Entrez les angles mesurés de votre polygone pour calculer la fermeture et la comparer à la tolérance.
Angles Mesurés (gon)
Résultats du Contrôle
Le Saviez-Vous ?
La tolérance angulaire est souvent exprimée en centigrades (cgon) ou décimilligrades (dmgon). 1 gon = 100 cgon = 10 000 dmgon. Une fermeture de +0.0040 gon équivaut donc à +40 dmgon, une unité très parlante pour les praticiens.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que fait-on de la fermeture angulaire si le levé est accepté ?
On la "compense", c'est-à-dire qu'on la répartit sur tous les angles mesurés pour que leur nouvelle somme soit rigoureusement égale à la somme théorique. La méthode la plus simple est de répartir l'erreur de manière égale : on calcule une correction \(c = -f_a / n\) que l'on ajoute à chaque angle mesuré.
Cette méthode fonctionne-t-elle pour un cheminement ouvert ?
Non. Un cheminement ouvert ne revient pas sur lui-même, il n'y a donc pas de condition de fermeture géométrique sur les angles. C'est pourquoi les cheminements fermés sont toujours préférables, car ils permettent ce contrôle de qualité essentiel.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la somme théorique des angles intérieurs d'un pentagone (5 sommets) ?
- 800 gon
2. Pour un cheminement de 9 sommets, la tolérance est de \(2.5\sqrt{9} = 7.5\) cgon. Votre fermeture est de -8 cgon. Le levé est :
Glossaire
- Cheminement Fermé
- Parcours polygonal dont le point de départ et le point d'arrivée sont confondus, permettant des contrôles de fermeture angulaire et de coordonnées.
- Fermeture Angulaire (\(f_a\))
- Différence entre la somme des angles d'un polygone mesurés sur le terrain et la somme théorique attendue. Elle représente l'erreur globale de mesure des angles.
- Tolérance Angulaire (\(T_a\))
- Erreur angulaire maximale admissible pour un type de levé donné. Elle dépend généralement du nombre de sommets (\(n\)).
- Compensation Angulaire
- Opération consistant à répartir la fermeture angulaire sur tous les angles mesurés (si elle est dans la tolérance) pour que leur somme soit égale à la somme théorique.
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