Calcul de la Fermeture Angulaire d'un Polygone
Contexte : Les Calculs Planimétriques en Topographie.
En topographie, lors de la réalisation d'un levé de terrain, les opérateurs créent un cheminement polygonalUn itinéraire composé d'une suite de points (stations) où le topographe mesure les angles et les distances pour déterminer les coordonnées de chaque point. fermé, c'est-à-dire une boucle de points qui revient à son point de départ. Une étape cruciale de ce processus est de vérifier la précision des mesures d'angles. La somme des angles internes mesurés sur le terrain doit correspondre à une valeur théorique bien précise. La différence entre ces deux sommes est appelée la "fermeture angulaire". Cet exercice vous guidera à travers le calcul, la vérification et la correction de cette fermeture.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à contrôler la qualité de vos mesures angulaires sur le terrain, une compétence fondamentale pour tout topographe afin de garantir la fiabilité des plans et des implantations.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de fermeture angulaire et son importance.
- Calculer la somme théorique des angles internes d'un polygone.
- Déterminer l'erreur de fermeture angulaire et la comparer à la tolérance réglementaire.
- Appliquer la méthode de compensation angulaire pour corriger les mesures.
Données de l'étude
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Levé | Cheminement polygonal fermé |
| Instrument utilisé | Station Totale Leica TS16 |
| Précision angulaire de l'instrument (c) | 0.02 gon |
Schéma du Polygone Levé
| Sommet | Angle Interne Mesuré (gon) |
|---|---|
| α₁ (A) | 121.3450 |
| α₂ (B) | 105.8760 |
| α₃ (C) | 135.4320 |
| α₄ (D) | 98.7650 |
| α₅ (E) | 138.6220 |
Questions à traiter
- Calculer la somme théorique des angles internes du polygone.
- Calculer la somme des angles mesurés et en déduire la fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\)).
- Déterminer la tolérance angulaire réglementaire (\(T_{\alpha}\)) pour ce levé.
- Comparer la fermeture angulaire à la tolérance et conclure sur la validité du levé.
- Si le levé est accepté, procéder à la compensation et calculer les angles corrigés.
Les bases sur les Calculs Planimétriques
En topographie, la précision est primordiale. Chaque mesure sur le terrain comporte une petite erreur inévitable. Notre rôle est de quantifier cette erreur, de vérifier qu'elle reste dans des limites acceptables (la tolérance), puis de la répartir logiquement sur nos mesures pour les rendre cohérentes mathématiquement.
1. Somme théorique des angles internes
Pour un polygone simple à 'n' sommets, la somme théorique de ses angles internes (\(\Sigma\alpha_{\text{th}}\)) est donnée par la formule (en grades) :
\[ \Sigma\alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \text{ gon} \]
2. Fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\))
C'est la différence entre la somme des angles que l'on a réellement mesurés sur le terrain (\(\Sigma\alpha_{\text{mes}}\)) et cette somme théorique.
\[ f_{\alpha} = \Sigma\alpha_{\text{mes}} - \Sigma\alpha_{\text{th}} \]
3. Tolérance angulaire (\(T_{\alpha}\))
C'est l'erreur maximale autorisée. Elle dépend de la précision de l'instrument ('c') et du nombre d'angles mesurés ('n'). Une formule courante est :
\[ T_{\alpha} = c \times \sqrt{n} \]
Correction : Calcul de la Fermeture Angulaire d'un Polygone
Question 1 : Calculer la somme théorique des angles internes du polygone.
Principe (le concept physique)
La géométrie euclidienne nous donne une formule exacte pour la somme des angles d'un polygone en fonction de son nombre de côtés. C'est notre référence absolue, la valeur que nous devrions obtenir si nos mesures étaient parfaites.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Tout polygone à 'n' côtés peut être décomposé en 'n-2' triangles. Comme la somme des angles d'un triangle est de 200 gon, la somme totale des angles du polygone est simplement (n-2) multiplié par 200 gon. C'est l'origine de la formule.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Commencez toujours par ce calcul. Cette valeur théorique est le pilier de toute votre vérification. Sans elle, impossible de juger de la qualité de vos mesures de terrain.
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul ne dépend pas d'une norme topographique mais d'un théorème de géométrie fondamentale. Toutes les normes de topographie s'appuient sur ce principe comme base de la vérification des polygones.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la somme théorique des angles internes
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le polygone est "simple" (ses côtés ne se croisent pas).
- Le levé est réalisé sur une surface suffisamment petite pour être considérée comme un plan (géométrie euclidienne).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Nombre de sommets, \(n = 5\)
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour un triangle (n=3), la somme est 200 gon. Pour un quadrilatère (n=4), c'est 400 gon. Pour un pentagone (n=5), c'est 600 gon. Chaque sommet ajouté augmente la somme de 200 gon. Connaître ces premières valeurs par cœur peut vous faire gagner du temps.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation du polygone à 5 sommets (pentagone)
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Cadre géométrique de l'étude
Le cadre théorique est établi : la somme des angles internes de ce polygone doit être de 600 gon.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ce résultat de 600 gon est une valeur exacte et non une mesure. Elle sert de "cible" à atteindre. Toute différence entre la somme de nos mesures et cette valeur sera imputable aux inévitables imprécisions du travail de terrain.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de se tromper sur la valeur de 'n'. Comptez bien le nombre de sommets ou de côtés sur votre schéma avant de commencer.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La formule \(\Sigma\alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \text{ gon}\) est le point de départ incontournable de tout calcul de cheminement polygonal fermé.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Sur de très grandes surfaces (à l'échelle d'un pays), la Terre n'est plus considérée comme plate. En géodésie, on utilise la géométrie sphérique, et la somme des angles d'un polygone est supérieure à la valeur théorique plane. Ce surplus est appelé "l'excès sphérique".
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la somme théorique pour un polygone à 8 sommets (octogone) ?
Question 2 : Calculer la fermeture angulaire (\(f_{\alpha}\)).
Principe (le concept physique)
La fermeture angulaire est l'erreur réelle de notre mesure. Pour la trouver, nous devons d'abord additionner tous les angles que nous avons mesurés sur le terrain, puis comparer ce total à la valeur théorique que nous venons de calculer.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La fermeture \(f_{\alpha}\) représente l'erreur cumulée de toutes les mesures angulaires. Elle est la somme des petites erreurs aléatoires (lecture, pointé, stabilité de l'instrument...) commises à chaque station du polygone. Elle ne doit pas contenir d'erreur systématique ou de faute grossière.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Portez une grande attention au signe de la fermeture. Un signe positif (+) signifie que vous avez mesuré "en trop", votre somme est trop grande. Un signe négatif (-) signifie que votre somme est trop petite. Ce signe est crucial pour la correction future.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul lui-même est une simple soustraction. Cependant, le résultat obtenu, \(f_{\alpha}\), sera la valeur que nous comparerons aux tolérances définies par les normes ou le cahier des charges du projet.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la fermeture angulaire
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Toutes les valeurs d'angles mesurés ont été correctement retranscrites du carnet de terrain.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Somme théorique | \(\Sigma\alpha_{\text{th}}\) | 600.0000 | gon |
| Angle mesuré α₁ | \(\alpha_1\) | 121.3450 | gon |
| Angle mesuré α₂ | \(\alpha_2\) | 105.8760 | gon |
| Angle mesuré α₃ | \(\alpha_3\) | 135.4320 | gon |
| Angle mesuré α₄ | \(\alpha_4\) | 98.7650 | gon |
| Angle mesuré α₅ | \(\alpha_5\) | 138.6220 | gon |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs, faites l'addition une première fois de haut en bas, puis une seconde fois de bas en haut. Si vous obtenez le même résultat, il est probablement correct.
Schéma (Avant les calculs)
Polygone avec angles mesurés
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Somme des angles mesurés (\(\Sigma\alpha_{\text{mes}}\))
Étape 2 : Calcul de la fermeture \(f_{\alpha}\)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de l'erreur de fermeture
Le polygone mesuré ne se "referme" pas parfaitement. L'écart entre le point de départ et le point d'arrivée représente l'erreur de fermeture.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons une fermeture de +0.0400 gon. Cela signifie que la somme de nos angles mesurés sur le terrain dépasse la somme théorique de 40 milligrades. C'est une valeur faible, ce qui est un bon signe de la qualité du travail. Le fait qu'elle ne soit pas nulle est tout à fait normal.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La faute la plus grave est l'oubli d'un angle dans la somme, ou une erreur de frappe en recopiant les valeurs. Vérifiez toujours que vous avez sommé autant de valeurs qu'il y a de sommets dans votre polygone.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La fermeture angulaire est la différence fondamentale entre la réalité du terrain (\(\Sigma\alpha_{\text{mes}}\)) et la perfection de la géométrie (\(\Sigma\alpha_{\text{th}}\)). Elle quantifie l'erreur de votre travail.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Historiquement, les calculs de fermeture et de compensation étaient effectués manuellement sur des grands registres. Des méthodes de vérification ingénieuses, comme la "preuve par 9", étaient utilisées pour limiter les erreurs de calcul arithmétique avant même l'arrivée des calculatrices.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un carré (n=4), la somme mesurée est de 399.9850 gon. Quelle est la fermeture angulaire ?
Question 3 : Déterminer la tolérance angulaire réglementaire (\(T_{\alpha}\)).
Principe (le concept physique)
La tolérance est le "droit à l'erreur". Elle définit la limite maximale que notre fermeture ne doit pas dépasser pour que le travail soit considéré comme suffisamment précis. Cette limite dépend de la qualité de l'instrument et du nombre de mesures effectuées (plus on mesure, plus les petites erreurs peuvent s'accumuler).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(T_{\alpha} = c \times \sqrt{n}\) dérive de la loi de propagation des variances. Elle suppose que les erreurs sur chaque angle sont des variables aléatoires indépendantes. La variance de la somme est la somme des variances. En passant à l'écart-type (la "racine" de la variance), on obtient la racine du nombre de mesures \(\sqrt{n}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le choix de la précision 'c' est important. On prend souvent la valeur donnée par le constructeur de l'instrument, mais un topographe expérimenté peut l'ajuster en fonction des conditions de mesure (vent, chaleur, visibilité...).
Normes (la référence réglementaire)
Cette formule est très répandue et souvent citée dans les cahiers des charges pour les travaux topographiques en France et en Europe. Des projets de très haute précision (comme le génie civil pour les accélérateurs de particules) peuvent imposer des tolérances beaucoup plus strictes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la tolérance angulaire
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Les erreurs de mesure sont aléatoires et non systématiques.
- Chaque angle a été mesuré avec la même procédure et donc la même précision attendue.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Précision de l'instrument | c | 0.02 | gon |
| Nombre de sommets | n | 5 | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Puisque l'erreur grandit avec la racine carrée, doubler le nombre de sommets ne double pas la tolérance ! Pour 10 sommets, la tolérance ne serait que \(\sqrt{2} \approx 1.41\) fois plus grande que pour 5 sommets.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de la zone de tolérance
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la formule de tolérance
Schéma (Après les calculs)
Zone de tolérance calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat 0.0447 gon signifie que pour ce levé, avec cet instrument, toute erreur de fermeture comprise entre -0.0447 gon et +0.0447 gon sera considérée comme acceptable et issue des aléas normaux de la mesure.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est d'oublier la racine carrée et de calculer \(c \times n\). Cela donnerait une tolérance de \(0.02 \times 5 = 0.10\) gon, beaucoup trop laxiste et incorrecte.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La tolérance n'est pas une valeur fixe. Elle dépend de deux facteurs clés : la qualité de l'instrument (c) et la quantité de travail (n).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les instruments modernes permettent de réduire 'c' en effectuant plusieurs mesures d'un même angle (par exemple en tournant l'instrument). Le logiciel interne de la station totale fait la moyenne des mesures, ce qui augmente la précision et diminue l'erreur aléatoire.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la tolérance pour un cheminement de 12 sommets avec un instrument moins précis (c = 0.03 gon).
Question 4 : Comparer la fermeture angulaire à la tolérance et conclure.
Principe (le concept physique)
C'est le moment du verdict. Pour que le levé soit acceptable, la valeur absolue de l'erreur que nous avons commise (\(f_{\alpha}\)) doit être inférieure ou égale à l'erreur maximale autorisée (\(T_{\alpha}\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette comparaison est une forme de test d'hypothèse statistique. L'hypothèse nulle est "le levé ne contient que des erreurs aléatoires acceptables". Si \(|f_{\alpha}| \le T_{\alpha}\), on ne peut pas rejeter cette hypothèse et on accepte le levé. Si le test échoue, on conclut qu'il est très probable qu'une faute ou une erreur systématique soit présente.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est cruciale et engage votre responsabilité de topographe. Valider un levé qui est hors tolérance peut avoir des conséquences graves pour la suite du projet (erreurs d'implantation, etc.). La décision doit être rigoureuse : c'est "bon" ou "à refaire".
Normes (la référence réglementaire)
Cette procédure de vérification est un standard dans tous les manuels de topographie et est exigée par la quasi-totalité des cahiers des charges pour des travaux de BTP ou de génie civil.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition d'acceptation
Condition de rejet
Hypothèses (le cadre du calcul)
- L'hypothèse que la tolérance calculée est pertinente pour le type de travail demandé.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fermeture angulaire, \(f_{\alpha} = +0.0400\) gon
- Tolérance angulaire, \(T_{\alpha} = 0.0447\) gon
Schéma (Avant les calculs)
Positionnement de l'erreur par rapport à la tolérance
Calcul(s) (l'application numérique)
Prise de la valeur absolue de la fermeture
Comparaison à la tolérance
Schéma (Après les calculs)
Vérification graphique de la tolérance
La valeur de fα est bien à l'intérieur de la zone de tolérance [-Tα, +Tα].
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La condition est vérifiée. L'erreur commise sur le terrain est plus petite que l'erreur maximale admissible. Cela signifie que les mesures ont été réalisées avec le soin requis et sont exploitables pour la suite des calculs.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à bien utiliser la valeur absolue de la fermeture pour la comparaison. Une fermeture de -0.0450 gon est hors tolérance, même si elle est "plus petite" que +0.0447 gon.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La règle d'or : la valeur de l'erreur (sans son signe) doit être plus petite que la tolérance. \(|f_{\alpha}| \le T_{\alpha}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En cas de rejet, l'analyse de la fermeture peut parfois aider à localiser la faute. Par exemple, si la fermeture est proche de 100 gon, il est très probable qu'une lecture d'angle ait été mal notée (ex: 172.15 au lieu de 72.15). C'est ce qu'on appelle une faute d'écriture.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si \(f_{\alpha} = -0.061\) gon et \(T_{\alpha} = 0.060\) gon, le levé est-il accepté ?
Question 5 : Procéder à la compensation et calculer les angles corrigés.
Principe (le concept physique)
Puisque le levé est accepté, nous devons maintenant "annuler" l'erreur de fermeture en la répartissant équitablement sur chacun des angles mesurés. L'hypothèse la plus simple est que chaque mesure d'angle a contribué de manière égale à l'erreur totale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette méthode de compensation par équirépartition est la plus simple. Elle est justifiée quand on peut supposer que chaque angle a été mesuré avec le même soin et la même précision. Pour des réseaux plus complexes, la méthode des moindres carrés offre une compensation plus rigoureuse qui pondère les corrections en fonction de la précision estimée de chaque mesure.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La compensation transforme vos mesures brutes en données géométriquement cohérentes. Les angles compensés ne sont plus exactement ce que vous avez mesuré, mais ce sont les valeurs les plus probables une fois la contrainte de fermeture géométrique appliquée.
Normes (la référence réglementaire)
La méthode de compensation par répartition uniforme de la fermeture angulaire est une procédure standard et reconnue pour le calcul des cheminements polygonaux simples.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la correction unitaire
Formule de l'angle compensé
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Chaque angle mesuré a contribué de manière égale à l'erreur totale.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Fermeture angulaire, \(f_{\alpha} = +0.0400\) gon
- Nombre d'angles, \(n = 5\)
Astuces (Pour aller plus vite)
Vérification : Après avoir calculé tous vos angles compensés, faites la somme ! Vous devez retomber EXACTEMENT sur la somme théorique. C'est un excellent moyen de vérifier qu'il n'y a pas d'erreur d'arrondi ou de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Polygone "imparfait" avec angles mesurés
Les angles mesurés contiennent une erreur cumulée. Le polygone n'est pas géométriquement parfait.
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul de la correction unitaire
Étape 2 : Application de la correction et vérification
On soustrait 0.0080 gon à chaque angle mesuré.
| Sommet | Angle Mesuré | Correction (\(C_i\)) | Angle Compensé |
|---|---|---|---|
| A | 121.3450 | -0.0080 | 121.3370 |
| B | 105.8760 | -0.0080 | 105.8680 |
| C | 135.4320 | -0.0080 | 135.4240 |
| D | 98.7650 | -0.0080 | 98.7570 |
| E | 138.6220 | -0.0080 | 138.6140 |
| Total | 600.0400 | -0.0400 | 600.0000 |
Schéma (Après les calculs)
Polygone "parfait" avec angles compensés
Après compensation, la somme des angles est égale à la somme théorique. Le polygone est maintenant géométriquement juste.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Chaque angle mesuré a été légèrement ajusté d'une valeur de -8 milligrades. Ces nouvelles valeurs, bien que très proches des mesures originales, ont l'avantage de former un polygone géométriquement parfait. C'est sur la base de ces angles compensés que l'on pourra ensuite calculer les coordonnées des points.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de se tromper dans le signe de la correction. Rappelez-vous : la correction est l'opposé de l'erreur (\(C = -f_{\alpha}/n\)). Si la fermeture est positive, la correction doit être négative pour "réduire" la somme.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La compensation vise à annuler l'erreur de fermeture.
- Dans la méthode d'équirépartition, la correction est la même pour tous les angles.
- La somme des angles compensés doit être égale à la somme théorique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les grands réseaux géodésiques nationaux, la compensation est une opération mathématique complexe impliquant des milliers de mesures (angles, distances, altitudes, mesures GPS...). Elle est réalisée par des ordinateurs puissants utilisant la méthode des moindres carrés pour obtenir les coordonnées les plus probables de chaque point du réseau.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour un polygone de 6 sommets, la fermeture est de -0.0420 gon. Quelle correction faut-il appliquer à chaque angle ?
Outil Interactif : Simulateur de Tolérance
Utilisez cet outil pour voir comment la tolérance angulaire et la somme théorique des angles changent en fonction du nombre de sommets du polygone et de la précision de l'instrument.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la somme théorique des angles internes d'un hexagone (6 côtés) en grades (gon) ?
2. Si la somme des angles mesurés est supérieure à la somme théorique, la fermeture angulaire est...
3. Un levé est accepté si la valeur absolue de la fermeture angulaire est...
4. Si la fermeture angulaire est positive (+0.050 gon), la correction appliquée à chaque angle sera...
5. À précision d'instrument égale, un polygone avec plus de sommets aura une tolérance...
- Cheminement Polygonal
- Un itinéraire composé d'une suite de points (stations) où le topographe mesure les angles et les distances pour déterminer les coordonnées de chaque point. Il est dit "fermé" lorsqu'il revient à son point de départ.
- Fermeture Angulaire (\(f_{\alpha}\))
- L'écart entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique que ces angles devraient avoir selon la géométrie. C'est une mesure directe de l'erreur globale de mesure des angles.
- Tolérance Angulaire (\(T_{\alpha}\))
- La valeur maximale admissible pour la fermeture angulaire. Si l'erreur commise est inférieure à cette tolérance, le levé est considéré comme valide.
- Compensation Angulaire
- Le processus de répartition de la fermeture angulaire sur tous les angles mesurés. L'objectif est d'ajuster les mesures pour que leur somme soit égale à la somme théorique, rendant ainsi le polygone géométriquement cohérent.
D’autres exercices de calculs planimétriques:
0 commentaires